Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

251쪽

cucumferentia Circuli BGE atque ideo partes ipsius Epicycloidis se se intersecabunt proph exuenium al-.teruit, ii retria cum portio, quae ex dextra incipit, desinat ad iniit am; vicissim portio, qua in

cis it a sinistra, desinat detrorsum Jam vero Curva isthaec non iis inni casu deprehenditur echanica naturae irascendentis; sed tantiam cum radii Circulorum ACB, BGg, eam inter se habent , γ oportionem, . iam nulli t lis itidem unxeris exprimi potest. Nani primo, iis,

g Ura Circulus Genitor A, B admist Circulum alium s BGE quia, ex nuper ostensis, portio quaevis circums

rentiae Circuli Genitoris A C adaequat portionentianam in circumserentia alterius Circus B G similem arcui intercepto C N - propter aequalitatem es-χrum Circulorum, portio A non modo est aequalis , . sed etiana similis portioni BG mi eadem portio AC similis quoque arcui intercepto consequenter, si punctum H sit centrum Circuli renito-'ris ACB, erit angulus A in aequalis angulo CIM. Unde Epicyclois hoc casu Geometrice describetur: scilicet, si in centro Circuli genitoris sumpto quoquis angulo AH C; fiat in centro alterius Circuli angulus

C s, aequalis priori Am C; quandoquidem, existente F ipsi C aequali, erit Nisu ne um Epicycloidistis proinde ipsa Curva naturae evadet

Secundo eadem Curva mi deprehenditur LN quoque naturae Geometricae, quotiescunque radii ipso

Elgura rum Circulorum CB, BGD non quidem iunt ales, sed quamvis inter se habeant proportio ni, lyO9 quae mimeris exprimi possit. Quipph, cum per gene-ralem Epicycloidis proprietatem , arcus.CN umuis i sit arcu BG, erit anguliis BFG aequalis' angulo CFN consequentςr, eum milas stir ω isto

252쪽

FB G, CN; erit ut FB ad BG, ita FC ad CN;

atque ideo arcus B divisus per radium I aequalis erit arcini Cm diviso per radium DC inde est, ut punctum pie loidis N inveniatiir; si constituto in centro Circuli Genitoris angulo AH C, fiat ut radius B unius Circuli ad radium Amalterius, ita angulus aflumptus AH ad anguluin FN

quipp existente F ipsi C aequali, erit etiam Npunsum Epicycloidis . . . Etenim si fiat angulius Ba GH ad Fi aequalis vidulo F N erit dii viliter ut radius B adis dium vi , ita angulus AH C ad angulum B FG Sed angulus AH C est ad angulum FG, ut arcus A divisus per radium ΑΗ, arcum BG divisum per radium M quare erit, ex qua ratione, ut Nidius BF. ad adnim AΗ ita arcus C divisis per radium AH ad arcum BG divisum per adium BF. Et coen sequenter arcus A C relualis erit arcu B G unde, cum priniter angulos aequales BFG, FN si

miles sint arcus BG, CN; erit arcus C aequalis arcui BG ; qui est similis arcui intercepto CN pr ptereaque putamim . erit in Epicycloide quaesit . Jam vero, quia tum dumtaxat Inveniri potest

Geometrice, sive per Curvam Geontetrice rationa

lem angulus QRN, Cead Fig. ad quena angulus adsumptus ABC: sicut radius BF ad radiunt m quotiescunque proportio pibrum radiorum BF AH

numeris exprimitur; nequaquam cum eaden proportio nullis quidem numeris potest designari, ut Geometrae norunt hinc est, ut Epich clois eo dumtaxat casu deprehendatur naturae Mechanicae, ac trascendentis, cum proportio radii BF ad radium AH rationalis existit inio etiam ostendi potest ex eo, quia, existente irrationali proportione radio

253쪽

Ioa ipsas circumferentias intercedit. Et idcirco, si ii culus Genitor ACB, completa prima revolutione, intelligatur adhuc revolui super cit cum ferentia alte rius Circuli BGD ut faciat secundam, itertiam qua T- tam revolutionem, punctum describensa uiri uanta perveniet ad priinum illud punctum, in quo coeperirat Circulus Genitor moveri atque ita describet Curvam, quam in infinitis punctis poterit a uel lii

AEquatio ver algebrica Epicycloidis primo casu descriptae Circulorum i aequalἱum , A CI B GE Fig. io8. V. oo. facile obtinebitur, si positis

Γl Ura omnibus, ut ibidem dui ita ex puncto quaesitae lineam innormali ad datani a B HA , lat

ex D ducatur normalis DO ad 4 C Est cxuderia quadratum FN Nauale quadratis ex N , , m qu re expressus eius valor habebitur . Atqui N min. Idcirco in triangulo Cli laxeram Is in F notitierunt, de data demininatum vero latus M. Igia tundenominatus habebitur sinus anguli CH Folim , ΗΑ. Sed hic sinus aequalis sinu DO anguli D OF, qui esse debet aequalis angulo CHA QCirculi uini aequales. Igitur, posita ex . ducta normali N ad radium C Circuli inconcentrici cunia. BE; quique per N QC. semper pertransit hab bilin per imilitudinem triangulorum DO, FN expresuis valor ipsus G. Atqui, si ex D ducatur alia D I normalis ad DB radium Circuli ipsius BE;

valor etiam expressus illius quidem erit per similitudinem triangulorum NM, FDI. Ergo, cum sit N ad M, ut D ad I omnium inventae sint expressiones valorat in obtinebitur quaesita aequatio Epicycloidis quae eius naturam propius, ac perspectius nobis repraesentabit. S

254쪽

. . Secundo casu Circulorum inaequaliuni A C

. hem mutuam habearit numeris expressiam . compara re etiam nobis facile aequationem algebricam Curvae naturam continentem possumus, eadem ferme analysi. Etenim , positis omnibus plane uti in primo casu denominatus sinus P anguli CHA, uti modo i ventus est, pro ignota erit accipienda, Cum sit normalis ad A, in inveniendo sinu anguli, qui ad ipsum

H datam habeat rationem , quae est inter dictos radios Circulorum. Accepta vero hac ignota dein secundu in proportionem, quae interelle debet inter si num anguli unius CH ad sinunt alterius anguli DF Ο, qui rationem imperaram mutuo lardent, invenietur expressus valor sinus O annuli DFO.

Hoc pacto. Si ex gr. rati radiorum I A, B ius lauti' ad L. Igitur angulus DF O, seu arcus Κilium subtehdens debet elise triplus anguli CHA, seu arcus in . Soluto autem 'oblemate risectionis anguli, ani nos:itur proportio. sinus CP anguli

sinum imusmet anguit dati m. tres diluales partes dividendi. Quare, cum debeat sue DF triplus anguli CHA; cu habeamus notam dictam proportionem, quae dicaturis adb; ε denominatus sit sinus ipse P denominatus quoque erit per quartam pr portionalem tinus D O ignotis in ratione, in qua duo termini sunt ,- , tertius vero ipsa CP denominata eisdem ignoti dc . Hoc sinum denominato in Circulo BE, cetera sani uti supra: exoptatam habebimus aequationem ; quae hoc secundo casu descriptam Epicycloidem demo strabit. Hu ita de reliquis casibus rationis imp ratae dictorum angulorum, seu radiorum Cis Ratio

255쪽

wΑRatio radii Circuli et superioris ad rad:um Circuli E inferioris accepta est isti nosti, minorit ad majus . Si proposita fuerit ratio illa majoris a nain usu tum origo abscissarum Epicyeloidis F aceti piatur a centro H Circuli a ; qui immutabitii ircirculunt inferiorem. Item sine hae immutatione ortiginis abscissarum Epicycloidis, idem conficietur eadem. qua supra, via Nam, quia inventa anguli trististione. ut eidem exemplo insistatur, noscitur probe, ut di. ximus, proportio sinus anguli trientis anguli dati qui sinus in nostro casu est ipsa Do ad inni anguli dati in tres partes aequales secandi, qui est in

nostro casu ipsam P si profecto haec ratio inter hoduos sinus dicatur eodem modo p ad , denoniinati sane quoque erit eodem movi ignotis, , o ipsDo , per quartam proportionalem, . ration cuius duo termini sunt , ri tertius vero ipsa CP denuminata , uti modo supra , flati, miti ignotis, , dea. Ex hac vero inventione aequationi utrilisque casus descirem Eulayeliridis notatur necessis rationis inter duos mequaliun circulcetum radios, quae numeris exprim ponit ..

CAPUT

256쪽

roue

CAPUT ULTIMUM.

FXplicat initura tam Cyclo idu, quan Epicyclos .dis, irae sunt principes Curvae Mechanicae iunioribus Geometris excogitatae, nunc alias Curvas striis Eperstringemiis, quae passim cireuin serumur orat prin36 Curva Logistica, sive Logarithmica odcurrit sici ela,

quod Jogarithmorunc in vetitioni sit usui . Eius autem genesis in hunc modum a Geometris concipi Ligur tur. Sumantur in octa linea indefinita A B portiones

quaecuinque aequales C, D, E, EF; puncti I Α, C, D, E, F ad rectos angulos origantur toti deni aliae rectae Iinete AN CN, FN, qui snt in progressione Geometrica, ut Arq se ad velut es CN ad Dy de CN sit id DN, ut DN, ad EN, atqui ita desiiceos . Porro Humiquaque h. num totiden aliae perpinduntiares seae sint: med Miritium ditissimo taliunoculares, quae o purissifectioiiunx eriguntur, antsbi luxi maximου Mnae: hi eniti essem, , traimi meis extremumH: Graim. Cum disina hii Logisticae sive rorarithm; nomen accepit quandoquidem ex ipsi ingene palaesta, quod, existen ibus ejus abscissis in arithmeticia progressione or at iis abscissis in tres piogites sionem constituantumnet an prae est pristimis mcipua ' ogarithm n una. Ηine praeci usi alius Curvas usus in Logarit i sacrum natura, ocimu--α explieanda se prodis.

257쪽

Nana plinio, si ei ut ni odi Curva Linea es et in spatio ingentiori adcurate des Enasa, ill portiones prinio Ο-co adsumptae AC, CD, DE EF ad Fig. J tantae

essent magnitudinis, ut singulae per plures hi sed iones sub dividi pollent non modo in centum, aut mille, sed in deceni, aut centum mille particulas aequales posita quidena Cpartium rooooo, ut ita sit punishum partium Oooo, foret Am partium a ooocio MEPartium OO OO. atque ita deinceps proindeque, si perpendiculares AN CN, DN, Emponantur else in ea Geometrica progres ione, quae incipiens ab uni tale crescit in decuplum, ita ut posita mi sit CN O DNIoo, EN Iooo atque ita deinceps certo numeris Geometric proportu,nalibus, . o. Iom imm

od vir vero arduum ivideatur figuram adeo ex ςm, m delimve, ut itai dissic ς. xRximie , Logarithnaos invenire attamen clari inius talis delineationis inodus evi te rati Rem , inopis apexit arithmeticam , quis viri ingeniosius suAt in condendis Tabulis Logarithmorum . quas unam operantium so uertia ,- facilitate iam , habenius scilicet invenerunt ii continue medias praetportionales arithmeticas inter duos quosvis logarith-

258쪽

2o cas inter duos numerus vulgares Iogarithmis is cor 'respondentes: sicuti in delineanda ipsa Curva togarithmica portiones priores bisecantur es expunctis sed tonus perpendiculares totidieni eriguntur: quae sint media proportIonales Geometrice lintei' proximas Cossa terales . Sed haec futius prosequi non est huius loci , satis sit, eat indicasse, ut usus adlatae Cur ari ima otescat. Nam integruni logar illim tum libellum non et nobis propositum exhibere Icili quo bleiit, praeter togarithmos ordinarios, hyperbolici qtioque logarithmi explicari. Ceteroqvm qui togarithmicae Curvae Proprietates omnes cupiat, easque Vetervisiore velit demolistratas, adeat praeclarum opus

P. Guidonis Grandii fibstri Mathematis ii quo Hugsn noruni Theorematum demonstrat ones aduntur Nani occasione horreni Theorematum noti inmodo p. . . . . . aprietates thinoremtidira iis . Velum I: l . alia u que Mintulta doctissim quident, Geomes trice persequitur occurriti secthdo i loco Spiralis Logarithmica, quae tala quoque non est quod logari morum propriis is rin ea sint liter deprehcloatur , 'Eius . enim natura , talis doni ituitur, ut si ex o Iguratro ipsius A ducatur ad aliquod erus uinum recta linea in eamque contingat in eodem puncto M II 3. recta lineam quod , inquam, angulus. Maradio M is tangentem T comprehensus sit sema per eiustem magnitudinis, quocumque in loco Spira lis punctum 'maccipiatur Ex quo deducitur quod, istentibus angulis in centro aequalibus, atque ideo componendo , Arithmetic proportionalibus radiheos angulos constituentes Geometricam servent pri gressionem quipphcii ex centro A ducantur ad spl-ralem 'lures radii AM, AN, O A'; qui sint inter in indesiiure proximi; effetant in centro A

259쪽

EM angulos Min N, N AD O aequatus, de inde finite Parvos ut ita compunendo angvlim MN MA MAP sint arithmetice promutionalec; certo, propi diorum indefinita a propinquitatem, portio. interceptae Spiralis UM, NO, o tanquam totidem recta lineae in finitae. Misit iis sumi poterunt; quae se consui dant eum tangentibus, quae

ducuntur ad punct spis lis Μ, , Q. Unde iam, aini in pin naturam spinilis aeqv xles quoque sint liguli ΑΜN, ANO AOP aequiangula miniolangi tam AN, NAO, O AP atque ideo inter se senili . Idcircoque erit ni AH ad AN, ita A

cum tertio loco si iratis Parabone sc quod Apol, Manae. Parabolae naturam praesem. rat intelligitur namque generari, si mi centro ali cuius Circuli A dum, ad ipsius ciministrentiam radiis Aph, i t rectareulium, quod fit ex I rina quadam linea constanti quam parametrum, sivo lam imum nominare licut in areum aliquem v sit aequala massi ato pinetis

corresia in V nte a radio M. Nam hoc tra , conta raod ipsos arcus B M tamquam abscissas, portione MN Uuti ordinatas abscissis iis corres. pondentes erit, exinde ac in Parabola Apollonia .ng, quadratum cuiusque ordinatae aequale rei tanguis.lo, quod sit ex parametro sive latere recto in abisscissam eorrespondentem . Atque ideo duarun , aut Nurium ordinatarunt quadrata habebunt inter M. eadadm rationem quam habent abscissae Correspondunt . Sed facile est ad huius sinulitudinem spirales alias in infinitum e fingere, Nam , Euti arabola: alim iisnsideravimus, i quiri non naodo quari a tum , sed quaevis ordinatae potestas adaeque Prois

testat

260쪽

culi genitorisCΜ-mine pala maest, Curvat istam ess

Cycloiden dimidiataui quandoqiudet a si in Cyε loi- intestigatur Circulus mitor a dianaetrum ed inis, eo usque, ut evanestant omnes ipsius ordinatae QM, ipsa Cyclois in hanc Cul vam i in inmmitur . . Quocirca ex cogmtu Cycloidis proprietas u*facile erit alterius huius uxvae proprietratus id si secere. Nam primo, quemadmodum in Cucloido spa, tium sub ipsa, basi comprehensum triplum est Circuli genitoris ita in hac Curva spatium, ea . Fig. quod sub ipsa & basi continetur duplum esse debet Circuli genitoris cum nil aliud it, Quam i sum illud spatium Cycloidale Circulo genitore diminutum. .Um e consequens est secundo, ut spatium .,