Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

발행: 1740년

분량: 290페이지

출처: archive.org

분류: 수학

241쪽

De Cycloide, Epicycloide

. Recentiorum.

IN uuivimus ' a lanus earum Curvarum , -- chiinitariisti naturam, qua, Etere, Ge6ni excogitarunt: es methoclium tradi simus alias innitum ad ipsarum similitudinem efformandi. stat inuio, ut ad Curvas Mechanieas Eriuium adhue fauetamus, quas ipsi Geometrae Recentiores 'nteinplauti sint. Cumque inter ea, primum locum obtineat Curo illa, quae Cyespidis notis ne nuncupatur; . de ea primum peruiendum suscipiemiis Atque illam primus ortinium consideravit Galilem Magni Etruriae Duris a ud xissimus Mathematic*s; tuta piam eandem paullo adcuratius sunt inimi uti praeclari duo Geometrae Torricellius Faveptinus in Italia QRo rvallius. in Galliis . Denique seopto ipsiuὸ insisne usus, ac proprietates ab aliis quosve sterioribus Geom ris pluris ea habita sui . soli etiam nonnulli integros, iustosque de hac Curva libros conscripsere atque Hi Heus Memorabiliorem ci prae. si Regia Scientiarum Academia Parisiensi acta sunt; fatetur, nullam ali an Curvam lineam tanta diligentia Recentiores Geometras pertractasse, quanta Cycloidem Galilei. Ut autem hujus Curvae claram distin Ramque notionem praebeamus intelligatur circa rectam lineam AB, tanquam lanietrum, descriptus Circulus A CB, ex cuius circumferentia ducantur ad ipsam diametruordinatae' laevis in meque protrahantur usque ad puncta

242쪽

Dunctam sed ita tamen ut portiones ipsariim unt aequales arcubus correspondentibus AC;&. erit

Curva pertransiens per purina illam ipsa Cyclois,

Gabilei: cun ne in puncto B extremo altero diametri ordinata, M evanescat ducenda est ex puncto lis ecta linea BD ipsi MN parallela quae

sit aequalis semicircumferentiae CB atque idcirco tota recta fineam BD, quae dicitur Basis desicriptae Cycloidis DAD, aequalis erit integrae circun ferentiae Uisius Circuli , qui Circulus Genator nominatur. Ex quo patet, usus irruae eam esse praecipuam proprietatam, ut quaevis ejus ordinata in I ad.

Fig. adaeque ordinatam Circuli correspondentC IV.CΜ una cuna correspondente arcu AC Nam reve

deretu & consequenter fir in sinuatione Cycloidis

243쪽

gnitudines elinquerentur, scilicet abscisa κ, ωεω- nata ae lute orietur aequatio ad tinnita item: dnnensiones adscenderet atque ideo rpis C clois erit generis infinitesintia proindeque Curva erit Mech Haica Transcendens, a Geonietvicesim alio iis lis A Jam vero cum in Cucloide s s portio cu bjustiue ordinatae N adaeque arcum Circuli correLitur resia D parallida ei, quae ducitur in C ad B, portio hau B Eisit etiani aequalis arcui C: cunia propter parallelograimnum IN aequalia sint eiussa tera opposita ME , N. Qis circa , si Circulus' AC B cita revolui intelligatur super rectam neam BG, ut senii circumferentia sua elueti itur ip-3s n, BD, cui eaden lax conflauctrone est aequulisper icum est, pui 'uni' si hoc motu descri bere cetera puto, semicivloidis A N Da texi a iii super ipsa a descru anir segium tum M tali dismi rie, . equale alteri CB i quia paratidae sup rectae lineae CB NE 'eaedem erunt eorum sementorum contingit segmentum primum in puncto ita,

Uiide, si segmentum istus lecundum extendatur versus

244쪽

Ηinc genesis Cycloidis ex Circuli circumvolutione vulgo repeti solet nempe si Circulus vii quis Γ:re,, seri

super aliqua res linea subinde revoluttis intelligatur gura

ut praeter 'o tun progressivit in habea quoque nrotum circulatenis; nam summisi, quo ipso Circulus pri 99-iti, sua positione rectan illam, iiij eam contingit, de iseribet lineam iuvana , quani ex modo Estensis per 'spieitum est, Cycio, deni esse G his: cuirique compista istima Ercum; es Wione, pollio idem culus super, ea in jecti inex restini mutioili aliaui ha -i , infinitunici, palatis in. Ogesondes aliis hos pacto a tinfinitum describi, quae dici onerarit Plinia, Meu da aereia iro ut prima, si ciuida , aut tertii eius

Circuli ' circumvolutione aenerantur . proindeque, ciuit 'ollines minas Cuel des, quae Oitam Cur axis neam, utpote ejusdem Circuis hiotu clascristi diiunc lotis una, eidemque. re fi linea in infinitis minciis secare; perspicuum est Cumun istam esse teneris inmittesimi 'ac proinde eius inuationem, ut imperius indicavimuς, ad dimensiolies infinito

Potti, cum iis tegr basis Cycloidiam BD sit ae D. qualis circiam ferentiae integra Circuli genitoris ACB; I Uraliquet, quod , si per punictum ducatur recta AF

ipsi BD parallela; compleatur rectansulum DF IMO.

quod, inquam, rectangulum istud aequale it quadruplo ipsius Circuli genitoris Etenim, cum area Circuis genitoris procliicatur, multiplicando ipsius circumferentiana integram per dimidiunt semidiametri

vel , quod idem est, multiplicando basim Cycloidis DBD per dimidium semidianaetri area reisianguli Di, multiplicando eandem basim Cycloidis DBD per ipsam diametrum AR erit area Circuli genitoris ad area nil rectanguli DF veluti dimidium semidiametri ad diametrum ipsam AB proindeque quia dimu . A. B b dium

245쪽

Is diium semidiat seu quarta pars est ipsius diametri AB; erit etiam area circuli gemitoris quarta pars reae

rectanguli DF atque idcirco ipsum rectantuloi DF

quadriiseunt: erit Circuli genitoris.. sia, cuilia coctanginuit dividatiirpei

cicidem in duo alia spatia, rivorum, quod basim

terminatur in duas partes per constructionem aequales divisum, diei solet malium Cycloidale internum quod vero superest iii duas quo*ie partes distiquit L aequalis spathini Cycloidale externum hipsam proportionem, quae est inter haec duo spatia, e*pti e Geometrae ac inveneram . Nempe, quod spatium Cycloidale intemum sit triplum spatii Cycloidalis externi rem id demonstrarunt. Hinc autem deducitur. si alium Cyeloida Ie externum aequale esse Cliculo gemtoris at pie ideo spatium Cycloidale intelnum triplum quoque esse ipsius Circuli genitoris Etenini, cum rei langulum DF Dead. Fig. per

cloidem ita dividatur, ut spatium Cycloidale extenum tertia pars sit spatii Cycloidalis interni, eridem spatium Cycloidale externum quarta pars ipsi l rectanguli I lF. Quamobrem, quia Circulus gelut dest seniliter quarta pars eiusdem redianguli DF, ea spatium Cycloidale extemum aequale Circulo Genitri atque ideo ipse Circilius Genitor , perinde spatium Cycloidale extemum, tertia pars erit P. Cycloidalis interna 'Quoniam vero spatium Cycloidale internum per dmetrum Ad te M. Fig. in duas partes aequales dividit perinde ac ipse Circulus Genitor, per genesim Cycloi ut diximus, erit spatium Semicycloidale interri ABDin triplum quoque semicirculi Genitoris AE .idineo: patria intenaaedium ACBD N A. . plum exiit eiusdem smicirculi si ABCA, U

246쪽

nitoris, erit spatiuin Cycloidale externum ADFA aequale semicirculo Genitori proinclaque simul acu vabunt spatium Cycloactile intere dium ACBDNA. Praeverea illud a Geometris os elisini est, 'utid ilicet rediam, sit ordinata quaeris Cycloidis AND per punictum N agatur a cistam ips.x parallela muti , inquam , patrum Cyclamate, externum No aequale sit spatio Cimulari κοντε pondenti MC. Unde duo deducuntur cognitar digna: iram Primo quod, si onclinatam incidat an ei triam inculi Genitoris , quaeratura spatii Cycloidaia iis littermedii A C, habet possit absque posiva duadratura Circuli ipsum si alium Cyc ilia ale intermedium AC N proueniat: mala Quadra

eo quod si ex radi ipsius Circuiti genuinis, Nani, quia MN ordinata sisponatu neudere an ficta ium

a, diminimi duplo Quadrantis AN C aequaista, erit madrato solius radii . m. Iam ero, clim μή tium Cycloidale sit aequale segmento ire

cloidati intermedio iam . igitur, cum ordinata

247쪽

I96Gycloidale interanediunt Aram est aequale quadrato, quod fit ex radio ipsius Circuli Genitoris. , Alterum quod deducitur illud est ubd, si ea idem ordinata, incidat in aliud iunmini diametri Circuli genitoris AB, cuius centruma sed -,- ara tante ut abscissa Am sit quarta pars ipsius AB;όULM consequenter dimidia radii AE; quod, inquam, spatii Cyclo alis ΑMN. quadratura possit quo- Oa que taberi absque posita Circuli inuadratura AEum ipsum spatiunt Cycloidale Am N exstet quale triplo trianguli ACM. Quoniam iuncta E,

.cum xed angulum , sit aequale duobus rectangu-

Cycloidale N. aequale triplia, iriai' si . Corre: polidenti A C in Porrci praeter hanc Cycloidem, quae Priniari dici leti; duas, a fias Cycloides excogitarunt Ri

248쪽

cloide primina poemio Obrevis ordinatae et mi Od. a g. I in aequalias arcui correspondenti in in ipsta que acto bam BD aequalis Uticircumierentiae ACE; ita considerarunt, fieri posse, ut eadem portio ordi- - ει sit ad arcum sumi, respondentem Cin qualibet alia data ratione ex gr. d hac consideratione illa v. liae Cycloides ipsis subortaesierunt. Etenim, sicuti. ciun habetur magnitudo,

qualis magnitudini is oritur ipsa Cyclois primaria ruta ratio sit aequalitatis ita etiam si magnitudo, uerit primo major magnitudine fiet iocus Cycloidi Protractae cum eius hasis i maior fiat semicircumserentia ACB. Et, si secundo naagnitudo misi inor fuerit eadem magnitudine n habebitur Cyclois altera Contracti quia basis ipsius B redditur vicissim semicircumserentia A a minor Sed hae interim Cycloides una non multum inter se differant & ex proprietatibus iam cognitis Cycloidis primariae nullo negotio deduci queant pro Duprietates tam Cycloidis protraefar, quam Cycloidis vi tira contractae supervacaneum existimo de iis plura subiungere. Quocirca aliam Curvam lineam conside Porandam suscipimus Dumloidem dictam , quoniam etsi ad Cycloidis similitudinem sit ea excogitata ; multum tamen abest, ut ex proprietatibus Cycloidis proprietates

illius possint deduci quin etiam talis naturae de-μehenditur , ut potius ex eius proprietatibus pro primates Cycloidis emantur . Nam intelligitur gen rari ex revolutione vilius Circuli super alium Ch

eulum cuiusmodi est Curva Ab D descripta ex re.. volutione Circuli AQB super alium Circulum BDE; ita ut in Curvae in iis D B in perinde ac vi Cycla de iit aequalis circumferentiae integrae Circuli

genitoris ACB minc enim consectatur, quod, si centrum F secundi circuli ossi abeat in infinitum;

quia

249쪽

oui hoe cassi ipsius circumserentia rina luWa em ibi ipsa curva AND in Cyeloidem vulgarem in milia inuri proptereri proprimi omnes subeat clacloidis ordinariae . . l . .. 'οῦ

Ex ipsa autem l ultra in in genesi deducitur quod, si Cincuius Genitor AC intelligatur perum. niime ad positionem G ut opterea describat. - . picycloidem N qudd, inquatia, cenis F, α PIO Ura intefVallo F descripto Circulo NC M, qui societ Circulum Genitorem CB in uni sciliusl Oa arcu A sit aequalis arcu BG. Nana, stia Clo. culus GH contingit Circulum BG in lini' G, cluditis radius FG pertransibit per centrum ipsius Gmicirculi GH idcircoque erit angulus in G H. qualis angulo CFB atque ideo, quia latera F FG aequalia sunt lateribus CF, B alterum alteri; erit assis unius trianguli N aequalis bali alterius trianguli a Sed in Circulis aequalibus aequalep chordae aequales arcus abscindunt; igitur, cum chorda . . C aequalis sit chordae CB; erunt etiani aequales

arcus G, B; α consequentin aequales quoquGarcus reliqui G H, AC. Jam vero propior ipsam genesim Epicycloidis arcus G H est aequalis arcui BG quare erit etiam eidem arcu BG aequalis ips

me arcus C.

Unde patet etiam, sod idem arcu A M.

Fig. Ladaequat portionem in circumstrentia Circuit BD similem arcui intercepto CN . Natta , cum angulus FG sit aequalis armis C 3, erunt qa que aequales arcus, quibus si vir, o se ripropterea eram etiam Quales metus c, o Unde mi arcus obiramius est a reui BG, viri ambo eumdem angulum subtendant, erit etiam eidem Mon Bo ilis arcus C. sed arcu AG sthim ius est aequalis arcus A c quare rus mi

250쪽

aequabit portionem in circi miserentiae mili Mosuruleni arcu intercepto CN.

Atque hinc expedita nobis subnascitur Epicycloidem in plano per puneta describendi ratio ι licet, si sumpta in circumferentia Circuli Genitoris portione quavis A C, Lead Fig. abscissaque ex circumserentia ait has omiti portione altera BG, quae ipsi AC sit aequalis, fiat angulus GF aemalis gulo Ju . a Iam descripto deinde ex centro F ari: MN, qui transeat per punctum hic o curret erue lineae N in puncto N , quod erit in Epicycloide quaesita: eadem ratione cetera E

eius puncta invenientur. Porro circa haiae Curvam tres casus dii inguere in .

Oportet pro triplici relatione, quam habere possunt 1 l VIII a Circuli ACB, BGE. Nam primo, vel Circulus G nitor C est aequalis alteri Circulo BGE; quia ΙΟΝ. aequales sunt etiam ipsorum circumferentiae ; basis Epicycloidis erit integra circumserentia alterius Cir culi GD proindeque ipsa Epicyclois erit tamquam Ovalis circa diametrus AB, B ipsorum Circulorum, veluti unam rectani lineam, destripta Atque hoc casu perspicuum est , Epicycloidem non tam fieri per revolutionem Circuli ACQ super circumferentia L. . alterius EGE, quam per revolutionen Circuli EGE L j Ura super circumferentia prioris ACB . Secundo vel idem .

Circulus Genitor ACB minor est Cirςulo altero DO 6. B GK oula circumferentia inius minor est ii que armim isti, alterius huius Circuli, basis p . Qinvidis minor mlhia erit circumferentia i ili

s S atque μὴ ipsa Epicyclois ad imurium

Figura

SEARCH

MENU NAVIGATION