Johannis Baptistae Caraccioli ... De lineis curvis liber

221쪽

senilitiametro AB portion circumferentiae BCD oc portione semissi metri A si porro di se n a poneris potestatis, ad quam ascendit portio circumferentiae BCO erit ut ad . , ita

ad inque adeo arquatio eritis, m I GOM pl ne cum illi, quae in Classi: antecedenti spuolo omnes mundi generis reptiesentabat . secundo quod spectat ad Spirales secundi generis ;quoni in in iis naotus stimidiametri B, eo Fig.ὼ quae fertur in orbem, ita ponitur variabilis, ut victi uim quaevis temporum potestates sim ni paria tem porthus iis ins mai: profecto portio citriina serentiae BC erit. cir cumserent uti integram L EB, ut potestas qukvis 'temporis , quo describitur pomtio circuniserentiae BCD ad potestatem homogo neam temporis, quo describitur circumferetitia integra BCDEB; led propter motum aequabilem puncti, quod super ipsa ΑΒ fertur in B, potestas

quaevis tena poris, quo describitur portio circumserentiae B Cm est ad potestatem honaogeneam temporis, quo describitur circumserentia integra BCD EB, ut similis potella portionis semidiametri AH ad yotestatem otiaogeneam ipsius semidiametri, AE. Igitur erit, ex aequa ratione, ut portio cireunaferentiae BCD ad circumferentiam integram BG DEB , ita potustas quaevis portiQnis Gniidiametri ad potestatem onaogenean ipsius sen idian visidio m a proin uel sine ima eadem e-RDiminati ei, si νψcutur m exm ensis testatis, ad

quam Laste in portio, set udi nistri in Ir P erit ut

222쪽

i i Tertio denique quod attinet ad Spirales tertii generis, quia in iis motus semidiametri AB, ead Fig.Jquae in gyrum revolvitur, ita ponitur variabilis, ut conivisim potestites quaevis spatior sint ut aliae quae vis potestates temporum, quibus spatia illa descria huntur utique potestas quaevis portionis circums

sentiae BCD erit ad potestatem hi naogeneam ci cum ferentiae integrae BCDEB, ut alia n laevisio rei a temporis, quo describitur portio circumferenstite BCD ad potestatem homogeneam temporis quo describitur circuni ferentia integra BCDEB. Sed propter motum aequabilem punisti, quod super ipsa semidiametro AB sertur ex A in B, potestas temporis , quo describitur portio circumferentiae B C D' est ad potestarent honiogeneam temporis, quo dent cribitur circuna serentia integra BCD EB, ut similis, potestas portionis semidiametri AN ad potestatem homogeneam plius senti diametri AB. Igitur erit, ex aequa ratione, ut potestas quaevis portionis circum fetentiae BCD ad potestatem Oniogeneam . circumj-lserentiae integrae BCDEBD ita potestas quaesti alia portionis semidiametri AN ad potestatem bmotoneam ipsi iis sentidianaetri A M. Qua de re, manente eadem denominationes si vocetur. in exponen pol

statri, ad stam ascendit 'portio semidiametri N, ex is exponetis potestatis , ad quaan ascendi retio

223쪽

metro Ara sertur ex Α, Β PMd. Fig. I. Atqui eiusnaodi Spirales ad novem genera praecipua reduci, perspicuus est. Etenina, cum uterque motus triplici naodo variari possit; pri tuo, si nempe tempora lationum sint ut potestates spatioruiu, quae teni P aibus iis describuntur secund6, si vicissini potestates temporum sint ut spatia temporibus iis descripta tertio si coniunctim potestates eui runa sint ut aliae quaevis potestates spatiorum, quae tena poribus illis percurruntur; palam est, unum motum cum alio novemniodis di rsis posse combinari atque ita ex disersis hisce combinationibus totidem alia genera Spiralium exsergere. Sed nihilominus poteruiit omnia illa genera ad unicum reduci atque omnes Spirales, quae hac tertia ratione laescribuntur, generat ista aequatione 'mprehendi Ut hinc in

pareat, spirales huius tertiae Classis easden es cuni illis, hae in utraque Classe antecedenti genus

tertium constitvunt Etenim, si uterque motus ita ponatur variabilis, potest tessiariorum snt ut potestates aliae tem-

z um, quibus spatia illa describuntur; quae quidem

pothesi comprehendit ou ue alias duas, in quia bys spati , et rempora ad nullani evata potestatem supmnuntur; erit primo ut potestas quaevis portionis, si midiametri ead Fig. ad potestatem hom geneam sius semidiametri B, ita alia quaevis p testas temporis, quo describitur rii semidiametri A N ad potestaten homogeneam temporis , quo des cribitur ipsi semidiameto A B. Et secund ut pol stas quaevo . portio iis circumferentiae BCD, adis testatem homogeneam circumferentiae integrae BCDEBita alia quaevis potestas teniporis, quo destritur ρομυμ Qrcilinserenti BCD, ad testatem homogenean

224쪽

temporis, quo destrabitur circumferentia integra BCDEB Unde si retenta semper eadem denominatione, quani superius adhibui naus, dicatur porro tempus, quo describitur tam portio semidiametri AN, quam is porti circumferentiae BCD, ω tempus , quo describitur tam semidiameter ipsa ΑΒ , quant cir cumserentia integra, BCDEB ac praeterea se ponens potestatis, ad quam evehitur portio semidiametri AN exponens potestatis, ad quam a Dcendit tempus , quotiescunque cum ipsa portion. Am comparatur exponens potestatis, ad quam ascendit portio circumserentiae BCD Q exponens potestatis, ad quana ascendit item tempus t , ubi consertur cum portione circumferentiae BCD

cundo, ut ad a , ita, ad T . Sed ex prima proporti inalitate eruitur, quod sit ad ut

a a b ex secunda, quod, si ad G ut

re Quare erit, ex qua ratione, ut , ad

CAPUT

225쪽

in auadratrices nostrati vi Nicomedis , t ac de ejus , infinitum processu.

O SEquitur secunda Linea Mechanica ab antiquis ex cogitata , quae tiadratrix, sive Linea Quadrans dista quod ad Circuli quadraturam a Dinostrato, α Nicomede fuerit dumpta . Ortuni habet eiusnas di Exponatur Quadratum ABCD, in quo dea scribatur quadrans Circuli BD - uni semidiameia ter fertur in orbem circa centrum A aequabiliniotu ex B in D; adeo ut a qualibu iamporibus

aequalia spatia fercuriat ipsius Qua uitis sono tellig tur intexo nyox itidei invitabili, sibiqueniet ipsi parallelum ferri natus B ve sus latus opposliuni AD, sed ita tamen, ut, quo emi'redemidnimeter Bhervenit ad positionem AD, ireque adeo in e fui. Quadrantem BD describit, latus ipsum B C ad eundem positionem AD perve Gyteninu cum semidiameter iii orbem asa per circum*rensiam Quadi antis BD continuo se secet,um tere BC deorsu mori dicto modo lato tres, ibit et pui unis si Ai motu Linea Curva BNE, quae erit Quadratui Dinostrari,

Niciam Mis Unde patet ejusmodi curva hanc eli propriet tem praecipuam, ut , si ducati ad circum relat iam se ii raci uadrantis BD semidiamete tuae vis a , quae secet w descriptam Curvam in puncto ex eo ducatur recta ipsi a perpendi laris atque adeo parallela lateri C; ut, inquam, integra Quadrantis cir vinferentia id sit ad portionem abscisi

226쪽

sam F, ut est integra semidiameter AB ad portionem eius BM, abscissam per perpendicularem NM . Nana, si

integra Quadrantis circumferentia divisa intelli. gatur in centum partes aequales Min totidem quo qne partes divisam ponamus semidiani et rum AB: profecto eodem temopore, quo semidiameter B in orbem delata percurrit partem unam peripheriae Quadrantis BFD latus BC deorsum sibi semper a ui- distanter delatum percurret etiam partem unam

ipsius ejusdem semidiametri similiter

codem tempore, quo semidiameter Aa percurrit o. Er. pauetesaeoem. circumsermitiae Quadrantis BI D latus C motu suo percurret quoque partes decem sonidivinetii AB proia deque erit semper, ut liueerain adrantis circuivimentia a portionem per se in metrum permiriam ita ipsa semidiameter ad porti nen eius, quae latere Quadrati eodem tempore pero. curritur. Unde, Mia latus Quadrati BC percuror in semidiametro A portionem , B , tempori cilio

quo ipsa semidiameter in B ad politionem Assi perve nil cons itur, ut integra Quadrantis ciminuere tia BFD sit ad portionem eius F, ut integri

semidiameter ad portionem BN . i. Atque iam plura quidem deducuntur . Nempe. pri.

rino, quod integra Quadrantis imminentia ii d. Fig. sit ad portionei' alieram imis F:D , veluti est eadem semidiameter A B ad portionem alteram ipsus A M. Nam cum sit ut integrasu drantis circumferentia BFD ad portioneni piliis

BF, ita integra sentidiameter ad portionei sta semidiametri ipsius Em erit etiam dividendo , ut integra Quadrantis chrcumferentia BD ad portionem alteram FD; ita mina semidiameter Ad ad porti onem basiam ΑΜ.

227쪽

Secund6, 3'6 portio circumserentiae Qua tirantis ead. Fig. sit ad portionen alia nara D, ut est portio semicliametri M ad portionen aliam MA. Etenim, ut portio circumserentiae BF ad circumserentiani integram Quadrantis 2 F D, ita portio

semidiametri M ad semidiametrum ipsam R; sed circumferentia integra Quadrantis BIO est ad portionem aliam ipsi is D, veluti est tota semidiam

te AB in ipsius portionem alteram Μ . Quar.

erit, ex aequa ratione ordinando, ut portio circum

serentiae Quadrantis BF ad portionem alterania FG, ita portio semidiametri B M ad portionem teram in Tertio, quod ducatur radius alter G, qui secet Quadratricem in puncto O; ex quo similiter a.ducatur res OR ipsi AE perpendicularis; quod, inquam, portio circumferentiae Quadrantis EF iit ad portionem aliam G, ut est portio semidiametri

B M ad portionem aliam BR . Nam portio circumferentiae I est ad ircumferentiam integram Quadrantis BFD, ut est portio semidiametri madsemidiametrum ipsam A M. Jam vero circumferentia integra Quadrantis BFD est ad portionem aliam 'EG, uictemuliameter B ad portionem aliam BR; quare erit, ex aequa ratione ordinando, ut porrio circumferentiae BF ad portionem alteram BG , ita portio semidiametri M ad portionem aliam BR . Quarto, quod iisdem positis, portio circumferentiae ead. Fig. sit ad portionem aliam O,

ut portio semidiametri M ad portionem altera R. Est enim ut portio circumferentiae F ad circumferentiam integram Quadrantis BFD, ita portio semidiametri A ad semidiametrum AB. Sed circumferentia integra Quadrantis BFD est ad portionem ipsius GD, ut semidiameter B ad ejus por-

228쪽

II tionem xx, igitur erit, ex aequa ratione ordinan do ut portio circumserentiae F ad portione ire, aliam GD, ita portio semidiametri M ad porti item asiam Αρ fui ath, deinum, quod, si intura Quadrantis circum, mitia dividatur in quotcumque partes

num ducantur radii F. G, ΑΗ, secantes desicriptanti ita diatricem in punctis , , , ex quia bus demittantur M semifametrum AB perpendicula res Nw, R, in quod, inquam, portiones μή

midiametri per perpendiculares illas abscissae M, AR, BQ , A sint in arithmetica progressione. Nam portio circunuserentiae Ba est ad portionem BG , ut porri sentidiametri ad portionem R. Et λmiliter portio circumferentie B est ad portionem ΒΗ, veluti portio semidiametri BR ad portionem B. Quare portiones circumferentiae BF BG, Η,

BD, erunt inter se, ut portiones semidiametri ΒΜ, BR BD, A. Atque adeo cum primae portiones progressionem arithmeticam constituant erunt etian cundae in arithmetica progressione. Item, divi-. dendo, ea uales erunt portiones semidianteiri B M

Per quae facile modo est Quadratricem In plano per puncta describere. Etenim, si Quadrantis circumis stretati a B dividatur in plures partes aequales in in totidem partes aequales dividatur etiam semidiam 'o' terra B ac porro ad puncta sectionum circumferen . tiae ducantur radii totidem atque ex punctis sectionum diametri minitentur totidem quoque perpendicultares; quia hae perpendiculares se intersecant cum

illis radiis iis totidem aliis punctis, uti Schema omientat, erunt oninia illa puncti in syadratrice se: da : Ita ut quo major est humerus partium aequa-

229쪽

ni Quid tricis ad puncta alia aliciuus recta

lineae positione datae, uti AB, vel A Ep. tumen isti r optime inveniri tris tio, cuiae. designe relati inem, vixi habent puncta omniat eiusdem:Quadros iis adium' ipsa circumferentiae Quadrantis. Si, qui lem positis, uti supra integra cir inserentia BD a; porr ne quavis eius Ba πω positis insuper mi gra semidiametro AB Lli: portion eius B in . si

quia per naturan Quadratricis integra Quadrantis circumferentia BD est ad portionen eius B R, ut intes' sen, iameter x ad portionem M exit a ad Μ; ita , ad 'a atque adeo aequatio erit a tetas x Sed aliani habet Curva ista proprietatem, Pr Pter quam Quadratricis nomen sortita est , sciliceti quod semidiameter A media sit proportionalis in 'linos. ter basin Quadratricis AE, & Quadrantis circum ferentiam BD. Etenim, si sumatur in ipsa Quadrdu tis circumferentio arcus D H thdefinite parvus,& ad punctum H ducatur radius msecans uadratricem in punicto P, erat etiam intercepta Pom, t. Quadratrinis P. In definite parva & proiilae

230쪽

nai diametri Am erit etiam ut AE ad AD, it Ase, ad DHUt verorat Asa ad DH , ita i , ad

BD ; quare erit, ex aequa ratione, ut A E ad AD, ita AB, ad BD propterea semidiameter a media erit proportio iratis inter basim inadratricis AriocQuadrantis circumferentiam B D. Atqtie hinc, si ptinctum Quadratricis E ead. Fre.)possit determinari, facile foret tam reflam linea tria in rem re, quae sit aequalis Circumferelitis Carculi quam quadratum exponere, cui sit aequale spatium Circalare. Nam quod ad prinium attinet, perspicuuiri

est, id facile obtineri, si fiat, ut Ea sic ad ratricis

AF ad semidiani et rum AD, ita eadem semidiameter D ad quartain rei tam lineam X. Quippe cum sit etiam ut AE ad m, ita AG ad BD, erit effati ne X aequalis longitudini circunfferentne Quadran-,

diuiniis A B D; vi , ut recta linea Z sit naediata' propcistisfixus -- - imi lineam X dii iiiiiivim se edivinetri A D. Etenim, curii recta lineae A ita

recta sistea nodia suoportionalis inter circumseren- tu ita di antis , B D, dimisum eiussieni semidiametri AE proindeque erit piadratrum ipsius Z ae rate areae aio statio torius Quadrantis ABD. - . Velum 6 an 'im punctum Quadi atricis Unoi,

aliae rinitate 3κγtςst deterii inari, nisi per approxim-tionem; cum in ea nulla fiat linearunt intersectio eo quod eodem tempore, quo semidameter a pervenit ad positionem MD, latus quadrati BC ad ea nodem positionem pertingit; nec iacircti se se invicem a 'intersecaui sed, tantum una uinea: duper altera ia- at i