Nouae quadraturae arithmeticae, seu De additione fractionum : Petri Mengoli

11쪽

maiores triplis medijs. Ergo fractiones prv sta dipstionis asiumpta rotidem semper se

cundum numeros proportionis continue subtriapis .a7, SI, singulas unitates excedunt Possunt autem lumi, pro quouis assignato numero, totidem in continua proportionesub tripla numeri a ternario, iuxta quorum et

gregatum sumpta fractiones dispositionis pro posita ipsium assignatam numerum superabui: Ergo proposita fractiones in infinitum dispo sita , oe aggregata infinitam extensionem Uaa

tent implere. i

cti exempli gratia numerus assignatus :σ sumantur a ternario quatuor contιnue proportionales in subtripla ρ, AZ, SI, quo rum summa r a oe igitur sumpta stactiones in multituatne numera Ilao luperant assigna- . tum numerum/nam tres primasuperant tria plum et, videlicet unitatem: nouem deinceps

supreant triplum aggregati ξ, 4,' , vιdelicet regregatum H , --; sed iusmodi aggregatum superat Umtatem, ut ostendia ergo nouem deinceps superant unitatem: π propter eamdem

12쪽

tes singulas unitates excetant.

Hinc duo C o rollaria processere. Primum ἰquod eadem dispositio a quocunque ordinetur principio in in itum extenditur ; utpote sid postiarum fractionum prima sit: , ω alia deinceps adhuc ipsam dispositionem propositum

quemvis numerum siverare posie e finitu, enim en aggregatum ex js, qua junt Omissa

- , H, , π finiti ab infinito substractiUnitum

relinquere non potest.

Alterum , quod infinitarum fractionum dispositio, in qua singula unitates a singulis

numeris Arithmetice proportιonalibus den minantur , pariter in tonitum extenditur.

Fiat huiusmodi dispotio A, cuius primam fractionem denominet numerus E, ω excessus Arithmetice proportionalium sit C, oe sub singulis fractionibus dispositionis A, ab eodem principiosat dispositio D, si actionum, in quibus unitates denominantur Ommbus numeris

13쪽

a B. Quia primi deno natores in dispositi

nibus A, D, fiunt aquales, alter minor est quam ut ad alterum eamdem habeat propor-tιonem , quam C, ad unitatem; oe colligendo

secundus indisipositione A, minor est quam ut ad secundum in dispositione D, eamdem habeat proportionem: sunt autem mones eum, dem habentes numeratorem in reciproca proin portione denominatorum; ergo prιma, secu

da, singula deinceps fractiones disipositionis

, sunt minores quam ut adprimem, secundam ,'singulas deinceps digpositionis A, eamdem habeant proportionem, quam C, ad Unitatem; colligendo, tota dispositio D, minor en quam ut ad totam dispositionem A, eamdem habeat proportionem, quam C, ad

Unιtatem. Igitur si extensionis A, quantitas aselloatur 3 etιam eiusdem extensionis multi-piam secundum numerum C,quantitatem n

cisi ς ς' assignari, qua infinita extensione O, sit

maior ι

14쪽

maior; quod est absiurdum , Ergo extensio in-flnitarus actionu dispositionis A, est infinita. Dimissis igitur hisce dispositionibus quan

titatis iurisdictaenem superantibus, eamdem contemplationem in tituere capi de stactionibus, in quibus unitates a numeris triangulis denominantur; an videlicet ipsa etiam quadraturam excluderent, an potius paterentur :Factis ergo de more calculis, ου innructa δε-

monstratione , inueni dispostrionis huiusemodi quadraturam e se unitatem:

quod aggregata quot urit a prima sunt aqua.

Ira numero multitudinis ipsarum denominato per numerum binario maiorem propterea semper unitate punt minores eo des tu, qui iuxta multitudinis additarum fractionum incrementum infra qualibet assignatam magnitudine diminuiturm in infinitu evanescit.

15쪽

midia: ergo diuidendo, omnes pon unitatem. vitati sunt aquales.

Tandem siti dem dispositionis fractiones

tolidem sumantur deinceps secundum num ros proportionis continue pubdupla a binario, videlicet a, , Τ, e . aggregata punt in continue dupla proportione; atqui magnitudines dupla proportionis aggregata in inita sunt aquales duplo prima, cum in nostro casu prima sit dimidium unitatis, ergo proposita stractiones aggregata infinita sunt aquales unitati. Huiusemodi sunt, qua in primo praseeutis opusculi libro demon nraui de fractionibus, in

quibus unitates denominantur planis omniunumerorum ab unitate e quia enim singuli

trianguli numeri singulorum huiusmodi planorum sunt dimidij, propter reciprocam pro-

16쪽

portionem singuia fractiones, in quilus uniatates denominantur triangulis dupla sunt sim-gularum, in quibus rinominantur planis ; σideo utrique dispostioni earim conueniunt δε- monstrationes .

Ab huius fractionsem diὴpositionis contem- . templatione uelicii r expeditus, ad aliam pro grediebar dispositionem , in qua singula unita

tes numeris quadratis denominantur . Hac

speculatio fructus quidem laboris rependi' nondum tamen effecta est soluendo, seu ingeni, ditioris postulat adminiculum , ut pracisam dispositionis, quam bimetipsi proposui um

mam valeat reportare.

Pro fructibus habetur huius opustuli Thec tremata, ea pracipue, qua in primo libro δε- monstrantur , re praterea sequentes propo-ptiones videlicet. I. Unitates denominata compositis ex qua.dratis

17쪽

dratis ab Unitate, ου lateribus eorumdem, dia

Constat enim, quod se olafractiones huiuste dispositionis congruuI singulis, in quibus

Φmtates denominantur planis omnium numerorum ab unitate. 2 a. Unitates denominata compositis, ex quadratis ab unitate, ει' lateribus eorumdem

duplis , divom in infinitum , ου aggregata

sunt aquales

Quia sit uti, qua sumuntur alterna a prima, congruunι singulis, qu/ ucηρ ηβη ur plaηi

18쪽

ιUnium imparium ab mnitate, irio sunt

aequales 5 Alterna ete=o a secu8da cc x un singulis, qua Gnc minantin plasus cranium parium a binario , re propterea sunt aquales - . Ergo colligendo , cmnes sunt aequales se. s. Unitates rinc minata ccmpsiti ex quadratis ab *nitate , re lateritus eortimdem

triplis disposita in m itum , s aggregata sunt aquales l.

si uiasumpta a prima binis relictis congruunt

unitasibus qua denominantur planis numer

rum Arithmetice dispositorum ab unitate caexcessu I, propterea aggregata infinitasant aquales-: Sumpta autem a secunda binis reliciis c onruunt et nitatibus, qua denominantur planis Arithmitice di positorum a a, cum eode

excessu 3, re sunt aquales ἰ; Residua tandem

congrusent initatibus , qua denominantur planis

19쪽

planis i Arithmetice disposit Orum a cum eodem excessis 3, s ideo siunt aqualest Ergo Omnes equales sunt aggregati ; 4 ς , --idelicet D i

alia butu modi Theoremata,eadem pa riter methodo demonstrauι. et M . Ad propositam ergo sius bone redeo, cuius: plura capιta contrarias, ut ostendi, merentur sententias. Inorum autem duo solumodo in hoc opusculo mihi videor absoluisse, alterum defractionibus, in quibus Unitates denominantur productis numerorum Arithmetice disposti rum , alterum de js, in quibus diserentia dispositorum quomodolibet numeroru eorumdem productis denominantur : praterea eadem in Geometricis quantitatibus demonstrari posse indicaui , prauia solumodo nominum ιnterpretatione , qua babetur in ultimis definitionibus libri tertij. A .

In agumptis autem capitibus quid questis- ni respondendum sit, ex sequentibus unusquisque poterit iudicare.

NOVAE

20쪽

N O V IE

QUADRATURAE

ARITHMETICae

De Additione Fractionum.

LIBER PRIMUS.

In quo tractatur de Fractionibus, quarum sunt denominatores numeri plani. Principales Additiones habentur in Propositionibus huius libri T. 8. I 3. 23. T. Quadraturae vero in Proposi

tionibus IT. 26. 4z.

DEFINITIONES

T 'rentiam duarum maenitudinum, quando prima excedit secundam,voco, excessum prima π secunda.

Quando vero prima deficit a secunda, voco, desectum prima, e secunda.