장음표시 사용
21쪽
III. Similes disserentias, voco, tum excessus, tum risecius inter se. IV. sesimiles vero meessus dest Mus.
Magnitudines Arithmetice dispositas, voco, quarum sumptis continue binis quibusliab tὰ diserιntia similes antecedentium, σ
cο6squentium sunt aquales. VI. Magnitudines Harmonice dispositas, voco, quarum Gumptis continue ternis quibus-bbιυ prima se habιt ad tertiam, ut de rentia prima, oe secunda ad similem disserentiam secunda, oe tertia.
Praeterea suppono Lectorem informatum esse de ijs,quae in Quinto, Septimo, octavo, & Nono libris Elementorum Euc idis traduntur, quoad capescendas demonstrationes. Nam, quoad ipsas propositiones, &praxim numerosiam, sufficit memoriar mandasse prat. cepta logisticae Fractionum, quae passim penes Ar,thmeticos leguntur Theoin
22쪽
Trium Arithmetice dipstreum planum sub
extremis medium est Harmonice inur plana sub singulis extremis, oe medio .
N. 6. I. Iq. E. II. G. a I. F.
Ny ' ithmqtice dispositi tres A, B,C, quo
rum disserentia D, & planum extremorum i A C, sit G, plana vero sub singulis extremis , & medio A B, C B, sint E, F. Dico quod G, medium est Harmonice inter E, F. Ex multiplicationibus D A, D C, pro ducantur H, I ; ergo ut A, ad C, ita est H, ad I: & quia E, F, sunt plana B A, B C i ergo E, ad F, est ut A, ad C, vel vi H, ad I: quoniam A, multiplicando B, C, produi cit E, G i ergo A, multiplicando differentiam B, C, producit similem differentiam E, G ; & multiplicando D, producit H; est autem D, differentia B, C: ergo H, est differentia E, G, similis differentiar B, C, vel differentiqA, B: Similiter demonstrabimus quod I, est differentia G, F, similis differentiae A, B, vel E, G: ergo E, ad F,est ut differentia E, G, ad similem disserentiam G, F. Ergo Des LG, medium est Harmonice inter E, F . Quod erat de-
23쪽
Trium Harmonice dispositorum planum sustextremis messium est Arithmetice interpla. na sub singulis extremis, oe medio.
SInt Harmonice dispositi tres A, B, C, & planum extremorum A C, sit G, plana vero sui, singulis extremisin medio AB, C B, sint E, F. Dico quod G, medium est Arithmetice inter E, F. Sint H, & I, disterentiae linii, Def. s. leS A, B,& B, C , ergo ut A, ad C, ita est H, ad I, & productum AI, est aequale producto C H . Sit huiusmodi productum D; quoniam A, multiplicando B, C, prinducit E, G; tergo A, multiplicando differentiam, B, C producit similem differentiam E, C; & multiplicando I, producit D; est autem I, differentia B, C i ergo D, cst dis. ferentia E, G, similis differentiar B, C, vel A, B: Similiter demonstrabimus quod D est differentia G, F, similis Def. n differentiae A, B, vel E, G : ergo differentiae E, G, & G, F, sunt aequales, & similes. Ergo G, medium est Ari. thmetice inter E, F . Quod,&c.
Unam magnitudinem altera denominatam, voco, quamlibet fractionem, ira qua una
24쪽
magnitudo Irat loco numeratoris, altera
Eadem magnitudive tribus Harmonice dispo- . sitis denominata suntfractiones Arathm tice disposta.
DEn obtinetur A, magnitudo tribus Harmonice dispositis B, C, D, ut fiant fractiones E, F, G. Dico, quod E, F, G, sunt Arithmetice ldispositae. Ex multiplicationibus C B, C D, B D, producantur H , , Κ; ergo, quia B, C Tλ, sunt Harmonice dispositi, Κ, medius est Arithmetice inter H, I: & quia I, Κ, sunt producti D C, D B; ergo I, ad K, est ut C, ad Bl; & ex denominatione A, per C, & B, fiunt stactiones F, & E; ergo ut C, ad B, vel vi I, ad Κ, ita est E, ad F: Similiter demonstrabimus,quod ut Κ, ad H, ita est F,ad G; ergo per conuersionem rationis,& ex aequo vi I, Κ, Η, sunt Arithmetice dispositi, sic fractiones E, F, G, sunt Arithmetice dispinsitae . Quod, &ι I
Defrentias, oe plana in aliqua dupositione ,
25쪽
voco absolute, disserentias, ου plana macgnitudinum, qua sunt continue consequen tes in ista dispositione, prima videlicet , γ'
secunda; pecunda, sic deinceps que ad ultimam ,si disposita sunt in alia qua multitudine, vel in infinitum, si vise
Factis duabus distositionibus, prima quidem
omnium numerorum ab unitate, secunda vero omnium numerorum, quos acumptus
ab quis numerus metitur ab asiumpto; Uni rates denominata planis in prima, ad unitates denominatas planis in secunda, singula adsingulas eiusdem ordinis ita se habent, ut astumpti numeri quadratus au unita-
26쪽
Arithmeticae. 7SIt omnlum numerorum ab unitate disposito A, & an
sumptus numerus E, cuius quadratus F; & sit omnium numerorum, quos E, metitur ab E, dispositio C; Sint etiam B, unitates denominatae planis in A; & D, unitates denominatae planis in C. Dico, quod singulae Β, ad singulas D, eiusdem ordinis, ita se habent, ut F , ad unitat cm. Quia numerus E, & unitas aeque metiuntur numeros in C, & A, eiusdem ordinis, ut singuli in C, ad E, ita singuli eiusdem ordinis in A, ad unitatem, &sunt E, & unitas homologae ordinis eiusdem numeris in A, &C; conuertendoque, & ex aequo binae C, inter se sunt ut binae A, inter se,si sumantur homologae ordinis eiusdem: ergo plani denominatores in singulis D, ad planos denominatores in singulis eiu sed in ordinis B, sunt similes,& duplicatam habent proportionem homologorum laterum videlicet numeri E, ad unitatem, vel eamdem qua numerus F, ad unitatem ; sed ut denominatores D, ad B, inter se, ita reciproce sunt unitates denominatae B, ad D, inter se: Ergo singulae B, ad singulas eiusdem ordinis D, sunt ut F, ad unitatem. Quod, &c.
Vnitates denominata planis omnium numerorum ab unitate bina a secunda sunt dimidia singularum a prima.
SIt A, series omnium numerorum ab unitate, & B,sint unitates denominatae planis in A . Dico,quod binar B, a secunda sunt dimidiar singularum a prima. Sit C, series omnium numerorum a binario, quos binarius me
27쪽
titur; & D, sint unitates denominatae planis in C; ergo singula B, a prima ad singulas D, a prima sunt ut 4. bunarij quadratus ad unitatem: & quoniam in A, sunt omnes numeri ab unitate, sunt inter numeros A, a binario, qui est secundo loco, omnes C, a primo, interpositis tamen singulis Arithmetice med ijs, quos binarius non me tituri; ergo singuli plani denominatores unitatum D, a prima med ij sunt Harmonice inter binos denominat res B, a secunda; ergo singulae D, a prima mediae sunt Arithmetice inter binas B, a secunda; & propterea singulae D, a prima ad binas B, a secunda sunt dimidiae, videlicet, ut unitas ad a: Ergo ex aequo singulae B, a prima ad binas B, a secunda sunt vi q. ad et I & conuertendo binae a secunda sunt dimidiae singularu a prima. Quod,&c.
Disterentia laterum plano denominata est diselmulis disterentia unitatum stingulis lateri
bus denomInatarum. νSini latera A, B, quorum differentia C, denominetur plano D, ut stat fractio E;& denominata unitate per B, & A, fiant fractioncs F,&G;& sit C, cxcessus A, B. Dico quod E, est defectus F, G. Quia F, est unitas de-
28쪽
D. Iy. 'F.τ f. G. nominata per A, ex multiplicatione F A, producitur unitas; & ex multiplicatione unitatis,&B, ploducitur B; ergo ex mutua multiplicatione F A B , producitui B; est autem D, planum A B ; ergo ex multiplicatione F D, producitur B. Similiter demonstrabimus,quod ex inlutiplicatione G D, producitur A. Cum igitur ex multiplicationibus G, & F, in D, producantur A, & B ; ergo ex multiplicatione excessus G, F, in D, producitur excessus A, B, videlicet C i Sed quia E, fractio est ex denomina, tione C, per D; ergo etiam ex multiplicatione Eo, in D, producitur C i ergo E, est aequalis excessui G,F: ergo E,
Coutinuam magnitudinum dispositionem vo
co, cum disserentia autecedentium, cou-
Difrentia denominata planis in continua. dispositione simul sumptaseuut aequales uni
29쪽
M. . Sint A, B, C, D, aliquot magnitudines continuar disia
positionis in qua differentiae planis denominatet sint fractiones E, F, G, Differentia vero denominata plano extremorum A. D, sit fractio H. Dico, quod E,F,G, simul sumptae sunt aequales H. Denominentur singulae unitates lateribus A, B, C, D, ut fiant fractiones I, K, L, M. Quoniam E, est differentia denominata plano A B, & I, Κ, sunt unitates denominatae lateribus A, B; aequa. lis est EAifferentiae. I, K, quae dissimilis est differentiae A, B. Similiter demonstrabimus F, G, H, aequales esse dinferent ijs Κ, L, L, M, I, M, qu sunt dissimiles disse rent ijs B, C, C, D, A, D , unde quia differentiae in dispositione A, B, C, D, sunt similes, etiam differemtir in dispositione I, Κ, L, M, sunt similes; & propterea simul sumptae sunt aequales differentiae I, M, vel fractioni hi: Atqui colligendo disserentiae in dispositione I, Κ, L, M, siunt squales fractionibus E, F, G, simul sumptis. Ergo fractiones Ε, F, G, simul sumpti suntl quales Η. Quod, &c.
Vnitatιs de minata planis in Aritbmetica dispositione sunt ad unitatem plano extra in
morum denominatam ut numerus multi
30쪽
Arithmeticae. IIA. a. E. I. πισ
N. 3. o. HVeM. ASInt A,B,C, D, in Arithmetica dispositione, cuius pIanis denominals singuis unitates sint fractiones E, F, G, & unitas denominata plano extremorum A D, sit H. Dico quod E, F, G, ad H, sunt ut numerus multitudinis E,F,G,ad unitatem. Sit N, differentia semper ea dein indispositione,qus planis denominetur,ut fiant fractiones I,Κ, L,& sit O, differentia extremorum A, D, qtis plano denominetur, ut fiat fractio M. Igitur facti sunt l, Κ,L, equales M. Et quia E, F, G,& I, Κ, L, eosdem habent Prop. denominatores, numerator vero communis ipsarum E, F, G, est unitas,& factorum I, Κ, L, est Ni ergo tum sin. gulae,tum collectae E,F,G, ad I, Κ, L, vel ad M, sunt ut unitas ad N. Pariter quia M, H, eundem habent den minatorem, nnmerator vero M, est O , & ipsius H, est unitas ; ergo M, ad ut O, ad unitatem ; & ex squo in perturbata collectae E, F, G, ad H, sunt, ut O, ad N r . et Cum autem A, B,C, D, sint Arithmetice dispositi, est in disterentia extremorum ad N, differentiam consequen. tium ita multiplex,ut numerus multitudinis E, F, G, ad unitatem. Ergo E, F, G, ad H, sunt, ut numerus multiatudinis F, F, G, ad unitatem. Quod, Sc.
Vnitates denominata planis omnium numis rum ab uvitate terna a tertia sunt pari