장음표시 사용
41쪽
Prop. s. Prop. I. Prop. s. Prop. I.
OVia bina .unitatum dispositarum in A, a secunda μ sunt dimidiae singularum a prima; colligendo, omisnes a secunda sunt dimidiae omnium a prima; & diuiden. do, omnes a secunda sunt aequales primae; est autem priama dimidium unitatis; Ergo omnes a prima sunt aequa, Ies unitati. Quod,&c.
Via dispositarum in A, ternar a tertia sunt pars terin tia singularum a prima; colligendo, omnes a tertia sunt pars tertia omnium a prima; & diuidendo, omnes a tertia sunt dimidiae duarum praecedentium; sunt autem duae praecedentes aequales a. denominato per 3: igitur omnes a tertia sunt aequales unitati denominatae per 3. Ergo colligendo, omnes dispostae in A, sunt aequales 3. denominato per 3. videlicet unitati. Quod, &α
Unitatum denominatarum planis omnia nu nerorum ab unitate, qualibet assumpta, summa Fuccedentium in infinitum, oesumma praecedentium, oe Uumpta sunt
continue proportionales, ut unitas ad numerum orianis assumpta . Vniis
42쪽
D. I. E. 6.C----- A... B --- Nitatum denominatarum planis omnium numerorum ab unitate sit A, quilibet assu tripta; cuius ordinis numerus D, SitqueB. sumina succedentium in infinitum, & C, summa praecedentium, &assu Wiptae A. Dico A, B, C, esse continue proportiona Ies, ut unitas ad D. Sit E, numerus unitate maior D: quia D, est numerus ordinis A, est etiam numerus multitudinis asgregatarum in C; igitur C, est aequalis D, dcinominato per Prop. raE; aggregatum vero ex C, B, est aequale unitati, ergo Pruse. λ7. C, ad aggregatum ex C, B, est ut D, denominatus per E, ad unitatem, vi licet ut D, ad F diuidendo, C, ad B, est ut D, ad unitatem; quapropter C, ad B, est. vi D, denominatus per E, ad unitatem pariter denominatam per E et ergo B, aequalis est unitati denominatae per E. Quia etiam D, est numerus ordinis Α; &E, inter omnes numeros ipsi D,proximus unitate maior;constat, quod A, est unitas denominata plano D E; sed unitas denominata per E, ad unitatem denominatam plano DE, est ut planum D E ad E; vel diuidendo per E, veD, ad unitatem ; ergo B, ad A, est ut D , ad unitatem a Sunt ergo continue proportionales C, B, A, ut D, ad unitatem I S conuertendo, A, B, C, sunt continue pro
prima ab unitate, altera ab assumpto n--
portionales ut unitas ad D. Quod, dic.
43쪽
mero, eorum videlicet numerorum,
a uetus metitur per singulos in prima dispositorii unitates denominata piams omnium numerorum prima, ad unitates δε- nominatas planis omnιum numerorum a
terius dispositionis ordinis eiusdem, ita si habent, ut assumpti numera quadratus ad
SIt dispositio Arithmetica numerorum A, ab unitate;
& B, numerus assumptus i a quo sit dispositio numerorum C, quos B, metitur per Dum cros A, eiusdem ordinis; unitates autem denominatae planis numero rum A,&C, sint D,& Ei & numeri B , quadratuS F. Dico D, ad Ε, ordinis eiusdem esse, ut F, ad unitatem . Quia B, metitur numelo C, per A, eiusdem ordinis, ut sunt numeri Α, ad unitatem, ita C, eiusdem ordinas ad B; & sunt numeri A ,-C, ordinis eiusdem homologi unitatis, & B ; & eadem fatione, ut v nisas ad numeros A, ita B, ad C, ordinis eiusdem; ergo ex aequo numeri Α, inter se sunt ut C, eorumdem ordinum inter se; de plani eorumdem ordinum numeris A, &C, contenti sunt similes; ergo denominatorcs D, ad eiusdem ordi
44쪽
nis denominatores Ε, sunt similes; & duplicatam proportionem habent homologorum laterum vnitaxis, ad 'B; videlicet eamdem, quam unitas ad F ι Ergo D, ad Ε, ordinis eiusdem sunt reciproce, ut F , ad unitatem. Quod, &c.
Factis duabus Arithmeticis dispositionibus
prima ab unitate, secunda vero ab Hympto in prima, eorum, quos assumptus metitur per segulos prima , Omnes numeris cunda sunt in prima, totidem semper intemiectis, quot unitatum es assumptus una dempta.
SIt dispositio Arithmetica numerorum A, ab unitate;& inter numeros A assumptus B; a quo fiat dispositio Arithmetica numerorum, quos idem B, metitur pcr fingulos A. Dico numeros D, esse inter numeros A, to iidem semper interposi is, quot sunt unitatcs in B, una minus. Sit C, excessus B , & unitatis, S disponantur numeri E, qui snt cxcessus binorum D, di A , ciuidem ordinis. Quoniam B, metitur numeros D, per A, eius-
45쪽
25 Noua AEuadraturedem ordinisi est unitas ad B, ut numeri Α, ad Dῶ & di. uidendo, est unitas ad C, vin uineri Α, ad E ; igitur E, sunt multiplices numeri C ι & quia C, excessus B, & v.
nitatis magnitudinum, quae sunt inter numeros A, vel aequalis est, vel multiplex excelsui consequentium eo. runde Atergo numeri Ε, sunt multiplices excessui consequentium A; & sint numeri E, excelliis numerorum D, Α; ergo numeri D, sunt inter numeros A. Praeterea, quia numeri Α, metiuntur numeros D, per B; igitur excessus consequentium A, metitur excessistin consequentium D, per B ; sed inter extremas mediae Arithmetice totidem interponuntur,quoties excessius consequentium excessum extremarum metitur una minus; Ergo numeri
Dissiunt inter numeros A, totidem semper linterpositis numeris A, quot sunt unitates in B, una minus. Quod, &c.
Vnitates denominataeptanisnumerem Arisb- metice dispositorum ab unitate , sumpta semper totidem ab assumpta, quotvnit tum en numerus inter Arithmetice dispositos eiusdem ordinis cum asumpta, sunt ad singulas a prima , ut unitas ad eumdem
numerum . Sint numeri A, Mithmeticε dispositi ab unitate, & B, unitates denominatae planis numerorum A, qua
46쪽
rum una C, assumpta, & inter numeros A, sit D, ord, nis eiusdem. Dico B, sumptas a C, secundum numerum D, ad singulas easdem B, a prima esse ut unitas adnumerum D. Disponantur Arithmetice numeri E,a D, quos D, metitur per numeros A, &sint F, unitates dein nominatae planis numerorum E: constat, quod omnes Prop ς' numeri Ε, sunt inter numeros A, a D, totidcm semper interpositis ex reliquis numeris A, quot sunt unitates in D,una dempta; ergo numerorum A, inter binos numeros consequentes Ε, singulae fiunt arithmetice disposi- . tiones numerorum, quorum planis denominatae unit tes B, sunt a C, totidem semper, quot sunt numeri in te medij uno amplius, videlicet, quot sunt unitates in D; di ad fingulas F, a prima denominatas plano eXtremm Prop. t. Ium,qui sunt E, se habent, ut numerus multitudinis earum, quae totidem semper sumuntur, videlicet numerus D, ad unitarem : sunt aulcm singulis F, a prima ad sin Prop. 19. Sulas B, a prima, ut unitas ad quadratum assumpti D, ergo ex aequo unitates B, totidem semper sumptaea C, secundum numerum D, ad singulas ea idem B, a prima sunt, ut numerus D, adsiti quadratum, vidclicet,l
47쪽
Unitates denominata planis Aritbmetice dispositorum ab unitate, sumpti a prima se
cundum numeros proportιonis continue
Jubmultiplicis ab unitate, ad numerum sibi proximum in Arithmetica dispositione, sunt in eadem contis e multiplici propor
SInt A, numeri Arithmetico dispositi ab unitate, qui
rum B,proximus unitati;& sint C,unitates denom, natae planis numerorum A; & segregentur C, ut primai sit Ia, & a secunda totidem, quot sunt unitates in B, sint E,& aliae toties totidem sint F; & quot sunt ri toties t iidem secundum numerum B, sint G, & sic deinceps: constat C, ita segregatas esse in D, E, F, G , ut sumptae sint secundum numeros proportionis continue submultiplicis ab unitate ad B. Dico D, E, F, G, esse in eadem continue multiplici proportionς numeri B,ad unitatem. Prop. xi. Quia B, est secundo loco Arithmetice dispositorum,singulae C, a prima ad totidem semper sumptas a secunda secundum numerum B, sint ut B, ad unitatem; ergo Prop- D, ad E. est ut B, ad unitatem. Item singulae in E , adi
48쪽
totidem secundum numerum B, impias in F, sunt ut B, ad unitatem;& quot sunt singulae in Ε, toties totidem secundum numerum B, sunt in F; ergo colligendo omnes E, ad omnes F, sunt ut B, ad unitatem. Similiter dein monstrabitur omnes F, ad omnes C, esse ut B,ad unita, tem, & sic deinceps. Ergo D, E, F,G, sunt in continue multiplici proportione numeri B,ad unitate. Quod,&c.
Unitates denominata planis Arithmetice dispositorum ab unitate, quotlibet aggregata a prima siunt aquales numero multitudinis earumdem denominato per productum
C eiusdem, γ' excessus dispositionis Arub-
SInt numeri A, dispositi Arithmetice ab unitate,quorum excessus B; Sint etiam C, unitates denominatqplanis numerorum A, assumptae a prima secundum numerum D; & inter numeros A, post unitatem numeri totidem sumantur, & sumptorum sit extremus E; &sit F, excessus E,& vnstatis et constat F, ad B, esse ut D, multitudo
49쪽
titudo numerorum A, post unitatem ad ipsam unitatemrigitur D, multiplicando B, facit F, qui auctus unitate sieE. Dico C, aequales esse D, denominato per E. Ex de. nominatione B, per plana numerorum A, usque ad E, fiant fractiones G, totidem, quot sunt C. Quia B, est excessus consequentium A,& F, extremorum,& E,planum extremorum, videlicet unitatis,& Ei sunt G,aequa. Ies F, denominato per E: Sunt autem G, ad C, ut B, ad unitatem ;& ut B , ad unitatem, ita est F, ad D, uel F, denominatus per E, videlicet G, ad D, pariter denominatum per E ; ergo G, ad C, sunt ut G, ad D, denomis natum per E ; ergo C, sunt aequales D, denominato per E. Quod, dcc.
Vnitates denominata planis numerorum Arithmetice dispositorum ab unitate quo libri attregata a prima sunt minores uniatate denominata excessu consequennum
B. a. D. q. E. 8. F. 9.SInt C, quotlibet unitates denominatae planis num rorum arithmetice cum excessu B, dispositorum ab unitate, sumptae in multitudine numeri D. Dico C, aggregatas minores esse vinitate denominata per B. Ex ductu B, in D, fiat El& F, unitate maior, quam Ε, igi-
50쪽
-ithmetica. 32tur D , ad F, minorem habet proportionem, quam D, ad E ; & quia E, productus est ex B, in D,ut D, ad E,ita
est unitas ad B; e go D, ad F, minorcm haber propor tionem. quam unitas ad B , & propterea D, denominatus per F, est minor unitate denominata per B et sunt au p- rem C, aequales D, denominato per F ; ergo C, sunt mi- 'nores unitate denominata per B. Quod,&ta
de constat primo loco unitates denominatas planis numerorum Arithmetice disto-
sitorum ab unitate in in nitum dispositas, ου- sse finita extensionis .
Patet etiam secundo loco, quodvnitates denominata planis numerorum Arithmetice vispositorum ab unitate punt tu aliqua Prop. multitudine a prima, qua 1Mplent quam libet propositam extensionem minorem existensone dispositarum earumdem in in C