장음표시 사용
31쪽
OR dinentur A, omnes numeri ab unitate, & B, uniatates dcnominatae planis A. Dico ternas B, a te tia, tertiam esse partem singularum a prima. Ordinentur omnes numeri C, a ternario, quos idem metitur, &D, unitates denominatae planis C : Et quoniam Α, sunt nancS numeri, etiam inter numeros A, a ternario,qui est tertio loco, sunt omnes C, a prmo , binis med ijs Arithmetice semper interpositis, quos ternarius non metitur. prop. s. Ergo rernae unitates B, a tertia denominatae planis quatuor dispositorum Arithmetice a numeris C, qui sunt inter numeros A, ad singulas unitates D, denominatas planis numerorum C, qui eorumdem quatuor sempersunt extrcmi) a prima sunt, ut idem ternarius, numerus videlicet magnitudinum, quae ternae sumuntur ad uni. Prop. . latcnu Singulae autem D, a prima ad singulas B, a prima sunt, ut unitas ad 9, quadratum ternarij: Ergo ex aequo ternar B, ait citia sunt ad singulas B, a prima , ut 3. ad 9.ncmpe pcis tertia. Quod,&c.
Vnitate, deno in ut a planis omnium numero rum ab unitate, quaterna a quarta sunt pari quarta silvularum a prima .
t in quia binae a secunda sunt dimidiae singularum I l api ima,binet a quarta sunt ad singulas a secuhda,
32쪽
ut unitas ad a. & colligendo quaternaea quarta sunt ad binas a secunda,ut unitas ad a.& binet a secunda sunt ad singulas a prima, ut unitas ad a. vel, ut a. ad 3. Ergo ex aequo quaternae a quarta ad singulas a prima siunt ut unitas ad φ videlicet pars quarta. Quod, &c. Eadem huius, & praecedentis demonstrationum meo thodo possunt singuli sequentis Theorematis casus do. monstrari,videlicet,Vnitates denominatas planis omnium numerorum ab unitate quinas a quinta partem esset quintam singularum a prima, senas a sexta partem sextam,septenas a septima partem septimam,& sic deinceps; ex quorum inductione postea patefiat ipsius veritas conelusionis: ne tamen scrupulosum Geometram dubiistare contingat, generali superinde factae propositionivnica satisfaciam demonstratione, ut infra.
mitates denominata planis omnium numerorum ab unitate sumpta toridem ab una ipsarum secundum numerum ordinis eiusdem, sunt pars ab eodem numero denom
ORdinentur A, omnes numeri ab unitate, & B, unitates denominatae planis A,quarum P, assumpta, & inter numeros A, sit eiusdem F, numerus ordinis E, Dico B, sumptas ab F, semper totidem secundum num rum Ε, partem esse denominatam ab E, singularum B, a prima. Ordinentur ab Elomnes numeri C,quos E,met,
33쪽
A. I. 2. E. 3. K. q. L. I. H. 6. M. 7. N. 8. I.
tur, &D, unitates denominatae planis numerorum C. Quoniam Α, sunt numeri ab unitate, sunt etiam inter nu. meros A, ab E, qui est in eiusdem ordinis loco, omnes numeri C, a primo, qui sint E, H, I, interpositis totidem semper medijs Arithmetice, secundum numerum unitate minorem E. Sint numeros E,H, interpositi Κ,L, & numeros H, I, totidem interpositi M,N, secundum numetum unitate minorem E ; Coassumptis ergo hinclinde semper duobus eorum, quos E, metitur, fiunt singulae dispositiones Arithmeticae numerorum Ε, Κ, L, H,& H, M,N,I, totidem semper, secundum numerum unitate maiorem E, quaru planis denominatae unitates sunt ipsae Β, sumptae totidem ab F, secundu numeru E, quae ad sin- Eulas unitates D,a prima denominatas planis extremoruearudem dispositionum, qui sunt numeri C, ita se habes
ut E, numreus multitudinis totidem sumptarum ab F, ad unitatem; Singulae autem D, a prima, ad singulas B, a prima sunt, ut unitas ad quadratum E: ergo ex aequo sumptae B, ab F, semper totidem secundum numerum E,
ad singulas B, a prima sunt, ut E, ad suum quadratum sSed E, cum suum quadratum metiatur per se ipsum, tui quadrati pars est a se ipso denominata. Ergo sumptae B, ab F, semper totidem secundum numerum Ε, sunt pars ab eodem B, denominata, singularum B, apriina. Quod,&c.
34쪽
Vnitates denominata planis omnium nume- .rorum ab unitate, siumpta a prima totidem semper sicundum numeros proportionis e continue subdupla ab unitate sisnt in proportione continue dupla .
A.οῦ B. . C. VNitatum, quae denominantur planis omnium numerorum ab unitate prima sit A, duarum .sequentium aggregatum B, quatuor sequentium aggregatum C, & deinceps totidem huiusimodi unitatum secundum numeros proportionis continue subduplae sumantur aggregata. Dico A, B, C esse in proportione continue Prop. s. dupla. Quia binae a secunda sunt dimidiae singularum a prima, B, subduplum est ipsius A, & eadem ratione, quia quaternae a quarta sunt dimidiae binarum a secunda, C, subduplum est ipsus B, & eadem l semper demonstratione , quodlibet aggregatum subduplum est praece- dentis. Ergo conuertendo A, i Ilia L. B, C, sunt in proportio. iiii nne continue dupla. Quod, &c. Vt
35쪽
Mutatum, qua denominantur planis omnia numerorum ab unitate, quotlibet assum v na a prima siuut aquales numero ipsarum
- multitudinis aenominato per numerum
A. I. a. 3. q. F. 6. 7. D. 8. E. 9.
SInt A, numeri ab unitate, &B, quotlibet unitates
a prima earum, quae denominantur planis numerorum A. Dico B, aggregatas aequales esse numero multitudinis ipsarum B, denominato per inumerum unitate maiorem. Sint D, E, numeri quorum plano denominatur vltima ipsarum B. Et quoniam sunt dispositi ab uni late omneS numeri A, quorum consequentium desectus sunt singulae unitates, quae planis eorumdem denominatae sunt B; Igitur B, aggregatae sunt aequales defectui ex tremorum unitatis,& E, per eorumdem planum denom nato . Est autem D, defectus unitatis, & E,& eorumdem planus idem E: Elgo B, sunt squales D, denominato per E. Sed cum numeri A, sint omnes ab unitate, numerus E, cst multitudinis numerorum A, usque ad E,&D, unitate minor, quam Ε, numerus multitudinis ipsarum B. Ergo unitates B,aggregatae sunt quales nume mero ipsarum multitudinis denominato per numerum unitate maiorem. Quod,&c.'
36쪽
Unde constat, quod unitatum , qua denomi
nantur planis ommum numerorum. qu9t
hrit assumpta a prima sunt minores uni
raita proportione minoris inaqualitatis, alte
ram inuenιre maiorem data, Ait numeri ad numerum unitate maiorem.
SIt proportio data minoris ins qualitatis A, ad B. Opis
portet alteram inuenire maiolem proportione A,ad B, quae sit numeri ad numerum unitate maiorem. Sit C, excessus B, A, & D, maxima magnitudo, quam C, metitur in B: constat D, non esse aequalem A; alias C, metiretur etiam A ,& metitur se ipsum , ergo metiretur compositum ex C, A, videlicet B,& non esset D, maxuma magnitudo,quam C, metitur in B: constat etiam D, non esse minorem A; quia sequeretur idem, vel maius
absurdum; ergo D, maior est A; & D, ad C, maiorem habet proportionem Α, ad C. Sit E, numerus, per quem C, mctitur Di& E, auctus unitate fiat F; ergo D,
37쪽
ad C, est,ut E, ad unitatem ι ergo E, ad unitatem maiorem habet proportionem Α, ad Ca& componendo E, ad F, maiorem habet proportionem Α, ad Bi& est numerus F, unitate maior, quam E. Quod facere opporebat.
Quando infinita magnitudines infinita sisnt
extensiicnis, possunt in aliqua multitudine sumi, ut superent quamlibet propositam
suando in ordine magnitudinum in infinitum dist rarum, quotlibet assumpta a
prima sunt minores una eadem proposita magnitudine generis eiusdem, omnes apri
SInt in extensione A, dispositae in infinitum,& aggregarae magnitudines, quarum quotlibet assum prae a
38쪽
prima sint minores D. generis eiusdem. Dico extensio. nem esse finitam: alias erit infinita, & sumptae in aliqua multitudine magnitudines dispositae in A, a prima superabunt quamlibet propositam extensionem D,conistra hipothesim : non est igitur A, extensionis infinitae. Ied finitae. Quod,&c.
GLigitur ex bis quod unitates denominatae Coro pianis omnιum numerorum ab unitate in '' infinitum di posita aggregata I t ex . tmsonismira .
DEFINITIO X. Magnitudines dicuntur implere propositam
extensionem , quando existentes infinita sunt extensionis minoris proposita; vel quando existentes fluita, ria sunt minores proposita, ut una alia magnitudine adic-dia sn earumdem ordine continuato proxima iant extensionis maιoria proposita.
suando infinita magnitudines sinitasunt extensionis, c singula magnitudinia eadem
39쪽
ao Noua stra tura , in infinitum concipiuntur in una, oe ali ra extensione disponi, oe aggregara, congruit Una extensio alteri.
cuando magnitudines a prima disposita in
insivitum, aggregata sunt extensionis finita ,sunt in aliqua multitudine a prima, implent propositam extensionem ma
iorem quidem prima, mnorem tamen ex tensione omnium.
A -- B -- C -- C la A, extensio finita magnitudinum, quς a prima O disipositae in infinitum,& in ea sunt aggregatae,& sit proposita extensio B,maior quidem prima Aspositarum in A,minor tamen ipsa extensione A,& ex magnitudinibus in A, dispositis assumprae a prima, & eodem ordine dispositae in C, impleant B. Dico, quod assumptae in in C, sunt in aliqua multitudine: alias assumptae in C, quae implent B, sunt infinitae; igitur in extensione B, sunt dispositae eodem ordine in infinitum, & aggregatae Ax. a. magnitudineS, quae pariter in extensione A s & sunt ambo A, B, extensiones finitae r congruit ergo B, extensio. ni A, minor maiori; quod est absurdum. Ergo assii minptae in C, quae implent B,non sunt infinitae, sed in aliqua multitudine. Quod, &c. Theor.
40쪽
Unitates denominata planis omnium num ' rorum ab unitate in infinitum disposita, π aggregata sunt aquales unitati.
tes denominatae planis omnium numerorum ab v- , .
nitate. Dico A, aequalem esse unitati: alias erit A, maior,vel minor unitate. Sit maior, igitur in aliqua multi' Prop. 16.tudine sumptara prima unitates in A, dispositae impiqnt unitatem. Sit huiusmodi multitudininis numerus B, qui adiecta unitate fiat C: ergo aliquot unitates in A, Des Io. dispositae sumptet in multitudine numeri C,sunt maiores unitate,quod est absurdum. Non est igitur A, maior co)btunitate. Sit minor, di data proportione minoris inae- Prop. 13. qualitatis A, ad unitatem, inueniatur. altera maior,quae PyQP sit numeri D, ad Ε, unitate maiorem ; & aliquot unitates in A, dispositae sumantur a prima in multitudine numeri D; quae cum sint aequales numero D, denominato pta, i, per E, habebunt ad unitatem eamdem proportionem,
quam D, ad Ε, maiorem videlicet, quam Α, ad unit tem : Ergo aliquot unitates in A, dispositae sunt maiores omnibus in infinitum dispositis, pars toto ; quod est absurdum. Non igitur A, minor est unitate; sed neque maior. Ergo A, aequalis est unitati. - . Quod, dic.