Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

24쪽

ENUMERATIO LINEARUM

TERTII ORDINIS

Linearum ordines.

L1NEAE Geometricae secundum dimensionum aequationis, qua relatio inter ordinatas et abfeissas definitur, vel quod perinde est secundum numerum punctorum , in quibus h linea recta secari possunt, Optime distinguuntur in ordines. Qua ratione Linea primi ordinis erit Recta sola ; eae secundi sive quadratici ordinis erunt Sectiones conicae et Circulus; et eae tertii sive cubici ordinis Parabola cubica, Parabola Nelliana, Cissois veterum, ct reliquae, quas hic enumerare susce- Pimus. Curva autem primi generis, si quidem Tecta inter Curvas non est numeranda eadem est cum Linea secundi ordinis; et curva Secundi generis eadem cum Linea ordinis tertii. Et Linea ordinis infinitesimi ea est, quam recta in punctis infinitis secare potest, qualIS est Spiralis , Cyclois , Quadratrix, et Linea omni S, quae per radii vel rotae revolutiones infinitas

generatur, Α

25쪽

Σ . i Enumeratio linearum. II.

Proprietates Sectionum conicarum competunt Curvis ruperiorum gene um.

Sectionum conicarum proprietates praecipua: a Geometris passim traduntur. Et consimiles sunt proprietates Curvarum secundi generis, et reliquarum, ut ex Sequenti proprietatum praecipuarum enumeratione constabit.

I. De Curvarum secundi generis Ordinauis, Diametris, Verticibus , Centris, Axibus. Si rcctae plures parallelae, et ad conicam

sectionem utrinque terminatae ducantur, recta duas carum bisecans bisecabit alias Omnes, ideoque dicitur Diameter figurae ; et rectae bisectae dicuntur ordinatim applicata ad Diametrum , et concursus omnium Diametrorum est Centru/n figurae ; et intersectio Curvae et Diametri nex nominatur; et Diameter illa Axis est, cui Ordinatim applicatae insistunt ad angulos rectos. Et ad eundem modum in Curvis secundi generis, si rectae duae quaevis parallelae ducantur occurrentes Curvae in tribus punctis: Recta, quae ita secat haS parallelas, ut summa duarum partium ex uno secantis latere ad Curvam terminatarum aequetur parti tertiae ex

26쪽

tertii ordinis. 3altero latere ad curvam terminatae, eodem modo secabit omnes alias his parallelas, curvaeque in tribus punctis occurrentes rectas, hoc est, ita ut summa partium duarum ex uno ipsius latere semper aequetur parti tertiae ex altero latere. Has itaque tres parteS, quae hinc inde aequantur, ordinatim applicatas ; et re tam secantem , cui ordinatim applicantur, Diametrum; et intersectionem Diametri et curVae, mrticem ; et concursum duarum Diametrorum Centrum nominare licet. Diameter autem ad ordinatas rectangula, Si modo

aliqua sit, etiam Axis dici potest ; et ubi

omnes Diametri in eodem puncto concurrunt istud erit Centrum generale. 2. De Asymptotis , et earum proprietatibus.

Hyperbola primi generis duas AINIOms,

ea secundi tres, ea tertii quatuor, et non plures habere potest, et sic in reliquis. Et quemadmodum partes Lineae cujusvis rectae inter Hyperbolam conicam et duas eius Asymptotos sunt hinc inde aequales: sic, in Hyperbolis secundi generis, si ducatur recta quaeVis secans tam Curvam, quam tres ejus Asymptotos in tribus punctis, summa duarum partium istius rectae , quae a duobus quibusvis Asymptotis in candem plagam ad duo puncta

27쪽

Enumeratio Linearum . curvae extenduntur, aequalis erit parti tertiae, quae a tertia Asymptoto in plagam contrariam ad tertium CurVae punctum exicnditur.3. De Lateribus reclis et transversis. Et, quemadmodum in conicis sectionibus non Parabolicis, Quadratum ordinatim applicatae, hoc est Rectangulum ordinatarum, quae ad contrarias partes diametri ducuntur, eStad Rectangulum partium Diametri, quae advertices Ellipseos, vel Hyperbolae terminantur, ut data quaedam Linea , quae dicitur Latus rectum , ad partem Diametri, quae inter vertices jacet et dicitur Latus transversum : Sic in curvis non Parabolicis secundi generis Parallelepipedum sub tribus ordinatim applicatis est ad Parallelepipedum sub partibus Diametri

ad ordinatas et tres vertices figurae abscissis, in ratione quadam data : in qua ratione si sumantur tres rectae ad tres partes Diametri inter vertices figurae sitas, singulae ad Singulas, tunc illae tres rectae dici possunt Latera recta figurae ; et illae partes Di ametri inter vertices Latera transversa. Et, sicut in Parabola conica, quae ad unam et candem Diametrum unicum tantum habet verticem, Rectangulum sub ordinatis aequatur Rectangulo sub parte Diametri, quae ad ordinataS, et verticem abscin

28쪽

tertii ordinis.

ditur et recta quadam data, quae Liatus rectum dicitur: sic in Curvis secundi generis, quae non , nisi duos habent vertices ad eandem Diametrum , Parallelepipedum sub ordinatis tribus aequatur Parallelepipedo sub duabus partibus Diametri ad ordinatas et vertices illos duos abscissis, et recta quadam data, quaei proinde Latias rectum dici potest. q. De Ratione contentorum sub Paralleiartim 'segmentis.

Denique, sicut in conicis sectionibus, ubi duae parallelae, ad curvam utrinque terminatae secantur 1 duabus parallelis ad Curvam utrinque terminatis, prima , tertia, et secunda aquarta, Rectangulum partium primae est ad Rectangulum partium tertiae, ut Rectangulum partium secundae ad Rectangulum partium quartae: sic, ubi quatuor taleS rectae occurrunt Curvae secundi generis, singulae in tribus punc tis , Parallelepipedum partium primae rectae erit ad Parallelepipedum partium tertiae, ut Parallelepipedum partium secundae ad Parallelepi, dum partium quartae.

29쪽

Enumeratio Linearum

s. De Cruribus 'perbolicis et Parabolicis ,

i s et eorum plagis. Curvarum sqcundi, et superiorum generum,

aeque atque primi, crura omnia in infinitum progredientia, yci 'perbolici sunt generis,uci Parabolici. Crus Hyperbolicum voco, quod ad Asymptoton aliquam in infinitum appropinquas; Parabolicum quod Asymptoto de

tituitur. Haec crRra ex Tangentibus optime dignoscuntur. Nam, Si Punctum contactus

ita: infinitum abeat, Tangens cruris Hype holici cum Asymptoto coincidet, et Tangens cruris Parabolici in infinitum recedet, evaneScet et nulli bi reperietur. Invenitur igitur Asymptotos cruris cujusvis quaerendo Tangentem cruris illius ad Punctum infinite distans. Plaga autem cruris infiniti invenitur quaerendo positionem Rectae cujusvis, quae tangenti paral-lcia est ubi punctum contactus in infinitum abit. Nam haec recta in eandem plagam cum crure infinito dirigitur.

30쪽

tertii ordinis.

Reductio Curvariam omnium generis secundi ad aequationum casus quaIuctri

. Lineae omnes ordinis primi, tertii, quinti, Septimi, et imparis cujusque, duo habent , ad minimum, crura in infinitum versus plagas oppositas progredientia. Et Lilleae omnes tertii ordinis duo habent ejusmodi crura in plagas oppositas progredientia, in quas nulla alia earum crura infinita praeterquam in Parabola Cartesiod tendunt. . .

Si crura illa sint Hyperbolici generis, sit M. I. GAS eorum Asympt6tos, et huic parallela agatur Recta quaevis C BC ad curvam utrinque, si fieri potest, terminata, cademque bisecetur in puncto X, ct locus puncti illius X erit Hypcrbola eonica , puta X φ, cujus una Asymetotos est A G. Sit ejus altera Asymptotos A B , et arquatio, qua relatio inter ordinatam BC, ct abscissam AB desinitur , si Λ B dicatur ae et B C F, semper induci hanc formam