장음표시 사용
31쪽
Εnumeratio Linearum ΤAB. I. ubi termini, e , a, b, c, d, designant quantitates datas signis suis in et - affectas, quarum quae libet deesse possunt, modo ex earum defectu figura in sectionem conicam non vertatur. Potest autem Hyperbola illa conica cum Asymptotis suis coincidere, id est punctum X in recta A B locari: et tunc terminus-ey de r.
At si fg. z. Recta illa C B c non potest
utrinque ad Curvam terminari, sed Curvae in unico tantum puncto occurrit: age quamViSpositione datam Rectam AB Asymptoto ASOccurrentem in A, ut et aliam quamvis B CAsymptoto illi parallelam, Curvaeque occumrentem in puncto C, et arquatio, qua relatio inter ordinatam B C et abscissam A B definiatur, semper induet hanc formam,
Quod si crura illa opposita Parabolici sint generis, Recta fg. 3. CBc ad Curvam utrinque, si fieri potest, terminata in plagam crurum ducatur, et bisecetur in B, et locus puncti B erit Linea recta. Sit ista AB, te minata ad datum quodvis punctum Λ, et aequatio, qua relatio later ordinatam B C et
32쪽
tertii ordinis. 'abscissam A B definitur, semper induet hanc TAB. I. formam s. γ' - α δ xy-c x L
At vero si fg. 4. recta illa C B c in unico
tantum puncto occurrat Curvae, ideoque ad Curvam utrinque terminari non possit ; sit Punctum illud C, et incidat recta illa ad pun tum B in rectam quamvis aliam , positione datam, et ad datum quodvis punctum A te minatam , A B : et aequatio , qua relatio inter ordinatam B C et abscissam A C definitin , semper induet hanc formam, i
Nomina formarum. Enumerando Curvas horum casuum, FIDperbolam vocabimus , Inscriptam , quae tota jacet in Asymptoton angulo ad instar Hype holae conicae; Circumscriptam, quae Asymptotos secat et partes abscissas in sinu Suo am- Plectit mr Ambigenam, quae uno crure infinito inscribitur et altero circumscribitur; Conve Centem , cujuS crura concaVitate sua se invicem respiciunt, et in plagam eandem diriguntur ἔDivergentem, cujus crura conVexitate Sua se .
invicem respiciunt et io plagas contrarias
33쪽
Enumeratio Linearum TAB. I. Crurihus contrariis praeditam, cutis crura in partes contrariaS convexa Sunt, et in plagas contrarias infinita; Conchoidalem, quae vertice concavo et cruribus divergentibus ad Asymptoton applicatur ; Anguineam, quae sexibus contrariis Asymptoton Secat, et utrinque in crura contraria producitur ; Cruciso mem , quae conjugatam decussat; Nodatam, quae seipsam decussat in orbem redeundo ; Nidatam, cujus partes duae in angulo Contactus concurrunt et ibi terminantur; Pun εatam , quae conjugatam habet ovalem infinite Parvam , id est, Punctum ; et Puriam , quae per impossibilitatem duarum radicuin, Ovali , Nodo, Cuspide et Puncto conjugato priVatur.
Eodcm sensu Parabolam quoqlle convergentem, dise*entem , crurihus contrariis praestam , Cruciformem, nodatam, cuspidatam, punctatam et puniam nominabimUS. In casu primo si terminus a amrmativus
est, figura erit M. F. Hyperbola triplex climsex cruribus Hyperbolicis, quae iuxta tres AsymptotOS, quarum nullae sunt parallelae, in infinitum progrediuntur, binae juxta unamquamque in plagas contrarias. Et hae Asymptoti , . M terminus h x' non deest, se mutuo Secabunt in tribus Punctis Triangulum D d inter se continentcs, sin terminu h X' deest, convex-
34쪽
junge D d, D et erunt A d, D d , tres Asymptoti. In posteriori fg. 6. duc ordinatam quamvis B C, ordinatae principali A GParallelam, et in ea utrinque producta cape hinc inde BF, et B s sibi mutuo aequaleS, et in ea ratione ad A B , quam habet ad 1,
jungeque A F , A f; et erunt A G, A F, A f
tres Asymptoti. Hanc Hyperbolam Vocamus Redundantem , quia numero crurum Hyper holicorum .ectiones conicaS Superat. In Hyperbola omni redundante , si neque terrisinus e F desit, neque sit bb-4 a C aequale e. a,Curva nullam habebit Diametrum; sin Corum alterutrum accidit, Curva habebit unicam Diametrum, et tres si utrumque. Diameter autem semper transit per intersectionem duarum Asymptoton, et bisecat rectaS omnes, quae ad Asymptotos illas utrinque terminantur et Parallelae sunt Asymptoto tertiar. Estque abScisnAB Diameter figurae quotlcs terminus ey dceSt. Diametrum vero absolute dictam hic et insequentibus in vulgari significatu usurpo, nem-Pe pro abscissa, quae passim habet ordinatas binas aequales ad idem punctum hinc inde insistentes.
35쪽
I. De 'per olis novem redundantibus , quae Diametro destituuntur et tres halent Asymptotos Triangulum capientra. Si Hyperbola redundans nullam habet Di metrum , quaerantur aequationis hujus
radices quatuor seu valores ipsius x. Eae sunt O . F. &c. AP, Λ ,Απ, A P. Erigantur ordinatae pi, et hae tangent Curvam in punctis totidem T,' ,', et tam gendo dabunt limites Curvae, per quos species ejus innoteScet. Nam, si radices omnes ΑΡ, Α ,Απ, AP, M. F. 7. sunt reales, ejusdem signi et inaequales, Curva constat cx tribus Hyperbolis. inscripta, circumscripta et ambigena cum Ovali. Hyperbolarum una iacet versus D saltera versus d , tertia vers is et Ovalis semper jacet intra Triangulum Dd atque etiam inter medios limites ' et π , in quibus utique tangitur ab ordinatis etret et . Q. Et haec est species prima.
Si e radicibus duae maximae A A p, fg. 8. vel duae minimae A P, A , A. 9. aequantur
36쪽
renii ordinis. Is inter se, et ejusdem Sunt Signi cum alteris TAB. I. duobus, Ovalis et Hyperbola Circumscripta sibi invicem junguntur, coeuntibus earum Punctis contactus et, et i, vel T, et π, et crura Hyperbolae sese decussando in Ovalem continuantur, figuram Nodata essicientia. Quae vectes est secunda.
Si e radicibus tres maxima: A p , Α , A W, ' P. Io. vel tres minimae Aor, A , A P. U. II. aequentur inter se, Nodus in Cuspidem acutissimum convertetur. Nam, crura duo Hyperbolae circumscriptae ibi in Angulo Contactus concurrent, et non ultra producentur. Et haec est species tertia. Si ε radicibus duae mediae A ct Απ ig. I 2. aequentur inter se , Puncta contactuS et , et et coincidunt , et propterea Ovalis interjecta in Punctum evanuit, et constat figura ex tribus Hyperbolis, inscripta, circumScripta et ambigena cum Puncto conjugato. Quae est V cies quarta. Si duae ex racidibus sunt impossibiles et re-
liquae duae inaequales , et ejusdem signi nam Signa contraria habere nequeunt, Furiae habebuntur Hyperbolae tres sine ovali, Vel nodo Vel cuspide, vel puncto conjugato, et hae Hyperbolae, vel ad latera trianguli ab Asymptotis comprehensi , Vci ad angulos ejus
37쪽
tituent.1AB. II. Si e radicibus duae sunt aequales, et alterae duae, vel in possibiles sunt I 6. I 8. , Vel reales M. II. I9. cum Signis, quae . signis aequalium radicum diversa sunt, Figura Cruciformis habebitur, nempe duae ex Hyperbolisse invicem decussabunt, idque , Vel ad verticem Trianguli ab Asymptotis comprehensi M. I 8. I9. , Vel ad ejus basem M. I 6. r .
Quae duae species Sunt Septima et OctaVa. Si denique radices omnes sunt impossibiles M. 2o. , Vel si omnes sunt reales, et inaequales fg. 21. , et carum duae sunt amrmati Vae, et alterae duae negativae, tunc duae habebuntur Hyperbolae ad angulos oppositos/ duarum Asymptoton cum Hyperbola Angui, ned circa Asymptoton tertiam. Quae species
Et hi sunt omnes radicum casus possibiles. Nam, si duae radices Sunt aequales inter se, et aliae duae sunt etiam inter se aequales, figura evadet Sectio conica cum linea recta.
38쪽
tertii ordinis. a. De 'perbolis duodecim redundaratibus unicam tantum Diametriam hahentibus. Si Hyperbola redundans habet unicam tantum Diametrum , sit ejus Diameter Abscissa
quaere tres radices Seu Valor S X.
Si radices illae sunt omnes reales, ejusdem signi, figura constabit cx Ovali intra Triangulum Dd. U. 22. jacente et tribus Hyperbolis ad angulos ejus, nemph circumScripta ad angulum D , et inscriptis duabus ad angulos cl et Et haec est species decima. Si radices duae majores Sunt aequaleS, et tertia ejusdem signi, crura Hyperbolae jacentis versus D 23. se se decussabunt in forma Nodi propter contactum Ovalis. Quae sp
Si tres radices sunt aequales, Hyperbola ista fit Cuspidata sine ovali 2 . . Quae spe cies est duodecima. Si radices duae minores sunt aequales et tertia ejusdem signis Ovalis in Punctum evanuit. fg. 2y. Quae species est decima-tertia. In speciebus quatuor novissimis Hyperbola,quae jacet versus D, Asymptotos in sinu suo ample
titur , reliquae duae in sinu Asymptoton jacent.
39쪽
I6Enumeratio Linearum TAB. II. Si duae ex radicibus sunt impossibiles , habebuntur tres Hyperbolae Purae , sine ovali , Decussatione, vel Cuspide. Et hujus casus species sunt quatuor : nempe decima q&arta,
si Hyperbola circumscripta jacet Versus D, 2y. et decim quinta, si Hyperbola inscripta jacet versus D, fg. 26. et decima- sexta, si Hyperbola circumscripta jacet subbasi dy Trianguli Dd. , fg. 27. et decim
Septima, fg. 28 , si Hyperbola inscripta
jacet sub eadem basi. Si duae radices sunt aequales, et tertia signi diversi, figura erit Cruciformis. Nempe, duae ex tribus Hyperbolis se invicem decussabunt:
idque , vel ad verticem Trianguli ab Asy-Ptotis comprehensi , fg. 29. vel ad ejus hasem, big. 3o. Quae duae species sunt δε-
Si duae radices sunt inaequales, et ejusdem signi, et terria est signi diversi, duae habebuntur Hyperbolae in oppositis angulis duarum Asymptoton cum Conchoidali intermedia. Conchoidalis autem , vel jacebit ad easdem partes Asymptoti suae cum Triangulo ab Asym-Ptotis constituto, 3 I. vel ad partes contrarias fg. 32. . Et hi duo casus constituunt speciem vigesimam , et vigesimam primam.
40쪽
tertii ordinis. IT 3. De 'perbolis duabus redundantibus cum Irihus Diametris. Hyperbola redundans, quae habet tres Dia- . metros, Constat ex tribus Hyperbolis in sin
bus Asymptoton jacentibus; idque vel ad angulos Trianguli ab Asymptotis comprehensi 33. , ad ejus latera g. 34. . Casus
prior dat vectem vigesimam 'secundam, et posterior speciem vigesimam geratam. . De Hyperbolis novem redundantibus cum Asymptotis tribus ad commune punctum canue*entibus. Si tres Asymptati in puncto communi se mutuo decussant, Vertuntur species quinta et
sexta in vigesimam quartam; fg. 6. septima et octava in vigesimam quintam, fg. 3S- et nona in vigesimam sextam , lag. 36. ubi anguinea non transit per concursum Asymptoton ; et in vigesimam septimam, ubi transit per Concursum illum,. 37. , quo casu terminil ac d desunt, et concursus Asymptoton eSt Centrum figurae ab omnibus ejus partibus Oppositis aequaliter distans. Et hae quatuor Species Diametrum non habent. Vertuntur etiam species decima quarta, ac