Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

51쪽

18 Enumeratio Linearum Si tres radices sunt aequales, Parabola erit cuspidata in vertice sM. 8o. et haec est Par hola Nelliana, quae vulgo semicubica dicitur. Et est species septuagesima. Si radices duae sunt impos biles, habetur Parabola Pura campaniformis . 78. 79. speciem Septuagesimam primam constituens 14. De Parabola cubicia In quarto casu aequatio erat

et haec aequatio parabolam designat, quae Crura habet contraria, et cuhica dici solet in . 8 I. 3. Et sic species omnino sunt septuaginta duae

Genesis Cumarum per Umbras.

Si in Planum infinitum a puncto lucido illuminatum Umbrae figurarum projiciantur, Umbrae sectionum conicarum 'Semper erunt Sectiones conicae; ea: Curvarum secundi Gen ris semper erunt Curvae secundi Generis; eae Curvarum tertii Generis semper erunt Curvae tertii Generis, et sic deinceps in infinitum. Et, quemadmodum circulus, Umbram projiciendo, generat sectiones Omues conicaS',

sic Parabolae quinque divergentes Umbris suis

52쪽

ωrtii. ordinis. 2'generant et exhibent alias omnes secundi generis Curvas ; et sic Curvae quaedam simpliciores aliorum Generum inVeniri possunt, quae alias omncs eorumdcm Generum Curvas Umbris suis a Puncto lucido in Planum projectis

formabunt.

De Carmarum Punctis duplicibus. Diximus Curvas secundi Generis a Linea

recta in Punctis tribus secari posse. Horum duo nonnunquam coincidunt. Ut, cum recta per ovalem infinite parvam transit vel per concursum duarum partium CurVae se mutuo secantium, Vel in cuspidem coeuntium ductitur. Et, si quando rectae omnes in plagam cruris alicujus infiniti tendentes Curvam in unico tantum Puncto secant, ut fit in ordinatis Parabolae Caraesianae, et Parabolae cubicae nec non in rectis abscissae hyperbolismorum Hyperbolae, et Parabolae parallelis in concipiendum est, quod rectae illae per alia duo Curvae puncta ad infinitam distantiam sita ut ita dicamintranseunt. Hujusmodi intersectiones duas coincidentes, sive ad finitam sint distantiam sive ad infinitam, vocabimus Punctum Duplex. CurVae autem, quae habent Punctum Duplex describi possunt per sequentia Theoremata.

53쪽

3 Enumeratio Lanearum

De Cumarum Descriptione organica. THEOR. I.

Si fg. 82.) Anguli duo magnitudine dati P AD, PBD, circa polos positione datos

A , B , rotentur, et eorum crura A P, B Ρ , concursu suo P percurrant Lineam rectam; crura duo reliqua A D, B D concursu suo D describent sectionem conicam per polos Α , B, tranSeuntem : praeterquam ubi Linea illa Iecta transit per polorum alterutrum A vel B, vel Anguli B A D, A B D simul evanescunt, quibus in casibus punctum D describit Lineam

rectam.

percurrant sectionem conicam per polum alterum A transeuntem, crura duo reliqua A D, B D concursu suo describent Curvam secundi Generis per Polum alterum B transeuntem, et Punctum Duplex habentem in Polo primo Α, per quem sectio conica transit: praeterquam ubi Anguli B A D, A B D simul evanescunt, quo casa Punctum D describet aliam sectionem conicam per Polum A transeuntem

54쪽

tertii ordinis. 3I

At, si sectio Conica, quam punctum P percurrit transeat per neutrum Polorum A, B, fg.84.) punctum D describet Curvam secundi, vel tertii generis punctum duplex habentem. Et punctum illud duplex in concursu crurum describentium, AD, B D invenietur, ubi anguli BAP, ABΡ simul evanescunt. Curva autem descripta secundi erit generis, si anguli BAD, A BD simul evanescunt, alias erit tertii generis, et alia duo habebit puncta duplicia in polis A et B.

Sectionum Conicarum descriptio per data quinque puncta. Iam sectio conica determinatur ex datis ejus Punctis quinque, et per eadem sic describi

potest. Dentur big. 83.) ejus puncta quinque Λ, B, C, D, E. Iungantur eorum tria quae vis A, B, C, et trianguli ABC rotentu a guli duo quivis C A B, CB A circa vertices snos A et B; et, ubi crurum A C, B C inte sectio C successive applicatur ad puncta duo reliqua D, E , incidat intersectio crurum reliquorum A B ct B A in puncta P et Q. Agamtur et infinite producatur recta P Q, et anguli mobiles ita rotentur, ut intersectio cru-Τ ΑΒ

55쪽

umeratio Linearum rum A B, B A percurrat rectam Ρ Q, et crurum reliquorum intersectis C describet pro-pΟSi tam Sectionem conicam' per Theorema primum. Cumarum secundi graneris, punctum duplex habentiam descriptio per data Septem Pincta. Curvae omnes secundi Generis punctum duplex habentes determinantur ex datis earum Punctis septem, quorum unum est punctum

illud duplex, et per eadem puncta sic describi possunt. Dentur 86.) Curvae describendae puncta quaelibet septem A, B, C, D, E, F, G, quorum A est punctum duplex. Iungantur punctum A, et alia duo quaevis e punctiS, Puta B et C ; et Trianguli ABC rotetur tum angulus C A B circii verticem suam A , tum angulorum reliquorum alteruter ABC circ1Verticem suum B. Et, ubi crurum AC, BC concursus C successive applicatur ad puncta quatuor reliqua D, E, F, G, incidat concursus crurum reliquorum AB, et B A in puncta quatuor P, Q, R, S. Per puncta illa quatuor et quintum A dcscribatur sectio conica; et anguli praefati CAB, CBA ista rotentur,

ut crurum A B, B A concursus percurrat Sectionem illam conicam, et concursus reliquorum crurum AC, BC describet curvam proposi-sam per Theorema Secundum.

56쪽

tertii ordinis.

Si, vice puncti C datur positione recta B C, quae Curvam describendam tangit in B, lineae A D, Α Ρ coincident, et vice anguli D A Phabebitur linea recta circa polum A rotanda. Si Punctum Duplex A infinite distat, debebit recta ad plagam puncti illius perpetuo dirigi, et motu parallelo ferri interea diim angulus ABC circa polum B rotatur.

Describi etiam possunt hae Curvae paulo aliter per Theorema tertium, sed descriptionem simpliciorem posuisse sumit. Eadem methodo Curvas tertii, quarti, et superiorum Generum describere licet, non omnes quidem, sed quotquot ratione aliqua commoda permotum localem describi possunt. Nam, Curvam aliquam secundi, vel superioris Generis punctum duplex non habentem commode describere , Problema est inter difficiliora numerandum.

57쪽

.3 Enumeratio Linearum

Constructio AEquationum per Descriptionem Curvarum.

Curvarum usus in Geometria est, ut per earum intersectiones Problemata solvantur. Proponatur aequatio construenda dimensionum novem xy --b xy iamcd es xy g κ'

Ubi b, c, d, &c. significant quantitates quaS- vis datas signis suis H- et- affectas. Assumaturaequatio ad Parabolam cubicam xy et aequatio prior, scribendo F pro xy, eVadeth x γ' - d x' F-- ex F -- my-j x - yx'--h . - - Ο.AEquatio ad Curvam aliam secundi generis, ubim, vel 1 deesse potest, Vel pro lubitu assumi. Et per harum Curvarum descriptiones et intersectiones dabuntur radices aequationis construendae. Parabolam cubicam semel describere sufficit. Si aequatio construenda per desectum duorum terminorum ultimorum hx, et k reduc tur ad septem dimensiones, Curva altera delendo net, habebit punctum duplex in principio abscissae, et indE facile describi potest, ut supra.

58쪽

renii ordinis. Si aequatio construenda per defectum ter minorum trium ultimorum ex -hx λreducatur ad sex dimensiones, Curva altera, delendo L evadet sectio conica. Et si per desectum sex ultimorum terminorum, aequatio construenda reducatur ad tres dimensiones , incidetur in eonstructionem Wallisi a per Parabolam cubicam et Lineam

rectam.

Construi etiam possunt aequationes per hyperbolismum Parabolae cum Diametro. Ut, si construenda sit haec aequatio dimensionum nOvem termino penultimo carens, - e --fx g x - h

ASSumatur aequatio ad hyperbolismum illum MF- I, et scribendo F pro A , aequatio con

quae Curvam secundi Generis designat. cujus descriptione Problema solVetur. Et quantitatum m ac alterutra hic deesse poteSt, vel prolu- , bitu aSSumi. Per Parabolam cubicam et Curvas tertii G ncris construuntur etiam aequationes omnes dimensionum non plusquam duodecim, et Per

59쪽

36 Enumeratio Liriearum tertii ordinis. eandem Parabolam et Curvas quarti Generis cmastruuntur omnes dimensionum non plusquam quindecim ; et sic deinceps in infinitum. Et Curvae illae, tertii, quarti, et superiorum Generum describi semper possunt inveniendo eorum puncta per Geometriam planam. Ut si constuenda sit aequatio --gx -- h xt -- a x'- λ x in I o, et descripta habeatur Parabola cubica : Sit aequatio ad Parabolam illam cubicam x F, et scribendo pro xy, aequatio constuenda vem tetur in hanc

quae est aequatio ad Curvam tertii Generis cujus descriptione Problema solvetur. Describi autem potest haec Curva inveniendo ejus puncta per Geometriam planam, propterea quod indete minata quantitas x non nisi ad duas dimemiones ascendit. t

60쪽

TERTII ORDINIS

NEWTONI AN AEI

DE ENUMERATIONE

LINEARUM TERTII ORDINIS.

CUI SUBIUNGITUR,