Isaaci Newtoni Enumeratio linearum tertii ordinis; sequitur iIllustratio ejusdem tractatus auctore Jacobo Stirling

41쪽

18 Entimeratio Linearum ΥΑB. decima quinta, ac decima septima in vigesimam nonam g, 39. , decima octava et de cima nona in tricesimam M. M.); et Vigesima cum vigesima prima in tricesimam priamam, M. ΑΙ. . Et species unicam habent Diametrum. Ac denique species vigesima secunda et vigesima tertia vertuntur in speciem Iricesimam secundam, cujus treS Sunt Diametri per concursum Asymptoton transeuntes M. Αα. Quae omnes conversiones facillime intelliguntur faciendo, ut Triangulum ab Asymptotis comprehensum diminuatur, donec in punctum

evanescat.

1. De 'herbosis sex defectivis Diametrum

non habentilias. Si in primo aequationum casu terminusὴae negativus est, figura erit Hyperbola defectiva unicam habens Asymptoton, et duo tantum crura hyperbolica juxta Asymptoton illam in plagas contrarias infinite progredientia. Et Asymptotos illa est Ordinata prima , et principalis A G fg. 43. . Si terminus er non deest, figura nullam habebit Diametrum , si deest habebit unicam. In priori casu species Sic enumerantur. Si aequationis hujus

42쪽

tertii ordinis. I9 radices omnes Α'r, ΛΡ, AP, A , Sunt reales, et inaequales, figura erit Hyperbola amguinea Asymptoton flexu contrario amplexa, cum Ovali conjugata. Quae species est tricesima tertia.

Si radices duae mediae Λ P, et A p, M. qq.

aequentur inter se, ovalis et anguinea jungum tur sese decussantes in forma nodi. Quae est species fricesima quarta. Si tres radices sunt aequales, nodus Vertetur in cuspidem acutissimum in vertice Anguineae M.-J , et haec est species tricesima quinta. Si h tribus radicibus ejusdem signi, duae maximae, A p, et A W fg. s. sibi mutuo aequantur, ovalis in Punctum evanuit. Quae species est tricesima Sexta. Si radices duae quaevis imaginariae sunt, sola manebit anguinea Pura sine ovali, decusSatione , cuspide, Vel puncto conjugato. Si a guinea illa non transit per punctum A, fg. 46. species est tricesima septima , sin transit per

punctum illud A id quod contingit, ubi termini δ ac d desunt, punctum illud Α erit

centrum figurae rectas omnes per ipsum ductas, et ad Curvam utrinque terminatas, bisecans M. 47. . Et haec est species tricesima Octava.

43쪽

Enumeratio Linearum.

c. De 'perbolis septem defectivis Diam rumhabentUMS. In altero casu, ubi terminus eF deest, et propterea figura Diametrum habet, si aequationis hujus ax)-δx' - cx--d, radices omnes AT, A t, A Q, g. 48. sunt reales, inaequales, et ejusdem signi, figura erit Hyperbola conchoidalis cum Ovali ad convexistatem. Quae est Species Iricesima nona. Si duae radices sunt inaequales, et ejusdem signi, et tertia est signi contrarii, ovalis jacebit ad concavitatem conchoidalis. 49. estque species quadragesima. Si radices duae minores A T, A t g. so. sunt aequales, et tertia A v est ejusdem signi, ovalis, et conchoidalis jungentur sese decussando in modum nodi. Quae species est quadragesima prima. Si tres radices Sunt aequales, noduS mutabitur in cuspidem e et figura erit Classis veterum , ig. si . . Et haec est species quadragesima

secunda.

Si radices duae majores Sunt aequaleS, et tertia est ejusdem signi, conchoidalis habebit Ptinctum conjugatum ad convexitatem suam Og y3. , e.tque species quadragesima tertia. Si radices duae sunt aequales, et tertia est

44쪽

tertii ordinis. 2Isigni contrarii. conchoidalis habebit punctum conjugatum ad concaVitatem suam g. F3 ) , estque species quadragraima quarta. . Si radices duae sunt impossibiles habebitur conchoidalis Pura sine ovali, nodo, cuSpide, vel puncto conjugato et 33. spe cies est quadragesima quinta.

7. De Η etholis septem parabolicis Diametriam non halentibus. Si quando in primo aequationum casu tereminus a xy deest, et terminus h x non deest, figura erit hyperbola parabolica duo habens crura hyperbolica ad unam Asympiston S A Get duo parabolica in plagam unam et candem convergentia. Si terminus e F non deest fitigura nullam habebit Diametrum; sin deest, habebit unicam. In priori casu species Sunt

sunt inaequales et ejusdem signi, figura constabit ex ovali , et aliis duabus curVis . quae Partim hyperbolicae sunt, et partim parabolicae. Nempe crura Parabolica continuo ductus junguntur cruribus hyperbolicis sibi proximis. Et haec est species quadragesima Sexta. Si radices duae minores sunt aequales, et ter-

45쪽

Enumeratio Lanearum T AB. tia est ejusdem signi, Ovalis et una curvarum

istarum hyperbolo - parabolicarum jungnntur et se decussant in formam nodi fg. yy. quae species est quadragesima septima. Si tres radices sunt aequales, nodus ille in cuspidem vertitur M. y6. estque Species quadragesima Octavia.

Si radices duae majores sunt aequales, et te tia est ejusdem signi, ovalis in conjugatum evanuit fg. 17. Quae species est

quadragesima nona.

Si duae radices sunt impossibiles, manebunt Purae duae illae Curvae hyperbolo - parabolicae sine ovali, decussatione, cuspide, vel puncto conjugato; et speciem quinquagesimam ConDtituent. M. FI et Ι 8. Si radices duae sunt aequales, et tertia est signi contrarii, curvae illae hyperbolo - parabolicae junguntur sese decussando in morem crucis g. J9. . Estque SpecieS quinquagesima prima. Si radices duae sunt inaequales, et ejusdem signi, et tertia est signi contrarii, figura ev det Hyperbola anguinea circa Asymptoton A G, fg. 6o. cum Parabola conjugata. Et haec est species quinquagesima Sectanda.

46쪽

tertii ordinis. 238. De 'perbolis quatuor parabolicis Diametrum habentibus. In altero casu, ubii terminu e F deest, et figura Diametrum habet, Ii duae radiceS. aequationis hujus h M-- cx--d-o sunt impossi-hiles, duae habentur figurae hyperbolo - par, holicae a Diametro AB hinc inde aequaliter distantes. Quae species cSi quinquag

sima tertia. '

Si aequationis illius radides duae sunt reales et aequales, figurae hyperbol parabolicae j jumguntur sese decussantes in morem crucisi et speciem quinquagesimam qua nam constituunt.

Si radices illae sunt inaequales et eiusdem signi, habetur hyperbola conchoidalis cum parabola ex eodem latere Asymptoti: ing. 63 i Estque species q&inquagesima quinta. ., Si radices illae sunt signi contrarii, habetur Monchoidalis cum parabola ad alteras partes Asymptoti 64. . Quae species est quin

quagesima sexta. . . ' ι ι

'. De quatuor 'perbolismis 'persoloe. Si quando, in prii aequationum casu, ter minus uterque a xy et δ x' deest, figura eri hyperbolismus sectionis alicujus conicae. BF

47쪽

Enumeratio Linearum

perholismum figurae voco, cujus ordinata Prodit applicando contentum sub ordinata figurae illius et recta data ad Abscissam communem. Hac ratione Linea recta vertitur in hyperbolam conicam , et Sectio omnis conica vertitur in aliquam figurarum, quas h1c hyperbolismos sectionum conicorum . Voco. Nam, aequatio ad figuras, de 'quibus agimus, nempe '

tionis conicae et 2 mrecta data m ad Curvarum abscissam commmnem x. Unde liquet. quod figura genita hyperbolismus erit Hyperbolae . Ellipseos, vel Parabolae, perindς ut terminus c x. amrmativus est, Vci negati VuS, Vel nullus. iHyperbolism Hyperbolae tres habet Asym- Ptolos, quarum una est ordinata prima principalis Ad 6s alterae duae sunt parallelae abscissae A B, ab eadem hinc inde aequaliter distant. In ordinata principali Ad, cape Ad, AP, hinc inde aequales quantitati sic; et per puncta d, ac ι' age d γ Asymptotos abscissae ΑΒ parallelas. P. Ubi terminus ea non derat, figura nullam .

48쪽

tertii ordinis. as habet Diametrum. In hoc casu, si aequationis hujus c d x-- e' - o, radices duae A P, Ap sunt reales et inaequales, nam aequales CSSe nequeunt, nisi figura sit conica sectio 3 figura constabit ex tribus hyperbolis sibi oppositis, quarum una jacet inter Asymptotos parallelas, et alterae duae jacent extra. Et haec est species quinquagesima Septima. Si radices illae duae sunt impossibiles, hahentur hyperbolae duae oppositae extra ASym- Ptolos parallelas et anguinea hyperbolica intra easdem. Haec figura duarum est Specierum. Nam, Centrum non haber, ubi terminus dnon deest fg. 66. : scd si terminus ille deest, punctum A est ejus Centrum big. 67. . Prior

Species est quinquagesima Octava, pOSterior quinquagesima nona.

Quod si terminus eF deest, figura conStabit ex tribus hyperbolis oppositis, quarum una jacet inter Asymptotos parallelas, et alterae duae jacent extra, ut in specie quinquagesima Septima, et praeterea Diametrum habet, quae

est abscissa A B Uig. 68. . Et haec est Species

49쪽

Enumeratio Linearum T AB. Io. De tribus 'perbolismis Ellipseos. Hyperbolismus Ellipseos per hanc aequationem definitur e et unicam habet Asymptoton, quae est ordinata principalis A d fg. 69. . Si terminus e F non de St,

figura est Hyperbola anguinea sine Diametro; atque etiam sine Centro, si terminus d non deest. Quae species est sexagesima prima. At si terminus iideest, figura habet Centrum sine Diametro, et Centrum ejus est Punctum Ac g. 7o. species Vero est sexagesima secunda. Et, si terminus ey deest et terminus a non

deest, figura est conchoidalis ad Asymptoton A G 71. , habetque Diametrum Sine centro, et Diameter ejus est abscissa Λ B. Quae

species est sexagesima tertia.

II. De duobus Hyperbolismis Paraboloe. Ηypcrbolismus Parabolae per hanc aequationem definitur ine et duas habet Asymptotos , abscissam AB, et ordinatam primam et principalem A G. Hyperbolae vero in hac figura sunt duae, non in Asymptoton angulis Oppositis, sed in angulis qui sunt dcinceps jacentes, idque ad utrumque latus ab cissae AB, et, vel sine Diametro, si terminus eI habetur Uig. 72J, Vel cum Diametro, si

terminus ille deest fg. 73. . Quae duae species

sunt sexagesima quarta et sexagiesima quinta.

50쪽

tertii ordinis.

IE. De Tridente. In secundo aequationum casu habebatur aequatio xy-ax'--δx' -- cx- d. Et figura in hoc casu habet quatuor crura infinita, quorum duo sunt hyperbolica circa Asymptoton A G contrarias partes tendentia, et duo Parabolica convergentia, et cum prioribuS Speciem tridentis fere efformantia. Estque haec figura parabola illa, per quam C ARTES IUS aequationes sex dimensionum construxit. Haec est igitur species sexageSima Sexca. I 3. De Paraiolis quinque divergentibus. In tertio casu aequatio erat et parabolam designat, cujus crura divergunt ab invicem, et in contrarias partes infinite progrediuntur. Abscissa A B est cjus Diameter, et species ejus sunt quinque sequentes. Si aequationis a xt --δ Y -- cxd Ο, radices omnes AHA T, A t, sunt reales et inaequales, figura est Parabola divergens Campanisormis cum ovati ad verticem. 7S. 76. . Et species est sexagesima Septima. Si radices duae sunt aequales, Parabola prodit,

vel nodata contingendo ovalem g. 77. , Vel pinctata , ob ovalem infinite parvam fg. 78. .

. Quae duae vectes sunt sexagesima Octava , et sexagesima nona.