장음표시 사용
211쪽
Hae sunt tres insigniores hypotheses graVNtatis, etenim si praxin spectemuS, tuto Suin poni potest uniformis, et agere in parallelis . at in rigore geometrico, hypotheses duae ultimae in rerum natura locum Vere habent. Nam in terrae cavernis gravitas est ut distantiae corporis . centro terrae, et in turrium vel montium cacuminibus ea est reciproce in dum plicata ratione distantiae , ut constat ex primcipiis Newtoni.
212쪽
I 89 Dala linea celerrimi descensci , inνenire legem
AEquatio definiens curvam AFΗ dig. 3y.
data vero ordinata OL ad AbscisSam x per-.tinente, dabitur curva M L G. Q. E. I.
213쪽
as in Fornicem; et inde demons- Iratur Proprietas praecipua Curvae CatenariaP. PROBLEMA.
Datas. otcunque Sphaeras vi uales in Fornicem ita disponere ut gravitate sud se mutub
Sphaerae altissimae centrum sit A, fg 39.
duarum vero huic contiguarum centra sint
parallelam : sintque radii A D , B G horizonti perpendicularcs. Junge D G ct in ea producta sit GI A C: ducatur B Fin qua Mit B BA; atque erit E centrum Sphaerae proximae. Sit radius E R ad horizontem perpendicularis , junge G R , et in ea producta MitRL -, B F; ducator E L , in qua sit EII dies, si B; atque erit es centrum proximae Sphaerae. Sit radius B L ad horizontem perpendicularis, junge R L et in ea producta sit LN R E. Ducatur in qua sit HM - ΗΕ atque erit
M centrum proximae. Et sic proceditur in infinitum. Q. E. I. Demonstratis. Omnes hae Sphaerae triplici potentia urgentur : et constat e X Mechartica, quod tres po-
214쪽
Proprietas cumiae Catenaria. I9 Itentiae in aequilibrio consistentes eam ad se invicem rationem habent, quam treS rectae potentiarum directionibus respective parallelae et ad ipsarum intersectiones mutas terminata'.
Sphaera A D urgetur gravitate ab A versus D
tendente, et actione sphaerarum contiguariam
in rectis AB , Ah. Adeoque si radius A Dexponat gravitatem Sphaerae absolutam, A Cexponet vim qua Sphaera A D urget Sphaeram BG a B versus E. Item B F exponet vim qua Sphaera E R urget Sphaeram HL , E X vim qua Sphaeras L urget Sphaeram Sequentem. Et sic in infinitum. Vis B F resolvitur in vires B G, G F : id est, B G , A C: et iisdem aequipollet. Est vero B G vis gravitatis globi et A C vis qua Sphaera A D urget Sphaeram B G : et hae duae vires componunt omne pondus sustinendum a Sphaera E R; scilicet unaquaeque Sphaera Sustinere debet omne pondus quod sustinet proxime superior Sphaera una cum ipsius gravitate absoluta. Et vis Ex
aequi pollet viribus E R, R X vel E R, B F
id est vi gravitatis Sphaerae E R et omni pomdere quam eadem sustinet. Atque sic pergendo in infinitum , videbis ubique Sphaerarum situm ita eSSC comparatum, ut earum quaelibet sustinere potest omne pondus quod sustinet Sphaera immediate superior, una cum ipSius gra-
215쪽
I92 Proprietas cumiae Catenariae. vitate absoluta : adeoque hae Sphaerae erunt in aequilibrio, et vi gravitatis sese sustinebunta Theorema.
Sint M et B cen ra duarum Sphaerarum contiguarum; duc Hd, Md; hanc horizonti
parallelam, illam vero eidem normalem. Dico semper esse M d ad des ut data quaedam recta ad summam diametrorum Sphaerarum omnium quam sustinet Sphaera cujus centrum M
A centris Sphaerarum B, E , Η, Μ, &c. in radios productos si opus est) AD, B G, ER, H L, S c. demitte normales Γ T. EW
HIC Mae, c. In eosdem ladios sint etiam
adeoque est KQ data recta, quaeque ex angulo B AD assumpto ad libitum determi
natur. Ex constructione etiam patet esse
summa diametrorum omnium Sphaerarum quas sustinet Sphaera, cujus centrum M. Constat orgo Theorema. Q. E. D supponamuS
216쪽
Proprietas cumiae Catenariae. 193 Supponamus filum tenue transire per centra omnium Sphaerarum, cujus extremitates fixae
sunt in punctis M, P ; et tum Sphaeras deorsum converti; atque illae libere pendentes situm Priorem inter se retinebunt. Nam potentiarum solummodo directiones, non magnit dines mutantire. Augeatur numerus Sphaerarum et minuantur earum Diametri in infinitum. et silum illud evadet curva Catenaria ; et M d erit incrementum ordinatae, dΗ incrementum abscissae et summa diametrorum Sphaerarum quaS SUS-tinet Sphaera cujus centrum M, erit longitudo Curvae inter verticem A et punctum N intercepta, et quantitas data NQ evadet radius
curvaturae in Vertice. UndE catenae proprietas haec est ut in e mentum ordinatae ad incrementum aDSciSSae . ita duplus radius curuaturae in vertire ad longitudinem curvae inter Verticem et ordinatam
illam interceptae. Q. E. D. Et similiter invenies Figuram Urnicis vel catenae in quacunque hypothesi gravitatis , quamvis Sphaerae non sint uequales, Vel etiamsi essent Sphaeroides.
217쪽
Solutio Problematis a Leibnitio
Invenire Lineam quae ad angulos rectos secabit omnes 'perbolas Conicas iisdem verticibus et circa eundem axem descriptas.
Sit recta P GDB axis, Fcentrum et G, D vertices Hypei bolarum , A punctum in axo quodlibet per quod transire supponitur curva quaesita A CZ Q; quam tangat CH in C, cui normalis sit CE; quae propterea tanget Hyperbolam in C quae axem habet G D, ver lices G, D et transit per punctum C. Unde
per naturam Hyperbolae est B F ad FD sicut F D ad F
Hisce praemissis sit Abscissa AB aerax, Omdinata B C F, AF a, DF c. Eritque B F - a - x : quibus valoribus in priori analogia substitutis, est
Iam in curva A C, ut ordinata B C ad sub- tangentem B H ita est fluxio ordinatae ad fim
xionem Abscissae : hoc est E C. Besta 3. x
218쪽
Propter vero similia triangula E B C, C Best E B : B C:: B C: B Η, unde ex aequo E B B C: : γ : x ubi si pro EB et BC subs
tituantur earum Valores, proVeniet
est aequatio curvam quaesitam A C definiens. Q. E. I. Patet hanc aequationem , fluxionibus liberari non posse , nam quantitaS
est fluxio areae hyperbolae, cujus ordinata est
pertinens ad abscissam x. Haec autem Hype
hola Asymptotos habet S FT, et a F Υ, quarum illa est axi G D normalis , haec vero cum illa continet angulos SI FP s mirectos; et jacet Hyperbola in angulis illis deinceps, per Hyperbolarum vertices G, DiranSiens. Hac Hyperbola semel descripta, ut in Schemate , curvam sic construo. Ducatur ordinata
prima A L secans Hyperbolam in L , et occurrat ordinata quaevis alia B C cidem in La
219쪽
196 Solutio tertii Problematis.
fluxio areae Hyperbolicae A B; unde regrediendo ad fluentes, erit: γ' - areae ALLB, etγ' - 2ALLB, atquevcl B c , qui duo valores propter contraria signa ad partes Abscissae contrarias jacent. I. Patet ham curvam ad A incipere, ubi incipit area A L, nec ultra punctum A versus Hextendi. Nam si area A L LB pro affirmativa habeatur, Omnis area alia quae ad alias Abscissae vel Ordinatae partes jacet erit negativa; 'et area negativa, quae latus quadratum non admittit, demonstrat ordinatae impossibilitatem. a. ordinata maxima transit per punctum D.
Nam area A L LB; cujus radici quadratae
aequalis est ordinata continuo crescit dum progreditur punctum B in A versus D postquam vero ordinata B L ultra punctum D in Situm hipervenit, minuenda est area A LDarea hi D, Ob arearum plagas contrarias, et
eontinuo minuitur donec tandem ad O cva-neScit i tunc existente area assirmativa A L D
aequali arcae negativae Q M D. . Si sit FR. FQ ad partes contrarias
220쪽
Solutio tertii Problematis. 25 Sita, ordinata imaginaria erit inter puncta Qet R, ob negariVam aream Praevalentem, CLad R iterum incipiet esse realis. Etenim area, cujus lateri quadrato aequalis est ordinata, manebit negativa donec area assirmativa infinita FR NS evadat aequalis areae negativae im
3. Atque inter puncta R et G ordinata eo dem modo increscet, quo prilis decrevit inter puncta D, Q; et inter puncta G, P, ubi
est FA - FP, ordinata rursus continuo decrescet, atque tandem ad punctum P ev
6. Ex his omnibus conjunctim constat Lineam de qua quaerebatur, fore curvam Irrationalem quarti ordinis quam scilicet recta in quatuor tantum punctis secare potest) con tantem ex duabus ovalibus aequalibus, similibus, et similiter positis, quae habent punctum duplex in plaga ordinatarum ad distantiam infinitam Radius curvaturae ad punctum A aequalis est A K ordinatae Hyperbolae per punctum A transeuntis. Concipe enim Abscissam A B esse infinite parvam, et radius curVaturae ad punctum A aequalis erit - . 2 - - α : eSt Vero