장음표시 사용
191쪽
168 Lineae tertii ordinis NEWTOMIAN E. Coroll. I. Haec Figura nunquam deci)ssat ejus Asymptoton A G. Nam tria interfectonis puncta abeunt in infinitum. Adeoque crura Hyperbolica et Parabolica ad easdem partes rectae fg. 73. A G jacentia semper copulam tur : Et proinde hujus figurae Species tantum est unica , quae eSt SeptuageSima. Coroll. 2. Parabola Conica nunquam decussat hanc curvam; secet enim, si fieri possit, et erit E C - o, adeoque etiam O, quod fieri nequit. Coroll. t. Set A D - - - , ordinata
et latere recto descripta Parabola est Asy
AE uatio y ax'--hx'- cx--d designat Auram habentem duo crura Parabolica in oppositas plagas errantia. Vide fig. Ty. Augeatur x in infinitum, et simul augebuntur ordinatae 3 duo Valores hinc inde aequa-Ies, ergo curva habet duo crura infinita. At si mutetur signum Abscissae, terminus a x evadet negativus : et proinde datur certus lia
192쪽
Lineae tertii ordin s NE AUT ONMANAE. I 69mes, ultra quem x in illas plagas non pergit. Reducendo γ in seriem patebit crura egSc Parabolica. Q. E. D.
Enumeratio Specierum cumre quam designat
Si aequationis ax'--δx' -- cx--d C, radices omnes sint reales et inaequales, Parca hola habet Ovalem ad verticem : quae est SPE-cies septuagesima Prima.
Species LXXII, LXXIII. Fig. 77, 78. Si radices duae aequentur, figura vel prodit Nodata fg. 77- quae est Species Septuagesima secunda ; vel punctata fg. 78.ὶ quae est
Specie s septuageSima tertia. Species LXXIV. Fig. 8o. Si trcs radices aequentur, figura erit cuspi- data , quae est SpecieS Septuagesima quarta. Estque hinc fora Asymptotos Parabolariam quam designat requiarioy - a x' b x' - c x - d. Species LXXV. Fig. PS, 79. Si radices duae sint impossibiles, figura erit pura campanisorinis , Speciem constitueus septuagesimam quintam.
193쪽
Imo Lineae remi ordinis NEWTOMANAE.
In quarto casu aequatio erat 'ν - a b c xd equae per Prop. 8. designat figuram habentem
crura contraria, quae Parabola dici solet Et sic Species omnino Sunt Septuaginta Sex. Lineae tertii ordinis inter se forma haud parum differunt, scilicet ut Ellipsis a circulo, vel Hyperbola aequilatera , reliquis. Sed et aliquando vertices figurarum quaS OncaVas descripsimus, formam cuspidis induunt : at cuspides istiusmodi non componum tur ex nodis infinite parvis, nec unquam Pr deunt admodtim acuti. Determinatio Locorum Geometricorum. Postquam Species omnes Linearum alicujus ordinis enumerantur convenit ut dignoScatur Species quam constituit Linea particularis aequatione qualibet proposita denotata. Innumerae enim aequationes, quoad formam multam inter se discrepantes, eandem LineamdeS gnare possunt. Lineae quae excurrunt in infinitum ex Asymptotis suis optime dete minantur; OVales Vero ex Diametris.
194쪽
gura Crit Hyperbola, Par. bola aut Ellipsis prout terminus A affirmativus cst, nulluS aut Iac-gati VUS. In primo casu, quando sigura est Hyperbola, sumendo Abscissam nΟVam π -- aequu
bi Secans angulum Asymptoton ct etit CN axis. Sit flvertex figurae, H GF ordinatim applicata ad diametrum CD, translcus per Verticem. Concipiatur jam ordinata D d motu parallelo ferri donec cum ordinata F si coeat; , ct in illo casu erit dΑ o, adeoque B D ΓΕ ob datos trianguli C B N angipos, dasur ra
195쪽
171 Linere tertii ordinis NEWTONIANAE.
inde si erigatur normalis H L Asy toton secans in L; erunt CH, HL semi- axes conjugati. Datis vero CH, HL semi-axiabus conjugatis facile describitur Hyperbola. Q. E. F. Si figura est Parabola , aequatio erita Ax DB, Vel sumendo principium Abscissae in curva , - Λ x. Sit Abscissa A B ,
M perpendicularem ad Abscissam : Secatea curvam in L , ordinatam vero C c in M. Sit L D N L ordinata Abscissam in Secans. Moveatur ordinara B C motu parallelo donec coincidat cum L DL, et in illo casu erit
I f c- o, et proinde B M ,-B C -3. Ob datos trianguli A B M angulos datur ratio A B ad B M , vel x ad B M; sit igitur x : B M: : C: D, et erit B M - Pone
α - - - - Λ V; datur ergo AN, et etiam dabitur NL quae est ad A Nut D ad C Datur ergo punctum L, et recta A L tam m
196쪽
Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. I73gnitudine quam positione. Biseca A L in Ect sit HE D normalis ad medium ejus punctum E, et crit B E axis. Sit vertex H, HGFordinata ad Diametrum A B transiens per II, et in illo casu erit 3 GH, cst vero G Η
Datur punctum G ; per quod punctum Si ducatur ordinata G Η aequalis datae rectae D Moabitur vertex Η, et recta H E; est vero la-AE
tus rectum principale aequale --, quod exin
de dabitur. Datis jam axe HE, vertice H ct
Q. E. F. Si figura sit Ellipsis fg. 32. , arquatio erit Y - - A x' - - B x- C, quae in hane reducitur γ' B - Ax'. Sit Abscissa CB - x, Ordinata B D vel B d - γ. Eritque principium Abscissae centrum Figurae. Secet curvam in L,
et erit C L et β : centro C radio CL des-
cribe circulum L E Ellipsin secantem in Ersitque E N ordinata; E P perpendicularis in Abscissam et dabitur specie triangulum NP E.
197쪽
374 Linea tertii ordinis NEWTONIANIE.
Εst Vero per naturam curVa: CN - ,
et est C Ε - έ l adeoque aequatio
de invenietur E N Abscissa correspondens; atque adeo datur pUnctum E, et per conSequens recta C E positione. Duc rectas L CCII bisecantes angulos ACE, ECL; et
hi erunt axes, qui itaque positione dantur. Eorum vero magnitudo sic determinatur rOccuriat ordinetia B D axi in N, ct ducatur H G F. Ob datum specio triangulum C G H, datur ratio CG ad G H, sit ergo C H: G Η
Sed cum ordinata si D coincidit cum G H. cvadit ΓN aequalis G H 3 2 P . ; in aequati ne substituendo illum ipsius valorem, crit EA N , unde
198쪽
Lineae tertii ordinis NEWTONIANAE. I Ty
D -- AO adeoque dabitur ordinata GH; ct punctum H, atque inde dabitur CH magnitudinc. Et codem
modo invenire licet axem minorem. Haec tria Problemata soluta dare malui ex nuda natura aequationum curvas definientium ,
quam per quasdam Apollonii PropositioncsmCre Veterum Geometrarum : Hoc modo en: m melius innotesint analogia inter Loca secundi Ordinis et Loca tertii et superiorum ordinum. Proprietates Sectionum conicarum
Geometris hactenus traditae sussiciunt ad determinanda loca quae incidunt, in sectiones coni : consimiles vcro linearum Superior amordinum proprietates traditas nondum habemuS. Qua ratione vero invenire licet quam Speciem constituit linea tertii ordinis aequatio. ne qualibet dcsignata, ex propositione decima quinta constare potest: quod per sequentia plenius adhuc conStabit. Exemplum Primiam. Oporteat invcnire quam speciem constituit Linea aequatione X x a' designata, ubi ordinatae insistunt abscissa ad angulos rect S.
Mutetur signum Abscissae ct aequatio evadet
199쪽
rectam A C pcr initium Abscissae, quae cum Abscissa angulum semirectum contineat, et per Prop. 6. erit A C Asymptotos. Et quoniam unica tantum istiusmodi scrics obtineri Potest, curVa habet nisi duo crura infinita ad candem Asymptoton jacentia, ct per Coroll. 2. Prop. 6. haec crura jacent ad easdem Asymptoti partes; et inde Coroll. 7. Prop. I 6. curva habet diametrum ad ordinatas duarum dimensionum. Sit E punctum quodlibet in Curva, ordinata E D-3, Abscissa A Deix, Ordinata nova Asymptoto parallela FE ν, Abscissa correspondens A F erit γ π - νέ ς - In aequatione γ' - xy -- ay, hosce Valores Sub-Stitue, et proVcnici: ν' Vt - νές Vel 3 r ν' - 6 et ν et 2-- 2 Unde per Prop. Io )-τ est ordinata Lincae bisecantis ordinatas τ' ad curVam terminatas: Duc igitur rectam AG por principium Abscissae Asymptoton secantem ad rectos angulos; ct illa crit recta hi secans ordinataS. Occurrat ca ordinatae E F in G; et sit Abscissano 'a AG x, ordina ta correspondens EG -y. Erit
200쪽
duae sunt impossibiles, figura constituit Speciem quinquagesimam nonam. Q. E. I. Exemplum Secundum. Oporteat invenire quam speciem constituit Linea aequatione 2 - 2 xy' - x γ - ' - o designata, ubi ordinatae insiStunt abscissae ad angulos rectos : hujus aequationis tres radices seu valores ipsius y reductae in series eo citius convergentes quo major est abscissa x sunt