장음표시 사용
201쪽
1 8 Lineae tertii ordinis NEWTOMANAE.
tangula c'γ: in illa ordinata sit BD AB, junge A D, et per Prop. 6. crit illa Asym
plotos, qticae pro duatriis Asymptotis coeu tibus habenda est; siquidem duo termini priorum serierum coincidunt : unde haec Linea vel constituit speciem sexagesimam octavam vel sexagesimam nonam, nam hae duae species solae sunt Linearum tertii ordinis quae hahent Asymptotos duas coincidentes. Series tertia GH - S c. indicat abs-xi x cissam esse ASymptoton habentem duo crura ad oppositas plagaS protensa et ad easdem ejus partes jacentia ; quoniam , mutando signum abscissae, terminus manet assirmativus. Et
quoniam in extremitate Asymptoti A D ad distantiam infinitam sita jacet punctum curvae duplex ; Asymptotos illa habet crura sua ad diversas ejus partes jacentia, et in plagas ea dem protensa. Unde facilε videre est hanc curvam constituere Speciem sexagesimam nonam:
Habetque Asymptoton AD pro Diametro ad Ordinatas duarum dimensionum, quae parallelae sunt Asymptoto A B. Q. E. I.
202쪽
CELERRIMI DESCENSUS in quacunque hypothesi pavitatis.
Invenire Lineam celerrimi descensίs, duid lemvis Centripetae.
linea quaesita, A punctum de quo corpus cadere debet, B, D, E tria puncta, quorum distantiae sunt quam minimae; junge C B,
CD, CE: centro C et radiis C B, C D, de cribe circulos BO, DP, quorum hic secet CN axem curvae et C E P, Q respecti-: ille vero rectas CD, CE , in R, S ; axem vero in O. Sit MLLG linea cujus ordinatae NM, OL, P L, FG, insistentes Abscissa CN inormaliter proportionales sunt vi centripe in punctis N, O, P, F, respectivh. Cadae jam corpus a puncto N, versus centrum vi sola centripeta agitatum, et per Prop. 39.
Lib. I. Princip. Newtonii ejus velocitas in M a
203쪽
18o Inventio Linea puncto quovis O erit ut areae N O L M latus quadratum. Jaceant puncta I in circumserentia circuli cujus centrum C, et velocitates corporum in curva. II et recta NC motorum in omnibus aequalibus a centro C distantiis erunt aequales. Nam per Prop. o. Lib. I. Newtoni si corum Velocitates in aliqua aequali altitudine Sint aequales, in omni aequali altitudine aequaleS crunt: at corporum istorum velocitates in punctis crant aequales, quippe nullae 3 ergo et in omnibus distantiis aequalibus aequales erunt. Igitur velocitas corporis iii
curva ABF moti , per Areae curvilineae M LG latus quadratum rite representabitur:
scilicet velocitas in B est ut V NO LM, velocitas in D est ut NP L M., Supponamus jam tria puncta C, B, E esse
data, et opporteat invenire L , ex cujus inventione dabitur relatio quam habet DR ad et exinde determinabitur curva. Dantur igitur
CE, C B. Fluat CE uniformiter, id est, Sit E Q - , atque erit CD media arithmetica inter datas CB es CE, et proinde dabitur. Ex datis vero CB, CD, id est CO, , dantur arcae N OLM, NP L M; adeoque
latitur Velocitates corporis ad puncta B, D. Velocitas qua percurritur BD ea est quam
204쪽
celerrimi descensus. corpus habuit in B; et tempus quo eadem percurritur est directe ut longitudo et reciproce
oc DE tempus quo percurritur DB est ut , et inde tempus quo percurritur B E est ut
sed quia tempuS quo tota curva percurritur supponitur breVissimum , erit tempus per quamlibet ejus partem etiam brevissimum. Et proinde fluxio quantitatis huic tempori prΟ- portionalis aequalis nihilo. Hisce praemissis , sit CD - - x ,
quantitas tompori proportionalis , adeoque' ejus fluxio - o, hoc eSt
nam x et arcae No LM, NPLM sunt
205쪽
Inventio Lineae I 8Σ quantitates non fluentes. Ob data tria puncta
adeoque y -- η est data quantitas, et ejus fluxio, -- o, Vel--y. In aequatione '
pro x pone ejus valorem -- ν et divide aequationem per 3 atque erit
Cumque hoc universaliter in omnibus curvae punctis obtineat, patet esse
quae aequatio determinat curvam. Q. E. I. oroz i. Est A -NFGM, nam cum rec-
206쪽
celerrimi descensi. I 83ta C B vel x coincidit cum CF, ea est nor maliS in curvam et x - o, atque area NOLMevadit - areae N F G M. In aequatione igitur
Coroll. a. B D: B R ut velocitas maxima quam corpus in motu per curvam A F acquirit ad ejus velocitatem in puncto B. Nam
hoc est, ut Velocitas maxima ad velocitatem in puncto B.
Coroll. 4. Si sint Α, Η, puncta curVae altissima, et ducantur CA, CH, hae tangent curvam in punctis A, H. Coroll. s. Igitur in nulla hypothesi gravitatis recta linea est via celerrimi descensust praeterquam ubi corpus descendens directe tendit ad
Comm 6. Sit B T longitudinis cujusvis, et
207쪽
184 Inventio LEneae vero T V in P B normalis , junge B U, et illa tanget curvam in puncto B. Nam DR:
Curvam ad punctum B. Q. E. D. Proprietates hucusque traditae sunt gencrates, Lineae celerrimi descensus in omni hypothesi gravitatis universaliter competenteS. DeS-ccndamus jam ad easus particularcs. Exemplum primum. Supponamus vim centripetam esse uni sommem et agere in parallelis : quo in casu pun
tum C abit in infinitum fg. 30. ), exiSten tibus CF. C D . C B parallelis. Peripheriae AN, BO, DP et curva MG migrant in
rectas, et arca NOLM in rectangulum ,
Supra diametrum 2 describe circulum N secantem ordinatam B Ο in X; junge F X, ct B V sit tangcns ad B. Propter similia
208쪽
parallela est chordae X F quae est notissima proprietas Cycloidis vulgaris. Exemplum secuet m. Sit vis centripeta ut distantia a Centro, et
curva ML G fg. 37. migrabit in rectam
Hujus curvae rectiscatio per quadraturam
crementum cumae ad incrementum axis OP, ut data rccta ad Hyperbolae ordinatam
respectivam O T. Erit igitur componendo , ut omncs B D ad omnes O P ita totidem FSad totidcm ordinatas hyperbolae. Hoc est ut curva A F ad axem ejus NF, ita rectangulum N FSr ad aream hyperbolicam δε Τλ
209쪽
I86 Inventio L eae Etenim arca illa NF T r est summa ordinatarum O T.
Erit etiam-A B ad N O ita Ni κ. O Fad aream O FT.
Hujus cumiae quadratura per quadraturas Dperbolae et circuli. Fluxio areae, sellicet triangulum
et evanescet area CF B, at evadet Δ κ' - C F a' igitur statim apparet x fluentem quantitatis P x x mirmi debere quantitate a a', &c. proinde erit vere CFB:
Exemplum tertium. Sit vis centripeta reciproce ut quadratum distantiae a centro; et crit ordinata OL -