장음표시 사용
131쪽
r 7tinetur, rectangulo . A centris A , B ad contactus D Gduae rectae AD, BG ducantur. Quoniam igitur rectae A D,
aequalis agulo B PG; erit ergo reliquus angulus D I reliquo angulo Gi I aequalis .Quare triangula A DI, GI aequi angula inter se crunt, ac propterea latera A I. Dirianguli Dinu, latera B I, I G, trianguli quae circa aequales angulos AH D, BI G sunt, proportionalia crunt hoc est erit AH ad PD , uti I ad I G, adeoq; rectangulum comprehensum sub extremis A I, I G hoc est sub segmentis tangentis Am aequale erit ei, quod sub medii si I, Im, hoc est sub segmentis tangentis BD coprehenditur, re stangulo Quapropter si a centris duorum circulorum , sine se exterius tangant, sive non, duae tangentes, c. Quod Ostendendum crat.
PROLL. XXUI PROPOS. XCIII. Circuli peripheriam in data proportione secare. SI secanda perii heri, BG D in data proportione
rectae Et ad FG. Dividatur ET, quam volumus esse antecedentem proportionis, bifariam in H constituatur triangulum is sceles PLA, per propos 37. lib. . collec Pappi,cujus uterq; angulorui PQ, PK L, qui ad basin Iasunt, habeat ad reliquum Ia K proportionem quam
132쪽
quam habet recta H F ad re9am FG . Deinde abscin
segmentum BCm,quod capiat angulum C B aequam lem angulis LPK, L cI. Dico peripheria
ABCD divisam esse ista data proportione rei L EF ad FG hoc est esse arcum B A D ad arcum in B, ut recta Ea ad FG.In segmento Bo D constituates angulus D A n. Quoniam igitur
EH,H inter se sunt aequales,habebunt ad eandem FG Candem proportionem. Eademq; ratione quia anguli L IK LMI, sunt inter se aequales, habebunt ad eundem angulum It Meandem proportionem . Quare cum angi
lusi' habeat ad angulum Iari proportionem rectae H ad FG, habebit etiam angulus L Q ad angulun II A proportionem eandem, ac habet recita H F; hoc est recta CH ad FG . Itaque cum prima L IK ad secundam ILI eandem habeat proportionem,quam tertia H F ad quartam FG,& quinta; ΚΙ ad secundam Ia K eandem habeat proportionem,quam sexta E H ad quartam FG composita ex prima LPK, quinta LXI habebis ad secundam I meandem proportionem,ac habet Ei composita ex prima CH, sexta Hi ad quartam FG hoc est erit angulus B qui aequalis est anculis LPK, LΚΙ,
ad angulum I LA,ut Ei ad FG Et quia anghlus B C D'qualis est,ex constructione angulis I K L, Κ L erit reliquus angulus Boi reliquo angulo II K aequalis nam
133쪽
duobusrectis, ut equales;adeoq:agulus BCD erit ad angulum B AM, ut Ea ad FG sed ut angulus B GD ad angulum in D,ita est arcus D A B ad arcum DC B; igitur erit etia ut CF ad FG ita arcus DA B ad arcum, C s Circuit igitur peripheria secta est,&c.Quod erat
PROBL. XXXVII. PROPOS. CIV. Ex duobus quibuslibet circulis duo lagmenta abscindere, quae capiant duos angulos datam proportionem tenentes.
X circulis ABCD, EFGH abscindere oportet
duo segmenta, quae capiant duos angulos datania proportionem recitae I K ad KL habente . Dividatur per
peripheria ABC D in data proportioneIK
ad cla hoc est studii K ad KL,ita segmentiti a B GD ad segmentum B AM , quibus insistant anguli Ba D, BG D auseratur deinde a circulo ET G H segmentum Fin H, quod capiat angulum Ea aequalem angulo B CD. Dic segmenta in D,FEH, abscisa a circulis A B C D, E FG H,capere angulos B AM , Fi H habentes proportionem rectae I K ad k L. Quoniam igitur segmentiun B GD ad segmentum BADest ut PK ad K L, it idem segmentum BG D ad seg
134쪽
mentum B AD, ita est angulus B A D ad angulum B CD; erit ut PK ad K L, ita angulus B Am ad angulum B D: hoc est ad angulu Fim, sunt enim anguli BG D, FEH, ex constructione, inter se aequales . Ex duobus igitur circulis abscissa sunt duo segmenta, quae, c. Quod erat faciendum
THEOR. LVIII. PROPOS. XCV. Si duae reet lineae ab eodem puncto ducta fuerint,
quarum una secet duos circulos, transeatque per ipsorum centra, altera vero eosdem contingat: segmenta circulorum ab ipsis intercepta sive convexa, sive concava similia inter se erunt, insuper re
ste linea ipsis subtenta erunt inter se parallela AP uncto A sint ductae duae re-
ista AB, AC, quarum una a B secet circulos B C D. E G, transeatque per ipsorum centra H, I altera vero AC eosdem circulos cotingat in C, i. Dico segmenta Gi, D C, convexa,& segmenta EF, CB concava inter se
similia esse, Minsuper rectas Gi, D C, ET, C B, ipsis subtens is parallelas inter se esse, utraque utriq; cetris H,&I ad puncta cotactus E, C adjungantur reetae H E IC. Quoniam igitur anguli AE H, AC I sunt intc se aequales: ambo enim sunt recti erunt H E, ICinter se paralleli quare anguli CHE,
135쪽
Hi a P inter se aequales erunt; sed angulus G Hi duplus est anguli Cassi,& angulus D PC duplus anguli
Di C; igitur anguli Gissi, Dic aequales inter se erunt adeoq; egmenta E,D C similia inter se runt. Eadem ratione quia anguli FG E, D C sunt inter se aequales; erunt segmenta Ea, B similia inter se .Quod rector GT, D C, 4cctae Ea , i sint inter se paralleloe est mani sestu,ostedimus enim angulos FE DBC esse inter se aequales, item,& angulos FG E, D C aequalcs inter se. Si duae igitur rectae lineae ab eodem pacto ductae fuerint, quarum una secet duos circulus , transeatq; c. Quod erat ostendendum. I Si parallelograminii habuerit bina latera ipsum comprehendentia dupla duorum laterum alterius parallelogrammi similis, similiterque positi utrumq; utrius lusi: Parallelograminum parallelogrammi quadruplum erit. G
rallelogrammi EB FG nil militerque psti utrumque utriusq; hoc status Auduplum lateris sis, o B duplum lateris B F. Dico parallelogrammum in quadruplum esse parallelo- oram a F mllissimiliterq; positi Producatur recta EGm M. Duoniam ergo dupla es rectae B F;emiparallelo- oram,rCparallelogrammi DF duplum. quia recta BEaeotiato es rectae E A rit parallelogrammum A parali
136쪽
logrammo EC aequale ergo igitur totum parallelogram mum C duplum erisparallelogrammi E C;atquiparallelo gramum pC duplum es parallelogrammi DF;igitur paraialelogrammum A C quadruplum erit parallelogrammi DF. Juod erat probandum.
THEOR. IX. PROPOS. XCVI. Si diameter circuli producta fuerit, ita ut adiuncta
sit aequalis diametro, ab extremitate adjuncuducatur recta tangens circulum quadratum dimidia tangentis aequale erit quadrato in circulo inscripto.
SI producta diameter A B, circuli A CI D in E ita
niam igitur triangula A B D, B D H sunt inter stasimilia erit diameter Ai ad rectam B D, ut rectam Dad semidiametrum M. Quare erit quadratum rectae BID; no est quadratum C D aequale rectangulo A B HCum autem rectangulum A EB quadruplum sit,per antecedens cmm rectanguli A B H, quadratum tangenti aequale rectanguloA ES; erit quadratum P
137쪽
gentis PF quadruplum rectanguli ABH; hoc est uadrati Sed idem quadratum tangentis Et quadruplum est quadrati ipsius dimidiae F erit ergo quadratum rectae G H, quae dimidia est tangentis Ei, aequat quadrato CD, in circulo A C B D inscripto.Si igitur diameter circuli producta fuerit,&c.Quod erat demostra tu.
Si in circulo recta linea non per centrum extensa secet diametrii ejus de circuli ad angulos rectos;quadratum a diametro descriptum excedet quadratum secantis quadrato quadruplo quadrati rectae
lineis, quae intcr punctum cctionis, & centruata circuli interponitur.
IN circulo ABCD, cujus centruE, rectam secet diametrum A C ad angulos rectos in P. Dico quadratum diametri A Cexcedere quadratum secatis B D quadrato quadruplo quadrati rectae E F.Ducatur diameter BG,jungaturq; D .Quoniam igitur, basiis D G,per propos 7i hujus,dupla est rectae E;erit quadratum rectae D G quadruplum quadrati recta FE Cum autem quadratum B G a quale sit quadratis rectarum BD, DG dempto quadrato rectae excedet propterea quadratum rectae νω hoc est diametrii quadratum secantis B D quadrato rectae G, quod quadruplum cst, ex demonstratis, quadrati rectae i.Si igitur in circulo recta linea,&ci Quod crat probandum. I PROBL.
138쪽
Pl OBL. XXXVIII. PROPOS. XCVIII.
Data recta linea,circulum describere, ita ut, si data .recita linea producatur eum contingat.
APuncto B crigatur BC perpendicularis ad datam A B, jungaturque A C, quae producatur utcunque in D. deind ducta Di parallela ad CB,sumatur ex in recta DF, ita ut sit A D ad DT, ut A C ad QB . Denique centro D , intervallo vero Di , describatur circulus RG H. Quom dico esse quaesitum ioc est rei H A B eum contingere si ulterius producatur. Producatur igitur Aet , quae cadet in F;Si enim dicatur non cadere 1 puncto F. Cadat, si fieri potest,uel in puctoa,vel in punctori. Cadat primum punci: I. Quare cum Da parallela sit rectae C B;erunt
lue,ABC,trianguli CS A:adeoque triagula I A, CBA aequiangula inter se erunt;Idcirco erit AG ad D I, ut AC ad C B;sed ut AG ad QB,est etiam AG ad D F;eroo erit AD ad D ,ut eadem Am ad DT; Am igitur eandem proportionem habet ad DF,4 DI. Quapropter D F inter se : quales erunt Pars toti . Quod est ablurdum. Si vero dicatur Aa cadere in pultisto, Eodeargument ostendemus, partem toti ess aequalem. Recta igitur Aa cadet in puncto F ac ideo tanget circulum FGH, nam in parallela est rectae CBi
139쪽
D CB quare angulus AT D rectus erit,utpote,qui aequa lis angulo recto AB C. Quod erat faciendum.
PROBI . XXXIX. PROPOS. XCIX. In producto latere quadrati in circulo inscripti, inve ni punctum, a quo ducta tangente ipsum circulum sit quadratum tangentis aequale quadrat in circulo inscripto
utcunq; pro ducto in E abicindatur A P, ita ut B sit, per prop sit. 9. hujus,media proportionalis inter totam AT , adjunctam B F Dico Fesse punctude quo quaeritur. Ducat ut igitur FG circulum D Cain tangens. Quoniam igitur AB est media proportionalis inter totam AF, Madjunctam Ba erit quadratum AC, a media Aidescriptima quale rectangulo AT B sed eidem rectangulo Aa B aequatur quadratum tangentis ergo quadratum A C,in quadratum tangentis FG inter si crunt aequalia. Quod erat faciendunt
In diametro circuli producta invenire punctum, a quo ducta tangente circulum, si quadratum tan gentis aequale quadrato in circulo inscripto.
140쪽
metro CD ad angulos an rectos, centro C , intervallo vero C D, secetur B E in F. Dico F esse punctum quaesitum Ducatur igitur FG tangens circulum A adire, jungaturqu C R. Quoniam igitur angulus Fim major est angulo recto BHC erit triangulum C B Fobtus angulum. Quare quadratum C F aequale erit quadratis CB, BF,&duplo rectanguli APB H: Est autem quadratum CB subdumplum, seu pars dimidia quadrati Cm hoc est quadrati Caci ergo altera mcdietas quadrati Q erit quadratum B F, una cum duplo rectanguli PB H; igitur quadratum odia quale est quadrato BF, ωduplo rectanguli FG H. Cum autem recta AB secta sit bifariam in H, ei adjecta sit in rectum B R, erit rectangulum A Fi,una cum quadrato B H aequale quadrato F H; sed eidem quadrato PH aequalia sunt quadrata Fi i H duplum rectanguli Fi H; ergo quadrata FS, H, duplum rectanguli Fi H aequalia erunt rectangulo A FB,& quadrato H;Ablato igitur comuni quadrato BH; crit rectangulum Ait aequale quadrato F B, duplo rectanguli FB H; hoc est quadrato C B;Est autem quadratum tangentis aequale eidem rectangulo Aia; ergo igitur quadratum tangentis FG, quadratum rectae Ci hoc est quadratum C D,in circulo inscriptum, inter se sunt aequalia . In diametro igitur product. circuli inventum est, c. Quod faciendum erat.