Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

121쪽

97perat te tiam DT,ad quartam D F;hoe est TC ad A C, uti F ad Da . Quoniam igitur Ai est ad Ac , ut Diad Da erit dividendo A B ad BG , ut DT ad E F, dccomponendo erit AG ad B C , ut DT ad DF rgo, contrario crit C ad A ta ut Ea ad DT. Itaque si prima ad secundam candem habuerit rationem, quam ter tia ad quartam,&c. Quod demonstrare oportebat. SCHO LIU M Porro perspicuum est in his duabus praecedentibus propositionibus consequentem debere se majorem antecedexte, M umipo sit excessus,quo consequen reperat antecedentem.

Em M A. Si fuerint diue rectae lineae in quales quarum major

dupla sit minoris quadratum majoris duplum erit rectanguli sub utraque contenti.

C . Dico quadratum ex AB duplum esse rectanguli ubAB, BC contenti. uoniam igitur quadratam ex Ara , ct refctangulumsub Ata , B C eandem basim habent B, ct quadratum ex Ara altitudinem habet Ara duplam altitudinis A rectanguli A B C;erit per prop; 72.hujus,quadratum B duplum re Ianguli ABC od demonstrandum erat.

THEOR

122쪽

THEOR. XLIX. PROPOS. LXXXIV. Rcctangulum contentum sub latere trianguli aequi- lateri,& sub ipsius dimidia aequale est rectangulis contentis sub segmentis perpendicularium,ab angulis ad opposita latera, cadentium AB angulis Ai C, B C A, C A B, manguli aeqiii lateri At cadant ad latera opposita A C, A B B C perpendicularesam,CE,AF, quae, quia secant angulos a quibus sunt ducta bifariam, se mutuo secabunt, in G,per propos: F9 hujus. Dico Iectangulum contentum sub

latere A B, trianguli aequila teri Aa sub ipsius dimidiati aequale esse recta-gulis contentis sub segmetis

agitur,percoroli: prop:I8. lib. 14. AG dupla est rectar GF; erit,per praemedes lemma, quadratu Am duplum rectanguli Asi, ,per idem lemma, quadratum A B duplum rectanguli ABE; est aut quadratum AB, per prop: Ia lib. 73. UpIum quadrati A G ergo rectansrulum Ai Erectanguli A Gi triplum erit hoc si aequale tribus rectangulis A J E. Itaque rectangulun contentum sub later trianguli aequilateri, sit, ipsius dimidia a quale est, c. Quod ostend cndum erat. THEOR.

123쪽

THEOR. L. PROPOS. LXXXV.

Recta linea in circulo accommodata secans semidiametrum e)usdem bifariam , ad angulos iectos, erit latus trianguli relui lateri in eodem circulo inscript

REQ in B in circulo A B C accommodata secet semidiametrum Di bifariam in F ad angulos

rectos. Dico A esse latus trianguli aequilateri in circulo ABC inscripti.Adjugantur rectae AE, DB, Mdiviso arcu A C B bifariam in C , junganturre tae AC, B .Qu'niam igitur duo latera AT, FAE,

iii anguli A PT, aequalia

sunt duobus lateribus B F, D,trianguli Ba D, utruque utrique , angulus vero AT E angulo B F D aequalis erit x semidiametro Di aequalis. Quare A E latus erit hevagoni aequi lateri,Maequianguli in circulo A B C inseripti ergo arcus Aiest pars sexta circuli A B C; sed arcus i aequalis est arcu A E; igitur totus arcus Ei duae sextae partes erit; hoc est pars tertia circuli A B ergo reliquae duae tertiae partes, erit arcus A Ci,qui cum sit bifariam divisus in C; erit uterq; arcu A C, B tertia pars circuli A BC, Divisa est igitur circumpherentia Cit,circuli ABC intres arcus AB, BC, C inter se aequalec; ac proiiad

rectae A C,C B,B ipsis subicias inter se aequales erunt, triangulum igitur A C B est aequi laterum. Itaque rem

124쪽

AB latus est trianguli aequilateri in circulo Aa C inscripti. Qu*d erat demonstrandum

THEOR. I. PROPOS. LXXXVI.

Si recta linea secuerit semidiametrum circuli bisa. riam. ad angulos rectos; latera trianguli aequitatem super ipsa constituti,, extra circulum vergentis ipsum circulurn tangent.

Emidiametera B, circuli DG C, secetur a recta CD bifariam,& ad angulos rectos in E, super C Dconstituatur triangulum aequi- laterum mi extra circulum D a vergens. Dico latera FG, FG,trianguli aequilateri CD F,tangere circulum D G a. Constituatur super D triangulum aequilaterum D CG intra circulum D G C cadens quod, per praecedentem , critin circulo D G C inscriptunia)ducaturque semidiametrici, Di . Quoniam igitur angulus Cim duplus est anguli GD, qui pars tertia est duorus rectorum , erit ipse duae tertiae partes duorum recitorum, adeoque alia pars tertia duorum rectorum crunt anguli BG D, B D C; hoc est erunt duae tertiae partes unius recti, qui cum sint inter se aequale erit unus ipsortim , nempe angulus B C D pars tertia unius recti est autem anSulusa CO duce tetria par

125쪽

tes unius recti ergo totus angulum C B erit tres tertiae partes unius recti; hoc est rectus ac propterea recta a, ab extremitate semidiametrici ad angulos rectos ducta,taget circulum D G C. Eadem ratione F l eundem circulum D G C tanget. Itaque sit recta linea secuerit semidiametrum circuli bitariam , c. Quod ostendendum

crat

THEOR. LII. PROPOS. LXXXVII. Si circuli semidiameter bifariam secta fuerit, &a

puncto lacitionis perpendicularis ad ipsa excitetur, donec circumpherentia Occurrat rectangulun contentum sub composita cediametro semidiametro sub semidiametro sola aequale erit quadratis,quae fiunt alterum a perpendiculari,alterum ei Ora major segmento diametri. DIvidatur semidiameter Ai,circuli BCDE, bifariam in F,& a puncto F ad ipsam A B perpendicu

cumpherentiae Occur

rens in Q. Dico rectagulu coletu sub recta linea coposita ex diametro Di in semidiam ctro AB, sub semidiametro laesse AB squale quadratis,quae si ut alterua perpedicularii alter v vero a ma)ori segmento F D,

diametrii D. Producatur C F in Ε, super i consti

tuatur

126쪽

tuatur triangulum aequilaterum C EG extra circulum cades;jungaturque GD, D;erit igitur per cost prop. 8 .lvijus,triangulum C D Tarqui laterum, Mi producta, necessario per punctum G transibit,quia triangulum C EG est equi laterum, recta FG secat basim C E bifaria & ad angulos rectos. Quoniam igitur anguli in P, DF trianguli F D aequales sunt angulis G CT,GT C, trianguli FG uterq utriq;,ωlatus a commune; erit latus Di lateris aequalec demptis igitur rectis A F,BF,quae inter se sunt aequales,remanebiit,D A,B G aequales inter se recta igitur D G est composita ex diametro DB,& recta BG,quae semidiametro D A est aequalis. Cuautem inter se sunt aequales erunt ipsa ruri quadrata inter se aequaliaci sed quadrato D C aequalia sunt quadrata C F, F D ergo quadrata a Tm quadrato G aequalia erunt. Et quia, per praecedentem,recta CG tangens est circulum B C DT; erit rectangulum D i aequale quadrato C G hoc est quadratis a FD. Quare si circuli semidiameter bifariam secta fuerit,&a purust sectionis perpendicularis, c. Quod erat c-

monstrandum.

THEOR. LIII. PROPOS. LXXXVIII.

Si extra circulum sumatur punctum in ab eo ad extrema puncta diametri ejusdem circuli duae rectae lineae ductae fuerint,quarum una circuluna secet,&re Otangulum sub ipsa secante, sub interius assu-pta contentum aequale fuerit quadrato diametri Altera recta linea circulum tangen erit. APuncto A ad extrema puncta B in C, diametri

tacirculi Ci,sint ducta duae rectae lineae A B, AC

127쪽

ν , quarum Aa sit secans circulum BCD,& rectangulum sub ipsa AB,& sub interius assumpta L B aequale sit quadrato diametrii C. Dico alteram rectamAC tangentem esse circulum BG D. Ducatur D .Quoniam igitur rectangulum A BO aequale est quadrato B erit A B ad BG,uti ad B ideoque quia triangulae A C B Cim habent latera circa communem angulum AB C proportionalia, hoc est Ara ad BG ut DC ad B D; erunt ipsa triangula AC B,Cim aequi angula; ideoque angulus A i rectus erit, utpote qui aequalis est an gulo recto B Dc in semicircules Quare A C tangens crit circulum BGO . Si igitur extra circulum sumatur punctuna, Mab co , c. Quod ostendendum erat.

THEOR. LIV. PROPOS. LXXXIX.

Si extra circulum sumatur punctum, ab eo ductae fuerint duae, cita lineae , quarum una circulum i cci, altera vero eundem contingat,i quadratum rectae lineae subtenta arcui a secante, tangente intercepto aequale fuerit rectangulo contento subsecanti sub internis a sumpta: Recta. ylla linea subtensa erit dianacter circuli

Punicto A extra circulum B DG sint ductae duae rectae lineae A B, C, quarum altera At circulu

128쪽

B D C secet,altera vero A C eundem circulum B DG tangat, sitq;quadratum B aequale rectangulo Aa D. Dico subtensam B C esse se diametrum circuli B D C. Adjungatur D C.Quoniam igitur quadratum rectae A C aequale est rectangulo AB D;erit AB ad BC, ut B C adii Quare cum triangula A BG,BO C habeant circa communem angulum AB C latera proportionalia; erunt ipsa inter se aequiangula pergo angulus B AC angulo BG D erit aequalis. Cuautem angulus D A C, trianguli

GD aequalis sit angulo D i, trianguli Cam , angulus D in , ad contactus tangentis Ac , aequalis angulo in C, in alterno segmento; erit reliquus angulus A in reliquo angulo B D C aequalis,idcirco angulus B D rectus erit igitur segmentum in quo

constitutus est angulus rectum D C, semicirculus erit; Ac propterea BG circuli diameterest. Itaque sit extra circulum sumatur punct um,in ab eo,&c. Quod erat pro

bandum.

THEOR. V. PROPOS. XC.

Si extra circulum sumatur punctum, ab eoque ductae fuerint duae rectae arquales circulum secanteS: Rectae neue subtens, arcubus a secantibus interceptis parallela inter se erunt.

Planeto A extra circulum B C D E sint ductae rei tae'C A D aequales inter se, circulum BG D E

129쪽

sccantes Dico rectas dita, CD subtensas arcubus Ei l C interceptis a secantibus AC, A D, paralicias inter se esse. Quoniam igitur rectagulum sub

A aequale est rectangulo sub AD AE erit A C ad AE, ut Amadam,& vicissim ut A Cad Am,ita Ai ad A B;sunt autem A GAD inter se aequales; igitura E, A B aequales inter se

criminc ideo quae remanent BCED aequales etiam inter se erunt.

Quare crit AB ad Aa,ut B C ad ED, permutando A B ad BG, ut A E ad Em Secta sunt igitur latera AC, D,trianguli Acm,proportionaliter in B, E igitur B E parallela crit basi aD.Si igitur extra circulum sumaturiun tum, ab coq; c. Quod erat demonstrandum.

THEOR. LVI. PROPOS. XCI.

Si extra circulum sumatur punctum, ab eoque duae recitae lineae ductae fucrint circulum secanteS,S recitae linea subtens, arcubus ab ipsis interceptis suerint parallelae siccantes inter se aequales crunt. APuncto A extra circulum BCDE sint dii is duae

rectae A C, D secantes circulum BG Di,&je-eiae BE, CD subtensae arcubus CB, C ab ipsis secatibus A GAD,sint inter se parallelae. Dico secantes A C, D aequales inter se esse . Ducatur FG tangens circulum BG Di in C,jungaturq, B D. Quoniam igitur an-pulus Donaequalis est angulo B D C,& eidem angulo

130쪽

Bm C aequalis est angulus EB D; erunt anguli Fca Eim inter se equales istautem angulus G angulo CBD aequalisci igitur totu Sagulus CBE aequalis est duobus angulis FCB, GCD, sed anguli FCB, GCD, simul cuin angulo BC D aequales sui duobus rectis , igitur angulus C BE simul cum angulo BCD duobus rectis aequalis erit; sed de Agulus Cissi cum angulo C DE etia duobus rectis est arqualis igitur angulii Cm, D Car quales inter se erunt ac propterea secantes AC, AD ipsis oppositae r quales inter se sunt. Si extra circulum sumatur punctum, ab eoque duae rectae lineae diictae fuerint, c. Qia' erat demonstrandum.

THEOR. VII. PROPOS. XCII.

Si a centris duoru circulorum, sive se exterius tangat, sive non, duae tangentes ipsos circulos, sese mutuo

secanteS,demittantur, rectangulum comprehensusu segmentis unius aequale erit ei, quod sub segmentis alterius continetur rectangulo ACentris A i circulorum C E FG H ducantur recta AG,BD circulo CD E,FGH agetes: hoc est A G tangens circulum FGH,BD vero circulum G Di, quae sese mutuo secent in P Dico rectangulum comprehensum sub segmentis Aa, I G tangentis A G aequat esse ei, quod sub segmentis BI, ID tangenti sim con