Joannis Baptistae Palmae Neapolitani In geometriam exercitationes illustriss.mo & excellentiss.mo domino Carmino Nicolao Caracciolo Castelli de Sangro duci, ..

111쪽

A DIJ a qualia inter se erunt; ideo totum parallelo granaum A H duplum erit parallelogrammi A .Est autem parallelograminum AE aequale parallelogrammo H ergo parallelograminum A E duplum critetiam parallelogrammi A C . Si igitur duo parallelogramma super eadem basii fueritu constituta , altitudo

vero unius, c. Quod ostendcndum erat.

THEOR. XXIX. PROPOS. LXXIII. Si duo triangula super eadem basi fuerint constituta, altitudo vero unius dupla fuerit altitudinis alic-rius triangulum quod duplam habet altitudinem

alterius trianguli cupiuna crit S Uper eadem basi Ai sint costituta duo triangula ABC, AB D,& altitudo trianguli AB, C sit dupla

altitudinis, trianguli Al D. Dico triangulum Ara C duplum esse trianguli ABD. EX AB BC describatur parallelogramum ABCE, similiter ex AB, BD parallelogranaum A BD .Quoniam igitur paralleloaramum A C dupluri

plum etiam est parallelogramia F, ex priaecedente proposi erunt triangulum ASG,& parallelograminum B Finter se aequalia est autem parallelogrammii Ba duplum trianguli A B ergo triangulum ASG duplum erit ejusdem trianguli Aram . Si igitur duo triangula super eadem basi fuerint constituta , c. Quod ostendendu:Υ

erat .

112쪽

X hujus borematis demonseratione conuat, si triangulum parallelogrammu ver eadem basi fuerint constituta, ct altitudo triangulifuerit dupla altitudinis parallelogrammῆ triangulum, O parallelogrammum interse esse aequalia SCOLIUM. V Win duobus praecedentibus propositionibus tam

duo parallelogramma, quam duo triangula super aequalibus basibusfuerint constituta idem sequiatur,eademquesere es demon ratio.

THEOR. XL. PROPOS. LXXIV.

Si fuerint duo triangula , quorum unum habeat altitudinem duplam altitudinis alacrius, alterum Vero basim duplam alterius basis haec duo triangula inter se erunt e qualia

It altitudo, trianguli A. B C, dupla altitudinis trianguli Dii basis vero BE trianguli DBE, duplast basis di trianguli ABC. Dico triangula A BG, B Einter se esse aequalia . Ducaturi C. Quoniam igitur altitudo trianguli dupla est altitudinis trianguli Di C,& sunt super eadem i

113쪽

89 basii constituta;erit,per praecedentem propos, triangulum ASC duphim triaguli DBC sed ejusdem tria-guli Di C duplum est triangulum Dissici basis nimiai dupla cst basis igitur triangula A B C, Dii

inter se erunt aequalia. Quare si fuerint duo triangula . quorum unum habeat altitudinem duplam altitudinis alterius,&c. Quod ostendendum crat.

THEOR. XLI. PROPOS. LXXV.

Si fuerint duo triangula inter se aequalia , quorum unum habeat altitudinem duplam altitudinis alterius, triangulum quod subduplam habet altithidinem,habebit basim duplam basis alterius. SIn triangula A B C,Dii inter se aequalia, altitudo vero trianguli Aic dupla sit altitudinis trianguli DAE E.Dico iasii missi duplam css basis B Q. Si non dicatur dupla , vel est dupla major, vel dupla minor . Sit prius major dupla Exii quae major est dupla basis di abscindatur F,qus dupla sit BC, jungaturq; DF Qu'-

trianguli du FEapta est altitudinis trianguli Deta, lasis B F,trianguli D B F,dupla est basis B trianguli A Bracri triangulum Dii,pcrpraecedentem propos,aequale triangulo At C; sed eidem triangulo At C aequale est triangulum DB E igitur triangula DraF, Di inter sibi erunt

114쪽

erunt equalia pars toti Qu'd est absurdum . Siticinde minor dupla Producatur igitur di in G,ita uti dupla sit basis C ducaturque D G. Trianglitum D BG, per praecedentem, aequale est triangulo ABC,&eidem triangulo A B C aequale est triangulum DBE; ergo triangula Di G Dii inter se erunt aequalia, pars toti Q usii est absurdum . Itaque basis di nec est dupla major, nec dupla minor, sed dupla basis B C. Si igitur fuerint duo triangula inter se aequalia , quorum unuhabeat altitudinem duplam,&c. Qu9d ostendendu erat.

THEOR. XLII. PROPOS. LXXVI. Si fuerint duo triangula inter se aequalia, quoruα , unum habeat basim duplam basis alterius artangulum quod subduplam habet basim habebit altitudinem duplana altitudinis alterius. SIn duo triangula

BG, B E inter se aequalia, sitque hasis in triangulim K, dupla basis B trianguli ABC.

Dico, altitudine tria-guli At C duplamis

esse altitudinis trianguli BDE.Si non dicatur dupla erit , vel dupla majori, vel dupla minor. Sit priu dupla major Sumaturi Rex recta a,jungaturq; C, ita ut altitudo, trianguli FaG, duri sit altitudinis ,

115쪽

trianguli DBE .Erunt igitur,pe 7 .propos hujus, iangulati C, Bi inter se aequalia;est autem triangulum B aequale eidsi triagulo Dii igitur triagula ABC, F B C aequalia inter se erunt.Quod est absurdu,pars toti.Sit deinde dupla minor.Fiat triangulum G B C,ita ut ipsius altitudo dupla sit altitudinis,lriaguli Di E .Quare triangulum Gi C,ex eadem 7 . propos: hujus, a quale erit triangulo Dii,& eidem ti ingulo Dissi aequale est triangulum Ai ergo triangula A BG, BG inter se erunt aequalia pars toti Quod est absurdum . Altitudo igitur trianguli A BG, nec est dupla major, nec minor dupla:sed dupla altitudinis triaguli Dissi. Quare si fuerint duo triangilla inter se ae qualia,quoru unum habeat basim duplam,&c.Quod probandum erat.

THEOR. XLΠL PROPOS. LXXVII.

In triangulo rectangulo, si unus acutorum angulo rum duplus fuerit reliqui latus angulum rectum subtendens duplum erit lateris angulum subduplum subtendentis. I triangulo rectangulo A

BC, sit unus acutorurris

angulorum BAC duplus reliqui anzuli acutii A.Dicolatus AC,oppositu angillo recto ABC, duplum esse lateris

B A, angulo subduplo

116쪽

utrique, langulus Am C angulo Det C a1qualis erit basis Ax basi Cm aequalis , langulus B in angulo GD aequalis . Quare totus angulus D in duplus crit anguli B GA; sed ejusdem anguli dico duplus est, ex hypothesi angulus B AC ergo anguli DCA, BAC inter se te quales erunta ideoq; latus D A laterim C erit aequale Est autem eidem later DC aequale latus C, ex domostratis; igitur latera AC, D inter se erunt aequalia;Atqui latus D A duplii est lateris B A; naim, B Ainter se sunt aequales igitur latus An ejusde lateris A erit duplum. Itaque in triangulo rectangulo, si unus acutorum angulorum,oc. Quod probandum erat.

THEOR. XLIV. PROPOS. LXXUIH. Si ex diametro quadrati abscisa fuerit pars aequalis lateri ejusdem quadrati, serpunctum sectionis duae parallea ad latera ductae fuerint, Gnomon in quo minus quadratum Xistit reliquo quadrato

erit aequali S.

EX diametro B,

quadrati A CB D, abscindatur AE aequalis lateri A C. perlim istum sectionis E agantur ad lateram A. Ciarallelaea G, HI Dico gnomonem DBC EI, in quo minus quadratum DB existit, aequa-lam esse reliquo quadrato A E. Quoniam igitur A C,A E inter se sunt aequales

Crunt

117쪽

erunt quadrata ipsarum inter se aequalia;sed quadratum c A E duplum est quadrati lateris A G igitur quadratum rectae A in hoc est quadratum A Cim duplunc crit quadrati lateris AG hoc est quadrati A GEq.Quapropter quadratum A GAEI pars dimidia erit'iiadrati' B ergo altera medietas crit gnomon Da CGEI; igitur gnomon DBCGEI quadrato A GII erit aequalis . Si igitur c diametro quadrati abscissa fuerit pars aequalis lateri, c. Quod erat probandum .

PROBL. XXXV. PROPOS. LXXIX.

Data recta linea secta utcunque per ipsius sectionis punctum rectam lineam ducere,cuiti segmenta . sint reciproca segmentis datae rectae lineae, habeantque datam proportionem. SI data re, ta linea AS utcunque secta in C. Oportet igitur per punctum sectionis C rectam lineari ducere,cujus segmenta simireciproca segmentis AC,

CB, datae rectae AB, habeant l, proportione datam

recita D E ad E F. Inveniatur tribus rectis lineis Di, F, Ac vel C B, quarta proportionalis CG; hoc est

describatur,circa trianguluA B circulus Am B G,&G C producatur in H. Dico segmenta H C, C ,re LeGH, reciproca esse segmentis AC, i, rectae A B,'

118쪽

9qhabere proportionem rectae DT ad DF.Quoniam igitur in circulo AG BM , duae rectae A B, M sese mutuo secant incerit rectangulum comprehensum sub segmentis BC, A, rectae Ai,aequale rectangulo contento sub segmenti H C, CG, reeta GH adeoq; erit, uti Gad G, tam C ad C A:sunt igitur segmenta HG,C Greciproca segmentis, C, B.Quod autem proportionem habeant inter se, ac rectam E ad EF, est manifestum , Demonstravimus enim esse H C ad Ci,ut B C ad C G:

sed B C ad C G est, ut D E ad EF ergo H C ad C Aerit, ut D E ad E F. Segmenta igitur H C, G, C,CB sunt inter se reciproca, latam habent proportione rectarii, ad DF. Data igitur recta linea utcunq; secta, factum est, c. Quod erat faciendum

THEOR. XLV. PROPOS. LXXX.

Si prima ad secundam eandem rationem habuerit quam tertia ad quartam 3 excessus, quo prima superat secundam, ad excessum , quo tertia superat quartam,eandem habebit rationem, quam secunda ad quartam. SI prima Ai ad secundam odi, ut tertiam E ad

quartam Fi . Dico esse excessum ruta quo prima AB superat secundam CB ad excessum D F,quo tertia Di superat quar tam Fi, ut secunda C B ad quartam Fi hoc est

AC ad DT, ut C B ad F E. Quoniam igitur est Aa ad QB ut DT ad DP erit dividendo A C ad QB , ut DF ad PE, permutando AC ad DF, ut Ct ad PE .

119쪽

9 Quapropter si prima ad secundam eandem habuerit rationem , quam tertia ad quartam , dcc. Qu9d ostenden- diuia erat.

THEOR. XLVI PROPOS. LXXXI.

Si prima ad secundam eandem habuerit rationem , quam tertia ad quartam excessus, quo prima superat secundam , eandem habebit rationem ad primam, quam excessus, quo tertia superat quartam, ad tertiam. SIt prima AB ad secundam B, ut tertia DE ad quartam F E. Dico esse excessuma C, quo prim AB superat secundam CB, nad primam AS , ut exces --- ,

Perat quartam FE, ad tertiam DE; hoc est AG ad Aa, ut DT ad D E. Quonianti itur est A B ad QB ut D E ad PE erit diu dendo A ad QB ut DT ad DT; igitur, per compositionem rationis contrariam , erit A B ad A C, ut Di ad D F ac proinde invertendo erit AG ad A B, ut D F ad 2 E. Si icitur prima ad secundam eandem rationem habuerit, quam tertia ad quartam, o Quod crat ostenden

dum.

s CHO LIU M. IN his duabus praecedentibus propositionibus, ut perspicuum es, antecedensproportionis debe verare confe-quentem Uumipossit excessus vjus babetur consideratio. THEOD

120쪽

THEOR. XLVII. PROpOS LXXXII.

Si prima ad secundam candem habuerit rationem quam tertia ad quartam crit excessus,quo secunda superat primam, ad primam, ut excessus,quo quarta superat tertiam, ad tertiam. SI prima Ai ad secundam A C, ut tertiam Ead quartam Di . Dico excessum BG,quo secunda ADtuperat primam AB,esi

ad D F; erit dividendo AB ad BG,ut DE ad E Riatur, convertendo,erit BC ad Aa,ut EF ad Diiovare sitia, &c. Quod erat probandum.

PROPOS. LXXXIII. si prima ad secundam candem habuerit rationem

quam tertia ad quartam: erit excessus, quo secunda

superat primam,ad secundam,ut excessu: ii qua x superat tertiam, ad quartum. SIxprima AB ad secundam A C,ut tertiam Ea quartam Di . Dico excessuri. C, quo secunda AC superat primam A B, esse ad secundam AC, ut excessus EF, quo quarta DFQ-

Perat