장음표시 사용
101쪽
Triangulum constituere, ita ut quadratum unius lateris minus sit quadratis reliquorum laterum ea to rectilineo
OPortet constituere triangulum, ita ut quadratum imius lateris minus se quadratis reliquorumlat rum tectilineo A. Fiat quadratili classi rediit in eo A aequa-Ie,Mdivili, lateret bifariam in F , Licatur a puncto I recta F G parallela B E , c qua abscindatur m inualis recta E, deinde a pii licto H recitaquavis pcrpendicularim L adjungantur GI , FI . Dico, triangulum si quod quaeritur . Quoniam igitur angulus re, tu si H I major est angulo I G F erit angulus I G
acuius ideo in triangulo DF qu dratum lateris Fri, acutun angulum L F si ten dentis, minus erit quadratis reliquorum laterum FG I duplo rectanguli FGH est autem H G aequalis rectaec in igitur quadratum Fri minus erit quadratis FG,Gaduplo inausuli Fi hoc est quadrato Bes , quod cum sit rectilineo A aequale erit quadratum lateris i trian e ut IT , minus quadratis reliquorum laterum F ,GΙ rectilineo dato A. Constitui sim si igitur triangulum, ita ut quadratum uniu lateris minus, Dd iliciendum
102쪽
PROBL. XXVIII. PROPOS. LXIV. Dato rectilineo rectilineum simile, similiterque po
situm constituere, quod excedat datum altero da
torectilineo .REctiline, BQ constituendum sit rectilineum simile, similiterque positum,in excedens idem A BC rectilineo dato D. Constituatur rectilincum Bia simile, similiterque positum rectilineo A B C in aequale rectis 1ineo D,deinde rectilinea A BQ DES ita connectantur ii
Ioga Ci,n faciat angulti rectum B F, que sub tedat recta EF super qua constituatur C-ctilineum CF G simile,similiterque positum rectilineo A BC . Quod dico excedere idem rectilineum At C rectilineo dato .Quoniam igitur rectilineum . G aequale est rectilineis A B C, BET,&4ectilineum B Ei aequale est rectilineo D; erit rectilineum FG aequale rectilineis Assi C,&m; hoc est rectilineum. Rescedet rectiline uini C simile, similiterque positum , dato rectilineo D. Dato igitur rectilineo rectilineum simile, similiterque positum constitutum cst , c. Qu9d faciendum erat. ΡROBL.
103쪽
Dato rectilineo rectilineum simile, similiterque postum constitueres, deficiens ab eo altero rectilineo dato.
Constituendum est rectilineum simile, similiterqu positum rectilineo Ai Cm,& deficiens ab eo altero rectilineo
dato E. Super latere BC describatur semicirculus BF C,& constituto reeti lineo
i , similiterque posito rectilineo A BCD aequali rectilineo D,conne,ctantur rectilinea BGM,CTU , ita ut latus C F, homologum lateria accommodatumst in semicirculo Bam , adjungaturque super qua constituatur re tilineum B I i simile similiterque
positum rectiline, BG D.Quod dico deficere ab ipsi, B O rectilineo E . Quoniam igitur angulus B F C, tri qui δα , rectus est crit rectilineum AB Mae uale re tilineis B I K F, F G H; igitur ablato recti-lmeo CFGH deficiet rectilineum B L D, quod sinules, similiterque positum est rectilineo A B M , ab eodem AB D rectilineo F GH; hoc est rectilineo . Dato initur rectilineo rectilineum simile , similiter tu positum constitutum est, c. Quod inclandio erat
104쪽
Rectilineum constituere , quod habeat ad duo data rectilinea datam proportionem, S simile sit, similiterque positum cuivis dato rectilineo . OPorteat constituere rectilineum, quod habeat ad rectilinea A, B proportionem rectae CD ad DE,
simile sit, similiterque positum cuivis rediit ineo F.Constituatur rectilineum G HI,quod sit equale duobus rectilineis A B, simile similiterque positum edtilineo F, per ices ad fin sex: elem: ,d inde inventa Dri medias proportionali inter CD, Di, inveniatur , per propos et lib. . colle Pappi, quarta L M , quae sit ad tertiam H I, ut prima GD ad secundam ,& super recta L M constituatur rectili neu LMm simile, similiterque positum rectilineo F.Quod, lico habere ad duo rectilinea A,ndata proportionem re ad D M. Tribus rectis lineis DK, Di,HI inveniatur quarta proportionalis I hoc est sit ut Iad Di , ita Ha ad Pin. Quoniana igitur est ut C D ad Da ita L ad Ha , ut D k ad D ta ita H Iad LO: erit ex aequalitate ut C D ad DT, ita L M ad PO. Cum autem sit ut C D ad D , ita L M ad H I,& ut eadem CD ad D K,ita AE adii; nam C D, Κ,D E continue sunt proportionale erit uti ad D E ita LM adH cst autem K ad D E , ut H I ad I ergo erit L M ad H I, ut HI ad I . Continue sunt igitur propor
105쪽
stionales L M, HI, Io quare erit rectilineum N L M super prima L M ad rectilineum G HI super secunda Ha constitutum, ut prima L M ad tertiam LO:sed ut L M ad I , ita est ut modo demonstravimus ad Di; crgo igitur erit rectilineum L M, quod est simile, simialiterque positum rectilineo , ad rectilineum G H L hoc est ad duo rectilinea A, B, ut GD ad Di, Constitutum cst igitur rectilineum habens ad duo data rectilinea, &c. Qu9d erat faciendum.
PROBL. XXI. PROPOS. LXVII. Dato rectilineo duo rectilinea aequalia constituete , Que habeant inter se datam proportionem, S sint similia , similiterque posita duobus quibuslibet
datis rectilineis,utrumque utrique Ectiline, oportet constituere duo aequalia re- ilinea, quae habeant inter se proportioncm rectae BC ad CD & sint similia, similiterque posita cistilineis E,F,utrumque utrique. Fiat quadratum G H rectilineo A aequale,& sucto latere Im iis , ita ut sit IK ad m,ut B C ad m,ducatur a parallelam M. Deinde costituatur re stilineum N aequale rectilineo
106쪽
rectilineum, rectilineo E,rectilineum vero rectilineo F,aequalia esse simul rectilineo dato A, habere inter se proportione rectae C ad C .Quoniam igitur rectilinea N, O aequalia sunt rectilineis LL, LM; hoc est quadrato G H. eidem quadrato G H aequale est rectilineum A; erunt rectilineam, O aequalia rectilineo A. Cum autem sit rectilineum N equale rectilineo Κ, rectilineum rectilineo LM aequales erit ut rectilineum, ad rectilineum G Κ, ta rectilineum O ad rectilineum L H; adeoque permutando erit, ut G cadam, itam ad sed ut GA ad Li,ita st recta P ad ΚH; hoc est B C ad C D: ergo erit uti C ad C D, ita rectilineum, ad rectilineuo. Dato igitur rectilineo constituta sunt duo rectilinea &c. Quod efiiciendum crat.
Rectam lineam invenire,ad quam ita se habeat latus dati rectilinei, ut est idem rcctilineum ad alterum
rectilineum datum OPortet invenire rectam lineam,ad quam ita se habeat latus At mctilinei a ut est rectilineum Cad alicrum datum rectili neu D. Constituatur rectilineum
mile, similiterque positunio rectilineo C. Deinde lateri Abus homologis A B, FG in-Veniatur tertia proportiona Hnalis H. Quam , dico ess quaesitam. Quoniam igitur tres recta linea Aa,F G, Hsunt continue proportiona leSi
107쪽
8ῖles; erit ut rectilineum C super prima A B ad recti lincum super secunda FG; hoc est ad rectilineum D, ita I rima' ad tertiam H . Ergo rectam lineam invenimus, ad quam ita se habet, c. Quod faciendum crat.
Dato triangulo qui latero hexagonum equilaterum, d aequi angulum aequale constituere TR iangulo aequi latero A B C hexagonum aequitate
rum qui angulum aequale cst constituendum. Dividatur di bifariam in D inveniaturque a media pro- poitionalis inter B &CD super qua ii angulum aequitaterum constituatui' in circulo H DK,circa triangulun
ET G descripto, inscribatur hexagonum G H E ITA aequitaterum, is quiangulum .Quod, dico triangulo aequi latero Ara Cesse aequales. Ab angulis , E,Fad centruma ducatur GI, EAE, F L .Quoniam igitur latera HG, Hi , trianguli H EG, aequalia sunt lateribus LG,Li, trianguli L EG, utrumq; utrique,& basis; communis , erit triangulum H EG triangulo L E G aequale.Eademque ration triangula E IT, FAG aequalia erunt triangulis L F, LF ; adeoq; hexagonum M EI A duplum erit trianguli Gini. Cum autem B C, ET, B D sint continue proportionales crit triangulum B in super prima BGχ6-
108쪽
stitutibad triangulum TFG super secundam constitu tum, ii prima B C ad tertiam BD atqui dupla est ipsius BD igitur triangulum AB C duplum erit maguli EFG; sed ejusdem trianguli ET G duplum esse demonstravimus hexagonum GH E ITA; igitur hexagonum GHEI FK a quilaterum , arqui angulum , triangulum aequilaterum A B C inter se erunt aequalia . Dato igitur triangulo aequilatero factum est , c. Quod erat faciendum
COROLLARIU M. EX/μjus propositionis demonstratione constat hexago Ilim aequilaterum quiangulum in circulo inscii pilim duplum esse trianguli aequilateri in eodem circulo
PROBL. XXIV. PROPOS. LXX. Dato hexagono aequi latero riangulo triangulum aequilaterum aequale constituere D Axo hexagono aequilatero, aequiangulo A AB Dii triangulum equi' laterum arquale oportet con siluere . In circulo B DF circa hexagonum Ara C Iam descripto , inscribatur triangulum arquilaterum ACE,&erecta G ad C EPerpendiculari,quae aequalis sit ipsi Ci,adjungatur C G, super qua triangulum aequi-
Quod dico hexagono Aa CDii esse aequale.Qu9niam igitur triangulum C EG est
109쪽
rectangulum erit triangulum aequilaterum super Gaequaleti iangulis aequilateris super C E EG, quae cum sint inter se aequalia, ob aequalitatem basium C E, EG erit triangulum C H duplum trianguli EA; sed ejusdem trianguli Cio duplum est , per coroll praecedetis propol hexagonu A B M EI; ergo hexagonu AB CH ET aequilaterum, aequiangulum, ariangulum
aequi laterum GH inter se crunt aequalia. Dato igitur heXagono aequi latero,&aequiangulo factum est,&c.Qu' derat taciendum.
THEOR. XXXVII. PROPOS. LXXI. Si duo latera cujuscunque trianguli bifariam si i
dantur; recta linea ad puncta sectionum adjuncta aequalis erit dimidiae basis S In latera AB, AC, trianguli A B tabifariam divisa in D ME. Dico rectam Di aequalem esse dimidiae basis B C . Ducatur Elia rirallela rectae AB. Q a'niam igitur D parallela est rectae erunt
divisa mi, i sed A C divisa est
bifariam in E igitur Ci bifariamini divisa erit. Cum autem A B, C divisa sim proportionaliter in D ME; erit Di parallela rectae BF in quadrilatero igitur DB FElatera opposita sunt parallela; quare parallelograminum erit, ideo latus D E opposito laterii Perit aequale hoc
est dimidiae basis B Nam basisi ex demostratis bifaria divisa est in F Si igitur duo latera cujustuque tria-Suli
110쪽
85guli bifariam dividantur , c. Quod probandum erat.
THEOR. XXXVIII. PROPOS. LXXII. Si duo parallelogramma super eadem basi fuerint costituta, altitudo vero unius dupla fuerit altitudinis alterius iarallelogrammum , quod duplam
habet altitudinem duplum erit alterius parallelogrammi. SIn super eadem basi Ara duo parallelogramma A BC D, B constituta,& altitudo parallelogrammi A E dupla sit altitudinis a G UT Axallelogrammi
A Q. Dico parallelo gram muAEduplum esse parallelogrami C Producantur latera A D, BG donec Oc- Currant in G, Hiscet ei pro luet: in .QuΟ-niam igitur parallelogramma AT, H eandem habent altitudinem, altitudo parallellogrammi A E dupla est altitudinis parallelogrammi erit altitudo logrammi A dupla aliitudinis parallelogrammi A C;