Elementa sectionum conicarum conscripta ad usum Faustinae Pignatelli ... auctore Nicolao De Martino ... tom. 1. 2.

11쪽

quadratum si aequale clam duobus rectangu- , lis CTG , CG , quam rectangulo Ad Muna cum C quadrato ; erunt duo rectangulaCTG aequalia rectat gula AT una cum C quadrato . Unde sempor ac ponitur

erit quoque A quadratum aequale rectan- gulis, p opt*d: i , quum sit, ut CatCA, itεCAad C; erit recta G tangens ellipsis.

r. . ... Nunc ea sic dem propriatate Uende. e um 'fιἱngur, quae tangentiba soli siti sibi mutu oc-zzz. i. ς rrent has competunt. Hunc in finein ad duor minio quaelibet ellipsis puncta ducantu est..4. . MMςβήμ , sibi aut uo oo: sirrant iii X. Extendantur eae nyeniant cum diametris ΑΒ , EF inunctis L . r. Et erit primo , iu AX a1X, ita Exad et X. Ducantur enim ad diametros AB, Eph nrdinata FG ino ac per stiperi istensia, frit, ut G ad CA, ita Co ad CE. Sed, pro is Pter tangentem ET, C est ad C , ut est CA ad T. Itemque,propter tangentem AL L est d CD, ut est Dad CL. Quare erit:

12쪽

eri quoque triangulum ELX aequale tria

.ulo AI X. Unde, quum duo ista trisyguis habeant augulum XL aequalam anguiq/XT; habebinu quoque latera circum aequ3 les istos angulos reciproce proportionalia moindeque erit, ut X ad LX ita cadi; hoc est tangentes duo AL, Erinis 'dem ratione sese mutuo secabunt in puncts ac, in quo cbi invicem occurrunt. Ii sine amem sequitursecundo, an s..ania

Est enim , e superius ostensis ait C Fio.a. ad CE ita CG ad A. Sed,propter triangula aequiangula o A, CET, C est ad L, ut δε ad ET. Pariterque, o triangula aequian

consequentibus erit quoque, ut AX ad AL, ita EX ad ET & permutando erit pariter ut EX., ta Auad. ET . Unde quum in eadem ratione rectarum AL, ET sit, tam AX

13쪽

Ep. sed tim hentes AX, Ex lantantes, ut χ-iniuidi LG, Ao. re erit ex aequali, ut Ax ad X. ita eoiquo ara dianaetri Au

onjugatam diametria F. . Quemadmodiam autem tangentes x. Ex uiit, ut conjugatae diametrorum AB,

EF; ita quadrata tangentium AX, EX eruiit, ut quadrata situndem constigatarunt; atque adeo, ut Murae ipserum diametroruni AR EF, qui nis iuruli conjugauisunt quinati

. sunt aequalita . . Unde modo . seuti sigurae diametrorum Asia rationem habent eompositam ex ipsis diametris , S palametris earundem Lita quoque quadratum tangentis Ax ad quadratum tangentis Ex rationem habebit compositam

ea diametro AB ad diametrum EF in exi ta metro diastinii AB M parant et uni diam viii. . UlΙ. pertiliis Me quoque in , . . .. . 'irma , mim PAX . Ex sine duae tangentes: a d ellipsis , S ducta ex puncto eontactus A dia.

.u--ι-- metro AB, agatur per aliud contactus putr-

sum' recta conveniens cum tangente A X in minoa, quod loquani. ΑΙ se dum ipsi Ax. i. iotraham enitis tangens 'oc ii quo

donee eonveniat uni diantistro Asia miti 'ΟΥ. Tinii tu tu ad vilis in dianaei tumo diuit. m. ac qitimiam propter magentent EF, ut est BF ad CP, ita est G ad Ari erit permutando, ut A ad G His CF ad

14쪽

patet autem, duas istas rationes com p nere patiter rationem, quam habet AH ad C . Qtiare etit ex aequali, ut Al ad Ax, ita

AB ad C , proindeque , sicut AB dupla est xlpsius A. ita etiam AI dupla erit ipsius AX. ix sed saeile est etiam eos versam Hst xx.

osteMere nimirum , quod si Alii dupla T . Ex eontingere debeat ellipari in milia E. zzouemadmodum inimis dupla mi im tur ipsuis Ax, ita AB dupla est ipsius CA. Quale erit,ut AB ad CA, ita AI ad Ax sed AI ad Ax rationem habet compositam ex A ad EG ex EG ad Ac sive etiam ex AB ad BG, ex Grad AT . itaque AB ad C habebit pariter rationem e positam ei:

AB ad BG, 'ex GT ad Ansam A ad C habet quoqire rationesti eompositam ex Amadas ex BG ad A. Quare erat, ut sG ad A, ita Grad AT L,

permutandi, ut BG ad Gr, ita A ad T. sed omponendo B est ad GT, ut CT ad ' ΑΤ . itaque turius permutando erit , utar

15쪽

i iii is, duae tangentes ellipsis.Et,ducta diametro AB. - ... sit ri tangens tertia, qtiae conveniat cum EX Fis.3. in puncto Z . Sitque demum KL conjugata ipsius AB . Dico, rectangiillim ex Avin aequale esse quadrato , quod sit ex CK. Conveniat namque tangens LX cum

diametro A in puncto T. cum eius co iugata KL in pu V. Ducaturque ex puii- cto contactus L. tum recta EG ordinata Midiametrum 'R , cum reo in ordinat in diametrum KL . Ut igitur Erest tangens ellipsis erIt,'

uti ad Cr, ita Grad AT . sed , propter triangula aequiangula TBZ, T BJtest ad CT, ut BZ ad CV. Itemque,propter triangin aequiangula TGE , Ac, G est ad AT, iussi; sive CH ad Av. Quare erit ex aequa -

mingulo I CV. Et quoniam eadem tangens proceurrie quoque alteri diametro KL in puncto va erit, ex superius ostensis, ut CFI ad C , ita CK ad CV . Quare reditangulum H CV aequale erit quadrato ex Κ.Sed rectangulo HCV ostensum est aequale rectangulum ex Acin

BZ laitur ni retiangulum ex AX in Z quale quadrato liuod fit ex cc. - ci . Viterius , quemadmodum 3, Π.. 'unt duae ellipsis conjugatae diametri, ita snt

16쪽

gatae, quae conveniant cum tangente AX in ινα ιι

quod litem C quadrato aequale sit ' utiam rectanguluna ex Avi AY. Diictis quidem , tum otilinatis N PQ ad diametrum AB , cum ordinatis AO AI, ad diametros R, PS , erit remn luine Mi in PQ ad Ccquadratum in ratioeomposita ex MN ad e e PQ ad CR.

Sed , per ea , quae superius ostensa sunt MN est ad C . ut Ain, seu CI ad CP. Itemque PQ est ad K, ut AI seu C ad C M. Itaque tectangulum ex M in Q ad C quadra. tum rat onem habebit compositam ex C ad CP, Me r C ad M. Jam , propter tangentem An diametro - currentem in T, CI est ad CP, ut CR ad Y sve etiam, ut PQ ad ΑΥ Pariterque, ob tangentem AX , diametro, occurrentem in X, C est ad M, ut M ad CX suo etiam, ut MN ad Ax . Quare rectangulum ex '- MN in Dd C quadratum habebit quo que rationem compositam ex PO ad A , ct

e MN ad A X. Quoniam autem duae istae rationes com-ronunt pariter rationem, quam habet rectan ,

gulum ex MN in P ad rectangulum ex AX iui Ava erit ex aequali , ut rectangulum exu in P ad rectangulum ex Ax in Ari, ita idem retangulum ex mi PQ ad CΚi

quadratum propterea rectangulum ex

17쪽

diametri , quae conveniunt cum istisenio Ilii punctis X. π; erit recta paulum ex ANi AR aequale quadrato, quod si eas CK. Quia autem eidem C quadrato positum est aequale rectansulum ex AX in ΑΥ serit rectansulum QAX in A aequale re-oannuo ex X in ΑΥ: proindeque porti

-πι-t-a. Venientes cum tangente tertia di in punctis

Αμ 3 ad ellipsimusque productae, exhibebunt M. binas eius diametros conjus3rμβ. Si enim C producatur usque donec conventat cum tangente A in punctos triangula equiangula GT, AT . erit, uxCB ad BZ, ita A ad ΑΥ Uno, quirim

niodum aequales sunt duae CB . x ita quales erunt pariter duae BZ , AT proinde

18쪽

ε L E MEN emi gulo ex Anii Ar. Quum autem ostensum sit rectangulum ex clii BZ aequale quadr to ex C ceri eidem C quadrato aequale pariter rectanguintum ex Avin AY. Unde,quum duae diametri, PS abscindant ea tangentem porti ne duas Ax , ΑΥ, quin rectangulum continent, aquai quadrato, quod iit e LCK et ea, vae nodo osten*fio , omnino mella

diametri.

XIV. Caeterum olim hie silentio prate am .rire , quod si AB sit axis ellipsis, AD parame .. 2ter ejus in Eraliqua tangens ducanturquς zzz πex pundis contactu E re tae duae EG, FH,

quadratum. Sed ob triangulum EH, recta gulum in D, quadratum ex EG est aequaleis ictangulo HGT . Quare erit quoque . ut AB ad AD , ita rectangulum GT ad rectangulum HGT S propterea, quia duo ista μ' gula sunt in ex se , ut C ad GH Lerit ouali, ut AB ad AD, ita CG ad GH, Hi in Apst axicinator stipsi, que iis admodum As major est , quam AD; in rit . .

, CG major , quam GH proindeque pun- ctum H cadet semper inter punctum G centrum ellipsis oleissim autem, si Ad sit

19쪽

a EcTrortua . coNICA Ru Mininor est, quam AD; ira erit etiam C mi. - , quani GH ac propterea punctum H ea- det semper ad lieram centri partoni clat ad punctum G. .

duntur.

r. I. I Raecedenti capite ostensae sunt' 'ri I proprietates, quae competunt -- gentibus ellipsis a nunc eas prosequemur, quaestia. ' pertinent ad secantes ejusdem,ostendemusque, sum αι quam rationem habeam inter fremuisis, z--: ...ummota δει segmentis damnam revirum , quae

--ονι - erminantur. μεμ ' die autem varii sunt casus distinguendi, pro diversa qualitato rectarum , qtiae si hi mutuo occurrunt. Eh utrinque terminantur ad

ellipsim . Primo igitur supponemus, rectas lulas esse hinas diametros insis, O 'M mus , rectavarum sub segmoti seisi 'ad evanguium sis segmotis alterius in ri' luata ratione ipsarum diametrorum. Fio. s. sint enim AB KL duae quaevis ellipssdiametri quae sibi mutuo occurrunt in ipso centro C . Dico , rectangulum sub segmentis unius AC , BC, esse ad rectangulum sub sedi

nentis alterius Rci, ita, si est quadra n

20쪽

diametri AB ad quadrativit diametri L. Nam , quum utraque diameter sim se bifariam in centro CS erit in ratione ipsarum AB, Ei , tam ACUMC, quam BC ad LC. sed rectangulum AC est ad rectangultim KC in ratione composita ex AC ad Κα, ex BC ad LC . Quare ratio eorundem rectangulorum ACB, L duplicata erit diametrorum AB, M. II. Supponemus secundo, ex rectis, Fb d arimu i umentum, utram quidem se diame v reum , alterain ordinatam ipsius. Et iis c

erit ad rectangulum sub fermentis alterivictae in duplicata ratione ejus , quam habet diameter ad suam conjugatam Sit enim AB diameter aliqua ellipsis, cu Fio. ius KL sit conjugata iitque etiam Mo una ex ordinatis eius diametri, quae ipsi diametro occurrens iis puncto N, utrinque ad ellipsim terminetur. Dico, remugulum ANB esse ad

x tangulum No, ut est AB quadratum ado quadratum Nam tecta Mo, velut ordinata ipsius Am bifariam secta est in puncto m. Quare erit MN quadratum aequale rectangulo MN propterea erit, ut rectangulum AN ad rectangulum Noe, ita idem rectangulum AN B ad N quadratum Sed re-

Etangulum AN B est ad N quadratum , ut A quadratum ad L quadratum . Igitur inlia eadem ratione erit pariter rectangulum iANB ad rectanstulum MNO.

. III. Supponemus tertio, ressa Iubi mutuo se ...