장음표시 사용
31쪽
, SECTIONUM CONICARUM ,. . . quod si ex vertice alicujus diametri recta duo ουν. - catum, ordinatis ejus paratuli, ea uiuat νώ
bolam infla His vertice. Nunc autem sit , iungenuis, quod , cum,ti vote, O Θ- . Sit enim hyperbola AM cujus AB se
Fis. io diameter aliqua, AD parameter ejus, MAH recta, ordinatis ejusdem diametri parallela. Dia co , quod sicuti recta DAH contingit hyper-holam in solo vertice Α, ita in locum, conten tum tangente, eadem hyperbola, nulla ali recta linea duci possit ex eodem vertice A.
Si fieri, duratur rem alia Ar, hi qua sumpto puncto quovis', agatur per u
lud recta Pre ii DH parallela , conveniens, cum recta BD in puncto o. Et quoniam, propter hyperbolam, MN quadratum est aequale tectangulo ANoa erit PN quadratum majus illo rectangulo. Quarei extendatur Nousque ii , ita ut PN quadratum sit aequale
rectangulo ANS , Si u reatur AS ; haec stetis, bit tectam BD in puncto aliquo Q.
Ducatur ergo perstinctum istud Qt ictasti, eidem AH parallela. Et quoniani FN. quadratum est aequale rectangulo ANS , erit, ut PN quadratum ad AN quadratum, ita reis ctangulum ANS ad idem AN quadratum; sive etiam, ita NS ad AN . Sed PN quadratum est ad N quadratum , ut Ixquadratum ad
AK quadratum. Et Ns est ad AN, ut RQ ad AK sive euia, ut i ectangulum AR ad
ΑΚ quadratum sve demum , ut LΚ quadratum ad A quadratum . Quare erita qua-
32쪽
E L E M EN A SyQuod fieri non potest II. Quaelibet ergo recta linea,quae ex pun ILcto contactus ducitur infra tangentem, neces . se est, ut primo secet hyperbolam , tum cadat
in locum, tangente . hyperbola contentum. νυνωρalia
Hine autem duo consecivuntur auae aditum z.... 'nobis aperient ad ostendendas propriet te Ilo ii. omnes, quae hyperbosi tangentariis compe
Primum est, quod ad unum, idemque punctum Θperbola nonnisi unica tangens duci possit . Nam , si duci possent tangentes duae ἰjam una caderet in locum , hyperbola, Sc tangent altera comprehensum. Quod quidem ostensum est fieri non posse.
Alterum est,quod si recta linea contingat hyperbolam in puniis aliquo, ea debeat si paraudis ordinatis inius diametri , quae pertimia illud punctum . Nam aliter , ducta ex eo
puncto recta alia ordinatis iis parallela laret ista quoque tangens hyperbolae atque adeo ad unum , idemque punctum hyperbolae duae tangente duci possent. Quod fieri nequit. IlI His actis principiis , facile modo III.
erit, ea primum tangentis A prietate se deri, quae ei competunt , ubi alicui diametro occurrit . Tangens igitur ET, dum adiun ἰοῦ ni
Etum Ε, verticem diametri EF, conveniat cum diametro altera AB in puncto T. Et ducatur, j.ι tam ad diametrum AB ordinata EG, quam ad Fio ιι. diametrum EF ordinata AO. Primo itaque erit ut CT ad C , ita CA ad G . Nam,ex superius ostensis, BG est
ad AG, ut FO ad Eo,& dividendo, Abest
33쪽
EO; Sc addendo antecedentes consequenti
tu , C est ad Cta, ut E ad Co.Sed, pro- iter parallelasino, Er, ut est E ad Co ita est CT ad CR . Quare erit m aequali, ut CT ad C , ita C ad G. Secivido erit , rectangulum AGB aequale rectangulo GT adeo,ut AG erit ad CG, est G ad BG. Quum enim idem C quadratum aequale sit, tam rectangulo AGB una cum CA quadrato,quam duobus rectangulis CG TCGa erit rediangulum AG una cum CAquadrato aequale duobus rerungulis CGT, I CG . Sed , ob rectas continue proportiori
ies CT, C , CG, quadratum ex in est a quale re stanguinum . Quare etiam rectan stilum G aequale erit rectangulo C .
Tertio, si A sit parameter ipsius diam tri AB,erit, ut EG quadratum ad rectangulum CGT, ita parameter AD ad diametrum AB. Jam enim propter hyperbolam in hac ratione est EG quadratiim ad rediangulum AGB. Sed re tangulum G ostensum est aequale tectangulo CGT. Quare in eadem pariter ratione erit quadratum ordinata: EG ad rectat
Quarto erit rectangulum Ara aequale tectangulo CTG: adeo, ut erit Arad GT,ut est CT ad BT. Nam , ob rectas continue proportionale CT, CA, CG, quadratum ex CAest aequale rectangulo CG . Sed quadratume in est aequale rectangulo ATB una cum
in quadrato, Et rectangulum maestistitu
34쪽
te rectangulo mimi cum eodem C qui
drato mirare, dempto coniniunt quadrato ex , remanebit rectangulum Ara aequale re, ct ingulo CTG. Denique, si Κ sit coniugata ipsius ΑΒ, cum qua tangen ET conveniat in puncto . ducatur ad eam ordinata H erit, ut CV ad Cc, ita CK ad CH Nam, propter hyperbolin, in quadratum est ad m, seu CH via iratum , ut CA qindratum adrecti mium ACB, sive etiam ut rectangulium CG ad HEtangulum C sive delinim, ut CT ad GT. Sed Crest ad GT, ut CU ad EG, seu
CH. Itaque erit ex aequali, ut CK quadratum ad CH quadratum, ita CV ad CH L propterea tres rectae V, , CH conturust propo tionales erunt. IV. Sed ficile quoMeerest, comtosis ha iv.-m proprietatum μηδεν Nimirum primo, i 'quod recta Ersit tangens hyperbolis, situ orta ' que CT sit ad , ut est C ad . Nam, zzP
ex superius ostensis, BG est ad AG ut FO ad . . EO dividendo, AB est ad AG ut EF ad Fio. r. . EO; Sc capiendo antecedentium dimidia , Aest ad AG , ut CE ad ΕΟ Sc addendo antec dentes consequentibus , C est ad CG, ut CE ad Co. Sed ex hypothesi, C est ad CG , ut CT ad C . Quare, et it ei quali, ut CT ad
holis. seeundo,quod recta Erlangat hyperb Iam in puncto D si fuerit rectangulum AGBμquale ro iangulo GT, atque adeo, ut AG ad
35쪽
sutrumque seorsim auferatur ex eodem CG quadrato , erit quoque CA quadratum aequa. rectangulo CG proindeque erit, ut CT ad A, ita C ad G, ct consequenter ET tangens erit hyperbolae. Tertio, quod redita m contingat hypembolam in puncto Ε, si fuerit, ut parameter AD ad diametrum AB alii quadratum ordinatae EG ad rectangulum CGr. Jam enim quadra. tum ordinatae G est ad rectangulum AGBIn illa ratione . tiare, semper ac idem quadratum supponitur habere eandem rationem ad
rectangulum GTu erit rectangulum AGBaequale rectangulo CGTri proindeque rem Erlangens erit hyperbolae.
Quarto , quod rem Ersit tangens hyperbolae si merit rectangulum Ara aequalis rectangulo Tati conciuenter, ut AT ad
GT , ita CT ad BT. Nam semper ac ponitur rectangulum AT aequale rectangulo CTGς addito communi quadrato ex Cr, erit quo que CA quadratum aequale rectangulo CGet, propterea , quum sit, ut CT ad x, ita
CAM CG; erit rem Erlangens hyperbolae. Deoique , quod rem ET hyperbolam contingat in puncto Ein sueris,ut CV ad m, ita C ad CHMam semper ad CV est ad m, iit CK ad CH kerest quoque ut CV ad CH, ita
C quadratum ad CH , sive EG quadratum sed , propter hyperbolam, Κ quadratum est ad G quadratum , ut CA quadratum ad re-duoaulum AGB. s. re Mit ex aequali, ut
36쪽
L: Isti adduita risecedentes consequentibus , erit visim . ut CA qtradratum a CG ita tum, ita C V ad VH. Unde,quia CV est a VH ut CT ad EH, seu CG irit rursus exaequali , ut CA quadratum ad G quadratum, ita rad CH eadeoque, quum sit, ut CT ad ,
curra ut in M. Extendatitur eaedem usque do F Q ir. ne conveniam cum diametris AB, EF in
punctis Et erit primo, ut Acad LX, ita EX ad X. . Ducuntur enim is diametres AB, ΕΓ ordinatae EG, AO. Et per superius ost a. erit , ut CG ad CA, ria o ad CR sed, propter tangentem se est ad C , ut est C ad Crathisquo propter tangentem AL, Coest ad CD, ut est Uad CL. Qua, erit
.ex aequali , ut A ad CT, ita CE ad Cui Se Pr Pterea , quum duo triangula AC , ECThabeant circa angulim couimunem C latera reciproce proportionalia , eris triaingulum
ACL aequale ariangulo T. Hii dempto, communi trapetio TXL, erit quoque trianolupi Sin. aequale trian-'gulo Ao Unde , quum duo ista triangula rubeant ' angulum XL Tom. II. C AXP
38쪽
EX suo , ut c jug tae iametrorum M. LF; ita quadrata tange tutum A X, Exerunt, ut quadrata earundem conjugatarum atque minis; imino inculasgurae in thoioruinis intuinem habqui comi visitani ac insit diametris , parametris earundum , ita quoque quadratum tangentis A ad Piadratum t gentis X rationim habebit compolitamur diametro AB ad diametrum EF in ex pa
Protrahatur Maii tangens En, usqtie donec conveniat cum diametro AB in puncto T. Tum duca ad ea lenidia trum inditiata EG. Et quonim, propter tangentem
ET, ut est 3T ad CT, ita est Grad AT;erit permutando, ut Win , ita AT. Sed eomponendi, BG est ad GT, ut C ad
39쪽
sitam ex AI ad EG, ex EG ad Ax. sed. ob triangula aequiangula AP, BGE , Arhae ad EG, ut AB ad BG . Itemque, o triangula requiangula GD TAX , EG est ad A X me Grad AT , sive etiam, ut BG ad in . Quare A ad viationem habebit compositam ex
Patet intelli, duo istas rationes componere rariter rationem , quam habet AB ad C . Quare erit ex aequilii, ut Aradix, it AB ad Ari proindeque , sicuti AB dilue in
ipsius C A; ita etiam AI dupla erit ipsius Ax. ix IX Sed Deile est etiam eonversam hujuν - Uιπdere , nimirum , quod si Al sit dupla ip raris, sus AX, AXst tangens hyperbolaeo etiam aceo instere debeat hyperbolam lux Quemadmodum enim A dupla ponitur ipsi A Ax,ua AB dupla est ipsius A.
Quare erit, ut AB ad A, ita AI ad Ax. Sed AI ad Acrationem habet compositam ex Α ad EG in ex EG ad Ava sive etiam ex AB ad BG in ex Grad AT . Itaque AB ad C habebit pariter rationem compositam eae AB ad BG, Si ex Gradix Jam AB ad C habet quoque rationem compositam ex AB ad BG, exi ad A. Quare erit, ut m ad A. ita Grad AT 'permutando, ut m ad GT, ita C ad Ansed dividendo B est ad GT,'ut CT ad
AT . itaque rursus permutando erit , ut Br ad CT, ita Grad ΑΤ propterea,ex supς rius Ostensis, recta Erlangens erit ellipsis.
40쪽
Oo contactus Ε, mi recta EG ordinat ad diametriin As , siti, recta Eri ordi x tul Miametruiti RL Quia igitura est tangens hyperbolae
erit,ut BTad CT, ita GTad AT. Sed, propter triangula aequiangula BZ , T , V, Brest ad CT, ut BE ad U. Itemque,propter triangula aequiangula TGE , Ac, G est ad AT. ita; sive H ad AX in are aequa-MO BZ ad CV, ita H ad AX: propterea HAingulum ex Ax in Z aev xle. erit re Et quoniam eadem tangens ετ octurrit quoque conjugataediametro KL in puncti, V; erit , ex superius ostensii, ut CH ad Cc, ita CK ad CV . Quare rectangulum CV aequale erit quadrato ex CK.Sed rectangulo NCv.ostensum est aequale rectangulum ex Acin IZ agitur rie octangulum κAX h squale quadratu, quod fit ex Cc. a. M. Ulterius,quemadmodum ML sun xi.