장음표시 사용
21쪽
Sint namque AB AEL duae ellipsis diata Fio.m metri conjugatae 3 sitque etiam M ordinata diametri ΑΒ , Sera ordinata diametri KL cquae utrinque ad ellipsim terminavi, sibi inisse tuo occurrant in puncto re. Dico , rerungulum H in ad rectangulum HR, ut est EL quadratum ad AB quadratum. . Ex puncto E ducatiit ad diametrum
ΑΒ ordinata EG . Et quoniain, propter elli psim , L quadratum est ad AB quadratum, tam ut MN quadratum ad rectist gulum AN B , quam ut EG quadratum ad rectanguis Ium ADBQ erit quoque, ut KL quadratum mi AB quadratum, ita differentia quadratorvi
tia quadratorum MN EG est aequalis rectangulo H . Itemque, quum rectangulum AN B aequale sit differentiae quadratorum A. CN rectangulum AGB aequale differentiae quadratorum A, CG erit differentia rectan. gulorum ΑΝ , AG aequalis dasseum qu dratorum CG Cm, quae tantundem valet, in
rectangulum HR. Unde erit , ut o qua dratum ad AB quadratum, ita με nsulum NHoad rectangulum MF.
22쪽
quunt id contingit, erit rectangulum subis Mazzzz. mentis inuis in rectangulum sub segmentisimus, ut est quadratum prioris diametri ad Vi
quadratum conjugatae alterius diametri. Sit enim AB aliqua ellipsis diameter, cu Lius coniugata sit KL in O una ex ejus oriadinatim utrinque ad ellipsim terminat . Sit porro EF diameter alia , quae conveniat cum ordinata prioris M in puncto.. Dico , reis
Ei ingulum H esse ad rectangulum MHO, μι est M'hadratum ad KL quadratum. Ducantur namque ex punctis Ε, Η Μ rectae EG, HL, R , ipsi AR parallelae , quae
conveniant cum KL in punctis G, I, R. Et, triangula aequiangula CLG, CFII, erit, ut G quadratum ad Cl quadratum ita minuadratum ad HI, eum quadratum . Sed propter ellipsim a quadratum est ad R quadratum , ut rectangulum G ad rerungulum KRL.Itaque erit ex aequali,ut G quadratum
ad CPquadratum, ita rectangulum m in re tingaeum ΚRL . .
Hinc, conjungendo terminos prioris, tionis cum terminis secundae . erit quoque, ut C quadratum ad C quadratum , ita CR quadratum ad rectangulum KR una cum Ct quadrato. Quumque G quadratum sit ad CI quadratum , ut est Einii ad ratum ad CH quadratum; erit rursus ex aequali, ut Equadratum ad CH quadratum, ita in quadratum ad rectangulum ΚRL una cum Ci quadrato. Atque hirae , convertendo, erit ulterius, ut C quadratum ad diffrientiam quadrat .
23쪽
ao SECTIONUM CONICARUM rum CE, CH, ita CR quadratum ad dissere tim quadratorum R, . Sed differentia quadratorum CE, CH est aequalis rectangulo mT; disserentia quadratorum CR MI, sve MN , NH est aequalis rectangulo Ho.
Itaque erit , ut C quadratum ad rectangu- tum EHF ta Κ quadratum ad rectangulum M H permutando, ut C quadratum ad Ccquadratum, sive etiam, ut EF quadra tum ad KL quadratum, ita rectangulum Et Fad rectangulum HO. v. V. Supponemus denique, remis duas,
m tu occurrentes, ordinatas esse duarum at Σα - metrarrem, quae inter se nequaquam frauionis A. ae ... gatae . Et in isto casu rectangula, contenta sub
segmentis ipsarum, erunt ut quadrata . qua Fio.ν fiunt eae conjugatis earum diametrorum. Sint enim AB AES dtiae quaevis ellipsis diametriaririque o una ex ordinatis diameistri AB PQ una ex ordinatis diametri RS. Conveniant autem inter se duae istae ordinatae
in puncto H. Dico rectangulum H esse ad rediangulum Hoe, ut est quadratum, quod fit e conjugata diametri AB ad qua-
dratum, quod fit ex conjugata diametri RS. D licatur namque per punctum H diameter tertia EF et quoniam diameter ista Ελχ- ea Mo,ordinatam diametri AB, in puncto Haerit , ex ostensi, ut rediangulum ΕΗ ad x Hangulum MHo ita EF quadratum ad quadratum coniugatae diametri AB. Quumque eadem EF secat pariter PQ, ordinatam diametri RS in puncto Ha erit quoque, ut rectangu
24쪽
dratum ad quadratum conjugatae dum riRS. Quare ordinando erit , ut rectangulummo ad rectingulum PHQ, ira quadratum
ex conjugata diametri AB ad quadratum ac coniugata diametri RS. VI. Et quidem universale theorema, -- quod hac in re locum habet , hujusmodi est ,
ex o vacis evrmn diametrorum ad quarrectae ilia ista cirimatae raseruntur. Et omnia
alia theoremata, saperius ostenta, sunt tantum casus speciales istius. Nam primo si ductae rectae lineae tran
eant per centrum S sint ellipsis diante triserunt ipsaemet conjugatae earum diametrorum , ad quas eaedem velut ordinata referuntur. Unde,vi eius theorematis generalis,omnia
no necesse est, ut rectangula sub segmentis ipsarum sint, ut quadrata earundem. secundo, si una ex iis rectis sit diameterἰ
altera eius ordinatat quemadmodum prioe est coniugata illius diametri, ad quam ipsa velut ordinata refertura sic confugata ejus dia metri, quae secundam agnoscit tamquam suam ordinatam, est conjugata diametri prioris Quare,per theorema generale,rectangultim sub
ii mentia viaiqetri ad rectangulum sub seManentis 'rdinatae erit, ut quadratum diametria quadratum suae conjugatae. Tertio, si rectae , sese invIcem secantes,snt ordinatae duarum ellipsis diametrorum e jus tarum 'on aliae erunt coniuratae diam
25쪽
SECTIO NuM ONICARUM metrorum', ad quas illae velut ordia natae reseruntur , quam antem diametri ' verso ordine sumptae. Undo, per theorema generale,rectangula, eontenta sub segmentis earum ordinatarum erunt in ratione reciproca duplicata suarum diametrorum. Denique, si una ex iis rectis sit diameter, Sc altera sit ordinata alterius diametri erit
ipse prior recta coniugata illius diametri, ad quam eadem velut ordinata refertur. Unde, liheorema generale,rectangulum sub segmentis prioris diametri erit ad rectangulum sub sedimentis ordinatae alterius diametri , ut est quadratum diametri prioris aut quadratum corii
gatae alterius diametri. vii VII. Fieri autem potest, ut una ex secan
me tibus angen evadat: nimirum, quum punctam να-AE am duo sectionis coeunt in unum . In isto casa
L a 'rectangulum sub eius segmentis vertetur in 'quadratum ipsius tangentis . Unde inter qua ' dratum istud. rectangulum, sub alteriusi cantis portionibus eontentum, eadem adhue ratio obtinebit. Quin etiam veri potes in tangentem utraque Ieeam . Et quum id contingit, ambo quidem reetangula,sub secantium portionibus contenta,abibunt an quadrata ipsarum tangentium . Ex quo fit, ut hue quadrata , quae ex tangentibus sui , eadem pariter ratio de-hmitiorum habere.
Et istud quidem iam praece t evit di speetatim a nobis ostensum fuit u Vidimus
Vis enim quod si fuerint tangentes duae AX EMSΘ mutuo occurrentes in X , quadrata ipsa dirum
26쪽
tiam eandem habeant rationem inter se , quant uadrata, quae fiuii ex coni is diamin Mm AB, EF. Ad illud vero quod attinet , ne etἰam
mile erit, vera tem ejus speciatim osteni re sed distinguendi sunt tamen duo casus Primus est, quum ierans est parallela diametro, quae pertinet ad punctum contactus aruier est quum eadem secans ei diametro nequa quam est parallela. Iu Ponamus itaque primo secantem ViiL
eum contacturis adeo nempe, ut existente H tingente, secans sit tecta H parallela dia et M.
sistro EF Iamque in hoc sudiameter , tauria rimam resta, velut ordinata reti tur, erit Mice dem, quae est coniugata ipsius EF. i. ε. Sit igitur is coniugata diametri EF.
O iumque vicissim EF sit conjugata ipsius jam illud ostendendum nobis erit, ut meuadratum sit ad rectangulum MHo,veluti est AB quadratum ad EF quadratum. Istud autem axillo negotio ostendemus sequenti ratione.
Ex punctora duratur ad diametrum EF oclinata MR. Et quoniam duo CL HN inter se iunt quales Lerit etiam CE quadratum a male quadrato, quod fit ex HN. sed C qu
dratum est aequale rectangulo ER una cum CR quadrato. Et HN quadratum est aequale rinantulo H una cum MN, sive eodem in quadrato. Quare, dempto communi quadrato ex CR. remanebit rectangulum Mad.
27쪽
x SECTIONUM EO NICARUM drata , quae fiunt ex ipsis MR TH erit quadratum ad rem ligulum ERF, ita ΕΗ quadratum ad restangulum H . Sed MLquadratili est ad rectangulum GF ut
qua statum ad EF quadratum. Et igitur ex Q. quali in eadem ratione, quam habet AB qua dratum ad EF quadratum, erit quoque in quadratum ad rectangulum MHO. ix IX Ponamus secundo , secantem haut quidem paratulam esse diametro suae pertines
no ε' a ad punctum contactus adeo nempe , ut exi
et T. et stente EH tangente, secans sit recta HS , qua' et ' occurrit diametro EF damque, si ΚL sit dia meter, ad quam rem TS velut ordinata re Fio. . fertur, oste endum erit, Eri quadratum e se ad rectangulum Hs, ut est piadratuit conjugatae diametri EF ad quadratum conii .
satae diametri KL Ducatur ex puncto H secans alia HOaquae ipsi EF sit parallela itqtie AB diameter, quae ipsam, velut suam ordinatam agno
istit. Itaque,quum secans H parallela sit di metro ER, qtiae pertinet ad punctum contis Susa Lerit ΕΗ quadratum ad rectanguluxi NHo, ut est quadratuit coniugatae diametri EF ad quadratum conjugatae dianistri AB.
Quoniam autem Hoe, HS sunt secantegdum, quae velut ordinatae referuntur ad diametros AB, Κ L erit, ex superius ostensis, m
ctangulum H ad rectangulum HS , ac est quadratum coniugatae diametri AB ad qεa, dratum conjugatae diametri KL Quare oest, nando erit , ut ΕΗ quadratiun ad re
28쪽
is disinerei EF ad quadrativi, et iijugata
istam quidem generasim esse . Nam fieri .s ..i potest, ut rectavio, ipsi EF parallela ellipsi π G.
minime secet. Quuin id contingit, duci potest m. ...
rectam per centrum ellipsis damque obibito.' nebit eadem demonstratio , si reliquis uti pra manentibus , ostendi possit SH Odr tum esse ad remngulum Milo, ut est quadratum ex conjugata diametri EF ad quadratum diametri M . Id vero ostendemus in
Si GI conjugata ipsius EF ducaturque ex puncto, ad eandem EF ordinata Rari quoniam H quadratum est ad Cinqua dratum , ut quadratum ad CR quadratum; erit convertendo, ut CH quadratum ad remingulum lio, ita C quadratumina rectangulum E. . sed,ob ellipsim CE qua .dratum est ad rectangulum ERF, ut est CG quadratum adi quadratum. Itaque erit exaequali, ut C quadratum ad M quadratum , ita H quadratum ad ractangulummo. Quoniam vero M quadratum est ad Ela quadratum , ut CA quadratum ad CH quadratum; erit ex aequo perturbando , ut C quadratum ad H quadratum, ita Mquadratum ad rectangulum Ho; term tandes, ut CG quadratum ad C quadratum, ita E quadratum ad rectangulum H . Sed CG qiradratum est ad M quadratum, ut
mimi ci tum ad M. quadratum disque erit
29쪽
Sint enim Ain, viduae ellipsis tangenistra, quae ibi invicem occurrant in puncto H. Ducantur ex punctis contactus A, E di ' ' metri AB, EF. Dico esse, ut ad m, conjugata diametri AB ad conjugatam diam tri EF.
Ducatur namque diameter alia Mo, quae transeat per punctum H . Et quoniam AH estrangens, Sc H est secans , transiens perme trum; erit, ut AH quadratum ad rectangulum
MH , ita quadratum ex corium diametri AB ad quadratum ipsiusMO. similiter quia in est tangens, Ho est
secans , transem per centrum erit, ut rectanαgulum Ho ad EH quadratum, ita Mo quadratum ad quadratum, quod fit ex conjugata diametri EF Hinc ex aequo ordinando erit, ut AHquadratum adum quadratum , ita quadratum ex coniugata diametri AB ad quadratimi ex niugata diametri EF propterea tangentes duae AH in erunt ut conjugatae diame trorum AB EF.
ostensa sunt, prono alveo fluunt sequentu
30쪽
s x ex tot gentibus sum. Nam diametri ad quas duae secantes, Iut ordinata referuntur, sunt illae eaedem, qt repertinent ad puncta eontactus ratiare in eadem illa ratione . quam habent inter se quadrata tangentium , erunt quoque rectangula, qua sub ciuitium segmentis continentur.
Alterum theorema est, chiod si duabus se -πMisi ipsit: ρ - iis aliae fomes . ---πιν inter se , tam . . quam si rectangula sub segmentis inarum sim proportionali rectavusis, qua sub ser-memis istarum conis uentur. Nam diametri, ad quas duae posterio res secantes velut ordinatae referuntur sunt illis eaedem, quae agnoscunt velut suas ordinatas secantes priores. Quare in eadem illa ratione, quam habent inter serereingula subsemnentis priniarim similitium, erunt quoqu*ite angula rub se iratis esurum.
Demonstrantur propriet tex, quae rara tunt tauri
Irea tangentes hyperbolaedam illis x ... a quoque suae rim ostensii est; quod