장음표시 사용
11쪽
Nurembergensis super vigintiduobus ele mentis Conicis.
Onus est figura quo fit quando rectanguli trib
anguli manente uno eorum quae circa rectum sunt angulum latere circumductum itiangulu in idem rursus unde sumpserit exordium cir cumuoluitur. Et si manens recta linea aequa fuerit reliquae, quae circum rectum est angulu muctae orthogonius seu rectangulus erit conus. Si vero in no ambligonius seu obtusiangulus. Sin autem maior xjs Eoianis seu acutiangulus. Aliter. Conus est figura quaesit
qui in eodem plano nonest, reeidem puncto recta linea coniuncta utrinq; porrect ah punccho manente citcuae a recta linea iuxta circuli circumferentia,donec ad idem rursus conuer tetur unde ferri incoepit.Descriptam itaq; a recta linea superficiem,quae conficit ex hinis umerficiebus advertice inuicem positis quaruvtrans augetur in infinitu descriptione reeta ad utramcn parte in infinita productae,Mathe malici conica vocat superficie vertice veroiosius eminens ibideiunetum. At axem, per Dunetum illud eminens docentru circuli acta rectam lineam.Coni denig basim circulti illu.
Axis coni est manens quaeda recta linea,vt in prima coni dissinitione,circa qua linea rectam triangulum vertitur.
Basi coni est circulus uxta prima corii divinitionem, subcu Basis
12쪽
cumducta res a linea descriptus,
vertex seu fastigium culmen siue apex coni est punctus ille summus fixa circa rectum angusti reeti lineae vclut in prima Coni dissinitione. Denio axis basis re vertex Coni aliter definiunt in secunda definitione Coni. Diuisio Prima. Conorum alius orthogonius seu rectangulus alius amblygo nius seu obtusiangulus,ali' oxygonius seu acutiangulus, hui' diuisionis particulae exprima coni diffinitione patescunt. e Diuisio Secunda.Conom alius rectus,alius scatenus seu inclinatus .Rectus est, uad recitos ipsi basi angulos axem habet Scalentis seu inclinat' qui non ad rectos ipsi basi angulos habet axem. Haec diuisio,in quamlibet triti speciei si primae diuisionis cadere potest. Postulatum Primum Si Coni verticem alc signu in basis circumferentia, aut alibi in conica superficie,Vtcuel susceptum recta coniungit linea,ea in conica existit superficie Eande rectam linea plericti Mathe malici coni latus appellant. Postulatu Secundum In conica superficie recta linea duos praeter fastigiu punestos
connectens intra conum cadit. Postulatu tertium Si planum perconi culmen seu verticem secet conti comunis Lectio conicae superficiei secantis plani triam illus reetiline' existit.
Ab axe coni triangulus est facta in conica superficie comunis sectio, quando planta secat conti super axe, talis aut e comunis sectio conice superficiei atq; plani secantis rectilineus cxistit triangulus per tertium postulatum, Postulatu quartum Si planu coni basi parallelum conum secuelit comunis sectio Platu secantis ali conicae superficiei circulus est.
13쪽
Postulatum quintu. Si planu secans conti per eius verticem non venerit ne basiplirallelu extiterit,comunis sectio eiusdem plani Sc conicq sit siciei inflexa quaedam est linea qua Mathematici conicam voscant sectionem. Divisio tertia. Conicar section alia parabole alia imperbole alia Ellipsis. Parabole est quando planti secans conii, ad planu trianguli ab axe erigit,horum p planoru comunis sectio ad reliqtru hui' ab axe trianguli latus parallelu fuerit Hyperbole aute est quado dictoi planom comunis secti oscis reliquo ab axctrianguli la tere producto ultra coni verticem coincidit Ellipsis autem fit quando eadem comunis dic ON planom feetio cum reliquo ab
axe coni trianguli latere intra conum coincidit.
Conicae sectionis axis,seu ut at a dictit,diameter est recta linea quae super se ad rectos deductas angulos a conica sectione re cras lineas bifariam secat. Huius axis extremum in conica tactione, victum, vertex dicit conicae sectionis Ad axem vero sestionis ad rectos angulos deductae rectae lineae stri ictim scuordinatim actae vel deductae a Mathematicis vocant, nonunq; quod eas secundu ordinem ductas, Mathematici nuncupant.
hic denim ex his ordinatim seu structim due is qualis fuerit
axis portioni,apud se terminatae latus rem aliquando etiam
re sta linea ad qua structim actae possunt a Geometris solita est
Dati rectanguli trianguli itastelisa reeio angulo subtensam ita diuides re ut a puncto diui ionis alteri la te ii sta sit inter subtensae segmen ta media proportionalis. Esto tri angulus rectangulus occisoscelisa berectum habens angulu. b. c. cuius subtensa bla,cui dematur tertium d similiter ex at latere ters
14쪽
tium unu quod sit a..auferat,conexisq; d..dicon, subietalla.diuisa sit super d. quo ipsi a c.lateri parallelus se. acta media est proportionalis inter bla.d c segmenta ipsiust .subtensa Et quom per propositione xlvii. libri primi elementorum Eri. quadrat ipsius Q. duplus est quadrati te igit ratio quadrati
h d. ad ipsius de. quadratu est,ut bd. addc. per constructionem autem bd. dupla est ipsius. d. Igit per corolariu secundu pro positionis XX. li. Ui. ele. Si tres lineae .pportionales fuerint, erit sicut prima ad tertia, sic quae a prima tit species ad eam quae a secunda similis o similiter descripta tres rectae lineae E d e. d c. sunt cotinue proportionales. Igit dati rectanguli, triangulio reliqua ut supra quod oportebat, cre Ati c. le. paralebla esse liquet ex aepositione ii lib. vi. et Est enim ut ala. ad eb. sic c d ad di Corolarium. Inde etia perspicuti est quod tres rectae linea b d. le.d c. prostortionales sunt iuxta ratione dimetientis quadrati ad sua cosam, idest secundu rationem potentia duplam.
In subtensa trianguli rectanguli is oscetis dato puncto qui ausferat partem maiore aut minore tertio uno ipsius subtens satin ab eode puncto alteri laterii parallel si fuerit acta ea alia ipsi subtensae parallela sic secaret, superior eius portio sit media proportionalis inter secundae parallelae segmenta. In trian gulo tacprectangulo a b c. S i sceli ex subtensa b c punct d. auiserat. dInprimis minore tertio uno totius b c., per d. ipsi a c. paralellus agat de secans latus ab supe. at Texl demat ei dupla ipsius e ipsiq; bc subtensae parallelus
acta g. secet a c. quide super g. 1e. vero super h. quia a g. em parabieti sunt per constructione igit per secunda propositione laesi. ele. h.
ad hae est, e Lalae. At ex hypothesi e f. dupla est ipsius Le.igitii.dupla est ipsius A. Sed per xlvii propositione INL
15쪽
quadrat ipsi' fh duplus est quadrati e h.n1 Leh. sunt aequas iesic angui' se h.rectus, igit ratio ipsi' ff. adgh.est ut ratio ipsi Ph. ad h.. duplicata,ergo tres recta lineae Ph..h..h.lunt continue proportionales per corolari praecedentis elementi. In subtensaigit trianguli ec reliqua ut supra. Sin autem comasior extiterit tertio uno totius subtensa b c ergo g. cadet mira subtensam Nd c. aloe inde Dpositu eode modo ut ante colliciet.
Si in trianguli ita scelis res elanguli basi punctus sig net, a quo alteri circa rectuangulu lateri, parallelus asgatur inter basis segmenta mediae existens proportio natis deinde ipsi basi alia utcunq; aeta fuerit paralle lus priorem secans parallelum aloe trianguli latera reliquaserit quod fit sub segmentis secunc e paralleli rectangulu aequale ei rectangulo quod fit sub Prima parallelabatin illa ipsius particula,quae ateri iuxta recturi I at, seclidae adiacet parallelo. Sit triangulus re gulus isos celis a b c. rectu habes angulae dic atin circa eunde misi ah c. duo aequalia latera ab. c. ecbasima c. in Ua a Duncto d. ipsi bc. acta sit parallelus de,secans a b. latus sup C erit, c. inter a d. c. basis a c. segmenta media pro pomos natis. Rursus ipsi a c. basi,sit acta parallelus fg h. secas a b. m. Der Lec parallelude. in R. ec latus c. super h. dico crectans
acto. Quonia aute ratio ipsi' fg. ad te est sicut e lai c. liue ad aequalem g h. per corolarisi primi elementi conici, utrobioeen est ratio potetia dupla. Igit peripositione XUi .li. i. t Eu. Si quattuor re steline proportionales fuerint dic,quo tri bE re stan tutu equale est ei quod fit sub Je. g. rectangulos se in tria ut isoscelis rectanguli basi punctus signet octeliqua ut supra quod oportuit demonstrare. .
16쪽
Si in rectanguli trianguli i stelis subtensa punctus fueritis
signatus, a quo alteri circa rectu angulu lateri parallelus acta sit media existens proportionalis inter basis segmenta, in qua yt supra in partes subtenta producta pulicto assumpto ab eo ipsi basi seu subtensae,parallelus agat duo secans circa rectum angulu latera in easde partes producta erit rectangulti sub se ctionibus secundae paralleli factum aequale ei rectangulo, si Psit a prima parallela producta in ei particula, quae inter basis segmenta, media existit proportionalis . Sit igit ut prius truangulus rectangulus is laesis ab c. circa rectum angulti ab c. duo latera ab. b c laabens aequalia re in subtensa a c. fit d. si natus punctus perque ipsit, c. acta parallelus de sit inter c. hasis segmenta a d. d c. media proportionalis Aid te in par tes d. producta in rectum quoad libet, si ad Liti per L ipsi subtensi ac parallelus sit acta gi f. secans duo circa rectum a b c. anguliae latera a iubae,in catae partc Pros ducta superis h. signis .ed. fero in eas de partes eiecta
in f dico quod rectangulet sub g h. factust aequale ei quod fit sub Pe. d. rectam requalis ipsi in per corolarui primi huius elementi utrobi,
Emm cstratio poteti dupla in pernu sinu Tet or
17쪽
i eiusde ordinatim a 'siqua lis ei rectangulo qJ fit subrecsto latere eius in assumpto inter paraboles fastigii ato ordinatim aetam segmento Sit ergo in recto rectangulog cono a b c d. cui vertex hhasis ac d pabole te filivi' axis fg. vertex L sit i . lastus rect eiusde paraboles
d. f. Itan da structi aetasit aequalis ipsi D, atm in parabola se fidati sit e. signi a cicidi satus rectu strue ii de ducat ei. dic, quadrat'ipsius ei. ordinatim ae e est qle ei rectangulo quod fit sub is .ch. Planu igit aliquod ipsi a cla basi
parallelu secet sume h. conti abi d. igiti quartu postulatu,hui' plani secatis o conicesupficie cois sectio Leh. erit circulus Et sit ab axe coni triangulus a b c qui circulum e h. bifaria secat,atc eorundem trianguli ab axe coni eccirculi ei; comunisse Stio I.diameter est eiusdem circuli Levi. necesi artoc meabit per h. signit. Et quia ad c . quod semicirculus est,ci per construetione des ad rectos angulos est ipsi ac diametro eiusde semila circuli a deald dg aequalis ipsis sex hypothesi ec sexta diti finitio e huius Et quia per .ppositione xxxi.li. iii.el. Eu angui' adc.rcetiis NM g. ipsi ac. ad rectos est angulos. igitur per corolaritiae positio is visi. li. Ui. eorUnde ele. Eu.d g. inter a R. gQ mea dia existit proportionalis. Est autem per constimeti one d g. arcsstis ipsi faecigituri . media proportionalis existit inter a g. c. ec it h. parallel ipsi a c. basi triaguli a b c. axe coni. Ergo pteritu elementu conicaequod fit subes f. h. reeiangulusequale est ei quod fit subsit h. rectangulo.Est autem Les circumfercntia semicirculi velut patuit Sc. h. per diffinitione vi. ad re stos angulos ipsi civi. ociae positione xxxi.li.iii.ele. Eu. e h. angetius reeius ergo per corolarivaepositionis viii. i. vi. ele. Eu ei.
media est proportionalis inter ire . h.igitur per propositione
18쪽
xviisi eiusde Lel.Eu. quadrat ipsius. h. est aequalis ei quod fit sub iis h. ree angulosquod a iam ostens aequale est ei qJ fit sub eis h.ree angulo, tuadratus igit ipsius et aequalis est ei quod fit subgf. h. reeiagulo. At per constructione Q. axis latus est rec tum parabolede Laid ad idem latus rectum ab e. signo paraboles le Lei. strueti m deducit. Ergo si a parabolareeti ree angulid coni ad ipsius paraboles axem struetim a staceciderit re reliqua ut supra quod oportebat demonstrare.
Si a recti ree agulis coni parabola sit ad ipsi paraboles axem struetim deduc acadens extra latus rectu erit quadrastum struetim deductae ei aequale rese angulo quod fit sub reeio latere at c ea axis portigequq strite ina deducta eritq; paraboles fastigio adiacet. Sit igit in reeiam gulo reetoc cono ab c d parabole de ficuius axis fgae ad signo stru isti ae astri g. secans axem paraboles super . signo. Et latus reeium eiusdem parabolae sit. h. qci per diffinitione sexta con termino axis particulae Ph. semper est equale. Hic quod obiter est notandum , apud priscos geometras utra Quarti ei. g. recti lateris appellatione inuenit habere,ea potissimus ut puto, ratio quia sunt aequales. sed iam a digre ilione hac reuertendo ad institutis. Sit ab axe coni triangulus a b c. Dico ita*rust qua
dratus ipsius dia .set aequalis rectangulo quod fit sub g h. Intelligamus ita serit. aliquod planum basi ipsi coni a b c d.
19쪽
parallelum secare eundem conuiuius igit plani Vtrianguli ab c. ab axe coni comunis sectio it h. parallela est a. subten se re stanguli trianguli a b c Eiusdem denigilani at* inflexae seu conicae superficie comunis sectio est. i. h. circul per quartum postulatu agit per propositione xxxi lib. iii elemen.Eu. angulus Le..reeius est. Et quia per diffinitionem sexta ei. ipsi livi ad rectos existit angulos ergo per corolariu oetauae prospositiois i. vii ele.Eu. ei. media est proportionalis inter ii. h At. h.per dissinitione recti lateris,aequalis est ipsi rh,ergo. h. medias portionalis est inter i h. lik. igitur per quartu conicum elementusquod fit sub a g. g Creetangulu quale est ei quod fit suba f. i.re stangulo,sed ei quod fit sub assi.g c. reetangulo, aequalis est quadratus ipsius d g. Est enim adc. circumferentia semicirculi oc per appositione xxxi.li. ii ele.Eu. angui' a c. regetus est B per constructione d g. ipsi c. ad recstos angulos,igit quadratus ipsius d g. aequalis est ei quod fit suba Laxe paraboles o recto lateret h. Sed ordinatim acta da. per constructionere hypothesim in axem paraboles le f. cadit,extrareetum a tus ti git. Si a recti reetaguliss coni parabola ad eius axem strue imi sta ceciderit extra latus rechim erit quadratu hielisciua ut mora quod oportuit demonstras .
A reei rectangulic coni parabola quarumlibet duarum strueti aetas rum quadratis ratio est ut ratio earuquae sunt ipsis contermino axis porstionis. Sit igitur reeti rectangulio coni parabola a b c d cui axis a eig.in que struelim acri sint beae . dico igiturn ratio quadrati b e. ad da. quadratu,sit sicut e a. ad aes Sit ergo latus rectum a f. paraboles a b c d.Et quia per quintu aut sextu conicum elementu,quadratus ipsius b=.qqualis est ei fait sub fa .rectangulo,si
20쪽
militer quadratus ipsius d g. aequatur ei quae fit sub ga a Laresolae rectangulae,sed per prima propositione i. i. et . Eu.rectangulu sub ea. Me ad rectangulam areolam sub ea Cratione hasbet qua a e. ad am haec nanam rectangula sub eade sunt altitu dine quae est. Datus rectum paraboles per constructione seu ex hypothesi.Ergo eisdem rectangulis aequalia quadrata ipsas rum die da.rationem habent qua re ad assi. Igitur a recti resctanguli coni parabolare reliqua ut supra quod oportebat
Data quae in cono recto A rectangulo fit parabolaetum axe dato paraboles rectum latus dare. Sit ergo data recti reeiangulic coniparabole ab c. cuius axis a d. vertex a.dc ad axem a d. atm ad datum in eo signaea per propositione xxxiii lia ele.Eu. constituat angulus rectiline'
in Crecti dimidio aequalis .ci acciescet parabolen a b cani puncto a qad axem a d. ordinatim agaturae d. aequi in triangulo a cla,angulus a daeresus est,ue a d recti dimidius ex hypothesi ergo per propossitione xxxii lii ele.Eu angul quod a cla recti dimidius est. Qtionia trianguli rectilinei tres interiores anguli duobus sunt rectis aequales Isoscelis ergo est triangulusiae d. per proposistione vi. eiusdem primi lib. ele.Eu.Et quia ed. structim deducta ad a d. axem aequalis existit ipsi a d. Per dissinitione igit sextam seu recti in parabola lateris c d. seu aequalis a d. rectum est lat' datae paraboles a b c.Data igit quae in cono recto cis rectangusio fit parabolaec reliqua ut supra quod oportebat,ssicere.
Data recti rectangulid coni parabola eius m axe dato ipsum conum rectussc rectangulu dare, iit ergo data recti recta uti coni parabola a b. cuius axis a c. alc per elementu conicu octauum, rectum detur parabolae ih. latus,sitssi c. alc per propo