장음표시 사용
21쪽
axi ad a. signu rectus construat angulus c. d. cuius planu rectusit ad ipsius paraboles ab c. planu. Sit etia a d. recta linea qua lis ipsi. .et conexa cd.ipsa ad bifariam secet in e. oc a d. in partes a pducat sc ad fiscis, a Laequalis sit ipsi. e. algala c. parallelus agat fg octa c. in parte c. producta incidat in fae superg.signo Et quoniam per costru ctiones g. aeta est ad ac igit per secunda propositione l. vi. eL Eu.d c ad c g. est ut d a.atat Eltautem d a.dupla ipsius a frigit ecla c. dupla est ipsius ces Et aper propositione xlvii libri ele Eu. adras ipsius dla.dupluest ad ipse ac quadratu,ergo ratio pilus d c quadrati ad ipsi' aequadratu est ut de ad c g.Et quonia per corolariu ppositiosnis xx.lib. vi. ele. Eu Similes rectilineae figurae ad inuicem in dupla sunt ratione,similis rationis lateruagit ratio inc.ad c g. dupla est rationis ipsius d c. ad cactgit perdiffinitione duplicatae rationis c. seu aequalisbc.media proportionalis existit inedi. ocrei. Et quia per constructione angulus dic d rectus est, ato per corolarivi positionis vii M. et Eu.angulus dies re ctus est per imaginatione videlicet conexis ab.ha. Igiti per potitione xxx soli ele.da diuidue secta ini, o cetroi,in teruallo aute di. scriptus circulus di .ibit per bignu.Consiuncta deinde Ph.Et quia angulus ad Crectus est,atcbis fisequas lis ipsit . ergo ec anguli adiurecti sunt,et uter duo angusioru qui superi . sunt basi rectanguli trianguli fh g. dimidius est recti,igit partilis tria guli filia Fixo fh latere,atq; eode par ticulari tria ulo fh g. circumducto donec eo redeat unde ano ueri coeperat,ipse conu describet rectum d rectangulu per prima diffinitione, cuius quide coni basis est circulus dAEg. Ipse
denis triangul fui.circunctione sua paulatim seu succellitie
22쪽
secabit parabolen ab in omnibus suis punctis Quod aute circlculus dies basis existat coni circumactio fel, trianguli consfectus liquet ex eo, quonia circulus divi ereetus est, ad planutrianguli di .quia per constructione planii a b c ereetum est ad planu trianguI dig.Ex hypothesi aute angulus a cl. rcct' est,igitur berecta linea erigit ad planu trianguli dig. per disti nitione tertiam Ii.xi. et Eu. planu ad planu rectu est cuc At planu circuli dies.transit superi c. rectam, git per propositione xviii.eiusdeli. xi ele planu circuli db g. rectu est ad planu tri anguli dig. ergo idem circulus divi basis est coni,que partilis mangulus rectangulus fili. sua circumactione descripsit. Igits dbhconus datus est curectus rectangulus T in cuius conica superficie,parabolea b. data describit. Data ergo coni rectans guli Parabola, datur c conus in cui conica superficie eadem parabole describit,quod demonstrasse oportuit.
Aparabola recti rectangulio coni duabus structim deducitis datis atq; inter ipsas axis segmento dato totus eiusde parata Ie axis dabit Sit ergo data parabole ab c. a qua structim deductae he..d. atq; inter eas axis segmentula e dentur,dicori, o
tu paraboles axis a e . detur.Et quo nia per septimuelementum contra rastio quadrati c d ad quadratu ipsius blaest sicut d a.d. e. dirimendo igitur exscessus quadrati ipsius cla sua ipsius bequadrato ad eiusdemi e quadratu erit sicutis, ad e;.At ex hypothesi in hae
proportione tribus datis terminis,quartus terminus aes axis portio datur. Tostus igitur axis Me d. paraboles a b c datur. Ergo a parabolereeti rectanguli coni duabus ordinatim deductis datis, o reliqua ut supra quod oportuit de monstrare. Elemeno
23쪽
Data recta linea ad quam struetim aeta in parabola possunt ipsam describere in dato plano parabola. Recta linea ad qua ordinatim deductae posistunt alio nomine at parabolae reeiu discit,per diffinitione exta.Pari ratione parabole ibi si ad destris henda proponitur ea est,quq in rectum rectangulumc conum incidit. Ad qua igitur structim arue possunt ree ad data linea sit ab. Et ipsa a b. in quotlibet aequales secet partes a c.cd.db. atq; earu cuilibet qualis ad ah in direcstu adiiciat b, atq; in b. tigno ipsi. e. ad rectos excitetur angulos bi. quae in partes Lininfinitu sit pductabatd ipsa a e. diuidue secta super d. xd cen tromacio autem a d. semicirculus scribat af e. secans b Lyer pendicularem in fisigno.Rursus ipsi Ne aequalis adiungat e g. git, tota a fg.quq iteru bifaria secetur h. signo,quo centro,at interuallo ali. Rursus semicirculus scribat at g. dispesces per
pendiculare bisua si signo,ati in huc modu quotlibet ipsi e g.
aequales indirectum adiiciant atm semicirculi scribantur secantes perpendiculareb Lin singulis punctis vltra L punctum.
24쪽
Praeterea alia quaedam recti linea in subiecto assumat plano hi in n. aeqtiali sipsi a b. existens, sis in partem n. infinita hasbens partes h l. m. in n.numero S magnitudine aequales ipsis a c.cd. db partib'. Et sic deinceps in infinitu quotlibet assumsPtis partibus aequalibus atq; per signa Inan, realia deinde cocmitantia signa ipsi eth n. reeiae perpendiculares agant, Uae in utramq; parte ipsius et in n. sint quod in infinitu product(.ec perpendiculari per .aeta virinc duae aequales ipsi hi auferant sintd Vos p. Sic quod perpendiculari per m diaetae duae
rectae demantur aequales,hinc quide m . inde vero mis. sic, ut
utra ipsarum q. mr. sit aequalis ipsi bi perpediculari. Id fiat quous cilibeat,& eisdem punctis, veluti r.ex tracti Parte ipsius L nam per rectas tineas iugalis,descriptam esse iis proponit parabola sic constabit. Esto igit et in n. recta linea aequas Iis ipsi a b. lateri reeio dato. Et quia per construetione. h. semicirculus et dispositione xxx IIviii. ele.Eu. angulus a se. reetiis e maginatis videlicet seu per imaginatione ductis duabus reetis lineis a P e igiti corolariis propositio is viii u. vi.eoruns dem ele.b L est media proportionalis inter adi bi. Est autem hi aequalis ipsi a b. recto lateri dato, Io. aequalis ipsi bi. perpendiculari oc opsit Coequalis Igitur utraq; ipsartati l p. media proportionalis existit inter en o EL Igitur per propo sitione xvii lidivi. ele. cytit subh n. l. parallelogranam resctanguluaequale est ei quod fit exco aut ex I p. quadrato Persimile deniq; argumentatione probabitur quod fit sub en. mree angulu esse aequale. quadrato ipsius m . seu aequalis recistineae mi. haud aliter idem ostendemus de reliquis perpendicularibus per puncta ipsius hia. producta actis Igitur per mersitionem quinti aut sexti elementi conici inflexa linea movit r. conica est sectio quae parabole dicitur quaei in conu cadit recturee angulum*,qualem dato recto latere, noni elementu conis cum docet costruere. Data igitur reet linea ab. seu equali Cn.
ad qua structim actae lo. i. m q. mi . reliqua struetim actae possum,m dato plano descripta est parabola, o hi r,qd opor exiit essecisse obiter notandu est,quod quanto partes ipsius kn
25쪽
lia recti lateris arctiores assumunt,tato versus proposita parabolescribetur veru quaeritis recta linea iugans proximaque Iduo Puncta ab inflexa paraboles particula, quae eisdem finitiun ctis paru admodu ac penitus insensibiliter differt. Praeterea nostandu est in paraboles portio quae fastigio proxima existit mo dico ac pene insensibili distat interuallo a circumferentia eius circuli,qui scribit super centro,puncto existente mediae diuisionis lateris recti atq; macio medietatis eiusde recti lateris,uelut id manifestetique ex subiecta desci iptione
Si ab aliquoitincto extra das tum circul suscepto duae re ctae agatur lineae altera quide ad centru altera vero tangens eundem circulu, atq; ab ipso contactu supra deductam ad centru perpendicularis agat erunt deducta ad centru et se midiameter circuli atq; ad cen
datus circulus ab . cuius centruc. atdextra circuluabusus certus utcumq; punctus d. a quo adc. centru quidem coneetatre mine ea. ecans circulaea b. super a tanges aute ab circusium moeri signo sit acta b .Rursus a d cotactu super .d.perdendiculari sit b=.Dico, bd. deducta ad centru c. semidia: merdiendicularis .Erit igitur ut ed. adb c. sic b c. ad c e piri supra quod oportui demonstrare. Corolacium
26쪽
Hinc etiam patet quod tres rectae lineae caac. c. sint contibnue proportio ales iuxta ratione ipsius ad adae. Nam per prosPositione xix. i. v. ele. Eu Sicut totacd. ad a c. tota sic exae d. abIata a c. ad c e. sublata ex a c. Igitur reliqua a d. adriae reliquaeit,licut totacd. ada c. totam. Tres igitur recis lineae cd. c. ce. continue sunt proportionales secundurationem ipsius ala, ad e, atd ita corolarium existit manifestum.
tum circulii suscepto ad eundem circuiti duae deducantUr rectae lineae altera ad centrualtera circulu tanges c a coatactu supra ad centrum deductam perpedicularis agatur atqs a puncto in circumferentia eiusdem circuli vicum assumpto duae reetae coniura gantur lineae, altera quidem addictum punctum extra circulsi altera vero ad terminu dictae Perpendicularis erit earundem a circumferentia dati circuli de ductaru ratio, ut rectae lineae quq in deducta ad centru circuli asilumpto extra puncto occirculo adiacet ad eam rectam quae eo dem circulo at* praedicta perpendiculari comprehenditiar.Manentibus tam eisdem subiectionibus Sc figuratione praece centis elementi in circumferentia circuli a b. suscipiatur utcumt tignum quo conectant di. ei. dicori, ratio ipsi di ad s. stlicula d. ad ae. Connectatur ergo f. e quia in duobus trianetatis c d .cef. latera circum comunem angulue cf. sunt pro Porstionalia,Nam p praecedens elementu vis c. ad s. siccs ad ce
vi. id ele. Eura anguli aequales quibus p portionalia subtenduntur latera. Igitur, cf. ad ce sic di ad ei sediti fidi eucri'. ad ae per Corolarium praecedentis elementi conici
27쪽
atio praeteri puneto connexae ad de.duce recte lineae rationem habeant qui a d. ad ae. Si igitur ab aliquo puneto extra datum circulsi suscepto caereliqua quod oportuit demonstraile. Corolarium Hinc etiam perspicuui fit, v coniuncta a f. bifaria secat angulues data ut angulus a d. sit aequalis angulo a Le. Nam ut os eiusum fuit ut d ad etsi cad. adae igitur persecunda parte terset oro positionis i. vi.el .Eu recitari fidiuidue secat Cis angitatum Idem costabit de omni angulo facto,si ab aliquo signo in
circumferentia ab sumpto adde .segna duce recte lineae comne stant Erilo Corolarium manifestum est.
In dato cono per linea rectam a conivcrtice actam ad basim planu agere tangens eundem conii. Sit ergo contis ah cta,cuius basis circulus ae d. Sitc coni a b c d vertex b. a quo ad basim ac d ad eius circii inferentiam
a d in signo d.Connexa sit b d linea ouae per primu postulature et aest,existens in conica superficie coni ab c d Proposituq sit per rectam linea b d.
Planu agere tangens conica superti Igitur PVr si , in arisi in quo duaere inqgh .recta linea,quod oportuit emcere.
28쪽
eam superficiem super data recta inea, idem planu tanget etiaomnem inflexam linea quae in conica superficie describit,secas dictam ree a linea, Nerit comunis sectio duaru linearu rectaeo inflexae signu contactUS.
Ad inflexam linea datae conicae cuiusuis semonis in dato puriscio tangente rectam linea agere. Sit igit in dato cono abcd. cuius basis circulus a cla . conica
quaeda sectio qualiscum est at b super inflexa eiusdem see ionis i nc fili. datu punctum'.per que
oportet agere reeta linea quae ansgat eandem inflexam linea fg h. ini, signo Igit avertice dicon a b c d per idem punctumi producatur recta linea blid. secas coni basim in eius circumferentia super d. signo dc per bi d. conice superficiei contabcd. planu, b de applicer, tangens eande conica superficiem super bl d.recta linea, per xiiii e Iementu conicusAtcpplani in quo constit sectioigi, atq; plani di . comunis sectio sicli h. Et quia recta I sectio comunis eorundem planotrum soli1 h. punctum comune habet si inflexa Iunea fg h. Igitur per distinitionea per corolariu praecedetis ele menti conicis . rectata et inflexam linea fili. super h. signo igitur ad inflexam linea conicae sectionis fg h. per signum laedatum,tangens recta linea acta est,quod oportuit efficere
Si in dato signo,quae in rectum rectangulum, cadit conuo ara holen re statinea tangat,eademci tangens cuparoboles axis in ea idem producant partes quous*cocui rant,eta producti axis Pars exterior,quae paraboles verticisdictior concursus signo adiacet aequalis et axis portioni, quae eidem paraboles vertici c
29쪽
as qualis proponit cuius axis ad Et ipsam parabolen a c. tinniat recta eaec super c.signotat ce.tangens madeadu i in partes a coincidant super .signo id ex cotactum.supparaboles axe a d. structim acta sit c d dico ad. site qua h elis ipsi ae Et quia ex hypos thesi parabole data a b c.cas dit in con rectu rectangustum, git ec ide conus datur per non elementu conicu. Detur itaq; S itfcgh. cui' vertex h. axis dA.basis i. g. Et ab axe coni triangulus sit fili. secas planu ac d super paraboles axe ad ad rectos angulos.Erit itaq; se circus ferentia semicirculi.Conexa denicu ch. erit super inflexa suo ficie coni f. .h. Si autem primu c g. periferia dimidiu se, meust seu seu quadrans totius circumferentiae circulisvrim' si et figuratio,igitur a signo c.ordinatim deducta cas et Ah ni ieeuli f. p. Erit tam planu trianguli cs h. ere
ne, bcri agat cael tangens fessio conii super e hoe sta,
metra subitae pet dies csione tangit circulu
planu trianguit o Haec contactum Paraboles pq PAUP b. alleli igitur simiae i. dg Igixx xplanu trianguli ad coni
30쪽
velut patust etia erigitur ad trianguli e d h. pIana. Igitur eiusdetrianguli egi ab axe coni atq; planii et comunis sectio e h. ad planu eiusde trianguli. di erigit per xix propositione eis iisdem i. Xi. ele. Eu paralleli ergo simi. i. h. per propositione vi. eiusde i. xi.ele. Eu Atqui est. parallelus quoq; existit ipsi dg uti patuit,ergo et ei. parallelus est eidem d g. Et quonia cae. per constructione tangit parabolen ab c. in c. signo.c, e signi cosmune est plano ei . A plano fg h. trianguli ab axe coni. Igite. signti ieces ario constituitur inlab muni sectione eli ipsoruplanores i. ocuo, Atqui velut patuit. h. parallelus est, ipsid .igitur perae positione XXi X. li. i. ele. Eu.angulus ahe. aequas lis est agri. angulo, igit etiam aequalis angulo ali d. anguli desniq; ad a. recti stant, atq; duobus triangulis a e h. a d h. comune latus, h. Igitur duo triangula a d h. a et sunt aequi latera, perae positione XXVi. lib. i. ele.EU. Et quia latera sunt aequalia quae aequalibus si tendunt angulis,ergo ad equalis, ipsi ae Igitii in dato signo, ius in rectu rectangulis la cadit conii parabolen reliqua ut supra qd oportuit demostrare. Sin aut eis cir
cumferetia quadrante mi h nor extiterit. Igitur plana tangens conui c. i. superii c.recta linea coincidet cadimetientei g. in partes producto. Coincidat ita ij super i. signo Conexa iri inecessario meabit per e mgnu. Nam dicti plani quod tangit consi superi c. rectae l Plani ab axe triangulita' cdmunis sectio esti . recta. igitur e .sgnu necessario consiti tui supi .recta linea. Coniungat deinde. d.structim acta ex hypothesi atq: p constructione ad rectos est angulos o fag. climetienti. Et si ab axe coni triangulu fh g. subiectu fuerit in eode plano circuli f. g. erit h. punctus super circui ferentia scd