장음표시 사용
31쪽
i rei iuguli circuli f. g. Connectat deniqi des. Et quia Ci.tangit circulum s c. super c. cce c. ad fg i. per centru circuli actam ad rect os angitos d. agit. Ergo per superius ostensa ementa conica
duo anguli dies. 8cumbunt equales,Et quia perio Mnem anguli ad et sunt re et duobus triangulis ah d. xi e la et comune a h. Igitur duo trianguli a dirum e. sunt aequiagulies aequilateri per positione xxvi.tib i. et Eu. Ergo a d. inuasu est os. e. Si igitur in dato puncto e reliqua ut supra. sic g. ci cum ferentia,circuli quadrantem exuperet, ergo dimetientei g. in partes . productum. RUrsus ita perspicuis liti t. d. rectas lineas in partes, i, proin 'm
cidere inuice ad eundem e. punotum, nisi quis in velitasset ererum eadem recta, ean
dem recta linea induob secet signis quod absurdissimuest, et aperito geo metra maxime alienum. Nasi sic duo a rectae lineae super ficiem cocluderet
quod neutiqua fiebri potest repugnas te comUnigeom* ius et centrum ec sit h.
32쪽
nis est angulus d Ei rectus, ae circum eunde angulum, velut ostensum est proportionalia latera Igitur per propositione vi. ILvi elemen Eu. duo trianguli liui cladi aequianguli sunt,re anguli aequales quibus citis de rationis latera subtendunt. ergo angulus divi. aequalis esti I. angulo,sed eidem hul. angulo iam ostensus fuit aequalis ea . angulus. igitur angulus dAEI. aequalis est ipsi et L angulo. Sunt autem Phae Scael k. anguli
aequales. Uter enim aequalis est, velut patuit Scie .ppositiosnem xxixsi Lelemen. Eu . angulo Chl. Igitur ex comuni senstentia. Si aequalibus addant aequali adc. Compositi ex aequali bus duo anguli et g. gi d. sunt aequales In duobus aut triangulis Mel. h. d. anguli qui ad a. reeti sunt S comune lat'. h. Igit per propositione. xxvista. eleme. EI. duo triangula alae. et at d. sunt aequiangula S aequi latera necnon a d. ae latera quae aequalibus subtendunt angulis aequalia.Ex hypothesi austem ei. recta linea tangit parabolen ab c. super c. signo. Si igitin dato signo, suae in rectit in rectangulum tonum cadit paras holen recta linea tangat,eadems tangens et paraboles axis in easdem producant partes quous d inuicem cocurrant erit prosduc ti rixis pars exterior,qua paraboles vertici dictod concurssui adiacet, aequalis et axis portioni quae eide vertici algosa raboles contactu structi initae interponit quod hucusgopors tuit demonstrasse.
S in dato cono ab axe trianguli latus unum ultra coni vertice producatur alia termino eiusdem lateris producti ad basim ipsius ab axe trianguli recta quaedam linea ducatur secans alterum eiusdem trianguli latus . in eadem recta linea intra conuex duobus contingentibus sisnis ad planum ipsius ab axe tri
angulidus excitent perpendiculares conica occurretes super
ficiei erit ratio rectanguli facti sub eade linea recta us 3 ad pri
mam perpendiculare acta,cceius portione quae idem perpen diculari, algab axe trianguli alteri lateri adiacet ad quadratu
eiusdem p pendicularis, sicut ratio rectanguli comprie hesi sub eadem recta linea ducta us*ad secunda perpendicularet ei'
33쪽
particula quae ad eandem secE.dam perpendicularem Sc latus ipsi ab axe trianguli terminat, ad quadratu eiusde se cud p pedicularis . Sit ita conus abc. cuius basis' c. circulus S ab axe coni triagulus ahae eiusdlatus a b in partem a. verticiS, quantumlibet producatur, soad d. signum, a quo rei alinea agatur te. v scp ad basim ab axe coni triagulit .secas a c.latus eiusdem trianguli superi at in ei linea recta duo utcunque puncti summant..h a quibus ad planum trianguli a b c duae excitent perpendiculares, livi conicae occurrentes supersficiei suci ksignis .dico Uratio rectanguli subdai coprcheti ad quadratum perpendicularis
34쪽
adinvicem rationem habent ex lateribus compotitam igitur ratio areolae contente: tib ag gi ad areolam comprehensam lud m. componitur ex duabus rationibus quaru una est lxqr ipsius fg. ad vim. Similiter ratio rectam guli lubs h. l. r. facti ad rectangulum suboli .co praehens imcoponitur ex ratione ipsius d h. ad hi taratione ipsius si ad n o. 't eadem est ratio ipsius di ad Cl. quae ipsius d h. adlis. Sic quoq; ea deest ratio ipsius f ,ades m. quae ipsius f h.adio. Igit ratio rectaugulisit, des s.contenti ad rectangulti sub Limcomphensum seu ad quadratu per pedicularis gi. est si it ratio rectanguli subdi. hi facti ad rectangulu subii. h. o. conten tum seu ad quadratu perpendicula risit. Ex comuni sententia Rationes eaedem simi quae eisdem componuntur rationibus Igitur. Si in dato cono ab axe trianguli latus unum ultra conivertice producat, ex reliqua visu praesd oportuit demdstrare.
Hinc etiam i t perspicuum quod hi maior est quam mi amni maior est quam g .ech o. maior quam g m. Igitur quod fiesubn h. hi rectangulum at est faeto sub les em rectan losa tradratus auic in ipsius h h. aequalis est, velut patuit ei quod ii subia' o. c quadratus ipsius vii. aequalis ei quod fit sub Legna .rectangulo. Igitur quadratiis ipsi us hi maior est quadra to ipsius i. liquet stre corolarin, videliceti, ene maiorem aps agri. Ex comuni sententia latera sim maiora quorum uti drat fimi maiores . . i
Reci angulo aliquo atque quadrato linea i recta datis dabitur quadratus ad quem quadratus eiusdem rectae erit sub riuione
dati rectanguli ad quadratum datum. Datum es:
positionem ultimam libelementorti Ela dabimio e GDe Potens aream a re anguli. Et per propositione,
e hvpothesi quadrat' ipsius . re uatest
35쪽
Et per propositione xx irii vii eo rmdem elemen. Si quattuor rectae lineo proportionales fuerint, o ab eis rectilinea similia similitercyde scripta .pportionabilia erunt Igitur quadrat ipsius d. seu aequalis area ipsi videlicet qdranguli a ad quasdratum di rationem habet qua quasdratus ipsius c. ade. quadratum. Igitur dato reci angulo a. at*Adrato b. datus est quadratus ipsius, ad quequadratus ipsius c. est sicut rectan gulum a.ad h.quadratu quod opor tui efficere.
Si duo data rectangula inqqualium longitudinu quadratis suarum latis tudinum iungant fuerintd hqc duo aggregata inuice aequalia erit quasdratus aggregati maioris logi tudinis minor quadrato aggresgati breuioris logitudinss. Sintigit data duo rectangula ah c. cuius a b longitudo prolixior et di cuius longitudo ste brestator atque rectangulo ab c in directum additus sit quadratus h. h.ipsi latitudinis hae Simi liter rectangulo 1 Lin dire stuiunctus sit quadratus et . at
a drestatu ach. aequale extite
rula fg aggregato dico , ei latitudo rectaguli te maior sit h. latitudine rectanguli a b c Si enim ei latitudo rectanguli
d ei satus existens quadrati e fg aequalis extiterit ipsi latitudi
36쪽
tu me rectanguli a b c lateri videliceti ei quadrati igit e g. latus quadrati et g. erit aequale ipsi bi lateri quadratilat h. et
rotas e g. recta minor erit quam ipsa a b h. ex comuni sentetia. Ei aequalia inaequalibus addantur occetera. Igitur aggregatuem e f. rectangulon quadrato fe g. minus erit aggregato ex a b c rectangulo e quadrato bi perinpositione. i. li. vi. ele. Eu. quod contrarium est hypothesi.Nam xc h. di . aggregata adinvicem subiiciuntur aequalia. Eodem rursus argumentatio nis genere probabimus ei latitudine seu latus quadratii e gnon esse minus latitudinea c. seu latere quadrati l h. igit quadratus f e grespectu logitudinis d. breuioris erit maior qua drat L h. in comparatione ad prolixiorem a b. longitudinem Si igitur quo data rectangula inaequaliu latitudinum et reliqua ut supra quod oportebat demonstrare
Duas producere lineas alteram rectam, alteram inflexam quae hyperbole conisectio est, quae quanto amplius productitur eo magis vicisi m appropinquat nunqua coincidentes etiam si in infinitum producant. Sit itaq; conus a b c habes basimi dcirculum atq; aconi axe triangulum sit a b .cup a b latus pro ducatur in partem a. Vsq; in e. quoad id libet. et a puncto e intra mangulum a b c. recta agatur linea e f. secans a c. latus. supere. hasim autem bc. mi. signo. atqr plano ab axe trianguli ab c ad rectos excitetur angulosis h. recta linea cum peregi planum eat secans trianguli quide a b c. supere f. conicam vero superficiem sup id. linea. Erit itaq;.h. recta linea contingens v id fectionem planum igie egi ad rectos secat angulos a b tria guti ab axe planum. Intelligatur deinde planum eth. ex Parcte ch in infinitum produci, similiter conum ex parte b c d ba lis Et quia idem planum eg h. per coni verticem no vadit ergo recta linea conectens gi. seu quaecum alia sectionis vid una intra conum cadit per secundum postulatu ergo linea fila ind
a b c.perpendicularis agatur l. quae necessario cadit in educi munem sectione trianguli a b c. plani ech praeterea linea
37쪽
re stare g. super . diuidue secetur.at quae fuerit ratio resctanguli sub cli. contenti ad quadra tum ipsiusq;.ppendicularis eade etiaper ele co viii fiat ratio quadrati ipsi'
ciat denigm'. rescta linea. dico quod reeia linea h. Scgid inflexa linea si Protrahatur in inti. nitum nunc coincis dent, o quanto an splius producant,eo magis inuicem prospinquat Concurrat aut coincidantve si id fuerit possibile super L puncto a quoad eg f. perpendicularis agatur Lia.quae necessario cadit in e
CL coem sectione e Ch. plani 5 tri uti a b c. di ad planu eiulade tria ulli pendicularis seu erecta,qm ess h. planu sup planotriaguli a b c erigit erit ergo ratio rectanguli sub Cn.n R. constet ad quadraru ipsius ivi sicut dratia m. ad dratu ipsi Ch. Quare etia sicut ratio drati m n. ad quadratu ipsius i n.Et quoniam per propositione x.lii v.eleme. Eu Quae magnitudines ad eandem eandem habet rationem aequales adinvicem sunt, ergo rectangulum iube n.ns.contentum erit aequale quadras
38쪽
eo ipsius m n trussenim ad quadratu i n. eandem habet ratio nem qua quadratus ipsius. m. habet ad i. quadratum,quod impollibile est per propositionem vi libri ii. elementomtu quoniae a. bifariam diuidit in m. eis in recti adiicitur Cn. istic per eandem propositione, ili si elemen. Eu quadratu ipsius in n. superat id quod fit sub em n g. rectangulti quadrato ipsi' in patet ita sar prima propositi elementi conici Scriptae nan si sunt, velut ostensum est, recta mi Minflexa Cita. nunus coincidentes quantucuncti producant. Deinde dico , quato plus m h. ira linea producantur, tanto magis sibi in tricem appropinquant. Protrahatur ergo linea et incidens ipsi mi
super o puncto ali in C d. h perbole seu conica sectione Post
h. assumatur p. signum. quo super e gi perpendicularis a Miti P q. quae in parte P. acta occurrat ipsi nil producta superr.Et quia quadratus ossi atq; duplum eius quod fit sub , et aequalia sunt quadrato p r.et duplo eius quod fit subire mussit
quia in . ad i. est ut m q. ad ' est autere q. maior quam in igitur gr. maior est. luam Lo.Et quia per xvii elementu conicii q. maior est quam h l. igitur per xix. elementu conicum eo. maior est xias r.ergo segniti propius est rectae lineae mi mduciae qua signum O. horum aute utruq signorum. r.existit in
hyperpolica sectione, i d. Et quonia idem de omni alio puri cto quod in eade oblid linea hyperbolica sectionis c d extis terit eodem modo demonstrari poterit usq; in infinitu, oua,to amplius recta linea mi. xinflexa linea hyperbolice sectio
Quod antem stantibus prcmissis hypothesibus ae constructio ne. quadratu ipsius Wo.c duplum eius quod fit sub ol et sinaequauariti adrato ipsius p r.eae duplo eius quod fit sub Hoquotienscui hyperbole ad non coincidente describitur si quebit Nam ratio rectanguli sub ea. g. ad quadratuit sitis hest sicut ratio quadrati ipsius him ad quadr:tu ipsius cicat, idcirco sicut ratio quadrati ipsin I m. ad ipsius Lo qu catum
39쪽
per propositione uae li.vi.elemen.Eu.Erit igit peripositionexix.li.quinti ele.Eu.ratio quadrati ipsius ium quod est dister evitia qua Lin quadratus excedit rectangulum sub e .la.ad ipsae k.quadratum,& duplum eius quod fit sub Eo. l. sicut ratio quadrati ipsius em ad ipsius ih. quadratusigitur per secunda partem propositionis nonae i. v. ele.Eu quadratus ipsius gh. aequalis est quadrato ipsius eo.& duplo eius quod fit sudo . k .nam adstrudaeorum quadratus ipsius g .refertur sub easdem proportione similiter quod demostrabitur m quadratus ipsius gi aequalis est quadrato ipsius aer reduplo eius quod fit subris p q. at ex comuni sententia, Quae uni sunt aequalia adinvicem sunt aequalia. Igitur quadratu ipsius k..et duplum eius quod fit sub ,h. l. sunt aequalia quadrato ipsius VP.et durato eius quod fit subis. q.patetigit lemma seu assumptum.
Ad datas resctas lineas non coincidenteS, qad rectu se constingunt angias tum per datum signum hypers bolen describere. Sint igitur datae duae rectis lineae a h. b c. stinuicem constingetes in pus cto b.rectum compr(hendat angulum ab c. et datum signu
lcribere non coincidentCIgitur abire angulus diuidue
40쪽
fecetur per propositione aere seme Eu. producta recta ineade. Et a. signo d. ipsi be . ad recti os angulos agatur de. incidens in ipsami, super e signo. Eade dei id perpendicularis dae. in utrasi partes produca secet ipsam quidem a b in a. et ipsam h c. super Cpuncto.Et ext e. auferaturi L qine per propositiosnem ultima libri ii elemen Euclidis possit areolam parallelo grammi seu rectanguli cuius longitudo atqtialis extiterit ipsis e. e c. pariter itinetis in direetiim, o latitudo ipsi di aeqtialis. Et peri signia producaturi g. parallelus ipsi ce secans b c. lineam sup .Et quonia per constriictione angulus Ne c.rectus est. iae parallela ipsic de igitur per propositione xxiXIO. elemen Eu. angillus bies rectus est. Ex hypothesi aute angit lusio g. dimiditis recti existit,igitur per propositionem xxxii. eiusdem libri primi elemen angulus bi . recti dimidius est. Et quia duo tri ad basimiae sunt an tilistrianguli stuat requales igittir peripositione vi. eiusdem primi libri clemen. f .aequalis est ipsit fictitus,tiadrat aequalis est vicostructio nem parallelogrammo habenti Iongittidine stridem aequalem ipsis c .e d. pariter additis in rectum alitudine vero atqtialem ipsi c/Igitur quadrathis ipsius es. aequalis est parallelogranas moree angulo habenti longitudine quidem aequalem ipsis cae. ed in rectum pariter additis latittidine alite teqtialem ipsi. d. Ita quod quadratus ipsius fis aequalis est qtiadrato ipsitis c d. et duplo eius quod fit stil, cd. se. Producta deinde bi in parte h. v sty ad h. signum siti bi aeqtialis ipsi bi. Ipsa denicii ei in aliquot vicum scindat sectiones at a per sec ionii signa ipsi a c.
paralleli peragantiir secantes a b. b c. datas lineas,quanto alite arctiores ipsius e f. sectiones capitin tur,tanto exactius scribes
tur per d. signum hyperbole non coincidens a b b c rectis. Earundem quo sectionum prima sit ei. dc per i. ipsi c de pasrallelus sit actus il secansi c. in i puncto. atq; ex ipsa id des matur, k. potens parallelogranam rectangillusti bi t. f. constentum. Et xii per propositione visi raeelem e. Eu f h. bifaria secatur in b. alcii ipsis h. in rectum addittiri Lergoruti adratus
ipsius h qualis est ei quod fit sublata Let quadrato ipsi'bi.