장음표시 사용
41쪽
Et ut i ha aequalis est ipsi N i. Igitur quadratus ipsius Laedualis est parallelogrammo subita. s.contentio quadrato. iris iusti. At ex hypothesi quod fit subire quale est.quasdrato ipsius iri. Igitur ex comuni sententia si aequalibus aui rantur aequalia quae reliquuntur aequalia sunt. quadratus ipsi Latin quod bis fit.su, h. l.sunt aequales,quadrato ipsi hi, sevi vis I g. Pari modo demonstrabimus quadratum ipsius d. equae parallelogrammo quod fit sub h/.efrectanδhulo.Nam b .aequalis est ipsi e per propositione vi. O.el Eulationia in triagulo hae e.rectagulo anguli qui ad basim c. sunt uales. Eorum enim uteroprecti dimidius existit.Et quia ver To.li ii eleme eorunde quadrat d=.aequalis est ei st i sub h. e Latm quadrato ipsius f. Et peruit propositionee sdem secundi libri quadratus ipsius ce. est aequalis duobus u dratis ipsarum. d.de atq; duplo eius quod fit sub c d. e.
ietur u ratus ipsius bi. ad rectangulum sub h/.e s.cotem se in ovales sunt duobus quadratis ipsarum c d. de. atq; dua adratum ipsius hi aut ipsius aequalis tanquale est uadrato ipsius Ed. atq; duplo eius quod fit sub c d d e Igitur comuni sententia si qualibus ecc rectangulu quod fit subde faeduale est quadragipsius de Si demum reliquis pa
tia sunt di pari ostri ictione constituant,ea, rectis conectant neu inflexa quaedam creabitur linea hyperboles haud absi line S,in hue de Orier couersione lemm xii
, ii et relicius dicto modo signata per idem lemma elemeta conici xxi velut ipsius hyperbolesta ius dimidii constitimae artem c. ita quod reliquii dimidiu constituet in parte Chic linea svid atqi recta b c in partes c studunum Tree ea oue Ica Iementu conicv xx fuerui ostensia.rire is comem clini duabus rectis incis a b. e
umni in pu ob. rectum cotinentes anguo
42쪽
ium,per datum inter easdem linea d. num hyperbose da L.
descripta est,non coincidens ipsis a b. b c rectss. Etiam si eadehyperbole atq; eaedem rectat lineae a b.bc. in partes a d..in infinitum producantur quod oportuit demonstrare. Lemma seu assumptum. vi autem recite: lineae ipsa sub he. f. cvsub his. f. et similiter coteta rectangilla potetes breuiter ac ferme eodeminueniatii den tur Momento.
:ecta ab ipsis ii C: directum copositis. Sit*n .aequas lis ipsi ei. Ipsaq;m o. aequalis sit ipsi he. Deinde ex o. signo ipsim n.ad rectos excitetur angulosis Et m n diuidue secetur in .et centro . interuallo autem .scribatur semicirculus o n. secans perpendiculare o p .ini signo Et quia per propositio nem xxxi. h.iii. elemen Eu. angulus ms n. rectis est atq; ab eo a m .perpendicularis agitur os . ergo os p pendicularis mescia proportionalis est inter in o. n. Est aute in n. ex hypothesi
aequalis ipsi ae. cvno. aequalis ipse ei. Et velut oste sum est se media proportionalis est inter liue ei perinpositione vi. i. vi. elemenJu.ergoo p. aequalis est ipsi te. I tirsus imo. in totidemeraequales partes secetur ipsius es sectionibus, quarum, r. sit aequalis ipsi e .Et centro item q. Culpacio, r. scribatur semicir cu t. se casis p pediculare sapis .c m,.stici. dico ita oeqsto sitae ius ipsis h. Nano. aeulis est ipse .cvri r.e itis ipse L
qui ex comuni sententia. si aequali latiferant aequalia,quaere in tu tantaIrerunt aequalia.ergoo r.esta qualis ipsis i. par ars
pumentatione constabit st. esse aequalem ipsi h .igit tota rot
43쪽
non coinciden stib aeri rectae lineorectangustas areola cosphendent aequales. Sintigit re elae lines a iube non coinciden
hyperboles deri non coincidentibus a b.b c paralleloe agante g.eh. fi k.dico duo reet angula agreh. a fk. sint aequasita.Ex ea. igitur ipsi e g. aequalis dematur en Connexa res.ec in partem e. producta secet a distipis Et iterum i c. sit aequis lis ipsi si protractam c Lin partem f. secet re stam quidem a b. super di hyperbolen autem dae L super d.Et quonia uterm duo rum angulorum ad rin signa per constructione recti dimidio aequalis est igitur ut mae ad e g. sic em ad ei utrobic enim ratio est diametri ad costam quadrati Eandem quod rationem pari modo probabimus esse interae L LEt quonia duo triagii Iah feel requiangula sunt.ergo per propositione iuru.vi. elemen.Eu. vii Lad e n. sic I. ad ei. Et quia per eorolarium vigesimi elementi conici reeiangulum subh f. c. contentum aequale est compraehenso sub m .e,.rectangulo igitur per se. cundam partem propositionis visi.vi. elemen.eorunde hi ad
n est sicut e . ad c f. seu sicut e g. ad fiet iam os esum fuit Eesse ad et vici Ladae n. ergo vis h. ad ei. sic e g. ad Pi per proPositionem viri, elemetorum Eu. Quae uni eaedem sunt
44쪽
rationes aec tera. At qui circum aequales angulosae est a L
reciproca sunt latera igitur per prositionem iiii. ii vi elemen. eorundem,duo parallelogramma age h. lissi sunt aequalia. Ab hyperbolae igitur non coincidentibus actae rectio lineae re et angulas areolas compraehendunt aequales quod oportuit dea monstrasse.
Explicit libellus de vigintiduobus
45쪽
sis Commentarius seu Paraphrasticarenarratio in una decim modo conficiendi eius problematis quod cubi duplicatio dicitur. Raditur mihi commentariolum aut si mauis paraphrasim in modo duplicandi cubum,qui
Georgio valla Vicetino interprete ad latinos huius aetatis geometras ex Graecia migrarunt, non abre visum est inprimis praemittere Era
stosthenis ust scripsit super hac re Ptolomaeo regi epistolam. quonia in ipsa explicatur qua ratione hoc proshlema, quod duplicatio cubi dicitur, originem habuerit,quiue
graecoS geometrarui primi fuerint idem explicantes absolue test problema,quanq; huius problematis scientia mortalium generi ciuiliter ac comuniter viventi in pacebellog ad consercuandam hominu amicitia atq; vicariam beneuolentia Sc ultisciam quae cuid reddit quod suum est, non tantum utilis verUm etiam necessaria ostenditur. deinde in eadem epistola notatur difficultas quorundae modoru ac idcirco author comendat luet duplieandi cubi modum promptitudines facilitate quem Postremo duplici conficit ratione primu quidem Geometrica demonstratione.Deinde instrumentali constructione qua inter datas duas rectas lineas non tantu binas medias proportimastes, sed quotlibet inuenire docet. Eratosthenis autem epiliola, comentatione paraphrastica his a me vestis enarratur. Ptolemeo regi Eratosthenes salute plurima dicit Priscum quedam tradicti accepimus introducere Minoa Glauco sepia lauru excitare volentem, interrogatu qua nam id formula sedilicari mallet respondisse cubica,cuius capacitas seu area dupla ellet eius cubi,qui quaq; versus atq; in omni latere centenos obtine re medes Architectus igitur arbitratus,nuquodq; membrum
seu litus duplu esse faciendu hallucinari iureoptimo risus est Ouio de lateribus duplicatis quodlibet planti sic fabricati soli.
di quadruplum efficitur,ipsum aut solidum.octuplum A geo
46쪽
metris igitur quaesitire quo nam modo datum solidum in ea di problema cubi duplicatio.Proposito nanc cubo quSrebant quomodo ipsum possent duplicem efficere.Omnibus aute ali quadret ambigentibus primus Hypocrates chius percalluit,Si
constaret ea scieti qua duabus reetis lineis quarum maior mi noris esset dupla,duae mediae sub cotinua caperent proportio ne futurum esse, ut cubus duplicetur. proinde duplicandi cubidifficultas Sc addubitatio, ipsos mathematicos in aliam no mi norem adduxit deuoluit dubitatione. Aliquato autem post aiunt Delio cum ab oraculo iuberetur aram quanda duplica resin eandem deuenisse dubitatione. Obiurgante increpante in academia Platone geometras, quod ce seret esse inuenienduquod quaesitum foret.Huic se studiosius labori accinxerunt,in ueneruntd duabus datis duas medias esse capiendas,Architas quidem aretinus fertur per hemicylindros propositum hoc inuenisse,Eudoxus autem p inflexas lineas .Euenit autem ut hi omnes,ipsam scientia de inueni edis inter datas duas linea re eias duabus sub continua p portione demonstrata quide ratio ne descripserint,at ut id sub manum duceret in usum a caderet neutiqua assequi potuerunt. Praeter breue quodda Menecli mi, idq; subobscuru Excogitatum igitur fuit a nobis instrumentuquoddam,quo facilis est acceptio duaru mediaru sub continua proportione inter datas duas recitas lineas,qua etiam id de mos strauimus,ut duabus datis no binas modo medias quisc inue niet, sed quotlibet instituerit. Hoc ita sinuento poterimus omequod datu est solidu parallelogramis contentu in cubi perd(Iccere. At ex altero in alterum tra ori nare, simileq; perticeie, ec id quoad libeat augere eandem semper similitudinem obseruantes Proinde etiam templa d aras necnon humidorti mens suras, cis aridorum sub mensuram Poterimus redigere ut puta metretae ec modii sub cubica perduci poterint formulam. q. rum lateribus humidorum aridorum capacia vasa mensura tur ut eorum continentiae innotescant. Huius denim proble
malis cognitio utilis sane eccomoda est eis qui velint catapuli
47쪽
Oportet an omnia per proportione augeri,iam magnitudisne o perforatio es,quam mensiones iniecto sep neruos si mos do cura sit 8 si voluerit ea quis adhibita augere proportione, quae neutiqua fieri possunt mediorum non comperta ratione. Demonstratione igitur oc constructione iam dicti instrumenti tibi hic descripsi. Sint igit datae binae inaequales rectae lineae, a b.cd. quartam oporteat duas medias proportionales sub con tinua proportione inuenire Ipta igitur a b. cd recto ineae in quada recta linea Nd ad rechos constituatur angulos. Sud ab maior quam c d Sc conexa a c.in c. partem producta coincidat
ipsi bd.ad easdem partes protractae super e. signo. ald ab a ad bd.recta ducat linea a Locribi ipsi a b parallelus agaturi g. secans. psam a c.in g.rursus p .ipsi a L parallelus aetasit Cresecans bd. h. at 3 iterum per h. ipsi a b.acta parallelus his
Parallelus veniat a d. signu . Hi sita construsistis amplis oris gra disscretiois , ad ostilles priintria fgh. di. secundae dicantur parallest. Et mi, triangulo at e partilas trianguli ad primarias paralle, os et, opositionem xxix.li. i.elemento Eucli. quianguli
em vivi phoportionaliu sunt laterum .igitur inprimi paset leti fieri e axe h. atq in primis rursum parallelis mi
48쪽
h e. ad ed Continue igitur proportionales sunt bae e Lilae e d. Sub eadem etiam ratione continue proportionales probantura b. fg. l. i. cd.Nam ut die. ad. f. sic a b. ad fg. 3 ut se ad. h. sic f.. ad lib. o ut he. ade d. fici i. ad c d. Datis igitur reetis lineis duabus a b.c d. duae medio continue proportionales fg. l. i. cos pertae sunt. quod oportuit efficere. Sciendum deniq; est quod iuxta Eratosthenis sententia ab. cd. reeti lineae ipsi bd ad re istos constituunt angulos. Verum eidem a b c d. ress lineae,ad quales cum angulos ipsi b d constituant, dumodo ipsa sunt pa calleli simili contextu propositu semper efficiemus. Notan dum insuper quod si velimus plures media supportionales qua duas inuenire sub continua proportione. Igitur ipsis a b c d. oportebit plures parallelos interponere. ut sit positum sit tres medias cotinue proportionales ipsis a b. cd. in Uenire Igitur ne cesse erit ipsis a b.c d. tres primarias parallelos, S qtlattuor sescundarias parallelos interponere, ita ut ultima secundaria pararallelus eat per d. signu. Et sic deinceps augendo parallelos ius
xta numeraemediarum continue proportionalium.
ALIT E R datis duabus rectis lineis binas aut plures sub co tinua a portione dare. Sint igitur ut prius data duae rectae ii
quib' oporateat quotli bet sub con tantia Sporatione binas medias Iesnire. Esto itaci inprimis S positu bi.
nas medias continue proportionales repelire. Et sint ipsa ab.cd. Paralleloe. at 3 connectatur bd. qtiae intres aequas seceti ai
tes h .e s.fd ex ei signis duo perpediculares excitent et ' compleant bina parallelogramma abegie fias per ipsi' es parallelus agaturae L secansi h superbieno, ex iisti feratur recta quaedam ad libitum quae sit Jh e per ripa
49쪽
um ad m. sit* m. aequalis ipsi et occonexat in secet ea .in n.&t h. supero. S coniungantur n. ko. Sittac Pii. ko. rectae paralleli sunt ipsi e .ipsius d k.logitudo iuste sumpta fuit sinautem Cn. ko .non fuerint paralleli ipsi e m. Igitur Jk. accipiatali in minor ali in maior qua pri extiterat donec n. eo.rectae lineae paralleli sint ipse e m. non autem 1. sumatur maior quasit di . Sint ergo fis ko, paralleli ipsi e in algipsi a b. permo parallelus agatur mi.secans blabini partem, ductam sua p. Et, prius ostendemus quod inter in p. oc 3 seu inter aequa.les a b. cd. sint mediae proportionales n. si sub cotinua pro portione productis em l . p. in partes h l. donec cocurrant super . signo liquebit propositum. Inter datas igitur rectas libneas ab d. duae mediose nio. sub continua proportione com pertae sunt quod oportuit effecisse, Notandum insuper est. quod dk.a .reeta ideo praecipiunt aequales fieri quoniam a m. insensibiliter maior est quam dI. INSTRUMENTUM abricare cui' ministerio datis duas hus rectis lineis duae pluresue mediae sub cotinua proportios nepoterint inueniri. Duae igitur in planis supticiebus Geo.
metrica quadam inuestigatione paulo ante perspectariaeruire demonstrata.haud parum iuuabunt nos ad construenta instru mentum quoddam,quo possimus instrumentales binas capere medias . latere igit idest tabula quanda rectangula cui logitu do multo maior sit latitudine qua quida tabula ITAiudo graecie latini latere dicut officiem' lignea eburneamite Ut aerea cusiusmodi in supior descriptio est a b d r.rectangula figura quei habeat alid tabellas aeqlis spissitudinis aequa levigatissimas atoeotenues quaru media velut in eade superiori descriptione C. h firmetur habens duo regulamenta velut e m. n.m is unis ei affixa paruis axibus,ita ut ipsa sup eLversari possint. Si oterea alia subtilis tabella velut Edr. quae volui queat hinc inde ita ut eius latera sint semper parallela ipse i h lateri pa rallelogrami fiat, habeat* similiter versatile regulamentuli super h. signo assixum. Tria itaq; regulamenta versatilia
50쪽
em p .h, eo modo cocinnent uicissim* aptent ut sint adins
taicem parallela,e comunes eorum sectiones cum a g. h. ccl. fgnu sint in eade re sta linea velut m mori necno ab subiiciat
aequalis ipsi din ipsa enim ab insensibiliter supat da his ita
constructis inter duas rectas lineas a b c d. ipsius instrumenti duae mediae sub cotinua proportione dantur veluti sunt e nio. veruntamen si date duae lineae rectar veluti t.quibus oporteat duas medias sub continua proportione inuenire non fuerint aequales ipsis a b. ed quas instrumentum habet, ergo fiat vos. ad i. sica b. adcd. Et quia ipsis a b. cd. instrumetalibus reetis inscientae sunt duae medio sub cotinua proportione igitur et ipsis t. datis duae mediae sub cotinua proportione erunt data: haec quila in Geometria vel mediocriter eruditus multo facilius instelliget qua praesentis descriptione demonstrationis doceri posterit,quo deniq; qui , cotinuationi aptationiue ipsarum regus Iarum tabularum artificiosius insistet, eo examinatius coperiet capietq; medias ipsas sub cotinua proportione. Ipsa etia tabel las Udi. coherear cuidam coluna aereae in qua volui hinc inde
possit sine trepidatione atq; firmari quando libeat. Sit aut easdem columna aerea loco b d. atm ipsi tabule ei h g. plumbo asi fixa dc obfirmata cohereat, Et si plures quis constituerit duas
laus medias proportionales inuenire cum annexis versatilibus regulamentis, plures etiam oportebit ipsi columnae aerea mos hiles tabellas qualis est dis, admouere. Et tandem inter datas rectas duas lineas, totide comperit medias p portionales quot in instrumento fuerant dicto modo compertae liquet igitur in lirum et fabrica,qua hactenus ostendisse oportuit. Praeterea sciendum est, Udecet regulam et fili. in partcs no eo via
elle producta ut tota pducta singulatim sint aequalia dimetietiis bus es' g. parallelogrami aut paulo longiora,ita ut sem Dersi stam a Ch. latus tabellae a b d attingere possint. Est praeterea sciendum si, regulamentare n. ho facili ratione ipsi. m. Paral tela constitue sit. productae einita. o. secent a Chio quide in x. o. autem sup .ri fiat nam aequalis ipsi e L. in v. aequalis
:pti JA. igitur per xxxiii. propositione i. i. ele. Eu ipsae f. xx v. paralleli sunt ipsi em. Et ita demu Paraphiasis complet