장음표시 사용
431쪽
ii Lib. II. De Angula contingentra.
quam per Angulos, quos eorum arcus d subtenti continent, definiauisse. Non quasisimilium segmentorum Anguli essent inaequales: sed quoniam υbi postea desimilitudinesegmentorum agendum esset facilius esses quantitatem Anguli in segmento, quam Angulisegmenti demons re num aliud aliquid spectalia oportuit Euclidem, dum diuersas hasce duas definitiones tradidit' spectauit omnino. Neque enim Author oculati Dsimus definitionem suam primam Libri 6 ad solas restrinxisset figuras rectit meas, si eadem ullo modo ad curvilineas pertinere potuisset; ne scilicet definitum definitione latius pateret, non sine vitio graui,quod in magnos illos scientiarum Parentes haud quaquam cadere poterat. Etsi non negem allatas interdum ab Euclide minus essentiales definitiones cum posset magis proprias exhiberes quia ad ea, quae tractaturus erat, has, quam illas, minus accommodatas esse cernebat; ita tamen, ut altera alteram non excluderet sed utraque, si luberet, eidem definito posset applicari. Id ab eo accurate obseruatum euidenter cerni potest definit. 6. Lib. 1. S definit. 1 o. Lib. . In priorelsiquidem definitione declarat quaenam magnitudines dici debeant proportionales his verbis. In eadem Ratione magnitudines dicuntur esse prima ad secundam,est tertia ad quartam ri4.mprimae ertia aque multiplicia a secundae e quarta aequemultiplicibiuratrumque ab utraque,veluna desciunt. vel una aequalia sunt,uel una excedun/. Quanquam autem aliam numerorum prorortionalium magis propriam definitionem, quam discretae quantitatis,naturaei subministrabat,esset traditurus hanc scilicet.ὰ meri proportionales sunt, cum primus secundi, est tertius quarti aque multiplex es, vel eadem pars, vel eadem partes. Non tamen discretam quantitatem in illa exclusit, clim tam discretae, quam continuae quariistitati conueniret: nec, si exclus siet, vitio caruisset illa definitio, eo quod ipso definito suisset angustior. In nostro pariter casu, nequaquam Eucl. similitudinem planarum figurarum definiturus definit. 1 Lib. 6. Rectilinearum tantum figurarum mentionem fecisset exclusis curvilineis I aequE curvilineis, ac rectilineis eam conuenire posse sensisset sensisset nimirum figuras omnc planas tam curui lincas, quam rectilineas esse similes qua se Angulos singulor gulis aquales habent, est singula latera circum aquales angulos proportionalia quamuis singulati definitione nempe io Lib. 3 segmenta circuli milia explicuisset. Vnde vel ex eo Calia enim sunt eiusdem in hanc sentcntiam testimonia, quae frustra pluribus prosequamur Daperte patet GeomC-tram Angulos similium segmcntorum inaequalium inaequales esse supposuisse quod non leuiter confirmatur ex eo, quod reuera segmentor M
432쪽
Lib. I De M ulo contingentia. Σγ
torum singula lateratam duo recta, quam duo circularia, quibus anguli segmentorum continentur, sunt proportionalia, ut promptumiore demonstrares aded ut per solos Angulos stet, non autem per
latera, quo minus definitio illa prima Libri 6 segmentis similibus
conuenire polsit, eo quia aequales esse nequeant Anguli. Nolim hic ad hanc Angulorum segmentorum similium inaequalitatem probandam Principium illuda. Lib. i. Elem. afferre quo euidentius est nullum. Quae sibi mutuo congruunt, sunt aequalia inaeis qualia ergo , quae sibi secundum omnes partes superposita multa enim sunt aequalia , quae propter figuram superponi apta non sunt non congruunt ergo Anguli segmentorum similium, quorum minus maiori totum superponi potest eodem modo, quo semicirculus minor maiori, ut patet in schemate Propositionisi in quo duo segmenta BL C, BOD similia sunt mminus totum maiori superponitur inaequales esse demonstrantur consule Prop. . quae & ipsa ad hoc
At Vallisius non videt quo pacto figura simio dici possunt, nisi
latera homologa habeant proportionalia, osmilitersta Neque Ego quidem id video, neque alium quenquam videre posse reor: figurarum enim similitudo, dc partium prop0rtionem, d stum earundem partium inter se, dc ad totum exigit similem. At quod subdies premsus non intelligere quonam pacto, quae angulos ina, te faciunt, adeoque inclinationes inaequales habent Linuisem similitersita dicantur; neque quispiam prorsus intelliget, ubi de rectilinearum figurarum tantum agetur similitudine. Verum , si de figuris curvilineis similibus habeatur quaestio, non paulo aliter nemo sentiet cum anomala sit arcus ad suam substensam inclinatio , totque sint inclinationes diuersae quot limi diuersa puncta arcus subtensi v sese in superioribus est declaratum i non mirum si ad duorum segmentorum similitudine non requiratur irregularis huiusmodi inclinationis aequalitas, nisi quatenus irregularitas illa ad regularitatem reduci potest ope ianearum rectarum tangulorum rectilineorum. Vt ecce in diagrammate iam saepius adhibito, certum est lineam BC a punctam in quo duo circuli BL C, BD D se tangunt, eductam abscindere ex illis citisculis segmenta'similia quorum proinde puncta omnia non tantum in arcubus B L C, BD D assignati sed etiam intra vel extra eadem segmenta, assumpta, eundem in utroque segmento situm, siue positi nem occupanti Exempli gratia, dum rectam L, arcus secante in L.
O, pulli Lec Ossint in nroque segmento similiter sita ad omnia
433쪽
iis Lib. II. De Angulo contingentia.
puncta sui singula segmenti. Nam si ducerentur rectae Cirum O, triangula BL C BD D forent similia, & similiter posita super bases
BC, BD &punctum eundem situm haberet ad puncta AE B comparatum; quem habet punctium incomparatum ad duo puncta BD. Quod si dicerentura punctis L&O perpendiculare ad bas mcommunem BC, d BD, vel adio quouis Angulo ad eanti basim B vel BD, inclinatae similia
construerentur Triangula, b eodem modo posita Min similibus illis triangulis duo piincta 6 L Osimiliter statorent. Quod cum
eodem modo contingat , quaecunque ducatur rectam O L p te omnia puncta arcus a Ceodem modo , siue similiter siest , ad aliud udcunque punctum segmenti Bic compar
ta ac sita sunt omnia puncta arcus B OD ad aliud punctum, quod puncto respondc in segmento altero BL C, assumpto eo arata semper enim triangula similia, Imiliter posita in utroque segmento constitui poterunt, qutum latera sempererunt proportionalia circum aequales Angulos, :
proinde eorum puncta omnia similiter sta quod sufficit, ipso etiam teste Vallisio, ut haec duo segmenta dicantur milia, etiam si nulla fiat Angulorum segmentorum mentio, siue sint aequales, sue inaequales, cum praesertim nulla certa definita sit eorum quantitas, sed omnino irregularis quae, ut ostendi, determinatur ope triangulorum in veroque segmento similium vi similiter positorum. His unum adhuc addam, quo cumulatius proposito a Valliso AN gumento satisfiet. Aliud fortasse , quam prima fronte appareat, desideratur a Peletari,fautore ad segmentorum similitudinem, cum segmentorum similium Angulos exigit aequales nisi sorte hic etiam velit hanc Angulorum mixtorum aequalitatem in ipso puncto concursus duorum arcuum a B, DUR,4 lineae rectae Ca, vel a constitui. Quod absurdum ita mentem cam percellit, ut tametsi nec semel, nec obscurre, Λ vero etiam disertissime hoc in Argumento p. o. id pronunciet, Vix tamen mihi persuadeam eo prolapsum Geometriae Prose rem, ut ita senserit. sae enim in puncto, line
434쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. '
nim inclinati, quae divaricati, quae Angulorum differenti, Quid plura Quod si haec& alia absurda tam grauia consequantur, si quis Ahgulum quempiam in ipso concursus puncto praecise fieri pronun- ciet non in leuiora sertasse is censebitur incurrere, qui ad Angulum constituendum praeter concursus punctum illud enm absolute ad Angulum necessarium est ylineas ab eo prosilientes admiserit in si mulasseruerit duos Angulos duorum segmentorum milium quales sunt in eodem schemate duo Anguli C BI, Dio, aequales csie pos.se. Cum enim unum quo Anguli continentur, latus a sit utrique
commune; alterum etiam commune, idemque esse necesse est se tu
est eorum aequalitate, quodcunque randem latus illud supponatur, paeenim in omnibus est conditio. Sicut ergo si duo Anguli rectilinei
aequales supponantur, unumque trique commune latus statuatur, alterum latus cum altero coalescere,in congruere necesse est propter Angulorum aequalitatem ita etiam in Angulis segmentorum, si aequales dicantur , necesse est contingereri nec potest Iatus rectum , veC DB, utriusque congruerera quin utriusque curua latcram L C. BOD, salua Angulorum aequalitate, etiam congruant , idemque latus omnino fiant, non quidem secundum longitudinem longitudo
enim linearum Angulos continentium non spectatur , nec Angulos mutat secundum curvitatem, ε divaricationem. Quod elim ad eis notum sit, ut Principium vix habeatur euidentius, iam attendat qui Dqois segmentorum similium siue ea fuerint semicirculi , siue alia quaelibet Angulos aequales esse contendit, in quod sese inducat ab
turdum. Ex eo scilicet admittere cogitur omnium circulorum quodpmma ronte haud ita obuium initio monui flexus, curuaturas esse aequales , quod absurdissimum est, nec minus, quod ex eo sequitur, absurdum seret, circulos omnes aequales esse. Si enim vel minibma arcuum duorum particula hoc eo dico, quod interdum videatur Vallisius particulas quasdam linearum Angulos continentium puncto concursus adhaerentes asserere modo eandem, modo diuersam ad se inuicem inclinationem habere eiusdem sit curvitatis, cum ex eo sequatur idem esse utriusque centrum, sequetur etiam eosdem esse illarum articularum circulos integros Non vacat plura, quae occurrerent, in hoc Argumentum incommoda congerere, nam latis multa.
satisque grauia, hactenus allata videri possum.
435쪽
Lib. I De Angulo contingentia. ARGUMENTUM SEXTUM.
Ontra eundem Angulum contactus. Eodem, quoad fieri potest,
diagrammate utor, quo facilius sepius repetitum concipiatur. Sic ergo eo assumpto Vallisius
Argumentatur cap. I 3. tangulum contactus annihilet. Si circuli diameter B G fluere concipiatur per peripheriam semici culta CG immoto fixoque puncto B, ita ut sensim statuatur in B C in B LAEc donec perueniat ad tengentem B A, cum ea coalescat constat eadem ratione Angulum rectum B Aminui, qua minuitur peripheria semicircularis BC Gi donec emenso toto semicirculo diameter B G cum tangentem A conuenerit, iam Angulus rectus G Ba, quam semicirculi GC B peripheria evanuerit. Erit tem, inquit Va l. in hoc asu, in quo scilicet euanuit peripheria, est stim euasi magnitu mis is eui euanuit Angul- eam, o nullius e asit magnitudinis, Angulis isti, vel ipse Angu contactus, vel saltemnen ipso minor Ergo emtam nulti est magnitudinis siue non Angu . Euod erat demonstrandum.
Rulosio. Demonstrasti, Vallis, per illam diametri BG conuersionem donec
cum tangente BA eoalescat,Anguiu rectum GBA euanuisse,& nullius euasisse magnitudinis:demonstrasti item eodem tempore peripheriam GC Beuanuisse& nullius euasisse magnitudinis.Sed Angulu contactus B L euanuisse, quomodo demonstrasti Angulis isse inquis , in hoc casu, eum diameter B G elim recta Era coalait, est Angulas contactus. Id quomodo demonstrasti quomodo ut assereres, mentem subiit cogistation evanuit Angulus rectus coalescente B G cum B A, nihil euasit δε hoc ipsum nihil vocas Angulum contactus, aut etiam ipse non minusa Hic ne etiam fortasse vis, quod iam non semel te asserere, nec
436쪽
Lib. II De Angulo contingentis r
sine aliqua existimationis tuae nota contigit, rectam solam A sine ullo arcu omnem enim peripheriam euanuisse supponis; cum pia concurrente in pnnct B Angulum contactus enicere Te scilicet latere potest ad Angulum quemcunque constituendum duas esse necessiarias lineas, quae simul concurrant, & non in directum iaceant saniora quaeso Vallisi, E quae Geometriam magis sapiant.
FI 4m Authom contra Angulum conra .
Non poterat deiciatario melilis mereri Vallisius, eiusque tueri existimationem studiosius si enim Angulum contactus, quem perstringere conatus fuerat ille, hic non omnino consectes, eius certesdiligentia in conquirendo, congerendoque undique ad id auxilia minime dcsideratur. Ecce etiam catoptricam consuluit Vall. v ad intentum, aliquid ex ea opis consequeretur. Quid demum retulerit, per-
Sit speculum Parabolicum B A Si cuius axisse AZ. Huic parallatus quidam sieradius o P a Lucido sole, V. g. emissus. Radius hie ad lineam TZC speculum con- ingentem in P puncto incidentiae reflecti tur ad aequales angulos δε quidem ad pun- inumFaxis,quem secum dicunt optichit
tem sint aequales. At oportuit ostendisse non tam Angulos Ossa, PT ad contingentem tactos, esse aequales , quam Angulos O PB, DP A tactos ad eculum, Angulos scilicet Incidetieteri reflexiorus,aequales fore.Vel igitur aequalitas Angulorum
ad rectam contingentem,inter equalitatem Angulorum ad speculum, vel demonstratio non procedit contra quam sentiant optio omnes.
Dicendum igitur est tamduos Angulos O PT, C PF ad contifigentem factos, quam duos O PR, FI A factos ad specul- , esse aequales. Ergo per 3. Axioma Libri primi Euct Anguli contactus P B, C Pa vel aequales sunt, vel potius nulli. Vnde etiam patet si horum Angulorum alter alteri superponi intelligatur, itavi duo latera recta P C, UT congruanto reliqua duo latera minime coitura ob diuersam G eorum
437쪽
, , Libuet De Angulo contingentia.
eorum curvitatem. Iuod cum itast, etia manifeR tiquet eius sunt verba crurallia qua exιν functum concursu varie divaricantur, posse tame aquais anguis continere.
Paucis toti huic ratiocinationi Vallisianae potest satisfieri cum enim ex eius proxime recitatis verbis manifestum sit ex ea sequi absurda duo grauissima, quae ab eo iam non emol asserta, hic etiam repetuntur, quaeque superius reiecta sunt sati patet quo tundamento tota ea ratiocinatio niti possit, ea autem put obiter memoriam rcfricem ysunt huiusmodi Primum in eo versatur, qu bd asserat dum Angillos contactus Parabolici Tl B, C Pa sibi superpositos lateribus rectis P T, P C congrue ibus, non tamen congruentibus reliquis duobus parabolicis, esse nihilominus aequales. Quod supra ostendi esse longe absurdissimum, vel quia inclusum includenti seret aequale , ve, quia utriusque lateris parabolici curvitas , una eademque seret vi rgumento quinto declaratum est. Alterum absurdum, ut pr mum euitari quoquo modo queat cincurritur quod, ipsum iam non semel nec ita prid c , proximo scilicet Argumento sexto, ut in responsone ostendi, commitam est. AEqualitatem enim Angulorum huiusmodi mixtorum, quos lineae diuersae curvitatis,i proinde a se mucem abscedentes comprehendunt Lita ipsi concursiis puncto alligat allisus, ut etsi extra ipsum crura divaricentur . diuersam c inaequalem ut ipse agnoscit, ineant inclinationem , non ideo tamen eos Angulos censeat inaequales, quia in ipse puncto concursus ea non diu a ricantur. Sed quam absordum illud sit, quanquam per se patet, ita Liperioribus obseruare licet non semel reici tumia Ex his quidem abunde constat, nihilo, plus detrimenti ex hoc Argumento ab opticis petito qua ex aliis in Angulum icontactus proficilci. Verumtamen lubet.
etiam obseruare numquidpiam in ipsoAμ gumento contraPrincipia optica commitas sumsit. Asserit Vallisius radium OP axuAet speculi Patabolici parallelum resecti
non tantum alangente T PT Parabolam, ita ut Angulus FP Cressexionis aequalis sit Angulo OP incidentiae,. vi in opticis demonstrant Eucl.4 Vitellio, sed etiam a linea Parabo- sic. BI ita veAngulus mixtusFI A reflexionis, aequalis sit Angulo mixta P nii dentia: Asapud que optima Aautiorem id vel
438쪽
Lib. I De Angulo contingentia. rus
demonstratum, vel aliquando assismptum obseruauit allisus, An
Non nouit, quod experientia perpetuari constantissima testatum est, quod ratione multiplici confirmatum, omne Agens naturale necessatium lineas tantum rectas ut simplicissimas, ut determinatas, ut, ni se mes, ut breuissimas, in agendo obseruare Minc fit ut radius o Zimpingens in speculi Parabolici punctum P, non alia directione ad reflexionem determinetur, quam ea quam ei praebet planum rc flexionis,& in eo plano recta linea Tl C parabolam tangens in puncto P , ad quod appellit radius incidentiae P. Quare, cum pronunciat allisius A noulos mixtos OP BFPa illum incidentiae, hunc reflexionis aequale esse attendat a se primo pronunciari, tanquam Principium
suae conclusionis immediatum supponi, ut ex allata eius ratiocinatione constat,quod quidem Ipsi probandum incumbit; sed quod probari
vetat,ut proxime memini,namraeia,num, quod compendiosissimi msibi in maxime expeditum sit, determinata agendi facultas, ac proinde rectam solam viam omni linearum curuarum, quae ad eundem alioqui terminum ducere possent, circuitu praeter G, insistere a
ta Nihil ergo ex opticis colligi potest quod Angulum contactus de
medio tollendum suadeat. Accipe, antequam ad alia pergo, breuem eorum , quae hoc secun do Libro pertractata sunt, Ana phal tosim. Ac primo quidem primis ipsis aliquot Propositionibus declaratum est quasnam inter quantitates vera Ratio possit intercedere; quasnam inter intercedere non possit probatumque non tantum inter finitam quantitatem, cinfinitam, alionem nullam esse posse .sed etiam inierquasdam quantitates finitas, eiusdem licet generis quantitatis quod quidem ad Rationem omnino necessarium est iuxta definitionem 3. Lib. 1. Eucl. Id tamen non sufficit, nisi etiam repetitae sese possine mutuo superare iuxta definitionem, ex cuius explicatione quam Propositione tum tertia, tum occiaua, aliisque passim tradidi, constat quam minimEea sit cum definitione 3 irreconciliabilis et si Angulo, contingentiae aliquid esse Quantitatis concedatur. Constat item eandem definitionem 1. longe alio spectare quam ut ea tantum exponatur, quaenam sint eiusdem generis Quantitates. Secundo Suum Augulis cuiustunque generis a Geometriae Parente tributum ius, desacaeteris deinceps Geometriae cultoribus hactenus assertum, exponitur, asseritur,m confirmatur ostenditurque,. etsi summa intet Angulos Marcus quibus insistunt. conuenientia in-
439쪽
i, Liber II De Angulo contingentia.
tercedere videatur, longe tamen esse diuersam virorumque quiddit,tem consule Prop. . s. 6. alia passim loca. Tertio. Declaratum est Angulos non paucos curvilineos non tant i circulares, sed etiam cuiusvis alius curvitatis lineis constitutos, Rationis ad inuicem iure non secus quam si rectilinei forent potiri,sed nec pauciores eodem priuari propter incertam,ac multiplicem, nec sibi constantem linearum concurrentium Angulos constituentiom Inclinationem quam originem & causam a priori esse asserui Prop.46. Cur Ratione carerent quam plurimi Anguli curvilinei quorum aliquot mentionem feci tum Prop. IV. tum aliis. Quarto Diublutum est secundo paulo pluribus ut paulo pluribus, quam ab eius Authore P. Gregorio in op Geom. propositum erat, ab eiusante'prete expositum est subtilissimum illud Argumentum quo Angulos omnes eam semicirculorum, quam contingentiae vel aequales esse, si quoquo modo quanti dicerentur, vel quia aequales esse asserere absurdumforet, cum alter alterum includatresse extra omnem rationem quantitatis est, inquam, secundo hὶc Prop. I. Isolutum, cui primo responsum a me iam fuerat Lib. a. Prop. I. Exam.
Quadrat. Quinto, ac ultimo. Vt vera omnium hactenus retro Geometra
rum de Angulis, praesertim curvilineis, sententia niteret splendidius puluisculus omnis, quem in eam effuderat non rudis alioqui Geometra Vallisius, non leuiter excussi is est. Atque demum his omnibus datae initio fidei cumulate est satistactum.