장음표시 사용
411쪽
Lo Lib. I De Angulo contingentia.
aqualia non sciant infinitum, vix differt a tertio. Est sane pars a guli rectici quia si eo multetur angulus rectus fit reliquus angulus semicirculi recto minor. cc absurdum est Infinitos angulos contactus non efficere angulum infinitum , sicut pars quantitatis palmaris infininite parua iuxta Prop. I. infinities sumpta non Eceret quantitatem infinitam i sed vel palmarcm aut etiam palmari minorem. Quintum denique ita habet. Transitur a minori ad maiiu, edi ero in media, neque tamen peraequalia. Par quidem in hoc cum caeteris admirationis causa latet, at minime maior difficultas: Nam , ut ex eodem cum c teris Principio deducitur, ita ex eodem eius cum caeteris veritas elucescit. Dum enim recta BG eiusdem schematis superioris , immoto eius extremora terri concipitur per ambitum GC LB, donec ad Tangentem, perueniat,icum ea coalescat: constituit ipsa quidem omnes possib les Inclinationes tam cum recta BG, quam cum Tangenteia, quae rediis lineis continenturhatque adeo dato cuiuis
angulo acuto rectilineo aequalem alicubi exhibebit , nec dici poterit eadem recta BG sic fluens,iransire a minori angulo quam sic datus ille, ad angulum eodem maiorem, quin asseri perinde possit eidem aequa-lam constituere. At verδ, si angulus mixtus cx recta 8 curua linea datus si, qualis est angulus semicirculi GRI , vel alius quilibet angulus segmenti maioris, siue re inoris, haud quaquam ei aequalem exhibitura est fluens lineam aper ambitum lineae curuae, exempli gratia G C USI quandiu enim BG tecta curuam decurrit, ab illa refugiehuius sinus: scd ubi primum totam curuam emensa fuerit, cum B A coaluerit , angulum rectum ABG maiorem agulo semicirculi G B L constituat necesse est : quia, ut supra ostensum est, aliqua semper est licet anomala, lineae tangentis Ba cum arcu B Inclinatio quae est complementum ad angulum semicirculi GB Livi fiat rectus angulus aB A. Denique huius Paradoxi non adeo occultum videtur esse tundamentum , clim aliud non sit, quam quod recta linea cum curua B L Cne minimo quidem spatio congruere possit, ut cum rectam Geundem angulum utraque constituat. Cum ergo ea ut hactenus exposita Angulorum causi; ut ex quotadam quantitatis Iure ipsis concessis non modo nihil a lumine naturali alienum sed nec adeb ipsi abstrusum consequatur quin facilius quam alia non pauca in quantitate occurrere selita, concipi possit: quod iussi iisdem denegetur, grauiora quaeque ac maxime necessaria tot Geonactriae luminum monumenta, quibus hanc disciplinam nobilissimam
Nobis pepererunt, analogico, ae ivoco, & ut ostendi prosito sen-
412쪽
Lib. I De Anguis contingentia. Lo γ
su accipienda sint non sine graui tot tantorumque Authorum iniuria, rerum contusione, dispendi6que Geometria studiosorum haudquaquam veteri, veraque de Angulorum propria quantitate sententia omissa, recentiorem hanc licet Geometris non vulgaribus quibuscum hactenus disputatum est, acceptissimam opinionem ut ampliderer adduci potui. Quam mentem meam non mediocriter stabilivit Vallisi Geometrae alioqui non imperiti disquisitio de Angulo contactu 3 in qua Peletari,pridem reiecta Placita nouis Argumentis restituere conatura sed quibus discere liceat quantitat periculi Antiquorum fastiditis Principiis noua comminisci. Quod ut constet euidenter; nihiloue, quod occurrerit, omittam, quando id ago, huius generis anguisum naturae explanandae utile, singula laudat Authoris Argumenta, licet ea fere ex dictis di luere promptum sit, cxcutere. cre fore visum est.
' ast in Angulum contingentia oppugnar.
Non constat de Angulo eon ι actias Euclιdu sententia quare ad eum nee suis aendum, nec reiiciendum, quidquam confert et Authoritas nee ab eo dirempta est hac controuersia, nec ex eo dirimipotest. Ita sentit cap. 1 citatus Author.
Aut Anguli contingenti ae realitas vera, 'ositiva ex Euclide constat: aut ex Buclide nihil unquam certi, manifesti constare potest. Angulum contactus, Angulum vocat Euclides Angulum contactus cum Angulo reetilineo acuto comparat Eucl. Angulum contactus partem esse Anguli recti cuius altera pars sit Angulus semicirculi asserit idem Euclides. Si Angulus est ex Euclide Angulus contactuc ex Euclidereale quidpiam est situs scilicet duarum linearum inclinatarum mutuo concurrentium S ab Euclide cum positivo angulo rectilineo acuto comparetur ι&ipsum ab Euclide censeri positiuum necesse est. Si idem Angulus contactus pars ab Euclide dicatur Anguli recti, qui realis est , ipse ab eodem realis dici debet, nisi grauissimum Geometriae Parentem hoc in Argumento nugatum esse, ineptiisse praeter debitam ei obseruantiam asseramus.Consule,ciuae Prop. s.& aliis,in hanc rem allata sunt, bc fusilis explicata: quae hic perperam repetantur.
413쪽
ULVI. De Anguis conringentia. ARGIMENTUM SECUNDUM.
VAE iin is su angulum contingentia.
Argumentum hoc a Peletario primum excogitatum est quod quidem a Clauio est euidenti ratiocinatione longi iis reiectum , non ita tamen, ut ab oculis Vallisij illud subduxerit, eumque, quamvis', ut ipse latetur cap. . extremo, non ignoraret hanc Peletari sententiam aegrius antehac assensum inueni illa, ab eo resumendo non tantum deterruerit , sed animos etiam eidem se cille videatur, idem , si fas b- ret, restituendi, confirmandinues adeo ut asserat hoc in Argumento vera aer genuiniatim Anguli contactus causam contineri, adeoque a 3riori demonstrari. Hanc ergo causam, hanc a priori demonstrationem exore Vallis,audiamus & deinceps , ut par fuerit , excipiamus. Dua ι, inqtu cap 4. ex mente Pelararii, AB CD Deu se mutuo secantibus in E ad angulos, remissi intestigata recta Ci puncto E M. ωςu plui ubi peruexerit ad situm FG, ex angulis rectis punt ob ala qui sent adhuc magis obliqui, cumperuenium fieri ad tam ΗΚ, o fledeinceps donee perueniatur ad A B i tune enim e bit intersectio, er simul anguli evanesce, quoniam non iam ineo Atar ad rectam a sed ini diMebit immersa Nisesecmo in euruo. Si enim E per centrem riuuti actio periphena Iecam in Adum eo circumiacatur sent -- guli continia vari, cum periphem, donec essente sectione, Enea rosea si x atque iam linea ED, vel EG non melinata intestigi a ,sed -- mersa in ipsa peripheria AC, qaantam ad angulum aritaem - inteν
414쪽
Lib. IL De Angulo contingentia. a. o '
Hme quasi ex Peletario reseri Vallisius. Quibus quid idem addit
de suo pecce. Eud, eredo, vult Pelerarius. Rectam Edici peruentum
et , ad situm Em , non iam inclinari ad peripheriam , sed super ipsam
ἀκλι- iacere, se eoinridere cum Vs , eo usque mota' dum peripheria supponitur eandem Inclinationem retinere, quam habui in ipso puncto A. Tum paucis interiectis. periphera inclinari , qua in puncto AnAsia erat eum primis ab ipso A recessum est fit aliqua Idem cap. 3. ex sua ipsius iente, suisque verbis post alia uredam iis non absimilia, subiungit. Angulus quemfacit ea peripheriau eum diametro Ai, non a mandus es secundiim inclinationem, quam habet peripheria a puncto A remotior esed seeundum illam, quam habetperimeter insuiparticula contigua ,so ριπιπι in V puncto A concarsus Haec est Vallisij oratio de semicirculi Angulo disserentis. nibus milia adducit cap. 6 de Angaeo contactus in bo verba. Ego nego peripheriam B rectam tangentem EX-s imis βω------m comcursus A eoincidiist enim non inclinantur. Seio Peleiario affirmo eas solum linea inclinari in uncto concursis qua se producanta , se mutuὸsecaiant. Haec citatis locis altilius ex quibus . cum quaedam sibi minus coli rentia asserantur, vix percipiat' 'triasque huius Authoris de Angulis acintactus ti semicirculi sente via, eiusque decla
Resto o. Miror sane cur apud Vallisium tantae fucrit Authoritatis,ac venerationis Peletarius: ut eum Peletario maluerit affirmare, ut proxime retuli, ea Olum lineas intimari juncto concssus, qua si producantur se mutuo secabunt . quam cum Euclide sentire duas quasi tu ineas quomodocunque concurrentes, mutuo inclinarii siue,quod idem est,Αngulum constituere: qu m cum Eucl.Prop. L6. Lib. Angulum vocare angulu contactus: quam cum EucIdefinit. 8.Lib. . Angulum definire, Inclinationem duarum quarumlibet linearum se mutuo tangentium,& non in directum iacentium. An non se tangunt in supeliori figura, recta AE perimetera B an in directum iacent an non agnouit ipse Vallisius, vec eius oratione cap. 3 constat, ea voce usum esse Euclidem consulto scilicet, ut decebat Geometriae Parentem quae cuilibet duarum linearum concurrentiae , siue se tantum angerent, sue secarent, aeque conueniret Est nimirum Angulus apud Eucl. Lib. I. definit.8. duarum linearum αδ οριεν ν sese tanget lium Inclinatior ut perperam velint Peletarius,&qui eius partes tu
tur, Vallisius, adangulum constituendum nccessariam esse linea um
415쪽
, i Lib. II De Angulo contingentia.
sectionem, nec tactum solum ad id satis esse. Quod ut asseruet int, posterior praesertim , qui priorem a Clauio egregi exceptum non orabat, causa non potuit non grauissiuna occurrisse. Quam haudiam esse censeo quam eam, quam ait Vall. veram senuinam esse. a priori naturam Anguli contactus, semicirculi demonstrare.
Quaruam porrheaesi potest, tam occulta, ut Euclidem, caeterol-que eius Alumnos haestenus latuerit, Ecce, eam profert Vall. Qquidem non aliam, quam quae a Peletario allata fuerat. Est autem huiusmodi. In Superior diagrammate loea CD ad alteram Aa perpendicularis in puncto E, circa illud immotum conuertatur, donec ad ipsam A perueniat: tunc nullum amplius angulum cum ipsa essiciet ait Vall. Ergo etiam, inseri idem , recta BD per centrum circuli ducta, Meius perimetrum secans in s circa punctum Α immotum conuertatur donec ad tangentem V peruenerit: tunc nullum angulum constituet cum caueat Vall. quid dicturus sit 3 cum perimetro A B, inquit at cum perimetro non coincidit conuersa Em, sed cum recta
ΕΚ perinde est, respondet , coincidit enim conuersa E cum perimetro Ba secundlim punctum A. Atium etiam bliqua E A per A transens, cum perimetro Ba secundum punctum A coincidit Ergo nullum etiam Angulum recta E A, vel alia quaelibet recta per Αtransiensi, cum perimetro Ba constituet. Id ne admissii rus est Vall. Vt admittat porro necesse est ii quo in in casu linearum coincidentia secundum punctum sussiciat ad angulum de medio tollendum,m cessariaque minime si linearum ipsarum coalescentia, qualem exigit eius Argumentum. Ait enim , tunc evanescit Angulus in priori figura cum conuersa recta CD circa punctum E fixum, peruenit ad rectam
416쪽
Lib. I De Angulo conringentis i
ctam AT ac cum ea coalescit. Ergo etiam in secunda giura tuaneis stet A ngulus, cum recta BD conuersa circa punctum A fixum perueniet ad perimetrum A,&cum ea coalescet id enim exigit Argumentum hoc a simili deductum. Hi quando nam recta cum curua linea coalitura est dicat ali tum demum enim, Angulum semicirculi recto angulo rectilineo aequalem in Angulum contactus nihil elle cum ipso nullus non censebieGeometra. En igitur ut haec allata similitudo veram estgenainam rei eausam cur Angulus contactus nihil sit contineat, adeoque priori demonstret f Sed paucis adhuc hic lubee
Quaero itaque quo sensu haec eius verba possint intelligi Lineas κἀκλινῶς superi am peripheriam B AS iacet, o eum ipsa coincidit eὸ quedumperipheriasupponitar eandem inclinat em retinere, quam habai iuus punczo A. Tum ibide subdit. I inperipheria inclinatio quae in puncto Anulla sat umprimum ab ipso recessu est italiqua. Lliae ergo E recta aliquis usque cum peripheria conincidit,hoc est,non in solo puncto Acontactus coincidit, sed per aliquod spatiu Ergo per aliquod spatiu rectum curuu est; docuruli rectum .En in terminis contradictio Uis aliam ecce appertissimam. Peripheria BAS Oineidit eum recta Ea re siue dum Peripher supponisa eandem Inclinationere inere,qua habuit in se puncto
A. Retinet ergo peripheria eo usque dum,id est,per aliquod spatiu quam habuit in ipsopuncto A. At his quomodo cohaerent quae fcre immediate sequuntur. IZ imperipheria Inclinatio, qua in puncto A nulla erat. Est ergoaliqua peripheriae Inclinatio in puncto A imi puncto Anulla est peripheriae Inclinatio. Quae duae Propositiones sibi in terminis contradictorie opponuntur. Ad haec. Quaero ex Vallisio quaenam possit esse peripheriae Inclinatio ad lineam tangentem in ipso puncto A, quae aliquo usque retineri supponatur fAn supponit punctum A partes haberes sine illis enim Inclinatio nulla esse potest. At si
punctum dicatur partes habere; dicatur necesse est, punctum non esse punctum. En ergo tertiam adhuc contradictionem. Denique
ecce vi veritatis splendor caligine obrui tam densa nunquam possit. quin emicet. Quibus enim apertioribus verbis,vel Clauius, vel Alius quispiam Angulorum contactus, semicirculi Assertor uti posset ad eorum constitutioncm , quam quibus usus est Vallisius 3 Peripheria, inquit, inclinatio, qua inpuncto A nulla erat, eum primὴm ab ipse recessum est,sit aliqua, ad lineam videlicet EAE tangentem, aut etiam ad diametrum A D inclinatio enim unius lineae non nisi ad alteram haberi
dic e potest. Ergo fit Angulus ad punctum concursus A a periphe-
417쪽
, i, aikr II De Angulo contingentia.
riam de linea tangente Excontentus: quid en in aliud est inclinatio aliqua peripheriae cum prim lim recessum est a puncto AZ Nursus, cum fiat aliqua periphetiae inclinatio ad tangentem Ea vel si mauis a tan ente EA declinatio,cum primum a puncto A concursu recesium est: 1 equitur nccessiario contra Vall. Angulusemicirculi DAB esse Angulo recto DAE minorem declina cnim peripheria BA, ut asserit Vall.a recta tangente EA,statim ut a punctos recessu est. Ergo etia ex Vall. cum primum a puncto A recelsum est, fit aliquis peripheriae Balaccessus ad diametrum AD: quo accessis minuitur Angulus rectus DAE quo fit ut Angulus D AB semicirculi minor euadat Angulo recto DAE. Quo nihil verius, nihil consultius a Vallisio dici poterat. Sed ecce, ut huic a se stabilitae veritati tenebras offundat. Haec a me excipibsupra recitata sunt verba. Ego nego peripherium B rectam tangentem Ecadse inclinaris, em quoad punctum concursu A. Hic omissa superius obseruata, quam commisit allisius contradictione id solum minc quaeio, qui intelligi possit peripheriami A in tangentem Eri
non inclinari quoad punctum concutius Enim vero cuius inclinationis punctum A concursus cum partibus careat, capax esse potest, ut
dicatur in nostro casu nullam in eo fieri inclinationem 3 Ergo in alio aliquo casu inclinationem aliquam in puncto seri fatendum foret: scilicet fatendum aliquas puncti partes ab aliis eiusdem puncti partibus abscederes, aliter enim quae uis inclinatio concipi non potest, cum sit unius ad alterum. At quodnam tandempuncti genus , istud esset, quod partes haberet 8 Ex his, quae paulo susilis prosequi libuit ebriu bd, ut aiebat Vall. veram Sc genuinam rei causam continerent, is priori demonstrarent comulate factum satis reor Argumento huic a Pelatario quidem primum allato ac deinde a Vallisio re tit, a qua repetitione abstinuisset haud dubie si grauem a Claui datam aduersus Peletarium Responsionem attentilis perpendiiset. Ad alia quaedam transeo ab eodem proposita Argumenta.
Massista Angulum contactus impugnat.
Angulum contactus configere conatus est Peletarius petito ex ipsius Euclidis pharetra iaculo: quod idem validi is torquetae satagit cap. 3.
disquisionis suae Vallitas adscito etiam Archimedis brachio in hunc
418쪽
Lib. II De Angulo continge nitia. iu
ergo sensum agit. Si Angulus contactus quantus est positiuus ei aequalis,aut etiam minor dari potest Angulus rectilineus. Sed hoc a surduna est. Ergo Angulus contactus quantus non est, sed imaginarius. Minor clara est ex Prop. i6. Lib. 3 Elem.qua con stat Angulum cotactus eue omni angulo acuto rectilineo minorem. Maior autem clara est, inquiunt, ex Prop. r. Lib., o Euclidis Nam per hanc Proposicionem si Angulo contactus,4 Angulo rectilineo propositis, dematur semper, videminihil vetat, ex Angulo rectilineo dimidium, aut plu quam dimidium relinquetur tandem Angulus rectilineus maior Angialo contactus propolito. Item asserit Archimedes Prop. r. lib. I. desiphora, Cylin. His d bu magnitudinibus inaequalib- possibile esse
duas rectas definire quarum minor ad maiorem, habeat minorem Raι ἔσω
nem, quam habes magnitudo minor ad maiorem. Itaque propositis duobus Angulis inaequalibus Angulo scilicet rectilineo maiore, & Angulo contacius minore, possibile est duas rectas definire quarum minor ad maiorem minorem habeat Rationem,quam Angulus contactus ad Angulum rectilineum.Sed quam Rationem habet linea minor ad maiore. eandem habere potest Angulus quispiam rectilineus ad Angulum rectilineum maiorem datum. Hoc enim ut Principium per se notum d Geometris passim surpatur. Quod si verum est , ut verum esse ne- molaon fatebitur: poterit dari Angulus rectilineus quispiam Angulo contactus minor Vt enim Angulus rectilineus ad Angulum Ree illi. Deum datum, minorem habeat Rationem, quam Angulus contactus ad eundem datum Angulum rectilineum necesse est, ut Angulus rectilineus minor si tangulo contactus, per Prop. 8. Lib. I. Eues ut scilicet minorem habeat Rationem ad Angulum rectilineum positum; quam ad eundem habet Angulus contacstus. Ecce igitur ve dari possit Angulus rectilineus Angulo contactus, minor. His Euclidis, Atachimedis praesidiis fretus Vall. quibus firmiora vix reperias quasi devictoria sibi, suoque Peletario parta securus Hostem prouocat audacius. Quid inquit, Clauius ad haec Clauio digna, Vallisi, qu: mi- nuchen a te percepta, in tui gratiam rursus adducam: hanc enim dissicultatem dilui superius Prop. 8 eiusque Cor quam momenti non inanis esse oportet; cum ea laclarissimi Geometrae P. Gregorius,ac P. Ayn scom persuasi a Clauio, ab Euclide, a caeteris magni nominis Geometris desciuere Resonsio. Hui Argumento iam supra ut proxime memini, respondi ex
mente Claub Prop. scilicet 8. Sed exuo Responsioni illi non parua
419쪽
L , Lib. II. De Angulo contingentia.
facta est tum lucis, tum firmitatis accessio ex Propositione I 6. iucque Corollario. Dixi igitur cum Clauio, d euidenter ostendi Propositionem i. Lib. Io Elem non nisi de magnitudinibus intelligi deberes, quae Rationem inter se habere sunt natae quas Euci definit. s. Lib. 1.declarauit: quς scilicet multiplicate sese mutuo superare possunt. In cuius alsertionis fidem consulendam monui eiusdem Propositionis Libricio demonstrationem, in qua adhibet Geometra quantitates solas, quae multiplicatae sese superant in ver,praeparationem ad demonstrandum adhibet ue quae multiplicationem minoris quantitatis supponit donec reuera maior superetur. Vide, quae supra fusius in hanc rem adduxi Prop. 8 eiusque Coroll. Quibus addendastin quae Prop. 16 dc Corollario ex ea deducto decla lata probataque sunt nia mirum Angulos quonibet mixtos,&quam plurimos simpliciter cur uilineo. omnes scilicet iis exceptis, qtio excipi debere docui Prop. 1. qui scilicet ruis continentur lineis eiustem curvitatis Ladeoque Angulis rectilineis sunt aequales nullam Rationem ad alium quem quam angulum habere posses non solum quia eorum differentia est aliquis Angulus contactus, vel ad eam per ratiocinationem potest ad . duci ut Prop. ii factum est quibus in casibus omnis praescinditur Rationis modus,per defin. s. Elem. Sed etiam quia in Angulis huiusmodi
vel mixtis, vel simpliciter curuis curvitatis inaequalis, Inclinatio anci- mala est,re indeterminata, utpote semper minor,quo ad punctiam concursus propius acceditur quae indeterminatio Angulos eius generis ad alios quosvis Rationem aliquam habere non patitur certam, determinatam quod tamen non obstat quin Anguli huiusmodi alij aliis maiores dici debeant; cum ali alios includant. Quas porro Affertiones ex vera definitionum 3. 4. Libri . Euclidis interpreta tione seperius adducta,ri apertissime probata, in superioribus collegi..Habes igitur, Vallisi, quam recte, & erudite uro more Clauius asserat Angulos omnes, etsi homogeneos in genere Anguli, siue situs
duarum lineam meoncurrentium , tamen quoad Rationem non esse
generis eiusdem omnes. Etsi enim omnes Anguli, ut Raesonem aliquam inter se habeant, eiusdem generis quantitatis esse debeant, de beant scilicet esse Anguli iuxta definitionem 3. LibriI non tamen sequitur omnes Angulos Rationem inter se habere posse iuxta definiationem 3. Lib. I. quam, ut superius iam monui, nemo asserat ab Euclide perperam, & absque necessitate definitioni tertiae adiunctam fuisse, sed ut quantitatereiusdem generis in duas species quoad Ra
420쪽
Lib. II. De Angulo contingentis s
complecteretur, quae Rationem habere possent inter se ad alteram pertinerent quantitates eiusdem itidem generis, quae rationem inter
se habere non possent ad quarum quantitatum speciem ad quam vix aliae praeter Angulos, quantitates pertineant Angulos contingentiae Clauius consultissime reuocauit, essique diuersigeneris suestecie quoad
Ratiouem ab Angulis Rationis capacibus esse pronunciauit non tamen negauit inter eos esse posse alios aliis maiores, vel minores: ad hoc enim necessarium non est, quemadmodum necessarium est ad Rationem aliquam certam constituendam, ut quanta vel quanta sit maioritas , vel minoritas determinetur qui enim maioritas , vel minoritas illius quantitatis prae alia, determinata esse possit cui uxquantitas ipsa omnem respuit determinationem 3 haec autem indete minatio oritur, ut supra cum sententiam P. ynseo expenderem Prop. i .ex anomala arcus ad rectam lineam, vel alium arcum curuitatis inaequalis, inclinatione suae vario Lindeterminato singularum partium aequaliter a concursu dissitarum recessi ab inuicem. Quid igitur tam multis disseruit Vallistus cap. 3. 6. . ut contra Clais uium probaret Angulos tam contingentiae quam alios quoscunque mixtos, aut curui linco eiusdem generis esse secundum quantitatem id enim, num omnia ad unum eius probant Argumenta cum id fatentem haberet Authorem grauissimum. Probatum oportebat eos Angulos eiusdem esse generis seramdam Rationem, quod negauerat Clauius iuxta mentem Euclidis desinit. 3. Lib. I. eiusque Interpretum omnium squorum communis consensus, in primis erga Euclidem
obseruantia deterrere debuerat a graui illa in tantum Geometriae P rentem, eiusque cultores serenda censura, quam ad calcem capitis 8.
pronunciat, a Saullio alias conceptam resert quem ait sensisse definitionem 3 est 3. Libri I. irreconciliabiles esse. Tum subiungit dignam eo Iudice sententiam. Et quidem ego idem prasin sentis cum Saullio scilicethnempes luatur Angulum contactu να-n Anguli quantitatem habere id porro statuit idem Euclidra ut euidenter supra Prop. 6. declaratum est definitiones istas duas ulvera esse nonposse. At comoedatur Augulum iEum, Angulum esse tantum imaginarium meque intre se pugnabunt ilia dira definitiones , neque cum Propositisne i s. Libra 3 Elem. nesue cum l. Libri M. aut eum alia quaau ιγam vel apud Euclidem vel
Archimedem vel alios spiam extare scio. Sic tamen habeto, Vallisi. neque tibi contra Euclidem 5 apertam vertatem concessum iri a Geometriae schola, Angulum contactilis esse imaginarium neque propterea desinere verissimas esse definitiones illas tertiam ,& qui Ε tara