장음표시 사용
401쪽
i, Lib. II De Angulo contingentia.
culo. Ergo Angulus AIC ducia recta IC in segmento AIC maior est Angulo ADB in segmento ADB. Ergo si super A C tan
quam base statuatur triangulum AD B statuetur Angulus Am B iu tra triangulum AIC per Prop. ii Lib. L. Elem. Ergo Angulus C A Imaior erit Angulo B A D. Iam cum circuli minoris segmentum Ad Cextra circulum maiorem ponitur,addantur duo inaequales Anguli CAI, BAD ad communem Angulum DAG, fiet angulus D A maior angulo GAL, siue CAB. Ergo arcus I maior erit arcu GL clim autem arcus GL similis sit arcui BC: maior erit arcus ID qua ut similis 11 arcui CB
maiorque erit Ratio Lateris Ai , siue Ac quod est distantia puncti concutius Ad punctis circulorum vim j ad basim Noe, quam laterisAI, siue AD ad basima D, trianguli IA D sunt autem rectae C B, ID distantiae punctorum C, B I, D. Ergo distantiae Ac in I a puncto proportionales non sunt distantiis puniitorum C, B,4 ID. go per Prop. 4. Anomala est inclinatio duarum sese ina secantiu peripheriarii AIC,ADB,in eo casu, in quo circuli minoris segmentum extra maiorem circaeucadit. At,quando segmentum minoris circuli intra maiorem circulum cadit, ita absoluetur demonstratio, assumpta eiusdem
diagrammatis altera parte, iisdem Characteribus insignita ostensum est Angulum C A I maiorem esse Angulo Ba D. Ergo addito communi Angulo LAL, maior erit Angulus CAL, vel GAL, Angulo I A D. Sed Angulus GA L est idem cum Angulo C A B. Ergo arcusCa maior est quam ut similis sit arcui ΙD44 Ratio Ac , vel Amdistantiae punctorum C, B a sectione Acirculorumad rectam Ct mi nor est, quam Ratio AH, vel Audistantiae pu fictorum I D, a circulorum sectione A ad rectam I D:quae est distantia inter puncta et D Ergo Inclinatio duarum peripheriarum AIC AID concurrentium
in x, cum circuli minoris segmentum intra maiorem circulum cadit, siue , cum eius convexum circuli maioris concauum respicit, inaequalis stri A nomala. Cum ergo siue inaequalium circulorum peri-phcriae se tangant, siue se intersecent, punctorum earum omnium di stantiae a puncto concursus,, distantiae eorundem ab inuicem nunquam sint proportionales incerta, inaequalis, manomala est earum peripheriarum Inclinatio.
Denique in eodem Schemate ostendetur Inclinationem ι quam inter se obleruant duae peripheriae AD N A IC ad se inuicem conueris ι quarum scilicet cauum utrumque sibi mutuo respondet, obiici- .eur, inaequalem esse, Sesano malam siue se secantes circuli aequales Puerint, siue inaequales. Si enim ducta concipiantur rectae lincae B C,
402쪽
DI LG. In triangulo AI minor est ratio Lateris A in vel A ad bas DP quam LaterisAL .el AG ad basim LGtrianguli LAG. Sed veALULG,ita ABad BCrminor est ergo Ratio A Dad DI, hoc est, distantiae
ctorum D , Di quam sit Ratio Aa ad BC, sive
distantie punctorumB,C, ab Intersectione A , ad distantiam eorunde punctorum B, C, ab inuicem. Inaequalis ergo est,&ano mala haec Inclinatio interna horum duorii siue aequalium , siue inaequalium circulorum. Idem ostendi potest de Inclinatione externa; quam iidem siue aequales, siue inaequales circuli obseruant, dum utriusque circuli convexum sibi respondet Vera ergo est quouisis, se proposito statuta Propositio.
PROPOSITIO XVI. Theorema. Vllus angulus diuersae specie lineis comprehensus, ad alium quem uis angulum Rationem ullam habere
Demonstratio. Cum duo quaelibet Quanta, ut Rationem ad inuicem aliquam habere dici queant, certae fixae , ac determinatae quantitatis , ac mensurae esse debeant ut scilicet innotescat, dum inter se comparantur, eorum habitudo aequalitas nimirum, si aequalia essi contigerit, aut inaequalitas certa ac definita madoritate, aut minoritate contritrua
403쪽
i, Lib. I De Angulo contingentia.
neque enim quanta quaelibet inaequalia, Rationis iure potiuntur, is non semel in superioribus declaratum est Angulus autem lineis diuersae specie comprehensus, siue duarum linearum diuersis speciei concurrentium inclinatio, nullius sit certae ac definitae mensurae, uvProp. proxime antecedente ostensum est quam Angulus huiusmodi ad alium quemcunque Angulum, siue eiusdem , siue diuersae speciei lineis constitutum Rationem habere queati Nullus ergo Angulus diuers e speciei lineis&c. Quod erat probandum.
Non leue, inquam , imo grauissimum scholium: in quo Wom nium, quae hactenus allata fuere, breuem Anace phalato sim inire ac ex eis postremis praesertim Propositionibus Angulorum de quibus
agimus, naturam non nihil adhtic enucleatius exponere, ac denique disticultates, non paucas, quas obiici, vel contigit, vel continger: demum potest, euidenter luere,, mature praevertere proposi--- tum sit.
Primo ergo certum, ac statutum esto, quod a nullo non admisium est hactenus Geometra , duarum scilicet quarumcunque linearum sue reclarum , siue generis cuiuscunque curuarum concurrentium Inclinationem, siue ad se inuicem situm, vere ac proprie dc eue,&dici Angulum,4 ut reale quidpiam admitti debere, velut Prop. Α- declaratum est Secundo Anguli ad nullam quidem uerae quantitatis speciem pertinent , neque enim lineae sunt, vel superficies, aut corpus, eosque sibi vindicat vel Qualitatis praedicamentum , si superficiei Angultu teribus terminatae &mguratae habeatur rati, vel Praedicamentum situs, si ipsa sola spectetur laterum concurrentium Inclinatio: Attamem non proinde carent omnibus quantitatiuis faculiatibus. Quis enim negauit hactenus Angulum Angulo esse posse maiorem, vel minorem, aut ei aequalem; dum magis, vel minus, aut aeque obliqua statuitur citerum eos comprehendentium Inclinati, At hae sunt quantitatis affectiones quibus non Anguli solum gaudent i sed etiam Entia alia non pauca, quae ad Quantitatem perinde ut Anguli non pertinent. Nunquid enim grauitas grauitate maior, minorvereete dici potest; maius aut minus pondus, maius aut minus tempus & caeter heriusmodi, quae maius 3c minus, non secus quam verae quantitatis species nata sunt suscipere. Consule Prop. 3. ω6 Libri huius, aut Prop. V. Lib. 1. Examinis mei Quadrat. Quae veris his opponi posse visata eandreae Tacqueto nostro insertusa reteram ,α reiiciam. . Tertio.
404쪽
Lib. II De Angulo contingentia. lys
Tertio Exposui, idque Pro 1 quomodo, quave de cauo qua titatis finitae ad infinitam nulla sit Ratio: etsi quaedam sit illius ad hanc secundum quantitatem habitudo, scilicet secundiim maius huius,
quod praecise non sufficit ad eam duarum quantitatum relationem, quae Ratio dici debeat. praeter hanc enim habitudinem duarum magnitudinum secundum quantitatem, quam Eucl. def. 3. Lib. s. requirit aliam conditionem necessariam asserit des s. ut scilicet duae .i. gnitudines tales sint, ut multiplicatae sese possint superare, hoc est, ut una alteri applicata,& quoties opus erit, repetita veluti eius mensura eam possit aedaequare, vel excedere adeo ut ad hoc ut una magnitudo ad aliam habere Rationem dicatur necesse sit . ut una aliquoties repetita alteram metiatur praecise , si eius seret aliquota; vel certe metiatur magnitudinem ipsa altera maiorem. Quod si constiterit duarum magnitudinum unam non posse alteram, vel aliam ipsa maiorem metiri siue id contingat, quia illa finita est , haec vero infinita, siue quia una eius est naturae ut alteri tanquam mensura applicari non possit constabit etiam huiusmodi magnitudines, licet sint ambae finitae vi eiusdem generis, omni rationem aliquam habenditare carere quod duabus postremis Propositionibus demonstratum est circa Angulos lineis heterogeneis comprehensosci quarum inclinatio nusquam una eademque est , sed in infinitum perpetuo minor, quo propitis ad earum concursum acceditur haec autem inclinatio tam hiltiplex , ad alterius inclinationis mensuram, quae unicaicerta esse debet, inepta est nec est magis apta, ut quamuis aliam mensuram admittat Ladeoque nullius ad aliam quamlibet Inclinationem rationis capax esse potest. Esto sit quod semper repetoxea maior,vel
minor. At vero si ambo Anguit,lateribus,vel rectiS,vel curvis curvitatis
aequalis,N in eandem partem positae, contineantur , nihil obstat, quominus Rationem inter se habere possint alter enim alterum excedere multiplicatus potest, siue ipsum metiri, aut alium ipso maiorem , ut ad Rationem constituendam exigitur. Haec quanquam certa, hoc toto Libro declarata, Sc confirmata omni dubitationis periculo vacare videantur postquam praesertim ostensu est a me tum hic Prop. .d 7.tum Prop. 2 P.Lib. 2. Exam. Quadrat nihil absurdi contra Principia Geometrica committi, ut rebantur Gre a S. Vinc eiusque Interpretes Ayn scom clarus terque Geometra si quodam Quantitatis Iure donentur Anguli quibuscunque lateribus comprehensi Attamen Andreas acquetus nostrae, ipse
405쪽
Loo Lib. II. De Angulo contingentia.
& Annularibus expiscatis ditatus est Geometriae Thesaurus hic Ἀ-
quam alio ex capite iure omni quantitatis carere censet Angulos O nes. Deficiat haec mea exercitatio, si earum rationum non meminero, quae Geometram non vulgarem in eam sententiam adduxerunt.
Duplicem ab eo asserti obseruo in scholio Propositionis i 6 Lib. 3 Elementorum Laltera est a posteriori deducta, altera a priori Vcran que perpendo. Prior itaque ab eo colligitur ex absurdis,& impossibilibus quae consequuntur,si angulos quantos esse afferatur. Absurda illa& impossibilia non alia adducit, qu m Paradoxa illa a Geometris non paucis nec nominis obscuri excitati Prop. 4. Lib. 3. Eucl. deduci solitaci quae fallacia afferit, ac plane incomprehensibilia Primum ac secundum in ipso textu propositionis illius 6 Lib. 3. Euci habentur, quanquam
subdubitet Tacque tus ab alio liquo ea ad Euclidem addita fuisse: sed, ut mihi quidem videtur gratis dubitat,mne Geometriae Parenti aduersari credatur cum omnes tum Graeci tum Latini codices hisce constent, nec unus cum eorum tantus sit numerus Euclidis Interpres ea omiserit hactenus.
Primum ergo ex Euclide petiti R tum Paradoxum citat Authori incomprehensibile visum, ital
bet. Anguia contingentia AB Les omni angulo acuto minor. Secundum Anguia emicirc. li L BG es omni angulo acui maior. Hoc ex priore probato, vel prius ex isto secundo per se, ut patet, consequitur ut unicum censeri possit.
Tertium Anguia quicunque rectilinem infinitos angulos coni auseotinet,eises maior est infinities. Quartum Angulus eontactu=ABLes vera pars anguli recti ABGrnιquιι tamen utrasui multiplicatione suum totum darequare, ac proinde
is ita aeaualia addita non efficiunt Infinitum Quintum. Transitur a minori ad maias, es per omnia messia neque tamen per aequalia. Si enim recta BG immoto eius extremora fluere concipiatur per semicirculum GC B semper angulum acutum Cum dii metro B G constitue quamdiu non peruenetit ad tangentem B A,
406쪽
Lib. II. De Mngulo contingentis o 1
hoc est, minorem anpulo CL BG semicirculi at, cum primum cum B A coaluerit, cum eadem BG constituet angulum rectum, hoc est; maiorem angulo GL BG semicirculi. Ergo eidem aequalem nunquam constituit.
Atque ea sunt Paradoxa illa, quae mentis humanae captum, om
nemque probabilitatis speciem superare asserit laudatus Author tve propterea non nisi ex aliquo absurdo, falsoque Principio deduci concludat quod aliud inquit esse non potest , quam quia Anguli quanti
esse supponantur hoc enim posito Angulos alios aliis esse maiores minoresve, aut inter se aequales fateri necesse est ac deinceps ex ea Quantitatis assectione consequi illa Rationi repugnantia Paradoxa: quae omnia, ubi angulos quantitate carere conceperis, concipies evanescere. Si enim quanti non sunt anguli, infert idem, nec unus alteri aequalis diei poterit, vel eius ulla pars, aut eundem superare posse, quantumlibet multiplicatus:eodemque iure Angulus contactus haudquaqua dici poterit pars Anguli recti, sicut nec Angulus semicirculi,aut hic maior omni angulo acuto, ille minor unde reliqua illa immania Paradoxa a Geometris collecta sunt. Ea siquidem Praedicata ad blaQuanta pertinent, ex sola Quantitate emanare manisestum est. Quod autem Anguli quanti non sint Authoris mentem fideliter,. haud item verba resero quanquam Paradoxa illa a ratione omnino aliena, quae posita eorum quantitate per se necessario consequuntur, satis persuadent i Rationem tamen a priori promptum est aperire. Eam offert ipsa Anguli Euclidiana definitio 3. Lib. i. Angulus est duarum linearum se tangentium, &non in directum iacentium alterius ad alteram Inclinatio. Sed Inclinatio duarum linearum non est Quantitas, sed modus tant. Quantitatis, quam lineae concurrentes in . cluduntac determinant. Praeterea eam Inclinationem, aut lineam esse, aut superficiem, aut Corpus necesse seret: at horum nihil eam esse constat. Ergo Angulum nullum, esse Quantum. Quod si obiicias neminem unum ex tanto numero Geometram hactenus extitisset qui, cum de Angulis habetur sermo, eis quantit tem tribuere non videatur passim cnim angulus angulo maior, aut minor dicitur secatur in partes duas tres c.iuxta datam quamcunque Rationem:quaeri alia similia quantitate se liunt,nec nisi de quanto possunt nunciari. Respondet acquetus Geometras non proprie, sed analogice loqui; idemque esse angulos dicere aequales, inaequales,ac dicere similes esse ac dissimiles Angulus enim inquie, est duanum linearum Inclinatio, quae cum non sit quantitas sed quantitatis C tantum
407쪽
io Lib. I De Angulo contingentia .
tantum modus , si una cum altera conteratur, genita relatio non aequalitatis dicetur, aut inaequalitatis, quae ex solis quantitatiuis gigni potest sed similitudinis, aut dissimilitudinis dicentur autem proprie anguli illi similes,qui mutuo impositis eorum lateribus sibi congruunt . improprie vero dicerentur aequales Winaequales. Eodem modo. clim Angulus dicitur alterius anguli duplus, triplus&c haud ita a cipiendum est quasi unus inerum bis, teric contineat, id enim quantitatiuorum proprium est sed ita, ut angulus unus ducta una, aut duplici&c. linea in duas vel tres Inclinationes similes diuidatur.
Haec lis similia addueit idem Author, quibus probet solennem illum de Angulis, quasi forent quanti loquendi morem Geometrarum, insensum posse adduci suum, adeoque nihil ponderis ad quantit tem angulis asserendam ex eo posse peti. Haec sunt a doctissimo Geometra suae de Angulis sententiae ipsi cum Gregorio a S. Vinc., Franc Aynseo communis peculiaria sundamentat quae iuxta Institutum a me perpendi necesse nunc est. proxime proposito initium facio.
Assero itaque Geometras retro omnes ita de angulis locutos, ut non nisi contra eorum apertam sententiam, quam obseruare ac venerari par est, ius quoddam quantitatis ipsis denegari possit. Nam praeterquam quod nihil aequalitate e inaequalitate angulorum trequentius repetitur , nulla , quam obseruarim, eorum similitudinis aut dissimillitudinis facta mentiqnei casus quosdam obseruare est, in quibus ipsa vera eorum aequalitas de inaequalitas, quae quantitatiuo rum tantum proprietas est, necessario designatur, omni praecisa similitudinis, dissimilitudinis analogia. Unam, omnium instar, Propo-- sitionem 33. Libris. Eucl. lubet exhibere in qua anguli siue ad centrum . siue ad circumferentiam, rationem eandem habere dicuntur,
quam habent arcus, quibus insistunt. Erga Anguili, non secus quam arcus, qui sunt verae quantitates, habent inter se rationem , hoc est, habitudinem quandam seeundum quantitatem iuxta defin. 3. Lib. 1. Elem aliqtio ergo quantitatis iure gaudent. Ad haec cum omnis similitudo discrimen aliquod inter res, quae similes dicuntur, semper supponat neque enim Riblato omni discrimine similitudo seret, sed iden-εitas aut aequalitas nullum autem discrimen obseruare liceat inter
duos angulos, quorum latera sibi mutuo imposita congruunt non reincte, mea quidem sententia, illi anguli similes dicuntur ab Auctiore
extinio, quorum latera imposita sibi mutub congruunt rect ii diis eris eos, aut Oosdem esse, aut aequales. Quemadmodum duo arcus
408쪽
Lib. IL De Angulo contingentis o 3
eiusdem citculi, qui sibi mutuo impositi congruunt, nequaquam sit miles dici debent i sed iidem, aut aequales ob desectum scilice discriminis alicuius , quo sublato tollitur ratio similitudinis,in statuitur ratio aequalitatis aut identitatis: reete vero ac proprie arcus similis dicentur illi qui in circulis inaequalibus eodem centro descriptis a duo. bus radiis quibuscunque intercipiuntur neque enim carent dArimine inaequalitate nimirum' ad similitudinem necessario. Ergo, inserat aliquis, nulli unquam anguli similes dici debent imam duo quicunque anguli, si superpositi congruunt, aequales sunt si non congruunt, sunt inaequales, nec eandem habent ad quatuor angulos rectos rationem inde similes dici queant, secus quam in circulis contingat in quibus arcus similes dicunrur, qui ad totam suam periph riam habent eandem rationem. Illationem illam, aegre licet, eo, quod viri doc imi sententiae plane sit opposita, eamque labefactet, Ego admitto, admittetque quisquis ratiocinationem paulo ante allatam pro merito perpendeta Rationem nunc contemplemur ex ipsa Anguli definitione atque adeh a priori a clarissimo Geometra allatam, qua Angulorum quantitas ei visa est euidenter impugnari Angulus est duarum linearum sese tangentium&non indirectum iacentium Inclinatio, ut habetur Lib. i. defin. 8. Elem. Sed Inclinatio inquit, duarum linearum non est quantitas ergo nec Angulus quantitas esse potest. Ergo nec quantitatis Praedicata ulla, ut aequale, dc inaequale, maius, minus, pars B totum, Angulis possunt conuenires similitudo tamenin dissi. militudo, si eos inter se comparari contingat, iis competit similes autem sunt, si imposita latera congruunt, sin secus, dissimiles; nec unus alterius pars nisi analogice vocabitur. Huic Argumento tum hic, tum alias in examine Quadrata ut superitis memini, abunde a
ctum est satis Admissiam assertumque non semel iam est a me nullum Angulum, siue Inclinationem duarum linearum esse quantit tem , apertinere tum ad qualitatem, tum adsitum diuersa ratione, ut haud ita multo ante exposui, omni tamen non carere quantitatis proprietate, sicut nec alia multa Entia ad varia Praedicamenta pertinentia. Quare Angulus dicitur maxime proprie Angulus pars, Munus aequalis alteri, vel inaequalis quin imo, ut ostendi, non nisi improprie vi analogice unus alteri similis dici posse videtur quod Authoris huius sententiae opponitur e diametro. Restat Argumentum e Paradoxis illis superius memoratis petitum: quae,quia humane meruis acie ludere visa sunt insigni huic Geometrei
409쪽
, 6 Iab. I De Angulo contingentia.
Ipsum in eam adduxerunt op inionem , ut Angulos omnes omni a. rere quantitatis ratione iudic arit nullus enim modus ad ea de medio tollendi, Principij, unde nastuntur, fallaciam declinandam eidem
occurrit expeditior. At veris etsi haec admiranda plane sunt, ut alia non pauca quantitati Sarcana, eoque magis humanae mentis hebetudo dolendi quo densiores tenebras in rebus patitur, quibus nihil magis obuium sensibus occurrit haud ideo tamen ut inania, aut alia condemnanda, cum ratiocinatione tam euidenti e Principiis colligantur certissimis. Nunquid unus aliquis Geometra in dubium reuocauit hactenus partem illam Propositionis i 6 Lib. 3. Euclidis qua probatur inter lineam tangentem Ais inrig. eadem j& peripheriam Ct Baliam duci non posse rectam lineam, quin circulum secet At hoc admissis , ut non potest non admitti, ea omnia Paradoxa pari iure admitti necesse est , quippe quaec eo per se consequuntur manifestis si me, ut patet ex ipso Euclide, qui ubi probauit inter tangentem At & peripheriam a cadere non posse aliam reetam, collegit per
Axioma, quod Includens Incluso maius sit, Angulum mixtum AB L minorem esse omni anguis acuto se angulum semicirculi BG omni acuto maiorem. Neque enim , ut supra contendi, nisi gratis dici potest haec duo Corollaria ad Euclidem adiecta fuisse ab alio quopiam Geometra, sicut nec adiecta ad Propositionem xi eiusdem Libri 3 censenda sunt haec alia duo ex codem Axiomate collaeta Angulus maioris segmentir QT quidem maior est minoris autem segmenti angulus , minor est recto.
Fuere semper Geometriae cultores erga Geometriae Parentem obseruantiores, quam ut eius opus tam absolutum quoquo modo temerare non vererentur. Quod ergo asseruit ac demonstrauit Euclides, quod irines grauissimi eius Interpretes approbauere: haud fallacia cuipiam
obnoxium esse haud aliquid, quod a Principiis lumine naturali, ac per se notis sit alienum ex eo conssequi aestimandum est. Nec ver adeo mentis humanae facultatem superant haec duo ab ipso Euclide proposita Paradoxa, a quibus caetera deducuntur ut posthabita omni ea
percipiendi spe in sola ipsorum admiratione conquiescat. Quis enim
Curuta in clam recto congruere nunquam posse non percipiat euidenter 3 At si attendas nihil eo obseurius proponitur cum Angulus contactus omni acuto Rectilineo minor esse dicitur. Rem etsi ex superioribus lana satis pateat euidenter quoad eius obscuritas patietur,
Angulus contactus Assii in cadem fig. Angulus quidem est edquod duabus lineis recta B A,&circulari BL concurrentibus contineatur:
410쪽
Lib II De Angulo contingentis et o
neatura quarum utraque in suas specie simplex est, ac regularissima. Attamen si inclinatio unius ad alteram perpendatur, nihil magis anomalum, aut irregulare reperias , semper enim quo propitii ad
concursum B accedunt, eo minorem sortiuntur inclinationem tui
laque potest tam parua assignari, quin minor in eodem angulo contacti, possit exhiberi omnes siquidem possibiles inclinationes habere
nata est linea circularis aut alia quaelibet curua cum tangente linea recta Quemadmodum igitur linea curua partibus constat quantitatiuis eiusmodi, ut nulla sit minima, siue ultima, ε qua minor dari non possit alias pars illa minime seret quantitas, nec veram quantitatem componere apta ita etiam nulla est eius ad tangentem rectam lineam inclinatio minima, cultima, aut qua minor dari non possit; actu tamen omnino omne continet. Obseruandum est praei rea, ab eodem puncto, in quo linea recta curuam tangit, aliam rectam duci non posse infra tangentem, quae infra curuam non cadat; ita ut curua inter utramque media intercedat quod quidem ab Euclide quoad lineam circularem demonstratum est euidenter idem tamen non minus euidenter verum esse constat in curuis quibuslbet, quas, qua concauae sunt, a rem deflectere nece ite est. Haec qui attentius perpenderit, nullam maiorem prae aliis circa Quantitatem occurrere solitis, difficultatem in hac de angulis diserta xione eiusque solutione eum palsurum existimo. Illa quidem certe Paradoxa superius allata, admiratione dignissima, ahi auten nec a veritate aliena, nec a falso Principio deducta censeri debent illud enim est unicum,quod nimiru Angulus contactus omni acuto rectilineo minor sitiquod ab Euclide ipso demonstratu est,& anomala illa sumtilis
explicata curruae cuiusuis ad rectam tangente minor semper in infinitum Inclinatio ostendit apertissi E. Hoc autem posito constat Anga-lumsemieirculi maiorem esse omni anguis acuto, hoc est, omni angulo, qui recto minor se. Quia scilicet eius a recto differentia, angulus contactus minor est quouis angulo rectilineo acuto. Ergo reliquus, nempe angulus semicirculi, acuto quouis maior est. Quod est Paradoxum secundum. ertium autem quod Angulus quicunque rectilineus infinitos angμlos contactus contineat quid absurdi asserit cum angulus contactus inficii te paruus,& infinities infinite paruominόr existat, non secus qu m lineae curvae pars infinite parua, resti finities infinit dminor ad punctum concursus ciam recta linea tangente constituitiκ. Quartum qu bd Angulus contactάive parasit Anguli recti, nec tame,