장음표시 사용
421쪽
ii Lib. I De Angulo contingentia.
tam Libri Elem. neque, vel secum ambas, aut cum Prop. Ic.Lib. I. aut cum l. Lib. I o. aut alia quavis apud Euclidem vel Archimedem
Ad illud verb, quod ex Prop. 1. Lib. i. de sphaera, Cylin petitur Argumentum, quid reponi debeat Lex dictis potest facile colligi A
chimedes enim, non secus quam Euclides, ut ex ipsis verbis patet, de quantitatibus loquitur: quae Rationem inter se habere posmunt: quae stilicet iuxta celebrem illam definitionem 3. Lib. s. Elem multiplicatae sese possunt superare, vel quarum quantitas determinata est quoad Rationem. Quod nec Angulis contactus, nec caeteris, quos designaui, conuenire potest. Obiicit demum Vall. cap. 4 sint duo eiusdem circuli quaecunque segmenta aequalia com-
muni lineae AB adiacentia, langulum curvili
neum C AD constituentia. Quid clarius quimhunc Angulum C AD Rationem habere duplam ad Angulum mixtum C AB segmensi,&si arcusCA D ad lineam rectam Alinclinatio anomala sit, cindeterminat, Quod idem in aliis Angulis multis obseruare est. Ergo male ius Rationem aliquam habendi, saltem duplam, denegatur Angulis Omnibus mixti lineis et Angulis quibuscunque curvilineis,quos c5tinentlineae curuae curvitatis inaequalis.
Respondeo Angulum curvilineum C AD ad Angulum C AB segmenti, eodem nomine Rationem habere duplam, quo res Anguli Angulo Cassi aequales, ad eundem AB Rationem habent triopiam Idi quatuor, quadruplam,c. res autem Anguli ita Ratio
nem haberent triplam ad eorum unum, non ut sunt quantitas una continua, sed ut sitne Entia tria, seu tres unitates distinctae, quae ad ens unum siue unitatem Rationem habent triplam , ut numerus scilicet 3 ad . Quae Ratio pertinet ad quantitatem discretam aptam numerare quascunque unitates quarumlibet Entitatum, quae materiale tam
tum sunt numeri Atque ita Angulus in D dicetur Rationem habere duplam ad Angulum C AB ut in abstracto numerus 1 .ad I .Rationem habet duplam. Est enim per accidens, quod duorum segmentorum Anguli Cassi, D AB ita possint sibi mutuo applicari, ut unicum Angulum C A D constituant si enim ex natura sua, Qui est Angulus, Rationem duplam haberet Angulus C AD ad Angulum C AB alius angulus ad eundem habere ponet eodem iuro triplam,
422쪽
Lib. II. De Angulo contingentis. 2r
Ex dictis igitur habetur vera solutio Argumenti ex Euclideri Archimede petiti contra Angulos nullius Rationis capaces quod quidem
Ego, ut supra monui, in hac materia potissimum censeo nihilominus alia quaedam ab eodem Varisio adducta non omitiam in maiorem eo. rum, quae hactenus deduxi confiruiationum.
ARGUMENTUM QUARTUM. V risi excogitatum adues Angulum contactus.
Argumentum hoc proponit Vall. cap. ix suae Anguli contactus dis. quisitionis in hunc omnino sensum paucioribus, nec paulo clarioribus comprehensum. Quod est omni positiva quantitate minus, illud est non quantum. Sed Angulus contactus est omni postiuo Angulo minor Ergo Angulus contactus non est quantus, hoc est, imaginarius solum est, morumque ac purum nihil. Maior tam vera est, quam verae sunt demonstrationes innumerat, quae tum ab Euclide Lib. I a. tum passim ab
Archimede Lib. de dimensione circuli, de uadratura Parabolae,& alibi, tum ab aliis per exhaustiones institui solent. Hoc siquidem demonstrationum genus ex eo totam concludendi vim habet: quδd Polygonorum tam inscriptorum circulo, aut aliis figuris quam circurnis scriptorum disserentia a circulo,aliisve figuris minor est quavis propositasquantitate. Hinc enim fit,ut ea disserentia quanta non sit,adeoque
nihil : quo posito colligitur circulus idem de reliquis figuris esto iudicium esse aequalis ineri figurat , ut triangulo rectangulo a radio,
perimetro circulari, comprehenso. Alinor ergo tantum probanda
superest, nempti Angulum contactu; mni postiuo Angulo esse minorem. En quomodo id probet Vall. Angulus contactiis est differentia liguli e-hi ab Angulo semicirculi. Sed haec differentia est omni positivo angulo minor. Ergo Angulus contactus est omni positivo Angulo minor Perse patet maior Minor ergo probatur. Sit Polygoni cuiusdam circulo inscripti latus AB: quod bifariam per diametrum, atque adeo ad Angulos
423쪽
ira Lib. II. De Angulo contingentia.
erit recto minor , eiusque a recto differentia erit Angulus Ac L. Quo fit, ut Angulus a Leb magis accedat ad rectum, quo Angulus Aci fuerit minor. Si igitur concipiatur circulo inscribi Polygonum laterum infinitorum: erit Angulus L C infinite paruus equicum sit differentia Anguli CA L ab Angulo recto Ciaci disseret Angulus Cassi in eo casu ab Angulo recto Cia, siue Cam ponitur enim AO circulum tangerea Angulo infinite paruo, isque est Angulus L a D hic enim aequalis est Ahgulo LC A. Ergo si tunc Angulus L AD infinite paruus est 4ssulto potiori iure infinite paruus erit Angulus contactus I A D. Sed quod infinite paruum est , hoc quantum non est, siue nihil est. Quod si Angulus contactus Ix nihil est. Ergo Angulus C AI semicirculi rectus est: si enim ab Angulus recto
CA nihil dematur, ut nihil demitur,cum Angulus contactius I A Ddemitur haud dubium quin permaneat integer Angulus rectus Isau tem est Angulus semicirculi GAI. Ergo Angulus semicirculi re-etus est.
Haec est Vallistratiocinatio, 'uidem haud paulo planius proposita:eius enim vis tota pendet ex perpetua duo rimangulorum LC A. At aequalitate i de qua tamen apud Ipsum nulla fit mentio. Hanc porro ratiocinationem suam multis confirmarc conatur Vall. sed palis sunt omnes eiusconfiimationes ponderis. Hoc est, nullius, aut minimi parum certe Geometriam sapiunt: ut ex ea sola, quam proxime retuli, coniicere licet. Quod paulo distinctius declarandum est. Ita-
In primis vix bene percipio, quo sensi maior illa Propositio intelligi possit. Mia
omni postia quantitate minus es , Argumentatur Vall. Illa quantum non es. Si quid enim altero minus est, aliquid est: quidem eodem iure, quo alterum, quod quod maius dicitur. Neque enim mai quidquam altero realiter est quin realiter existat minus. Videat ergo ali num scipsos destruant nunciationis illius termini. Verum ne huic examinandae Propositioni immoremur, admittamus tanquam Geometricas, ut Geometricae omnino sunt, omnes illas summorum Geometrarum demonstrationes, quae per exhaustiones absoluuntur ι simul admittamus in ea Argumentandi per exhaustiones methodo nullam quantita
424쪽
Lib. II. De Angulo contingentia.
quantitatem assignari posse, a posita absurdum non sequatur ex quo legitime concludatur nullam ab Aduersario assignari debere quaemii Vallisiij mens, etsi paulis minus bene enunciata atque adeis ab
eo admitti tanquam verum,quod ab Argumentante asseritur. Hac ergo Propositione maiore iuxta debitum sensum admissa, minorem
Haec autem est minor illa Propositio.Sia πνω eontactus est omniposilia Anguis minor. Si aliud nihil velit Vall. quam quod voluit&demonstrauit Eucl.Prop. I 6.Lib. 3.nimim Angulum contactus esse omni positivo Angulo rectilineo minorem id quidem non secus quam Euclidi, concedi vallisio debet. Attamen ex eo concludi non potest, Angulum contactus nihil esse nisi probet ali nullum alium Angulum pra, terrectilineum, aut rectilineo maiorem, atque ade nullum Angulum contactus dari posse. At hoc in quaestione versatur ex concessione,&animi tantum gratia cum ex Euclide ipso constet Angui contactus, dari,& esse quouis rec tilineo minores imo dc 'inter se inaequales.Tunc igitur ad Principiu recurrore Vall. N Angulum con- laetus non quantum, siue nihil esse assereret. Ex eo quod nec quantus, nec aliquid est Ad haec cum idem in haec verba loquatur sed Anga ocontactus est omni positivo Angulo minor Merito censeatur Angulas omnes contactus supponere esse aequales quod nomo ipsi sine probatione concedat imo quod nemo ipsi non ostendat esse falsum. Quare, etsi Angulus contactus quilibet omni Angulo rectilineo sit minora non tamen propterea omni positivo Angulo est minor erit enim oblatus quiliber Angulus contac Urs, ve minor infinitis cornactus Angulis ita aliis eius,egeneris infinitis Angulis erit maior. Vnde asserere nunqualicebit quempiam Angulum contactus eo paruitatis deuenisse,ut omni
positivo Angulo dicatur minor. Quod si per impossibile supponaturdari posse Angulum omni positivo Angulo minorem non staxim tamen sequeretur non esse Angulum, vel non quantum, aut nihil. Iam vero si probationes attendamus, quas idem Author adhibet aa Angulum contactus e rerum natura abolendum, mad spatia maginaria cum chrmaeris amandandum senihil obseruari potest debilius, nihil quod Geometriam sapiat minus. Ecce enim ut pauid ante rati Cinantem audiuimus. Si enseatur Polygonum circulo AIB inscribi insemiorum laterum, Angulus L CA ducta semidiametro C A ad lateris illius terminum x, ad cuius medium L ducitur ala id enim ita exigi eius suppositio erit insinite pamin, hoc est mi is nihil se masPβοι-: Ergo et Angulis L AD, rivoLCAal alis, non est ρη--
425쪽
Liber II De Angulo contingentia.
tinfutaris , sed merum nihil. Ergo multo magis Angu contactu IAD minor Angulo L AD ,quaminfuturas est. Sed attende amabo, a liti, dum supponis Polygonum laterum infinitorum circulo instribi. eane latera non quanta, an quanta esse censes si quanta esse non visi cum simul evanescant omnes Angulicum suis lateribus, ad quid mentionem insersangulorum LC in L ini unc enim eua- nescit recta L A in Cacum a congruit in x tangit circulum in I. Qiniod si singulis illis lateribus multitudine infinitis aliquam tribuas quantitatem vide sis primo ne tua a temetipso destruantur Principia qui asserueris, quod infinite partium est esse perinde nociquantum Deinde qui negabis duas lineas L C, AC tantii in puncto C coeuntes Angulum non continere etsi infinite privum, cui sit aequalis Angulus L AD quo posito etiam Angulus eontactus I AD, quantus ruturus est, non autem nihil. Neque enim tibi primo concessum iri sine alia probatione, quam quod ita tu sentias, aestimare debes, infinitum nihil vel magnitudine, vel paruitate dari posse quo tibi non conoe Principio, cuius momenti fiatura est haec tua totaeontra Angulum contactus Argumentatio
Atque haec plus quam satis ad hoc Vallisijdi luendi Argumentum. Verum non nihil superest circa quasdam quas adducit, eius confirmationes obseris Uandum ne quid querator O seruatione dignum praetermissum. Quid porro illud est 3 Ecce
Vt num 3. Cap. Ia ratiocinatur
cius utar verbis , ne quid biimponi queri possit, meo tamen schemate. Subiungam, inquit, huic Ar mento etiam hane necuiationem m. M ilis nata a. Si Anguluscontactus AB L At ver Anguias, tumes residuis L BR a duos uectu eri mere. Angulus , neque erit re
426쪽
Lib. II. De Angulo contingentia. r. ΣΤ
tu B L CAngulus,sed potius lineam directum posita is consequenter. neque AB L Cneque R BVS Angulus erit Ised potius linea coincidentes, quantamIcilicet ad Vsum puncto contactus attinet. Haec ille. Ex quibus
corollarium deducit, cui par in tota Geometria non reperiatur : Ecce. Atque hine obiter discere licet, quopacto dua dis ius lineae puta curua ct recta, evergheria separabola, quaenam praeterea 3 vel etiam peripheriae maioris o minoris circuli, haene tantum aut etiam eonvexa
concaua, pcrgedinc id est, recta BR cum duabus simul periphetiis B L C, BU D maiori dominoris circuli. Id est peripheria S l cum iisdem duabus simul peripheriis BLC BOD d caetera huiusmodi. gus pacto, inquit, huiusmodi linea continuaripossint. Sed heus tu vallis. quam dispar est haec tua Anguli contactus speculatio ab iis, quasvcl in Infinitorum, ut vocas, Arithmetica , vel in sectionibus conicis instituisti leone vel in cletarium studium, vel in Clauium odium te abduxit, uti tui obliuiscerere vi veritatis. Et in quod Absurdorum barathrum te demersit pertinax illa tua contentio. Vis lineam curuam lineae cistae in directum esse positam 3 siue eodem, quo ceperat, ductu continuari vis etiam Peripheriam circuli maioris peripheriae circuli minoris esse in dire flum est ergo peripheria unius circuli, ut in schemat peripheria S B duabus:peripheriis Bia, BOD, imo infinitis, in directum. Quod adeo absurdum cum sit: vereor ne tu aliter quam Euclides Lib. i. Prop. I . vel Lib. 6. Prop. 34. vocem illam in directum accipias. Ipse videris Eam certe in cum sensum tum Euclides, tum eius Interpretes accipiunt: ut si duarum linearum altera, vel utraque ultra punctum, in quo iam conuenerunt, seseque mutud tangunt, producatur scoalescat in unam utraque secundum omnes partes. Ita recita in rediam incurrense directo in directum estiit peripheria circul in solam eiusdem circuli Peripheriam in directum esse potest ut non male directionem illam duarum sibi incurrentium linearum ita explicent: ut in concursus puncto nota Vallis nullam habeant ad se inuicem Inclinationem, hoc est, Angulum nullum constituant: constituant vero aliquem, siue Inclinationem alia quam ad inuicem obseruenti si productae, non in eandem lineam obpescant , sed a se abscedant post contactum, vel sectionem, sialiorsum digrediantur. Vnde apparet quanti ponderis censeri debeat Argumentum a Vallisio propositum contra Angulum contactus Peripheria L Binperiphoria B Veiusdem circuli incurrens in directum ipsi iacet nec ullum angulum constituit, eo quod arcus L B productu cum arcu B Vcoincidit, eique immem
427쪽
, i Lib. V De Angulo contingentia.
gitur. Ergo inquit, multo minus idem aram i eum recta linea B R. Angulum constituet, inclinati-- haiabit. Quid Arcus L ultra B productus, an quemadmodum cum arcu B V coalcicit cita etiam malescit cum recta BR, ipsique est in directum positus, ut cum ipsa Angulum non constituat Z constituit omnino, d tamen Cum arcu BV non constituit. Quod adeo verum est, ut non tantum arcus unius circuli in eiusdem arcum incurrens non habeat aliquam inclinationem , sed nec etiam arcus Ellipsis, aut quod mirum magis est ob flexum magis irregularem arcus Parabolae, aut hyperbolae cum arcu eiusdem Ellipsis, Parabolia, aut hyperbola ex aduerso occurrentium, Angulum constituat,aut inclinationem habeat: utrinque enim producti arcus harum trium conicarum sectionum licet curvitatis inaequalis, non secus quam duo arcus circuli eiusdem,coalescunt, sibique in directum sunt positLAliam addit idem Author
eap. I x. num .s Argumenti superioris confirmationem, cuius idem est cum caeteris pondus, ad probandum Angulum semicirculi esse aequalem Angulo recto rectilineo.Quae sic habet.ῖ tum est inquit , aream figura,
sularis laterum quotcunque aqualem esse rectangulo quod semiperimetro, est recta a centro figura ad perimetrumperpendiculari ad latus, inquam, aliquod Polygoni perpendiculari, neque enim ad omnia simul latera, quibus constat perimeter Polygoni, ulla linea a
centro potest esse perpendicularis continetur. At idem Bendit Arihia medes Prop. I. de dimensione circuli, de eiusti: nempe aream circuli aqua
Iem se rectanguis sub radioAr semiperipheria EsigiturRadis adperiph
ri perpendicularu sae ad Angulos,ectos rectis lineis aquales. Ergo A gulus CL B emicirculi rectus, es recta Angulo ABG aequalis. Ergo Angulus AB L Ccontactus, nec quantus, nec aliquid est.
Admitto aream figurae, siue Polygoni cuiuscunque regularis,aequa lem esse Rectangulo, quod semiperimeter Polygoni, clinea a centro eiusdem Poligoni ad unum aliquod eius latus perpendicularis coni nem Manilis etiam aream inculi aequalem eis rectangulo quoa
428쪽
Li u De Angulo contingentia. Σαν
continent radius circuli eiusque semiperimeter sed ex his ita admit- si S, nequaquam suadebit allisus admittendum esse Angulum se mi circuli esse Angulo recto rectilineo aequalem. Vnde enim o quomodo hoc ex illis praetognitis, praesupposus concluditur. Rectangulum constituo cx radio, d recl. linea, quae sit semiperipheriae circuli aequalis aequale circulo. Quid ad hoc confert Angulus cmi circuli 3 Quae mentionem illius faciendi necessitas 3 concipi forta sibvult circulum meque enim alia occulit connexio inter Anteceden ςec ab eo deductum consequens quasi Polygonum , ut radius a centroductus ad unum aliquos eius latus sit perpendicularis. At huiusmodi stippositio primum seret absurdissima: circulus enim nec lateribus con stat, nec angulis. Deinde Radius a centro ductus ad circulum nequaquam cisci ad peripheriam perpendiculari, sicut nec ad perimetrum totam Polugoni regularis, perpendicularis est,ccta a clatro ad unum aliquod cius latus perpendiculariter ducta sed tantum ad hoc viatim Cius latus ad c liqua vero eiu latera, a recta foret obliqua adeo ut ex ea circulii polygoni similitudines qua sola ut medio uti potest ali ad conclusionem suam insercndam, clim alia nulla sit
inter came Piae missas connexio, liceat aperte colligere Angulum semicirculi non esse rectu tra. Quo porro modo Z Ecce Linea a centro Polygoni regularis ad unum eius latus ducta perpendicularis, ad latera duo hinc, inde lateri illi adiuncta, noncstpei pendicularis; sed obliqua idque semper in infinitum continget, quo plura fuerint Polygoni latera, doncestandem Polygonum euaserit in circulum probabit, Opinor, Vallisius hanc raciocinandi methodum, cum nulla alia ei sit magis familiaris tunc autem si ad peripheriam ducatur radius circuli; nequaquam is futurus est ad partes proximas sibique adhaerentes perpendicularisci harenim intactuntur utrinque , ut inflecti solent cuiusuis Polygoni latera duo, medium latus cui adhaerent, obsidentia. At in circulo nullum est latus,inquies, ad quod radius ducatur perpendicularis 3 fateor, sunt tamen partes circulares, inflexae, seu con- Uergentes hinc inde a Radio positae, ad quas non potest radius ille esse perpendicularis. Quod quidem debci Vallisius admitteres cum . ut supra retuli ex capite . suae disquis asseruerit Inclinationem peripheriae est linea Tangentis, qua in puncto Μ-rsusnusia erat, cinn Hismis ab eo puncto recesumes, aliquam iera. Si enim fit aliqua inclinatio peri Dei a 4 lineae Tangentis, hoc est, peripheria a Tangente divergit,
Cum primum puniito concursus, in quo radius a centro circuli ductus cum Tange me rectos Angulos constituit, recessum est fatendum ne-
429쪽
cessario est peripheriam cum primum a concursu recessum est, ad radium illum, siuc circuli diametrum accessisse tanto spatio, quanto a tangente recessi Ergo diameter cum peripheria Angulos rectos contra quam sentiat ali non constituit nisi serte idem velit absurditates
hactenus notatas hac noua caeteris non minore cumulare ut dicat radium siue diametrum circuli rectum Angulum constituere cum ipso solo praecise puncto peripheriae, nulla eius partium curuarum puncto adhaerentium ratione habita. Quod quidem ultro, ut opinor, admiΩsurus est ut pote qui asserueriti ut superitis annotaui, &cuilibet eius hunc tractatum legenti, promptum est obseruare in ipso punesto concursus lincae rectae peripheriam tangentis, vel duorum sese tangentum circulorum,d non vltra illud Angulum constitui. Quod cap. ii manifestissimum est, sic enim illic habetur. Non enim magnitu-d Ansubi duorum scilicet sese tangentium circulorum hastimanda sex ea, quam habent crura divaricatione extra punctum concursus: sed exeά quam habent inino concursuspuncto. Alia sunt in hoc tractatu loca huic non absimilia. Quae omnia absurditatem non vulgarem continent, ut patet quae enim divaricatio in puncto, cuius nullae sunt partes, concipi potest 3 Attamen aut illud admittat necesse est, ut radium circuli ad pheripheriam Angulos rectos rectis Angulis rectilineis aequales constituere dici possit aut oppositum concedat, nempe radium cum peripheri Angulos recto minores efficeres, dum peripheria,cum
primit a concurtu, ut idem ait, recessum est aliquam inclinati nem cum tangente obtinet , atque adeo ad radium, siue diametrum
accessieri eaque approximatione Angulus diametri cum peripheria , qui est Angulus semicirculi , recto minor effectus est. Vn de patet quanti se roboris hoc Argumentum ad angulum semici culi recto rectilineo aequalem consequenter Angulum contactus non quantum concludendum. Sed videamus, siquid melius, &Geometria magis dignum, excutiendum supersit.
Ego quidem, inquit Vallisus eap.9. Omnim non vide quo pacto figu-ν. similes, diripossunt, nisi o latera homosis habeant proportionalia, similiter ita. At quo mpacto, qua Anguis inaquam faci-t, adeoque
430쪽
Lilia De Angulo contingenita iis
inaequales habent ad Inuicem inclinationes, interim similiter sta Aeantur,
egoprorsus non inιeiligo. Hanc suam sententiam tum citato cap. tum duobus sequentibus Io.&D. multis confirmat: sed quae omnia sapiunt illam eius ratiocinandi methodum ι qua quae unius quantitatis sunt propria, ea in aliam transfert, in quam euasisse aut, ut ipse loquitur, euanuisse videtur. Ita , inquit, circulus circulo similis est quia si utrique circulo Polygona similia plurium, plurium in infinitum laterum inscribantur si tandem in circulos desinent: qui erunt Polygona latcrum infinitorum: Quo fit, ut quemadmodum Polygona illa omnia, cum sint similia, latera habent proportionalia circa aequales Angulos ita circuli ipsi, aut semicirculi inaequales, aut circulorum inaequalium segmenta milia , latera etiam habent proportionalia, & Angulos lateribus proportionalibus contentos, aequales Anguli ergo omnes semicirculorum quorumcunque sunt aequales, sicuti Anguli similium omnium segmentorum. Quod si ita est ι eadem methodo Vall. concludere licebit quanquam id minime praestiterit omnes Angulos semilcirculorum esse rectos. Si enim in schemate Propositionis D. veni 1 concipiantur describi circuli matbres in infinitum sese tangentes in B Levanescent illi tandem in circulum infinitum, hoc est, in lineam rectam Aa tangentem in B circulos ad quam eorum diameter communis, est perpendicularis. Alia non pauca, quae ad hanc Angulorum curvilineorum aequalitatem probandam congerit ali crutati, capit cum non nisi ex congruentiis, siue conuenientiis quibus dam, & desinentiis suis hauriant firmitatem , lubens praetermitto, ut a Geometria perquam aliena.
a semiso. Agnouit, fateturque Vallisius Euclidem aliter similia segmenta circulorum, aliter figuras rectilineas similes definiuisse. Has Lib. .
definit. i. ait esse, qua est Angulossiuasissingulis aluales habent, atque latera, qua circum angulos aquales, proportionalia. Illa veris Lib. 3 definit ira. asserit esses ara Angululatiunt aquales. Quaererem a Vallisio,
nisi, ut perspicax e th, ipse sibi obiecisset. Cur Euclides figuras similes rectilineas a curullineis distinxit, dum utrasque definiuit. Cur Angulorum, quibus constant rectilineae mentionem fecit, WAngulos curvilinearum silentio praetermisit taliquid sane distriminis insgnis inter utriusque huius generis figuras oportuit Geometram obse uasse quo ut essentia,ita, definitione discrepare deberent. Ait Vallisius Euclidem segmenta similia per Angulos, quos capiunt, potius