장음표시 사용
1쪽
grauitatem aequalem ipsi H. Si duorum igitur grauium corporum eiusdem generis,dec. quod erat demonstrandum.
Orpora grauia eiuHem generis magnitudine commensurabilia, eandem in grauitate rationem habent,quam in magnitudine.
SINT corpora commensurabilia eiustiem generis A, B, quorum grauitates C, ipsius Α,& D,ipsius B, Dico esse ut A, ad B, ita C, ad D,
quoniam enim, A, B, commensura
bilia sunt, metietur ipsa aliquod i corpus, metiatur, & sit E, cuius grauitas F, sitque corpus E, eiusde C . D F generis cum corporibus A, B, ergo quotuplςx est corpus A,iipsius E, totuplex erit grauitas C,grauitatis F,& quotuplex B,ipsius Eootuplex
Pora A, B, in partes aequales ipsi E,& grauitates quoque C, D, in partes aequales ipsi F, erit ut corporis Α, pars una, ad corpus E, ita pars una grauitatis C, ad grauitatem Raequale videlicet ad aequale,& aeque multiplicatis antecedentibus erit ut A, ad Ε, ita C,ad F, sunt enim antecedentium, hoc est, illarum partium aeque multiplicia Α, C, eadem ratione, ut B, ad E, ita erit D, ad F,& conuertendo ut E, ad B, ita F, ad D. quoniam igitur vi Α, ad Ε, ita est C, ad F, & ut E, ad B , ita F, ad D, ' erit ex aequali vi Α, ad
dem in Fauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat
ET incommenstrabilia corpora eiuMem generis eandem in grauitate rationem habent, quam in
SINT incommensurabilia corpora A, BC, quorum grauitates D, ipsius A, & EF, ipsius BC. Dico esse vi Α, ad BC, itaD, ad EF, si
2쪽
enIm non est ut A,ad BC, ita D, ad EF, erit ut A, ad BC , ita D, vel ad
minorem quam EF, vel ad maiorem, sit primum ad minore, nempe ad EG,& ex-mnatur aliquod corpus K,eiusdem generis cum corporibus Α, Β C, cuius graui
tas sit aequalis ipsi GF,& a corpore BC,
pars ΗC,quae sit minor corpore Κ, ita ut reliqua pars B L, sit commensurabilis Ipsi A, dest partis HC, grauitas IF, ergo reliqua partis BL, grauitas erit EI. Quoniam igitur corpus A, commensurabile est ipsi BL,' erit ut A, adsiBL, ita D,ad EI, sed ut A, ad BC, ita est D, ad FG, atque Α, primus, Proportionali uin terminus in serie prima , ' maiorem habet ratio- mnem ad BL, secundum terminum, quam A, primus terminus in serie secunda ad BC, secundum; ergo S. D, tertius terminus in serie prima ad EI, quartum, maiorem habebit rationem quam D, tertius terminus in serie secunda ad LG, quartum , quoniam igitur D, maiorem , habet rationem ad EI, quam ad EG,' erit EI, minor quam FG,quod est absurdum. non igitur est ut A, ad BC, ita D, ad minorem quam EF. 'Deinde sit ut A, ad BC, ita D, ad maiorem quam EF, nempe ad
EG,& exposito corpore Κ, vidi strum est, cuius grauitas, si aequalis grauitati FG, addatur corpori BC. aliquod Corpus CH, quod sit
minus corpore Κ,&eiusdem generis cucorporibus A, BC, ita ut totum corpus
BL, sit commensurabile ipsi A, & si ipsius CH, grauitasFI, ergo testius corporis LL, grauitas erit EI; Quoniam igitur corpori Α, commensurabile est corpus B L, ' erit ut A,ad BL, ita D, ad EI,sed Vt A, ad κὰ ., BC, ita est D, ad EG, atque A, primus proportionalium terminus in oeed. . serie prima, ' minorem habet rationem ad BL, secundum terminum, Λ a quam
3쪽
quam A, primus terminus in serie secunda ad BC,secundum, ergo,&D, tcrtius terminus in serie prima ad EI. quariam,minorem habebitrationem quam Daertius terminus in serie secunda ad EG,quartum. Qtioniam igitur D, minorem habet rationem ad E l, quam ad EG . erit ' EI, maior quam EG, quod est absurdum. Non igitur est ut A, ad BC,ita D, ad maiorem quam EF,ostensum autem est neque ad minorem, quare ut A, ad BC, ita erit D, ad EF.& incommensurabilia igitur corpora eiusdem generis eandem in crauitate rationem habent, quam in magnitudine, quod erat demonstrandum.
ID QUOD nos duobus praecedentibus Theorematis de-
. monstrauimus,nsinulti,ut per se notum, & ut commune quosdam axioma supponunt,quam bene & rationabiliter ipsi viderint; melius enim Euclides propositionem a o. primi libri Elementorum supposuisset ut pronunciatum; unicuique enim notius est duo trianguli latera reliquo esse maiora cum & Asino illud sit notum quam corpora grauia eiusdem generis eandem in grauitate rationem habere,quam in magnitudine, & tamen illam propositionem demonstrat Euclides, non stipponit, non
igitur haec, quae minus ad principij rationem accedit, supponenda sui ed demonstranda.
SI quatuor corporum grauium primum ad secundu
eandem in magnitudine rationem habeat, quam tertium ad quartum, primum autem, dc secundum sint eiusdem generis, itidem tertium, & quartum , dia in grauitate primum ad secundum eandem tionem habebit, quam tertium ad quartum.
PRIMUM enim Α, ad secundum B, eandem in magnitudine rationem habeat , quam tertium C, ad quartum D, sint autem A, B, eiusdem generis , itidem C, D. Dico di in grauitate primum Α, ad secundum B, eandem rationem habere,quam tertium C, ad D, quar tum. Sint enim earum grauitates Ε, ipsius A, SD ipsius B, ipsius sit grauitas G, de ipsius D, grauitas H, quoniam igitur eor Pora
4쪽
pora A, B, eiusdem sunt generis, similiter,& corpora C, D, erit ut A, ad B, ita E, ad F, ' & ut C, ad D, ita G, ad H. Sed ponitur vi Α, ad B, ita esse C, ad D, ergo ut Ε, ad F, ita erit G , ad Η. Si igitur quatuor corporum grauium, primum ad secundum eandem in magnitudine rati nem habeat:et et. quod demonstrare oportebat.
Solida corpora liquido grauiora demissa in liquidum
serentur deorsum,donec descendant, & erunt in luquido tanto leuiora, quanta est grauitas liquidi magnitudinem habentis solido corpori aequalem.
HOC autem demonstratum est ab Archimede propos. 7. primi libri de ijs, quae vehuntur in aqua .
THEOREM A VI. PROPOS. VI. 'bSI quatuor grauium corporum primum,& secundum
fuerint magnitudine aequalia,tertium vero,& qua tum aeque grauia, fuerint autem primum ,& tertium
eiusdem generis, itidem secundum , & quartum; erit,ut grauitas corporis primi, ad grauitatem secundi, ita grauitas liquidi aequalis magnitudine corpori quarto,ad grauitatem liquidi tertio corpori aequalis.
SINT quatuoriorpora A, B, C, D, quorum A, primum, & B, ω cundum sint magnitudine aequalia, tertium vero C, & D, quartum aeque grauia, sint autem A,& C, eiusdem generis,itidem B, & D. Pico ut grauitas corporis A,ad grauitatem corporis B, ita esse prauira. tem liquidi aequalis magnitudine cdrpori D, ad grauitatem liquidi magnitudine corpori C, aequalis. Accipiantur enim tria eiusdem g neris
5쪽
neris liquidi corpora E, F, G, quorum Ε, sit aquale corpori A, vel B,
magnitudine, ipsum vero F, aequa. t Ie corpori C, & ipsum G, aequale corpori D. Quoniam igitur est ut D, ad G, ita Η, ad Ε, aequale videlicet ad aequale, erit permutan do ut D ad B, ita G, ad E, & quoniam sunt eiusdem generis corpora D, B, similiter & corpora G, E, i ct ι erit ' ut grauitas corporis D, hoc ius. est ipsius C, ponuntur enim aeque grauia corpora C, D, ad grauitatem corporis B, ita liquidi G,grauitas ad grauitatem liquidi E. Similiter quoniam est ut A, ad Ε, ita C, ad F, aequale videlicet adaequale,erit permutando ut A, ad C, ita F, ad F, 5 quoniam ponuisur eiusdem generis corpora A, C, a. , Utidem E,F, ' erit ut grauitas corporis Α, ad grauitatem ipsus C, ita liquidi E, grauitas ad grauitatem liquidi F, sed ut prauitas corporis C, ad grauitatem corporis B; ita est grauitas liquidi G, ad grauita tem liquidi E, ut est demonstratum,ergo' in perturbata proportione erit ut grauitas corporis A,ad ipsus corporis B, grauitatem,ita liqui '' di G, grauitas, ad grauitatem liquidi F. si igitur quatuor grauium corporum primum, & secundum,&c. quod erat demonstrandum .
THEOREM A VII. PROPOS. VILSI quatuor grauium corporum primum, & secundu,
fuerint magnitudine aequalia,tertium Vero qua tum aeque grauia, suerint autem primum, tertium
eiusdem generis,itidem secundum,& quartum; Drimum ad secundum eandem in grauitate rationem habebit, quam habet in magnitudine quartum ad tertium.
SINT quatuor grauia corpora A,B,GD, quorum A, primum N B, secundum sint magnitudine aequalia,tertium vero C, & D, quar' tum aeque grauia, sint autem Α, & C, eiusdem generis, itidem s, &D- Dico corpus A, eandem in grauitate rationem habere ad corpus
6쪽
B, quam corpus D, habet in magnitadine ad C,corpus Sit enim Iuquidi magnitudine aequalis corpori C, grauitas F, similiter, & liqui . di aequalis magnitudine corpori D, grauitas F, quoniam igitur grauia corpora eiusdem generis . eat dem in magnitudine rationem' habent,quam in grauitate, erit ut m
gnitudo liquidi aequalis corpori in ad magnitudinem liquidi aequalis corpori C, hoc est, ut magnitudo corporis D, ad magnitudinem cor poris C, ita grauitas F, ad grauitatem Ε, sied ut grauitas F, ad grauitatem E, ' ita est grauitas corporis Ex Α, ad grauitatem corporis B,' ergo ut grauitas corporis A,ad graui- te ctatem corporis B, ita erit magnitudo corporis D,ad corporis C, ma- gnitudinem. Si quatuor igitur grauium corporum primum,&secun- - dum,&c. quod erat demonstrandum.
P Ropositis duobus corporibus magnitudine aequaliabus, uno solido, altero liquido, data solidi corporis grauitate, grauitatem liquidi inuenire.
SINT duo proposita corpora magnitudine aequalia A, B, quorum Α, sit solidum, B, vero liquidum,& sit solidi data grauitas CD, Oportet inuenire quanta crit grauitas liquidi B. Si solidum A. graui us sit liquido, demittatur in liquidii,&habeat ii, liquido grauitatem ED,quoniam igitur solidum A, grauius est liquido, demissum in liquidum serit' in liquido tanto leuiuS,qua
ta est grauitas liquidi magnitudine aequalis solido A, sed toliduA, leuius est in liquido, quanta
7쪽
est grauitas CE,ergo grauitas liquidi magnitudine aequalis solido M
Si vero solidum A, sit leuius liquido,accipiatur aliquod aliud cor pus solidum P, grauius liquido, ita ut solidum Constans ex utrisque solidis A, F, demissum in liquidum seratur deorsum, & sit solidi F, grauitas DG, item eiusdem solidi F, in liquido videlicet existentis sit s. huis a grauitas HG, ' ergo liquidi magnitudine aequalis solido F, erit gra
Et quoniam solidi Α, grauitas est CD, solidi vero F, grauitas DC, erit virorumque solidorum A,F, grauitas CG. coniungantur solida A, F, & solidum ex utrisque constans demittatur in liquidum, & habeat in liquido grauitatem GI, habebit autem in liquido minorem grauitatem, quam solum solidum F, quoniam solidum F, grauius liquido sertur deorsum nullo prohibente. coniunctum cum solido A, leuiori liquido ab eo sustinetut,ne deorsum seratur tata vi, iqua seiunctum) quoniam isitur solidi, quod constat ex utrisque solidis A, F, 3. ius auitas est CC, in liquido vero cxistentis grauitas GI,' erit liquidi habentis magnitudinem aequalem .utrisque solidis A, F, gravitas CL sed grauitas liquidi aequalis magnitudine solido F, est D H. ergo reli- qui liquidi qualis solido A, erit graui s CD, IIJ, sed liquidum B, aequatur magnitudine solido A. ergo grauitas liquidi B, erit CD, IIJ, inuenta igitur est liquidi corporis B, grauitas CD, IH, de qua quae
Placet huic Problemati exemplum apponere, Hunicuique etiam disciplinae Mathematicae experto ad Vsum. pateat λdirtus; quare etiam sequentibus Problematis apponemu* similia
OVidam proponit aliquod corpus selidum notae
grauitatis, & vult seire quanta erit grauitas liquudi, magnitudinem habentis proposito Corpori selido ae
qualem. O ip i tu stra: Sit primum propositum aliquod erepus umbeum A, euius graui lassis Σ3. O oporteatscire quanta erit grauitas aquae magnitudinem
taetrauitatem Σε. quoniam igitur nume s
8쪽
Iuperat numerum 2 r: numero a, erit auitas aquae magnitudinem habentis aequalem plumbo A,a.
Eadem via omnium liquidorum inuenitur grauitas, quando nimirum corpus solidum sit grauius liquido, cuius liquidi quaerenda est grauitas, hoc est quando corpus solidum demitisum in liquidum feratur deorsum. Quando vero corpus solidum fuerit Ieuius liquido, hoc est demissum in liquidum non descendat,per adiectionem alicuius
alius solidi corporis liquido grauioris,quaesita liquidi grauitas
inuenietur. Sit igitur propositum aliquod cereum eo pus A, cuius grauitas star. 9 oporteat re quanta erit grauitas aquae magnitudinem habentis aequalem cerae A. Quoniam cera uuior Hi, quam aqua, sidemittatur in aquam nonferetur deorsum,accipiatur ahquod corpus solidum F,grauius quam aqua, ita ut corpus conritans ex Vtririque eorporibus
A, F, dem sum in aquam feratur deorsum, si igitur corpus Fliumbeum , cuius grauitassit et .g. 23, ct eiusdem in aqua ponderati at, ergo aquae magnitudinem habentis aequale plumbo F, erit grauitasa, Et quoniam cerae o,gratiitas Hi a I ,plumbi vero F, et 3, erit vir rumque corporum A,P, eerae nimirum,h PIumbi grauitas ψ ,eoniungatur cera, ct plumbum, ct ita coniuncta ponderentur in aqua, ct habeantgrauitatem ao, quoniam igitur numerus l, superat num rum 1O,numero x ,ertigrauitas aquae habentis magnitudinem aequalem Otririque eorporibus cerae ct plumbi a , sedgrauitas aquae magnitudinem habentis aequalem plumbo F, eii et, ergo reliquum qtiod ecta a,erit grauitas, aquae magnitudine aequalis propositae cerae A.
At vero si propositum fuerit aliquod corpus solidum magni ponderis, ita ut dissicile possit ponderari in aqua , hac via
inuenietur aquae quaesita grauitas.
Sit aliquod corpusplumbeu A, euius grauitas a 3 oo,cti oporteat inuenire grauitatem aquae magnitudinem babentis aequas ptambo A, aeeipiatur aliquodparuum plumbi eorpus F , euius grauitas sit v. minueniatur grauitas aquae ma nitudine aequalis pliambo F, Ut dictum VI, quaest. et, siat Ut 23 ,ad a, ita a 3oo,ad arium numerum qui sit aoo.grauitas igitur aquae magnitudinem habentis aequalem plumbo A, erit 2 o. Simiaitersit aliquod cereum eorpus A,euius grauitas a Ioo,ctoporteat facere,quod imperatum est.aecipiatur aliquod taruum cerae corpus F,cuius grauitassit o. g. a I, edi inuenta grauitate aquae magnia. B tudi-
9쪽
tudinem habentis aequalem eera F,quaesit 22, t vi 2I, ad 22, ita , a Ioo,ad alium numerum quist et xoo; erit igiturgrauitas aquae magnitudinem habentis aequalem cera A, 22OD.
Neque necesse est, ut illud corpus solidum magni ponderis reipsa proponatur, suscit enim ut eius grauitas notificetur
Si autem propositum fuerit inuenire quanta erit grauitas argenti vivi magnitudine aequalis proposito corpori solido A ; ratione qua lupra, non inuenietur ipsa grauitas, quo niam nullum corpus demissum in argentum vivum fertur deorsum,nisi aurum,aurum vero in ipso argento vivo perrum pitur , sed qua ratione inuenienda sit ipsa argenti viui grauitas,dicemus ad finem exempli propositionis decimaequartae.
Quomodo ponderanda sint corpora selida in aqua.
Corpui quod ponderandum proponitur seta equina ex altera liabra lance appendatur,in altera lance ponantur pondera, ct cor pus appensum demittatur in aquam,ita ut in aqua libere pendeat, ne que lancem,cui appensum es I corpus,neque aliam in quasent pondera
aqua contingat, δ' ita ponderetur propostum eorpus,ac si in aere pen
Dixistis o quina corpus ponderandum debere appendi, quia fere aequegrauis es atque aqua, ct ideo nihil addet, Oel minuet grauitatis in ipso corpore ponderando. Quod si corpus ponderandum fuerit, tam auo,st feta simpli,su Dineri nequeat, pendatur pluribus ui iunctissetis, o ne aliquid grauitatis setarum coniunctio addat corpori ponderando, ponant rin altera lance totidem setae aequales eis,quae ex lance, i appensum scorpus pendent, inque ad eorpus appensum , hae igitur starum additiove aeque ponderabunt lances, O quamuis illae setae, quibus appe sum et i corpus sint longiores,quam aliae alteri lanei additae ongitudine partium, quibus ligatum eri corpus, tamen quoniam illae partes αque grauessunt,atque aqua aeis entes eum ipso corpore in aqua,nu lamo auitatem habebunt, ideo ita etae, quae aliassuperant dictis p rtibus, cts longiores , non erunt grauiores quam aliae, exi lenti . i , nempe,st dissitam es , illis partibus cum ipso eorpore in aqua Sisi itur in aqua ponderanda erunt solida corpora, quod animaduertis fuit operae pretium PRO-
10쪽
PROBLEMA II. PROPOS. IX. PRopositis duobus corporibus magnitudine aequaliabus , uno solido, altero liquido, data corporis lia. quidi grau itate, grauitatem selidi inuenire
SINT duo proposita corpora magnitudine aequalia, A, quidem solidum, B, vero liquidum, sit autem liquidi B, data grauitas F, & oporteat inuenire grauitatem solidi Α, accipiatur aliquod corpus solidum D,eius degeneris, cum solido Α, cuius grauitas sit H,deinde liquidi eiusdem generis cum liquido B, magnitudine aequalis
solido D, inueniatur grauitas quae sit GI DG,& fiat ut G, ad H, ita F, ad aliam , t grauitatem, quae sit C. Dico solidi A, grauitatem esse C, accipiatur enim aliquod corpus liquidum Γ, eius dem generis cum liquido B, grauitatem habens aequalem selido D. Quoniam igitur sunt quatuor corpora grauia B, A,E,D,quorum priamum B, & secundum Α, sunt magnitudine aequalia, tertium vero Ε, & quartum D, aequegrauia, & sunt eiusdem generis corpora B, E, similiter,& corpora A, D, erit ut grauitas liquidi aequalis magnitudi-ε.luia ne Qlido D, hoc est ut G,ad grauitatem liquidi E;hoc est ad H,ponu-inr enim aeque grauia corpora D, E, ita grauitas F, ad selidi Α,grauitatem, sed ut grauitas G,ad grauitatem H, ita est grauitas F, ad C .grauitatem , ergo grauitas C,aequalis erit grauitati Qlidi A. Inuenta igitur est selidi Α , grauitas C,quod facere Oportebat.
OVidam proponit aliquod corpus liquidum notae
grauitatis, & vult seire quanta erit grauitas alicuius selidi, magnitudinem habentis proposito Corpori liquido aequalem.
Si ropositum aliquod eorpus aquein B, euius grauitas ι Ioo. O