Opuscoli di Leonardo Pisano

131쪽

cundum quadratum imparem; et sic semper inuenietur dinata ascensio quadratorum imparium ascendere perascensionem numerorum qui ascendunt per octonarium hoc idem accidit in quadratis parium numerorum Preterascensionem secundi quadrati paris, scilicet 46. qui addit 42. super primum quadratum parem, scilicet super. 1. deinde pares quadrati ascendunt per octonarios in infinitum numerando supra. 2. vel secundus quadratus par addit super primum quadratum parem tres quaternRrios, et tertius super secundum addit quinque quaternarios, et quartus super tertium Septem quaternarios, et quintus Su- Per quartum nouem, et sic semper adduntur duo quate nari per ascensionem imparium numerorum usque in infinitum secundum hanc proportionem. Vel primus quadratus parium, scilicet . constat ex uno quaternario. Secundus super primum addit tres quaternarios Tertius super secundum quinque, et sic inuenitur pares quadratos ascendere per ascensionem quaternariorum que ascendit per impares numeros ordinate. Similiter inueni quadratos numerorum qui ascendunt per ternarium ordinate, ascendere perascensionem novenariorum qui ascendunt similiter per impares numeros Verbi gratia quadratus ternarsi est semel. s. Semari addit super primum tres novenarios, cum Sit 36. super quem quadratus novenaru addit quinque novenarios. Sequens uero,'scilicet quadratus duodenarsi addit T. Muenarios super quadratum novenaru et sic deinceps Illud idem inueri ex ascensione quadratorum, qui sunt . numeris ascendentibus per quaternarium, et per alios num ros in infinitum, ex quibus omnibus collegi solutiones quarundam sequentium questionum.

132쪽

Vois inuenire in data proportion duas ditarentias trium quadratorum Esto data proportio numeri, ad numerum et sint numeri aratri ad se inuicem, numeri quidem ad aut sunt continui, aut non Sint primum continui, et esto numerusis maior quam , et adiaceat unitas e et ab unitate o in ordine disponantur tot numeri impares, quot sunt unitates in numero b maiori, qui sunt d, e,

sis, et accipiantur quadrati numerorum e si, qui sint numeri h ira, dico quod proportio disserentie, que est

inter quadratum A, et quadratum i ad differentiam, que est inter quadratos ira est sicut numerus a adnumerum , quod ita probatur. Quoniam unitas est e, et ab ipsa depositi sunt numeri impare ordinate , e f, g, erit . . et era et et q. s. et quadratus qui fit numero e scilicet numerus h est 25. et quadratus qui fit si numero L scilicet numerus , est os et quadratus qui fit a numero st, scilicet numerus ἐς es 8 et quia

numeri , , f, 9 Sunt secundum quantitatem unitatum que Sunt in numero b et numeri , , , s sunt uae . erit manifestum quod numerusis est. . et numeru a St. 3.

et manifestum quod quadratus qui sitis numero , scilicetis ternario, addit super quadratum qui fit ab unitate conum Octonarium, et quadratus qui fit a numero e addit super quadratum numeriis duos octonarios. Et quadratus qui fit si numero L scilicet numerus , addit

super quadratum qui fit a numero , hoc est super numerum tres octonari , videlicet secundum quantitatem unitatum, que Sunt . numero a nec non et quadratus qui sit a numero g, addit super quadratum qui fit h

133쪽

numero , Scilicet super quadratum , quatuor octonarioS, scilicet secundum quantitatem unitatum, que Sunt in numero b quare proportio differenti que est inter quadratos Di, ad disserentiam, quo est inter quadratos ira, est sicut a ad , hoc est sicut 3 ad 4. Et si numerus aemet. 40. et . 4. Secundum ea que dicta sunt, addendi essent simul 10 et et 2 , que inde proueniunt essent radix mediari quadrati quare. 49. erit radix minoris quadrati, et Merit radix maioris. Sunt enim 49 et 2 et 23 continui impares, et est. 23 decimus numerus impar ab unitate. Quare quadratus qui fit ab ipso. 2 . scilicet. ιι . addit super quadratum qui fit . 49 scilicet super 36 . decem octonarios. Et quadratus qui sitis 23. cum sit undecimus numerus impar ab unitate, addit super quadratum

qui sit a 2 scilicet 29, super ιι undecim octonarios quare differentia, que est inter 36 et ι . scilicet. 80. est ad differentiam, que est inter 14 et 529. scilicet M. . . tu. ad 88. sicut 4 ad 44. Nam quam proportionem habet 80 ad 88 eamdem habet . de 80. ad ἰ de 88. scilicet 40 ad 4 , quod oportebat Stendere. Ε si non sunt numeri continui, erunt ipsi

numeri aut impares collaterales, aut non Sint primum collaterales impares , et quoniam quadrati, qui sunt si paribus numeris, ordinate ascendunt per quadruplicatam ascensionem imparium numerorum, ut . qui Si quadratus inarsi, scilicet prim paris numeri, qui ascendit per quantitatem unius quaternaru et 46. , qui est quadratus secundi paris numeri, scilicet quaternarij, qui su git per quadruplicatam rascensionem tuorum imparium

134쪽

numerorum, scilicet de 4 et . erit manifestum quod unusquisque quadratus par addit duos quaismarios plus super antecedentem quadratum Parem, Super quatem rios, quos addit ipse antecedens quadratus super suum antecedentem quadratum, hoc quod tertius quadratus par addit super secundum quadratum parem quinque quaternari , cum Secundus quadratus par addit super primum re quaternarios, scilicet. 6. super. 1. et quartus quadratus par addit super tertium quadratum septem quatemarios, et ita accidit omnibus per ordinem. Vnde cum uolumus inuenire duas disserentias inter tres quadratos numeros, quarum proportio sit sicut duo numeri impares collaterales, ut dicamus , sicut 4 4. est ad Q. γcipiemus inter pares quadrato continum, quorum mindianus quadratus addat super ante dentem quadratum parem quaismarios. Qui tres quadrati ita possunt inueniri Addantur. 4 cum. 43, erunt. 24. quorum quarta

pars multiplicetur per 2, scilicet per radicem pri ris quadrati, erit 2 qui sunt radix median quadrati, et i erit radix prim quadrat, et 44 erit radix secundi quadrati possumus etiam hoc idem inuenire inter quadratos, qui fiunt a numeris ascendentibus per inmarium. Verbi gratia, uolumus inuenire duas differentias inter tres quadratos numer , quarum proportio sit sicut is est ad 2 l. qui sunt collaterales impares, addemus. s. cum 24 et M. que proueniunt diuidemus ero et o queinde proueniunt multiplicabimus per 3 scilicet per radicem pri quadrati ipsius ordinis erunt 30 , que erant radix mindiari quadrau Quare radix minoris quadrati erit Λοῦ, - dix maioris erit 33. Nam quadratus qui fit a 30 . scilicet s00 addit super quadratum qui fit ad 2I. sciliret superam n

135쪽

uenarios. s. et quadratus qui fit D. 33. scilicet. 4 089. addit super. 900. novenarios et sic proportio differenti', que est inter 29 et 00. scilicet est ad differentiam que est cinior 900 et 4089, scilicet ad 489 , sicut 4 ad 2 , μη -- hoc uolumus; quod etiam inuenietur inter quadratos, qui

fiunt si numeris ascendentibus per quaternarium , vel quinarium, uel per alium quemlibet numerum.

ΕΤ si proportio duarum differentiarum, que sunt inter tres quadratos, fuerit sicut aliquis quadratus a ad aliquem quadratum b, uoluero ipsos tres quadratos inuenire. Ponam numerum medium inter ab in proportione continua cum possibile. Quia, ut in Euclide habetur, inter duos quadratos numeros unus medius intercidit numerus, et procreabitur numerus e ex multiplicatione radicis numeri a in radicem numeriis, et erit sicutis ad c ita o ad b, et sicuto est ad b, tura sit adta, et erunt numeri a o b d continue proportionales, quare erit sicut a ad D, ita o adra, et sit quadratus numeri a numerus et quadratu numeri , numerus e g. Insuper et quadratus numeri b numerus era, dic differentias, que sunt inter quadratos et ea, et era, scilicet numeri g, et sth, proportionem habere ad se inuicem eam, quam habet quadratus numeru au quadratum numerum , quod sic probatur. Quoniam numeri continuo proportionales sunt, est sicut a primus a b tertium, ita quadratus numeri a primi, ad quadratum numeri o secundi, ut in geometria aperte monstratum est. Est enim quadratus numeri a numerus e f, et quadratus numeri e numerus ei ergo est sicut a d b, ita numerus ad numerum e g. Rursu quoniam numeri , b d continue proportionales, est sicut o ad , ,

136쪽

ita quadratus numeri , scilicet numerus e g, ad quadratum numeri , scilicet ad numerum e h. Sed sicut o si ad , ita uitis ad b, ergo sicut a dis ita numerus e g, ad numerum era sui etiam sicut a ad . ita Unumerum es. Numeri ergo et e st, et e h continue Prinportionales sunt. Et quoniam est sicut e ad es, ita e i ad iii, disiunctim ergo erit sicut e Laid , ita es ad stra, perminiatim ergo sicut ad 4 , ita fg ad gra , sed e ad e gm sicut a d b, ergo sicut a ad b, ita si scilicet differentia que est inter quadratos et eis, est ad gra , culicet ad differentiam que est inter quadratos ei et era,

que etiam 4tendantur cum numeris. Est quidem numinru a. 6. et numeruib. 25. quam numerus e erit. 20. qui

procreatur ex ductu radicis de si in radicem de 25 et est sicut 46 ad 20 ita. 2 ad 25 et erit Imadratus numeri a scilicet numerus e s 256 et quadratus numer c, scilicet numerus eis. 60 et quadratus numeri , hoc

manebunt. ιι pro numero λ, et si auferatur quadratus es ex quadrato era scilicet. 400. e. 625. remanebunt. 225 pro numero ch, Sunt enim Ἀοι ad 225. sicut 46 sunt ad 25. . et hoc uolui demonstrare Ε Si data proportio duarum differentiarum cadentium inter tres quadratos non fuerit aliqua suprascriptarum, videliret ex continuis uel ex imparibus collateralibus num ris, aut ex duobus quadratis solutionem quarum ex ascensione octonariorum cadentem inter quadratos impares, quefit ex numeris continue ascendentibus ab unitate . ex ascensione quateruariorum cadente inter pares quadratos numeros querat ex numeris ab unitate ascendentibus per impares numeros inueniemus hoc ordine. Ponamus ut

137쪽

proportio duarum differentiarum cadentium inter tres quadratos numeros , fiat sicut. . est ad .

Accipiam primum quadratum qui fit si quinario, qui addit

super quadratum sibi antecedentem imparem duos octonarios. Et habebo ipsum pro primo quadrato, si possibile suerit, et proportionabo ipsos duos octonarios cum octonariis, quos addit sequens quadratus impar super quadratum quinarsi, scilicet cum . . octonarus, et quia proportio de. . ad 3.

non est sicut 2 ad , super tres octonarios addam qu tuo octonarios, quos addit quadratus novenari super quadratum septenarii, et erunt septem octonarij, et erit proportio duorum octonariorum ad septem octonario Sicut 2 ad T. Sed proportio de. 2 ad . . est maior propo tione quam habet. 2 ad 9. Quare super. I. octonarij addam multitudinem octonariorum additionis sequentis imparis quadrati, eius videlicet qui sui ab . 44 erunt octonarii. 2. ad quem numerum , cum duo habeant minorem Proportionem quam ad s. duplicabo numeros proportionis, scilicet. . t. . et habebo . et 48. Et considerabo proportionem quam habet . . ad sequentem sibi numerum scilicet ad 5 uel ad duos soquentes numeros, scilicet ad rae ad 6. uel ad tres sequentes numeros, donec inueniam inde proportionem quam habet. 4 ad 48. et hoc erit cum acceperora quaternario tres sequentes numeros, Scilicet. 5 et. . et T. qui faciunt. 48. ad quem numerum. 4. habet Proportionem eam quam habet. . ad . . et propter hoc

inuenta est solutio questionis, et habebo pro maior quadrat ipsum qui estis 5 scilicet 225. que 45. habentur ex duplo de T uno addito, et est quadratus , qui fit , 5, addens super quadratum, qui fit ad 3, septem octonarios, et quadratus, qui fit . 3, addit super quadra μ 3οοσω.

138쪽

tum qui fit ab A., ex octonarios, et quadratus, qui fit ab q. addit super quadratum qui fit 1 9 quinque octonarios, et sic quadratus, qui fit ad 5 addit super quadratum qui fit si s octonarios 48. et quadratus, qui sita , addit super quadratum qui fit ho quatuor octonarios, et sic proportio differentiae, que est inter quadratum qui fit DT, et quadratum qui fit hi scilicet inter .49.6 8 . erit ad differentiam, que est inter 8 et 225, sicut 2. ad M, et hoc est quod uolui demonstrare.

Soluuntur etiam omnes suprascriptae questiones, et e

rum consimiles, in quadratis qui fiunt, duplo uel si triplo uel si quolibet alio multiplice numerorum, si quibus fiunt quadrat suprascriptorum inuentionum. Verbi gratia suerunt quadrati suprascriptae questionis a I et . se a 45. Quare si dupricauimus hos tres numeros habebimus pro radice minoris quadrati . . et pro radice mediari. 48. et pro radice maioris 30 et erit similiter proportio differentiarum, que sunt inter quadratos qui fiunt ab ipsis numeris, sicut 2 ad 9. quod ostendam in lineis sit linea in. 49 scilicet quadratus septenarij, et a sit 8 . scilicet quadratus nouerarii, et a d sit quadratus qui fit si 45. et e a sit quadratus qui fit si 44 et e s sit quadratus qui si h et sit quadratus qui fit . 30. Eι

quoniam numeri, a quibus fiunt quadrat e a Di, ea, dupli sunt numerorum, a quihus fiunt quadrati a b ais, a d, erit unusquisque quadratorum eo, eri e , quadruplus sui similis, scilicet eis ex ara, et eo ex a s et ex a d. Et quoniam totus eo ex toto ais quadruplus St, tu a,

ex is similiter est quadruplus , reliquus a i ex reliquo bis quadruplus est. Similiter ostendetur quadruplus esse

139쪽

exod, quare est sicut bis ad ora, ita sci ad tes Est enim sicut 2 ad 9 et gladi est similiter sicut 2 ad 9. Similiter si numeris, si quibus essent quadrati ea, ei,

e , essent tripli numerorum, a quibus quadrati ara, ac, ad esset unusquisque quadratorum ea, ei, a nonuplus

sui, similiter quam differenti ci esset nonupla ex differentia Mo, et differentia i ex differentia o d, quare esset sicut o ad c d ita a s ad ici, et hoc uolui demonstrare. E si proportio duarum differentiarum, que sunt in tres quadratos, uerit sicut. 44 est ad 13, erit primus quadratus. 25. Secundus 729. Tertius 348 ., quos hoc ordine inueri. Posui primum pro mediano quadrat quadratum qui fit, 3, cum ipse addat 44 octonarios super qua m M -- .dratum qui fit . 24. et inuestigaui proportionem, quam habet. ad primum sequentem sibi numerum, uel ad duos , uel ad plures , et non inueri cum ipsis numeris pr Portionem , quam habet 44 ad 43. quia si addatur 2 et 3 et ι, qui secuntur. 4 in ordine numerorum, non faciunt ultra. 39. ad quem numerum. 44 habet maiorem Proportionem quam ad 43. et si cum ipsis 39. addatur

Sequens numerus scilicet. 5. veniunt . . ad quem numerum. 4. habet minorem proportionem quam ad 43. et

propter hoc duplicaui. 44 et 3 et triplicari etiam , et

Per unumquemque numerorum qui sunt usque in T. multiplicari eos, et non inueri inter continuo numero Pro portionem quam querebam ad extremum octuplica* et 43. et habui 88 et 344. et diuisi. 88 per et Prouenerunt. 8 circa quem posui decem numeros sibi continuos, et suit . medius inter eos, et suerunt. 44. numeri.

qui insimul aggregat laciunt. 88, ex quibus minor numerus eSt. 3. maior. 3. et duplicari 3. et addidi. . et

140쪽

prouenerunt. 27. cuius quadratus addit octonarios. 43. super quadratum qui fit si 25, et quadratus qui fit si baddit 42 octonarios super quadratum, qui fit a 23, et sic inuestigando inueri quadratum qui filis 27 addere super

quadratum qui fit ara, octonarios. 88., qui proueniunt ex aggregatione numerorum , qui sunt si xusque in. . culicet ex undecim numeris ordinatis. Deinde accepi. 4. cum suis sequentibus numeris usque

inris, et aggregari eos, et habui 344. scilicet octuplum de 3. et super duplum de 29. addit . . et habui. 59. pro radice maioris quadrat , scilicet de 348 , qui addidit

octonarios. s. super quadratum sibi antecedentem imparem , scilicet super eum qui fit a. 57. qui quadratus addit Super quadratum qui fit si 55. octonario 28 et sic addendo omnes octonarios, quos addunt antecedentes quadratj qui sunt quadrat qui fit . 59, usque ad quadratum qui fit si I super suos consequentes, colle quadratum , qui fit aras addere super quadratum, quisitis 27. octonarios 344. quam proporti differenti que est inter quadratum qui fit si quinario, et quadratum qui fit, 27, est ad differentiam, que est inter quadr tum qui fit a 27 , et quadratum qui fit aras, sicut. 4. ad 3, que etiam proporti inuenietur in quadratis qui sunt a duplo uel ab isti quolibet multiplice radicum in-

Volo inuenire tres quadratos numeros, ut additio primet secundi, nec non ipsorum trium numerorum, faciat quadratum numerum Inueniam primum duos quadratos numeros, ex quorum addictione proueniat quadratus numerus, et fiant a numeris primus ad se inuicem Sintque et 36, ex quorum additione proueniunt 25. qui est qua-