장음표시 사용
101쪽
multiplicatur per quadratum numerum, factus ex multiplicatione quadratus erit. Quare quadrati sunt qui fiunt ex ductu e in quadratos qui fiunt a numeris Dd. Sed coniunctus ex quadratis numerorum id est , et ex e in a prouenit o , quod Opportebat ostendere. Similiter si numeri e a quadrati fuerint, erunt alsi duo sis numeri quadrati, qui coniuncti sacerent numerun es, et sunt illi, qui egrederentur ex ductu a in quadratis qui fiunt numeris ara, et ex ductu e in quadratis qui fiunt a numeris id et, sicut dixi, si unus ex numeris e a quadratus suerit, equatur numerus o fier duobus diuersis quadratis; et si ambo quadrati fuerint, equabitur numerus est' quater duobus diuersis quadratis. lauenire alio modo quadratum numerum, qui duobus quadratis numeris equatur; adiaceant un' numeri r portionales a, b, g, in ut a quidem ad , ita Da d, et compositus ex quadratis numerorum ad est e, num rorum quoque D est a , et multiplicetur e in a et prouenietis dic quoniam es est quadratus, et equalis coniuncti ex duobus quadratis, quod sic probatur ex aquidem in s proueniat ira, et ex Din, proueniat lici, et ex arin, proueniat mn, et exis inta proueniat, o dico Primum quod numerus m n numero nis est equalis sunt enim proportionales numeri a, b, g, d in mi, quam habeta ad , proportione. Quare multiplicatio ex a in disquatur multiplicationi ex b in g, hoc est numerus m n numero nis reliquos uero duos numeros inequales essera monstrabo, scilicet et quare est sicut a d b,
102쪽
it 9 a d per equale ergo erit ut a ad ρ ita bis d.
Quare si est maior quam a. erit, maioris, e si minor estis quam a minor itaque esset, quam ' Quare numeri a si aut i ambo sunt minores . aut ambo maiores numeris bis, quales quidem esse non possunt, quia Siequales essent, iam numeri is, , , d non essent r. Sint ergo a. minores, quare factus ex eis, scilicet ra, minor est facto ex d b, hoc est quam ha et quoniam est ut adi ita quadratus, qui fit ab a ad numerum qui fit ex a in g, hoc est ad numerum I. Rursus quoniam est
sicut a dis ita bis d. Sed sicutis ad , ita quadratus, qui fit si numero b ad numerum, qui fit exis inta, hoc est ad numerum Κι. Per equale ergo es ut a ad 9, ita quadratus, qui fit si numero b est ad numerum hes. Sed sicut aadis, ita sui quadratus, qui fit ab ad numerum LI ; quare
et compositi et proportionales erunt hoc est ut, adi, ita compositus quadratorum , qui sunt si numeris ara est ad compositum duorum numerorum het kl, hoc est numerus ad numerum l. Similiter ostendetur quod sicut a adi, itari ad s. Quare est sicutis ad M, ita es ad numerum a. Ergo numerus t medius proportionalis est numerorum e a. Quare quadratus, qui fit si numer ιι, equatur superficiei
rectianguli, que fit ex numeris e . Sed superficies num rorum, que sitis numeris e , est numerus V. Quare es est quadratus, cuius radix est ιι Aliter, qu nium ostensum est numerum fin superiori demonstratione equari mi' quadratis qui sunt si numeri ιk, kl, mn, no,
demonstrabo quidem quadratum qui fit si numero ιι equari eisdem iiii ' quadratis hoc modo. Quadratus quidem, qui fit si numero ι , quatur duobus quadratis, qui fiunt si
103쪽
numeris ' et Aci, et duplo superficiei excira in Wl Sed
superius demonstrauimus superficiem, que 1 ex ' in ι, equalem esse superficiei, que fit ex is, in Sed superficies, quo fit ex is inmis est ex equalibus numeris. Quare est sicut is in se, uel sicut is in
se Quare duplum ex ductu in Q equatur duobus
quadratis, qui fiunt a numeris o quare demonstratum est quadratum, qui sit . numero tri, qualem esse eis, qui fiunt a numeris is, G, m non , hoc est numero Ἱ, ut opportebat Stendere. E quoniam minor est numerus is numero' , accipiatur exura numerus D equalis numero tral et, ut Superius diximus, inuenientur quadrati, qui fiunt, num ris et mi equar numer Possunt etiam duo quadrati inueniri, quoimm ggringatio erit quadratus numerus per quoslibet duos num ros datos Verbi gratia, dentur duo numeri vel , prout libuerit, si tameni maior, et auferatur si quadrato numeri
quadratus i numeri a et residuum erit radix uniu qua- ω. 24-ωdratorum inueniendorum deinde accipiatur duplum eius, quod prouenit ex ductu a in b, quod erit etiam radix alterius quadrati, quod probatur per precedentem proxumam demonstrationem bie). Ponam quod sit proportio qad d, sicut a ad b, et sitis equalis a et disqualis b, et erit id quod fit ex a in se quale ei, quod fit ex a in q, et
sui id M, et illud quod fit his, quale ei quod sit a b in
d scilicet G. Vnde si auferatur ' ex k , hoc est is, remanebit que est una ex radicibus. item duplum superficiei acini equabitur eis, qui fiunt exa in dis ex Dinis, scilicet numero is, qui est alia radix.
104쪽
INVEnire duos numeros, quorum quadrati insimul iuncti faciant numerum non quadratum,ξ factum ex compositione duorum quadratorum actorum ex numeris datis.
SiN duo dati numerii, in quorum quadrati simul
coniuncti fiant numerum a non quadratum uolo duos alios numeros inuenire, quorum quadrati insimul iuncti s ciant numerum . Adiaceant duo numeri a et , quin rum quadrati coniuncti faciant numerum e quadratum, non sit sicut ita a d b, et multiplicetur per a egrediatur numerus i. et inueniantur duo numeri,
quorum quadrati insimul coniuncti faciant numerum f. Sin quo , , in quorum mensura ponantur recte Κι ι - 2ὶ .sacientes angulum rectum, ipsum sciliceti qui sub sta copuletur Wm.i Erit ergo a m radix numeriss et accipiatu
exis, recta mis equalis radici numeri a et protrahatur Secundum rectum angulum linea nis et o m sunt recte rationales facientes compositum ex quadratis ipsorum equalem numero . Quoniam quidem quadratus rectora m est equalis numero Ι, et numerus I est factus ex rimis, ergo si multiplicauerimus radicem numeri e per radicem n
meri , habebitur radix numeri , hoc est, A. Et quia radix numeri e est rationalis, quotiens unitas est in ipsa radice totiens radix numeri g, hocies m n est in recta mis. Sit ergo Gradix numeri . Quare est sicut unitas ad numerum , ita mis ad ra, et sicut m n estud, h, ita n o est ad Aci, et o m ad G per equale ergo ut unitas ad numerum , ita nis ad sti, et mi ad ι. Guare si diuiserimus per numerum , egredietur
105쪽
numorus rationalis. Similiter si diuiserimus mater ,
uenietis . Inuenti sunt ergo duo numeri ni et o , quorum quadrati coniuncti faciunt non quadrutum numerum m n, hoc est numerum a , qui et est compositus ex quadratis numerorum , d, quod oportebat Ostendere. ET ut hoc in numeris demonstrentur, sit numerus 9 4, et numerus d i quare compositus ex quadrati l ipsorum, in
scilicetis est 4 , et ex adiacentibus numeri a sit x, et sit ι, quorum quadrati coniuncti faciunt. 45, scilicet num rum e multiplicatio quidem ex e in g, scilicet de xin ι , surgit in 025, et est possibile invenire duos alios numeros dupliciter, quorum quadrati coniuncti faciunt. 4025, quorum unus est 32, alter. 4, ' unus est 3 , et alius. 8 sit ergo CL 32, aut 33, et , sit. 4 , vel , et accipiatur radix de 25, scilicet numerus f et dividantur per ipsum numeri m. et habebimus m. videlicet si H est 32 , et Lm est. 4, eritis ori 6, et o m erit 3ntum unius Invencti sunt ergo duo numeri, scilicet ii et quorum quadrati equantur. 4 , scilicet numero a et si hi fuerit. 33, et D merit. 8, eritis , AE et om erit et sic invencti sunt duo ali numeri, quorum quadrati insimul coniuncti faciant similiter . , quod oportebat sacerct. Si ab unitate numeri quo cumque continui, pares videlicet et impares, ordinate disponantur, numerus solidus, qui fit ab ultimo et a sequente et ab eorum aggregat , mustus sexcuplo summae collectionis omnium quadratorum , qui fiunt ab omnibus numeris, videlicet qui fiunt ab unitate et a dispositis numeris disponantur quidem ab unitate a b 4 , numeri continui pares et impare quotcum-
106쪽
Ergo solidum , quod fit . numeris eis, i, quatur sexcuplo quadratorum, qui fiunt ab unitate a b et si numeris bis, e, e , quod oportebat ostendero. Est
enim alius modus per quem possumus ad idem douenire, qui in sequentibus ostendetur. m. a. - SI ab unitate numeri impares ordinato quotcumque disponantur, solidum, quod si h maximo eorum et si sequente impari et ab eorum composito equatur duplo PM cupli omnium quadratorum , qui fiunt ab unitate et si dispositis numeris. Sint quidem ab unitate a b numeri quotcumque dispositi impares ordinate bi Ud dis, eis quens impar est e a dico quidem solidum quod fit . nummrISpis, ea, et ab eorum composito daequari duplo sexcuph, hoc est duodecuplo summe quadratorum, qui fiunt ab unitate ara, et si dispositis numeris bi id, de Summatur striquidem ex numero e a numerus es equalis numero dis erit ergo numerus sis duo. Ostendam prius solidum, quod fit numeris id, e, et eorum composito De cum duodecu-j quadrati qui fit si numero Me, quale esse solido quod
fit a numeris a Sit itaque numerus dis radix, erit ergo numerus C radix minus duobus, et ιotus cum erit due radices minus duobus. Quare ex ductus, in prouenit quadratus, duabus radicibus exceptis, quod totum si ducatur in numerum o , hoc est in duas radices, duabus unitatibus diminutis, provenient duo cubinumeri, et u ' radices minus sex quadratis, quibus si a datur duodecuplum quadrati qui fit a radice dis, erunt duo cubi et sex quadrati et Iii ' radices Rursus quoniam, e est radix erit numerus Di similiter radix Quare
107쪽
totus e a erit radix et duabus unitatihus additis, que sunt iis, et composito ex eis, a , erunt duo radices , et duo unitates. Ex ductu quidem dis in eo prouenit quadratus et due radices. Ex ductu quidem horum in numerum dis, hoc est in duas radices et in duo , proueniunt similiter duo cubi et sex quadrati et IIII ' radices. Quare ostensum est solidum quod fit a numeris Dd, de De et
duodecuplum quadrati, quod fitis numer dis equale esse solido, quod fit . numeris dis, e a d a. Odemque modo ostendetur solidum, quod fit si numeris bi , Dd, Dd, cum duodecuplo quadrati, qui fit . numer g , equari solido, quod fit si numeris Dd. 4, g e. Ergo solidum quod fit si numeris d a , quatur solido , quod fit numeris' g, g d, b, et duodecuplo quadratorum , qui suerint . numeris Dd, e Rursus etiam , supradictis dispositis, ostendetur solidum , quod fit si numeris bs, id, Dd, equale esse solido, quod fit ab unitate ad et numeris b9,ag. et duodecuplo quadrati, qui fit a numero b g. Sed solidum , quod fit ab unitate ara , et a numeris bis et a g est duodecuplum quadrati qui fit ab unitate ara, ternarius
ΘSt numerus bis, quaternarius quoque numerus a g. Ergo solidum , quod fit a numeris Le, e a d a, equatur duod cupium Omnium quadratorum , qui fiunt . subiacentibus, scilicet ab unitate ara , et si numeris g, Dd, de quod oportebat ostendere. Simili quoque modo, si h binario disponantur pares M. Minumeri quotcumque per ordinem, inuenietur solidum, quod erit ab ultimo eorum et si sequente, et ab eorum composito, equari duodecuplo omnium quadratorum, quisiuniis dispositis paribus numeriS.
108쪽
Eademque uia et modo inuenietur rursus si h ternario dispositi fuerint numeri quotcumque ascendentes per ternarium ordinate, solidum quod fit ab ultim eorum, et Sequente, et fi coniuncto equari sexcupli triplo omnium quadratorum, qui fiunt ab ipsis numeris ascendentibus per ternarium; et quando ascendent per binarium, ut fit inparibus, tunc ultimum solidum equatur duplo excuset omnium quadratorum adiacentium numerorum, et quam do ascendunt per unitatem , ut fit in numeris continuis, tunc suprascriptum solidum equatur implo excupli quadratorum adiacentium numerorum, ut in suprascriptis demonstrauimus, que intelligas in quadratis, qui fiunt . numeris qui ascendunt ordinate per quaternarium a Iu , vel . λ' per quinarium, uel per ascensionem reliquorum
Si duo numeri primi componantur ad se inuicem, seceritque compositus ex eis numerum parem, si solidus numinrus . qui si ab ipsis et ab eorum composito, multiplicetur per numerum in quo maior numerus excedit minorem, egrindietur numerus, cuius vigexima quarta pars erit integra.
Sint duo numeri a Metra 4 primi ad se inuicem, faciem
te compositum ex eis as numerum parem, hoc est quod
sint minim in ipsa proportione, quam habet numerus a ad numerum' g, et numerus' maior, et summatur side numero bis numerus b d equalis numer a b. Erit ergo numerus di id in quo numerus bis superhabundat numerum a b. Dico quidem quod si numerus a b multiplicetur in numerum iis, et quod proueniet ducatur in
109쪽
g, et hoc totum producatur in numerum dis, egredietur numerus, cuius uigexima quarta pars, hoc est tertia octaue, uel quarta sexte partis, erit integra. Numeri quidem a b et bis ambo impares sunt, quia si non SSent m Pares , compositu ex eis non esset par nec ambo sunt Pares, qui si pares essent ambo, iam non essent prima se inuicem. Ergo impares sunt numeri ab et bis. Et quoniam numerus bis qualis est numero a b duplus est ergo numerus a d numero a b. Ergo par est numerus a d. Ergo reliquus di est par quia si par numerus auferatur si par, par remanet; et quia numerus dis est par, erit ergo medietas eius aut par, aut impar. Esto prius impar, medietas quidem numeri id, scilicet ara est impar. Quare addita medietate numeri a d cum medietate numeri dis, scilicet additis duobus imparibus, larem facient numerum ergo medietas numeri a st est par Quare totus ata est pariter par. Vnde quarta eius pars est int gra. Quare ex ductu in Surgit numeruS, cuiuS Νι.εs 4 octava pars est integra. Sed si medietas numeri par erit, ergo quarta eius integra quare ex ductu dis in a gueniet numerus, cuius octava pars est similiter integra Quare si quod si ex ductu ais ducatur in bis, et hoc totum producatur in a b proueniet numerus , cuiu Octaua pars erit integra. Et riuoniam numeri sunt im-PB S, aut tertia pars unius est integra, aut non. Stoprius integra. Quare ex ductu solidi, quod fit a numeris b, in numerum dis egrediatur numeruS cuius tertia pars est integra , et cuius etiam Octaua pars inuencta est integra. Ergo uigexima quarta par eiuS
110쪽
erit integra, ut prediximus. Et si tertia pars numeri a b uel bi non est integra, si unusquisque eorum diuidatur per 3. remanebit aut equaliter, aut inequaliter ex utroque remaneat primum equaliter quare numerus D diuiditur integraliter per 3. Quare ex ductu solidi supradicti in numerum di egreditur numerus, cuius tertia pars est integra. Sed non remaneat equaliter ex numeris a b bis cum diuiduntur per 3 remanebit ex aliquo ipsorum. . et ex alio. . Quare ex coniunctione ipsorum, scilicet ex numeroa g, tertia pars erit integra. Vnde solidi, qui sui si nummris ara, g, ais, tertia pars eius erit integra. Quare ex ductu ipsius solidi in numerum di egreditur numerus, cuius tertia pars est integra et quoniam eius Octava pars inuencta est similiter integra, erit ergo uigexima quarta pars eius integra, ut portebat ostendere. Et hoc idem erit si numeri ab et bi non fuerint prim ad se ad inuicem E si unus ex numeris ara, bis suerit par, coniunctus ex eis erit impar, tunc ostendetur similiter si solidum, quod fit si duplo unius cuiusquo et ab eorum coniuncto a st,
ducatur in numerum dg surgere in numerum, cuius etiam uigexima quarta pars erit integra, siue numeri sint primi inter se, siue non et factus numerus , videlicet cuius uia gexima quarta pars est integra, congruum appellari. SI circa aliquem numerum adiaceant numeri quo cumque minores et maiores eo, et sit multitudo minorum equalis multitudin maiorum, et quot unusquisque ex maioribus superhabundat ipsum numerum, tot ipse numerus superhabundet minores , erit summa adiacentium ex ductu ipsius numeri in numerum multitudinis ipsorum Circa numerum, adiaceant numeri a, b, g, e, in ei