장음표시 사용
111쪽
sit mino eorum numerus a maximus numeruS I, equo Su-
rhabundit sic numerus numerum d tot superhabundat NMrnumerus d numerum a Similiter, quot superhabundat numerus a numerum, tot superhabundo numerus d num rum . Rursus quot superhabundat numerus e numerum d tot superhabundet numerus, numerum g Dico si ducatur, in numerum multitudinis numerorum a b, g, eos, i, proueniet summa ipsorum omnium numerorum, quod sic probatur minuam quidem ex numer I superhabundantiam, quam habet ad numerum , Bddamque eam numero a erit unusquisque numerorum a Lequali numero, quod etiam faciam ex numeris a b et eis, et erit un quisque eorum equalis numero . uaro quot sunt numeri a, b, g, , , si tot numeri equales numerora sunt in summa coniunctionis numerorum , , , , , , quod oportebat ostendere. INVEnire numerum, quo addit Super quadratum numerum , et diminuto ab ipso, faciat semper quadratum numerum et Sic oportet tres quadratos et unum numinrum inuenire , quo numero addit super minorem quadratum , dicit quadratum secundum Supor quem si addatur idem numerus , laci quadratum tertium, hoc est maiorem. et sic addit ipso numero super secundum quadratum, et diminuto ipso ab eodem facit semper quadratum seu niam quadrati numeri omnes ordinate ascendunt per continuam ascensionem imparium numerorum, erit minor quadratus summa aliqua imparium numerorum ab unitate acceptorum, Super quem quadratum proponitur adderem merum , et fieri quadratum secundum , qui quadratus rudi
sus constat et sic aliqua multitudine imparium ab unitate
112쪽
Ordinate disposita, super quem etiam secundum quadratum Continum Si addatur numerus idem, qui uocetur congruum, quia congruit his, facit maiorem quadratum, qui etiam maior quadratus egreditur ex aliqua multitudine imparium similiter ab unitate accepta, in qua multitudine tota est multitudo imparium acientium primum quadratum, et alia multitudo facientium congruum idem, et alia multitudo facientium eundem idem congruum. Quare multitudo imparium facientium maiorem quadratum diuidenda est in tres partes predictas. Sed multitudo imparium facientium
primum congruum est in aliqua proportione cum multiatudine facientium secundum plures enim numeri impares sunt in multitudines facientium primum congruum, quum multitudine facientium secundum, cum minore numeri sint in ipsa propter ordinem numerorum, quia in ipsa sunt antecedentes impares, et in alia Sunt consequentes. Vnde qualiter congruum inueniatur in aliqua data propo tione in qua esse poterit, ostendere procurabimus. Adi
ceant duo quilibet numeri ara, i compositus qui-m 2 --. dem ex ipsis est a s et si maior quam ara secundum quantitatem numeri dis Si numerus quidem 4 ad n merum ara minorem proportionem habuerit quam num rus a g ad numerum di tunc possibile erit inuenire congruum ex una multitudine imparium habente proporti nem ad multitudinem sequentium impurium, eam videlicet quam habet numerus ad numerum et si maior fuerit proporti numeri bi ad numerum bis, quam numeri a s ad numerum 9, tunc impossibile erit inuentro duas multitudines imparium numerorum continua in pr
113쪽
portione quam habet numerus ata ad numerum di tunc possibile erunt inuenire duas multitudines imparium numerorum continuas in proportione quam habet numerus a sta numerum di et est sis summa uniuscuiusque multitudinis egredietur congruum. Est prius proportio, quam habet numerus bi ad n merum a b minor ea quam habet numerus as ad numerum di oportet ergo inuenire duas multitudines imparium immediate in proportione quam habet numerus bis ad numerum ara, et summa unitatum utriusque multitudinis sit eadem coniunctio quidem ex numeris a b et bi, scilicet a s , aut Si par, aut impar. Si prius par. Quare numΘ- rus a d scilicet duplus ad ad par est. Unde residuum dipBrem Sse necesse est. Ex ductu quidem di proueniat numerus e a, et ex ductu dis in ara proueniatis i. Est ergo sicuti bis Ma ita numerus era ad numerum ii, et sunt numeri e , a pareS. Rursus ex ducturus in numeris gra, et bis proueniant
pares numeri Cm k . Est ergo sicut gra ad bis ita st madines. Sed sicuti bis xa, ita eis ad a s ergo sicut e ad ii, ita sti ad I I denique ducatur eis insta proueniatos, et ex ductu a i in m proueniat pri. Et quoniam est sicut eis ad ci ita Cm ad Cl. Ergo id quod fit ex ductuma, itast equale est ei quod fit ex ductu ari in k- quare
equali est numerus os numero ostendam utrumque iPSorum SSe congruum. Quoniam ex ductu eo in k Prouenit o , quot unitates sunt in numero e , tot numeri quales numero Di sunt in numero o . Sed quot numeri quales numero D sunt in numero o p tot continui numeri impares existentes circa numerum stra sunt in eodem p. rgo quot unitates sunt in numero eis, et
114쪽
tot numeri impares continui existunt circa numerum' ;itu quoi medietas eorum sint minores numero et alia medietas sint maiores , qui omnes faciunt numerum m Ἀρος equalem O p. Similiter ostendetur quod quotu unitates sunt innumero aci, tot numeri impares existentes circa numerumst m sunt in numero pri. Ergo sicut numerus e a est ad ci, ita multitudo imparium facientium numerum Op est ad multitudinem imparium facientium numerum pG, qui Mensus est qualis numero os dico etiam montinuam esse
utramque multitudinem. Quia ex ductu ad in bis prouenit , et est bis equalis numeris D et ergo ex ductu i in numeris di et dis prouenit k m. Sed ex ductu i in Dd, hoc lin is , prouenit is , reliquus ergo m prouenit ex ut m di sed ei numero, qui pro uenit ex ata in dici quales sunt numeri qui proueniunt ex gis in gra et in bis, hoc est numeri e , a . Quare
equalis est numerus , numero e . Accipiatur itaque ex numero , numerus , qualis numero e . Reliquus ergo reliquo a i est qualis. Item ostendendum est numerum C maiorem esse numer e , quoniam proportio gra ad bis est minor proportione numeri ai ad id Ergo aliquis numerus minor numero ad numerum id
habet eandem proportionem, quam numerus ad Ma; Sitque numerus is et quoniam est ut ad bis, ita a fad di multiplicati ergo asin ba equatur multiplicationibi in dis hoc est numero ex Sed multiplicatio as in ara, hoc est numerus k ι, maior est multiplicatione a finis b,
hoc est numero e . Accipiatur quidem ex numero stes numerus D equalis numero , , hoc est eis, erit totus his duplu numero e . Rursus super numerum st m addatur numerus mi squalis numero is hoc est a i duplus ergo
115쪽
est nis numero ii Et quoniam par est numerus Aci, si auferatur ab eo numerus I h, hoc estis a qui est par remanebit numerus stra par. Similiter si super C addatur n, erit totus C par. Verum et numerus est par quare totus Wo est par. Et quoniam stra est par, quot unitates sunt in medietate eius, tot impares sio numeri intercidunt ab unitate usque ad numerum hin, quorum imparium sum bie)facit quadratum numerum, qui prouenit ex multiplicatione medietatis numeri stra in se, sit ille quadratus
numerus' o. Item quot unitates sunt in numero his, tot numeri numerantur ordinate inter numerum C et num rum is, quorum multitudo est par, cum numerus h nsit par. Sed dimidium numeri his est e . Ergo quot unitates sunt in numero eis, tot impares numeri intercidunt inter numeros C et kl 3ὶ, ex quorum multitudine ostensum S prouenire numerum o , cum sint circa num rum Aa, medietas quorum intercidunt inter numeros strae stes, et alia medietas i inter hae stis ergo ex omnibus M'imparibus, qui sunt ab unitate usque in numerum mn, Prouenit p, et est quadratus, cuius radix est medietas numeri A n. Rursus quot unitates sunt in numero is, tot numeri intercidunt inter numeros λ, et stis, quorum medietas est ex imparibus numeris ergo quot unitates uni in numer m n , hoc est in a , tot numeri impares inte
si chiar cloversi leggere kn in vece dira nella linea decimaquinta di questa paginara . utimici Codios Ambrosiano E m, Parta superiore cartara recto, lin. 34 ha hy-μhL. , coma ella me sima linea declina- quinta It Codica L. IV, 2 della Bibliotecas blica Comunale di Siena camia 93, recto, in. Mi ha h. et, L. , et i Codice . . . 8 deli I. B. Biblioteca Palatina di Firenae carta 2 3, reoto, lin. 4 ba e 1h. et L ne passi corrispondenti a questo passo de codice Ambrosiano suddetis.
116쪽
cidunt inter numeros C et cc; et sunt continui cum imparibus qui sunt inter stra et stis, ut prediximus. Sed ex numeris imparibus qui sunt inter C et De colligitur
numerus p cum sit circa numerum Em. Ergo ex omnibus imparibus, qui sunt ab unitate usque in numerum he, prouenit numerus G ergo quadratus est numerus s et est eius radix medietas numeri st e. Ergo congrmum est unusquiSque numerorum o p et ut prediximus Inventus quidem numerus est, scilicet quo addito super quadratum , scilicet super ri, facit quadratum numerum , qui est et diminuto ipso, scilicet pri, hoc estis P, ex eodem quadrato, scilicet ex Ῥ, remanet quadratus, scilicet is, quod opportebat sacere. Que etiam ut clarius uideantur, ponam numerum a b. 3. numerum qu quera si quare totus a s erit. 8. residuum quoque, g t. . pares enim sunt numeri a s et dis ex duoiuquidem 4 in i prouenit 30. et ex ductu dis in a
prouenit. 6. ergo est. 30 et a s est. 6. Est ergo sicut by ad Wa, ita eis ad et i, hoc est sicut. 5. ad 3. ita. 40 ad. 6. et 30 est numerus prime multitudinis imparium facientium congruum et . . est numerus secundae multitudinis facientium idem. Item ex ductu a fingis et in Da hoc est eX. 8 in. 5. et in. 3. proueniunt st m. 40. et D 24. residuum m est. 46, que equatur numeris ea. i. Addantur quidem super Et numerus D equalis numer ea, Scilicet. 40. erit Cn. 34. et super Um addatur m, scilicet a s qui est. 6. erit Do 46. et auferatur ex sta numerus D equalisci, scilicet. 30, remanebit Ch. 44 et ducatur e , hoc est in instι, scilicet. 40. in . 24. prouoni pl. 240 qui est congruum, et summa decem numerorum imparium exiStentium circa. 24., qui sunt inter numeros stra et Ais, hoc est inter. 44 et 34. .
117쪽
Item ex ductu ari in k, hoc est de 6 in. 40 , prouenit 240. hoc est summa sex imparium existentium circa. ι0., qui sunt inter ano sto, hoc est inter. 34. et 46 Εx numeris quidem imparibus, qui sunt ab uno usque in numerum Wh, scilicet in ηι, prouenit is, et Si ras , quia ab uno usque in . sunt septem numeri impareS, et Sunt circa septenarium quare ex ducturi T. in I. prouenit HSumma imparium, qui sunt ab uno usque in . 44. Ergo eS quadratus. Ex multitudine quidem imparium, qui sunt inter strae an prouenit o p. Ergo ex multitudine imparium, qui sunt ab uno usque in , scilicet in. 34. prO- uenit numerus s. et sunt illi numeri impares. 7. , quorum summa surgit ex ducιu. I. in se ergo est quadratus, et est 289. Nam addito is cum o p . scilicet. 49 cum 240 faciunt. 289. , quorum radix est. T. scilicet dimidium cn. tem ex multitudine numerorum in sunt inter et stra prouenit numerus p , qui est qualis numer o R, est enim. 240. Ergo ex multitudine imparium qui sunt ab uno usque n. 46 prouenit numeru rri, et est quadratus, cuius radix est dimidium numeri Wo, scilicet. 23. Nam addito p super γ, scilicet 240. cum 289 faciant. 529 quorum radix est. 23. SED si proportio gra ad bis maior proportione a st ad 9 d, et sit iterum numerus ais par, dico possibile esse inuenire duas multitudines impurium continuas acientes. congruum in proportione quam habet numerus ais ad numerum g d. Et ut liquidius appareat sit a b et 4'. 3 quare a st est . . et dis est. 2. et multiplicetur in b, proueniat ex a b in dis proueniat a s est ergo ut 4 ad 4 , ita e s ad 4 i. et quia a b est
118쪽
numeri sunt quales numeris a st dis , ergo e est. . et a s est. 2. Item ex ductu bis in a st proueniat
et ex ductu bis in g, proueniat hes, est ergo A m. 2. et C est 6 est ergo sicut ea aes a i hoc est sicut agad g, ita is, ad hes, et ex ductu prou niat O , et ex ductu a i in st, proueniatis q. equules enim
sunt 3 et s. nusquisque eorum est. 24. Nam os constat ex IIII. ' imparibus, qui sunt circa circa Aci, propter e a qui est 4 , quibus 4 additis super Aci, faciat' n, ergo est 40 similiter extractiS romaneat stra, ergo C est 2 Rursus addit numeroci, scilicet 2 superis, faciat λὰ ergo A e est. 1. et est ε. in quibus sunt duo impares, scilicet 44 et 43. et sunt circa numerum scilicet circa. 42 qui faciunt numerum pG AErgo primus quadratus , Scilicet is est. 4. cuius radix est dimidium numeri scilicet. . Fcundus uero quadratus, Scilicet est. 25. cuius radix est dimidium numeri st , quod est. 5. Tertius quidem quadrRtus, Scilicet AE est 49 cuius radix est dimidium numeri Wo, quod est. I. Et notum, quia . 24. est Pri--ει-νω mum i congrmum, cum Sit minor numerus, cuius 20 4.
pars sit integra, et oriatur ex duobus minoribus numeris parem numerum facienti hus, scilicet ex uno et 3
Rursus ex numeris a b et bi coniunctus fit impar ηὶ, et aufferatur ad exi, et sit residuum eorum numerus 9 d. Et sit proportio numeri ibadis a minor proportioneis ad id Inueniam rursus duas multitudines continuas imparium in proportione quam ha et D ad a, una quoquo multitudine procreabitur congruum unitatum idem adiaceat itaque numerus t duplus numeri bis et numerus fraui i Vedi Fig. m.
119쪽
plus numeri coniuncιu quidem ex numeri ι, s par est et est sicut bis ad bis, et ducatur innumeris is, et proueniant numeri e a et a s. Est ergo sicut in s. hoc est sicut a, ita e , ad ari, et ducatur iterum numerus ast in numeris 3 et proueniunt mm ea st . st ergo ut ι ad C, hoc est uite a ad a , ita his ad G et quoniam pares sunt numeri PareS sunt numeri , et is , et ostendetur per premissam ea que dicta sunt in numeris n, n m et - , et in reliquis etiam p, Si ergo congruum Mil etc. Que etiam ostendemus cum numeris. Si ita ut 4. . et bis sit. . eritis q. . et 9 d. . et L 4 et . . et e . . et a i. . et m. 2. e stu. 6 et his . . et et kra , et quadratus unum congruum s , laetis q. 24. Quare quadratus est 25. et quadratus 9. que Oporteban OStendere. Et quoniam numerii et ba, scilicet unum et due siei sunt minores qui sint in numeris, et ex coniunctione O-rum prouenit impar numerus, et cum ipsis habuimus . . Per congruum , sicuti habuimus superius ex positione ternari et unitatis, qui sun minores numeri, qui SS POMsint, acientium parem numerum , de manifestum est 24e e minus et primum congruum quod cadat in tribus quadratis, qui sint ex integris numeris, sed cum fractionibus possunt inueniri minores eo, ut insequentibus demonstrabimuS.
SED si proportio ad bis maior proportione 9 ad 9 d, tunc erunt multitudo imparium prim congrui ad multitudinem secundi, sicut ais adi , et sit iterum agimpar. Que ut liquidius demonstrentur, si sis. 5. o b ara erunt ergo a g. . et d. g. . duplum quidem ex L est. 30.
120쪽
et ex bis est . et ducatur. . in numeris ais et g d, et ueniet pro multitudine imparium primi congrui. 28 et pro multitudine secundi. 32 et multiplica unumquemque numinsui. O ..to. rorum lis et g per duplum bis, et habebis. 70. pro numero, circa quem sunt impares numeri facientes secundum congruum , et 30. circa quem erunt 28 impares facientes primum. Quare extractis 28 de 30. remanent. 2.quorum medietas, scilicet unum est radix primi quadrati; et adde 28 cum. 30 erunt. 58. cuius medietas, scilicet 29 est radix secundi quadrati. Item adde 42 cum 70 faciunt
.82 quorum medietas scilicet 4 . est radix terti quadrati, et ex ductu. 28 in. 30 vel 42. in 70. habentur 10 pro congruo. Egreditur autem idem. 840. ex alijs duobus adi centibus numeris, scilicet ex septenari et quinario, quia si solidum, quod fit ab eis, et ab eorum coniuncto, ducatur in binarium, scilicet id in quo T. excedit. 5. proueniet. 840. Egreditur enim multitudo prima imparium facie tium ipsum ex duci binario in septenarium. Quare ipsi impares numeri sunt ι, et sunt circa 60, qui egreditur ex quinari ducto in. 2. multitudo quidem secunda prouenit ex binario ducto in quinarium, et est illa multitudo circa. 8ι qui prouenit ex septenario ducto in. 42. Nam decies 84 uel sexagesies 44. quantur solido, qui fit a
o I et 2 ducto in binarium Vnde cuiuslibet congrui in
vigesima quarta pars est integra, ut Superius ostensum
fi Cio che si eme ella presente pagina illin. 42- da . in Ohabentur M a fino alle paroleis cuiuslibet congruio sorma te nove in 7'- 5 della cartara recto de Codice Ambrosiano E. 75, Paris Superiore. Presso a queste nove line sui margine laterale estem della me sima carta Misaeis trovas la figura riportata in sum simila ne margine lal rale estem della present pagina M.