Opuscoli di Leonardo Pisano

121쪽

eS et est 2 primus congruum, quod inuenir potest cum integris quadratis numeris, et ab ipso 24 generantur omnia congrua. Quotiens enim. 24. multiplicabitur per quadratum

numerum, totiens congruum procreabitur, et erunt minor

quadratus ex tribus quadratis, quibus congruit ipse ille, per quem multiplicabitur. 24 Medius aut0m quadratus erit numerus, qui procreabitur ex ipso quadrato duci in. 25. Tertius quidem quadratus erit numerus, qui proueniet ex eodem primo quadrato ducto in. 49 cuius numeri radix erit

numerus factus ex multiplicatione radicis prim quadra xi in T. qui est radix de os et erunt multitudo prima imparium sacentium congruum dupla multitudinis sacentium idem. Similiter egredietur congruum, si muliiplicabitur 24 per

aliquam summam quadratorum, qui sunt ab ordinatis numeris ab unitate ascendentibus per impares et pares, uel per impares tantum, uel impares tantum, aut per eos qui BScendunt per ternarium, seu per quaternarium, uel per reliquos numeros, quorum quadratorum summa superius inuenire docuimus, et erunt proportio imparium sacentium secundum congruum ad impares sacentium primum, sicut radix ultimi quadrati est ad radicem sequentis quadrati in ordine aSSumpie collectionis Verbi gratia summa quadratorum trium im- Parium numerorum, scilicet unius et nouem et XXV., 8 35.,

3 Cio che si legge ella presente pagina 3 lin. - η dalle parole eri numerus sino alle parole qui est, forma te due line ventestinasecondae ventesimaterga ella carta 30 recto de Codice Ambrosiano Parte Superiore Fra queste due linee sulla lettera adella parota multiplicaιιοne, trovas u segno di richiam e sui margine laterale esterno de medesimo recto u simi segno di richiam seguit da una postilla come ne Seguente fac-simila di tali linee, segni e postilla.

122쪽

sui a misso quibu ductis per 2 faciunt 840 qui est congruum, prouenit etiam ex quinario et septenario adiacentibus , quare proporti primo multitudinis imparium ad multitudinem secundum est sicut T. ad 5. ut superius ostenSum St. Si congruum aliquod cum suis quadratis multiplicetur per aliquem quadratum, numerus factus ex multiplicatione congrui in quadratum congruum erit, reliqui quadrati erunt congruentes facto congruo Sit quadratus, et bis sit congruum, et stra sit equalis numero bi, quadrati ergo erunt numeri a g et a d et adiaceat quidam quadratus numerus e Dico quod id quod fit ex e incongruo bis congruum erit, et numeri, qui fient ex e in quadratis a b ais, a d quadrati erunt congruente congruo facto ex e in bi. Ex ductu quidem ex e in ara prο- ueniat a s et ex ductu e in is, proueniat a , et ex ei a d proueniat et . a quoniam ex e quadrato in a squadratum prouenit aes, quadratus est ergo etiam a , et est a Dequalis duobus numeris, qui fiunt ex quadrato e in qu dratum ab et congruum bis Sed id quod sit ex quadrato in quadratum a b est numerus a i. Reliquus ergo ira procreatus ex e in congruum 4. Et quoniam quadrati sunt numeri e et a b sactus ex eis quadratu eSt, quadratus est ergo numerus a i. Rursus quoniam ex quadrato in quadratum a d actus est numerus a se, quadratus ergo est ara, et est qualis duobus numeris, qui fiunt ox ductu e in numeris ais et g d. Sed ex e in a g suctus est quadratus a . Reliquus ergo sit ex e in q, Et quoniam qualis est numerus bis numero stra, qualis erunt factus ex e in bis facto ex e in is factu autem ex ei bis est a. Ergo ira qualis est numero is, Si Super

123쪽

quadratum autem c addatur numerus is faciet quadratum ara, et si quadrato auferatur ' hoc est i remanebit agri quadratus, ergo congruum est et congruunt ei tres quadrati, qui sunt ari, et et , et ara, que oportebat ostendere. Similiter ostendetur prouenire idem, si aliquod congruum cum suis quadratis diuidatur

per aliquem quadratum numerum. VoLo inuenire congruum cuius quinta pars sit integra sit unus ex adiacentibus numeris. 5. alter sit numerus quadratus, facientes coniunctum ex eis numerum quadratum, et extracto minore ex maior remaneat quadratus

numerus. Erit itaque ille quadratus quo addito cum quinari lacit. s. qui est quadratus, et extracto. 4. e. remanet M. qui est etiam quadratus dico ex his numeris adiacentibus egredi congruum cuius quinta lar erit quadrata prouenit enim congruum ex his numeris, ex

ducta. . in duplo quinarsi, quod totum multiplicatur per duplum quaternarij, et illud quod egi ditur ducitur per

novenarium t hoc est multiplicare superficiem, que fit ab di. M recto.

uno in duplo quinarsi superficiem quo fit si duplo

quaternarij, in. 9. hoc est 40. n. 72 sed ex ductu qu ternari in novenarium prouenit quadratus numeruS, cum

ambo sint quadrati. Ergo ex ducto duplo quaternari in s lacit duplum quadrati , et ex ductu dupli quadrati in duplo quinari, prouenit quadruplum quadrati luctum cinquinarium. Sed quadruplum quadrati iacit quadratum nu- mei Imri ergo quadruplum quadrat ductum in. a. facit quincuplum quadrati, et ductu quincuplo dicti qua-

η Cio cho si legge ella presente pagina, lin. 2 28 alia parola ductum orano alla seconda a della parola et quadratio sormam lineo settim e ottava delia casta 34 εριο de Codice Ambrosiano K. 5, Paris

124쪽

drati ducto in . . qui est quadratus, facit iterum quincuplum quadrati. Ergo congruum quod fit ab his quinia pars erit quadrBtR. Hec questio predicta in prolosso libri huius. VOL inuenire quadratum, cui addito. 5. uel diminuto, faciat quadratum numerum. Adiaceat congruum, cui quinta pars sit quadrata, eritque 720. cuius quinta pars est . . . . in qu diuide quadratos congruentes eidem. 20. quorum primus est. 96 . secundus est. 468 . tertius autem est. 10 . et est radix primi quadratira . Secundi. 14. tertii. s. exibit pro primo quadrato δ' 6,cuiu radix est ij que prouenit ex diuisione 3 . in radicem de ιι. hoc est in. 2 et pro secundo , hoc Stpro quesit quadrato, ueniet cuius radix est A , quo prouenit ex diuisione. O . in . 42 et pro ultimo quadrat ueniet Q 6, cuius radix St , . Si duo quilibet numeri componantur lactente com situm ex his parem numerum, proporti compositi ad re-

superiore Fra queste duo line a di sopra delis letiere terga e quarta della parota a ductu Qvedesiis se ora richiamo, e sui margine at rate sterno do medesimo recto u segno simile di richiamo, eguit da una postilla, come et a simile eguente di tali lineo segni e postilla. 3 Cio cho si legge ella presente pagina 6, lin. - , alia tema lettera dolia parota quadratum no in forma e sette lineo N-η della cartara recto de Codice Ambrosiano E. 75, Parte Superiora. Presso a questo ette lino sui margine laterat esterno della eclesima cartara recis trovas la figura riportata in a simiι ne margin laterale esterno della prosent pagina 6.

125쪽

Siduum, in qu maior excedit minorem, non erunt eadem quam habet maior numerus ad minorem Adiaceant duo

excedit minorem bis, et sit par numerus ais dic non esse ut ad bis, ita a s ad gis. Sed si possibile est, est a st ad gra, sicuti bis bis erit ergola superficiesque fit ex bis in Dd, qualis superficiei, que si ex a in bis. Sit ergo a e numerus superficialis, qui fit ex bi in Dd, et numerus D proueniat ex ata in bis equalis est ergo numerus ais numeroraci ex ductu autem et e in C proueniat o p. Numerus ergo qualis est numero qui fit ex ductu bis in f in ductum ex at in bi. Sit ergo ductus a b in Dd numerus, et i, et ductus at in biest Um maior est enim his quam es, cum maior sit numerus L quam Da ergo p equalis est numero qui si ιθ in k m. Est itaque numerus p factus ex ari in

m ergo numerus O p equalis est numero G. Sed o quadratus est, cum sit actus si duobus equalibus numeris, qui sunt eis, sta Ergo et C quadratus St. StenSum M. si moest superius in primo congruo inueniendo numerum , equalem esse numero Di maior est enim eri quam era ergo maior est minuam e ac accipiatur ergo ex numer l, numerus D equalis numer e a hoc est numer ka. Reliquus m equalis est numero a s addatur itaque superram numeru m o qualis numer m n et quoniam his duplus est numero stri, par erit k . Ex multitudine quidem imparium qui sunt ab uno usque in k, prouenit quadratu op Sunt enim circa numerum quare C est radix numeri o p. Rursus quoniam x in k m prouenit

126쪽

quadratus p . Sed quot unitates sunt in numero a s latimpares numeri sunt inter numerum En et numerum me; duplus est enim me numeri ci ergo quadratus

stat ex imparibus qui sunt interis, et Um 4). Ergo duo

quadrati constant ex omnibus imparibus qui sunt ab unitate usque in numerum me ergo numerus Oriquadratus est, et est duplus quadrati proporti ergo quadrati ad quadratum est sicut 2 ad 4 , hoc est sicut numori non quadrati ad numerum quadratum, quod est inconueniens. Non ergo proportio coniuncti as ad residuum d est sicuti ad ba, quod oportebat ostendere. Hom idem demonstraretur si numerus as esset impar, quia que proportio est numeri bis ad bla, eadem duplis ad duplumis a. Vndo numerus e et ostenderetur equalis numer C etc. Ex hoc enim ostendetur quod nullus quadratus numerus potest esse congruum quia si possibilo e set, etiam esset proportio coniuncti duorum adiacentium numerorum ad residuum, sicut maior eorum ad minorem. Quare subintelligitur multos numeros esse qui eo gruum esse non possunt; sed omni numerus potest esse

congruum, si ex diuisione alicuius congrui per ipsum proueniat numerus quadratus, uel si ipse fuerit unus ex IIII. ' adiacentibus, et reliqui tres fiant quadrati ut si ponamus. 9 et 36 qui sunt quadrati, et coniunctus ex

4 E chiar doversi tereor me in vecoratiram nolla linea quarta diquesta pagina 8. Tuttavia i testo latino de Liber quadratorum di Lo nardo Pisano ne codice Ambrosiano E m, Paris Superiore caris 3 verso,

127쪽

eis, scilicet 25. est quadratus, et aufferatur sis 46, ωmRnent. 7. qui. T. potest esse congruum multiplicatio quidem dupli de s in duplum e. 6. facit quadratum numerum, scilicet. 576. qui si multiplicetur per 5. aciet

iterum quadratum numerum , qui si ducatur per I saciet congruum ergo. T. ' eius pars erit quadrata Vol inuenire numerum quadratum , cui addita radice ipsius faciat quadratum numerum, et si ipsa radix aufferatur ab eo, remaneat similiter numerus quadratus.

Adiaceat congruum similiter cum suis tribus quadratis, qui sunt numeri ara, a s ὶ Quare congruum erit numerus 4 , eat , et diuidatur unusquisque quadratorum i ara, uis, a d per congruum bis, et proueniunt oeto numeri e , e , era, et constituatur super eo tetragonum eo, et compleatur superficiesrira, et a puncto aequidistans rectis ira et D protrahatur recta ara et quoniam numerus e a prouenit ex diuisione numeri a b perbi, et numerus e t prouenit ex diuisione numeri a s incongruum bis , numerus quidem ci prouenit ex diuisione

bis in se ergo ci est . Similiter, quia diuiso a d per congruum Dd, hoc est per bi, prouenit numerus era, et ex diuisione a Din Dd, prouenit ea. Ergo i proueniet et ex diuisione qui in m. Quare ih est similiter . . equalis

est ergo Di recte sis et quoniam super rectam e i constitutum est tetragonum est, et hi est . . Superficies itaque stra, uel sto, est radix tetragon era. Ergo super tetragonum 4 addatur eius radix, scilicet superficies stra, proueniet superfici ci h et si ex quadrato e Causseratur eius radix, que est Wa, remanebit superficies et quoniam ex diuisione numerorum ara et a s et id in aliquem

128쪽

numerum, scilicet in bi , prouenerunt numeri e , est, in Est ergo sicut a b d a g, ita eis ad era sunt enim qu drati numeri ab et a s ergo proportio numeri est sicut proporti quadrati numeri adlaundratum numinrum. Quare ex ductu e in eo proueniet quadratus numerus. Sed e t recte equalis est recta es, cum sit equalis recte kr, tetragonum enim est superficies eis ergo superficies est quadratu numeruS.

Similiter , quoniam proportio eria era , hoc est adera est sicut quadrati numeri ad quadratum numerum factus quidem ex numeris era, De quadratus erit, hoc est superficiesura Inuenctus est enim quadratus numerus era, cui addita radice, quo est Ara prouenit quadratus numinrus Ira . et si ex quadrato e Causeratur eius rudi , remη-nebit quadratus numerus e t. quod oportebat sacere. Similiter si oportuerit inuenire quadratum numerum, cui additis duabus radicibus, uel diminutis ab eo, fiat Seml P quadratus numerus , dividantur tunc adiacentes quodrati a b. d. a d. per dimidium congrui bis et proueniant numeri eis. Hi era, et erit numerus a i I. cui equabitur numerus quare unaqueque superficierum C et erit qualis duabus radicibus quadrati num ri et erit similiter proportio eo ad x t sicut quadrati a ba quadratum ais Quare numerus qui fit ex eo in amhoc est superficies e . quadratus est propter eandem et superficies scilicet numerus ih est quadratus inuentus

est ors quadratus cui additis duabus radicibus sciliret prouenit quadratus numerus ira et demptis ab eodem eis duabus radicibus scilicet i a remanet quadratus numerus sci ho idem intelligas i de tribus, uel plurum radicibus additis uel diminutis

129쪽

ET ut hec in numeris habeantur, quadratus a b sit. ., et quadratus ata sit. 25. quadratus quoque id sit. 49. erunt ergo congruum 4, uel g d. o. in quo dividantur 4 et 25 et 49, prouenietis a. - , et eri erit numerus quoque e Merit k . ex ductu quidem eo in se prouenit

quadratum e C, quod est cui si addatur id quod fit ex hi inih, scilicet Viri, proueniet cuius radix est Rhoc est j 3 similiter si auseratur hoc est in ex At

hoc est numerus is ex numero' e , remanebit pro Superficie e t is, quorum radix est i et Si Super quadratum aliquem proponatur addi et diminui duas radices duplicabis quidem numeros e a Di, era, prouenient , et ira et Ara. qui etiam prouenient si diuidatur. 4 et 5 et s. per dimidium congruum, scilicet perram, et sic

di quesiti quadrati erit ora, et sic intelligas de tribus, uel pluribus radicibus additis et diminutis.

Ounium trium quadratorum , qui sunt continui impares , maior quadratus addit super medium octo plus quam medius super minorem Adiaceant tres radices a b bis,

trium datorum quadratorum , qui sunt impares et continui, et sit radix a b minor quam bis, et bis minor quam di, dico quadratum, qui fit si numerui ,

addere octo plus super quadratum, qui fit si numero bis, quam addat quadratus qui sit a numero bi super quadratum qui fit si numero a b. Quare numeri ara, bis sis sunt radices trium continuorum quadratorum imparium impares quidem sunt et continui. Quare bi superhabundat a b in duobus , et in tot superhabundat numerus id numerum bi. Aufferantur ergo duo h numero bis remaneatque ex eo numeruib;

130쪽

propter eandem si a numero Dd ausserantur duo, scilicet numerus e d. remanebit qualis numero bis Rursus si h numero usseratur numerus 9 sequalis utrique numerorum a b De remanebunt duo pro numer se quare totus esto. Et quoniam num rusta e est id in quo numerus bis superhabundat numerum ara, et est eis duo addit ergo quadratus, qui fit numero bis super quadratum, qui fit si numer ara, duplum numerorum a b M , hoc numeri a st Similiter et quadratus, qui fit a numero Dd, addit super quadratum 4 duplum numerorum d ergo quot excedit duplum numerorum49,gd duplum numerorum ab bi tot excedit numerus qui est inter quadratos, qui sunt a numeris id, b, numerum qui est inter quadratos, qui fiunt si nummri s b, b a comuniter ausseratur duplum numeri bis, μι mkαιο quot i ergo Superhabundat duplum numeri duplum numeri ara, tot superhabundat numerus qui est inter quadratos, qui fiunt . numeris,s, s , numerum qui est inter quadratos qui fiunt a numeris stra, b a. Sed duplum numeri a b est sicut duplum numeri f ergo duplum numeri superhabundat duplum numeri a b hoc est duplum numeri iii duplo numeri id .Sed duplum numeri sed est octo, quaternarius est enim Dd ergo quadratus, qui fit si numero sis, addit ci super quadratum, qui fit si numer bis, plus quam addat quadratus quis . numero bis super quadratum qui fit . numero bis,

ut portebat Ostendere. E quoniam secundus quadratus impar, scilicet s. addit unum Octonarium super primum quadratum imparem,

scilicet super. . inuenietur ex his tertium quadratum imparem, scilicet 25 addere duos octonarios super se-