Opuscoli di Leonardo Pisano

31쪽

tome innatem e Secunda numeragione di pagine,

opere di Leonardo Pisano male musico de incola, decimiotereto Notitie accolle a m l dassarre Boncompagni, Socio orianario deu'hc-l cadmia

32쪽

XXVI

35쪽

bus quarumdam uestionum ad merum et ad geometriam uel ad utrumque pertinentium.

INTELLEcm, beato pator et domine uenerande R. dei gratia sce Mar. In Cosmidin diac Card dignissime, quod meorum operum copiam non receptiue saltim quod uos magis docebat, sod simpliciter petere fuistis per litteras uestre sanctitatis digninus nihilominus tamen stitionem ipsam

reuemnis suscipiens in mandatis, non solum parere uoto

uestro attegi douotius in hac parte, verum etiam do quarumdam solutionibus questionum si quibusdam philosophis somnissimi domini si eqsaris, o alijs per tempora mihi Oppositarum, et plurium que subtilius quam in libro maiori de numero , quem composui, sunt solute, ac de multis quas ipse me ad inueri ex diffusa quidsm multitudine compilans hunc libellum ad laudem et gloriam nominis uestri compositum florem ideo uolui titulari, quia illa nobis florida Clericorum elogantia radiantibus dictaui, atque etiam quia ibi nonnulle sunt florido quamquam nodos apposite

36쪽

questiones, tanque: geometrice quam arismetrice indBg tione uigili sic probabiliter enodate, ut ne dum non Solum floreant inse ipsis, immo et quod per eas, uelut ex radicibus plantule emergunt innumere questiones, quibus interdum uacare sidignabimi , poteritis si placebit inter curas et occupationes uestras ab Octiositate illa, que uiri tum est nouerca, uacando sub exercitatione ingenii, solatia otiam nec sterilia se ossiciosa captare. Si autem hoc uer a uestr clementi benignitate acceptari, quicquid amen subtilitatis uel utilitatis ulierius adinvenem, eidem operi, ut uestram merear gratiam adipisci, obnoxius cumulabo, eadem et me ipsum correctioni dominationis uestro affectuosius supponendo E sirit missus inoi is arus ei dem. CVM coram maiestate uestra gloriosissime princeps F derice, magister Iohannes panormitanus phylosophus u ster, pisis mecum multa de numeris contulisset, interquo duas questiones, que non minus ad geometriam quam ad n morum pertinent, proposuit Quarum prima fuit ut inueniaretur quadratus numerus aliquis cui addito uel diminuto quinariori numero, egrediatur quadratus numerus, quem quadratum numerum, ut eidem magistro Iohanni retuli,

inueni esse hunc numerum undecim et duas tertias et centesimam quadragesimam quartum unius. Cuius numeri r dix est ternarius et quarta et e unius. Cui quadrato mmero si addantur quinque prouenient xvI. et due tertio et una centesima quadragesima quarta, qui numerus est quadratus. Cuius radix est quatuor et una duodecima Itom

37쪽

si auferantur. v. ab eodem quadrato numero, remanebunt et due tertie et una centesima quadragesima quarta, qui numerus etiam quadratus est. Cuius rudi est duo et tertia et quarta unius. Et cum diutius cogitassem unde oriebatur predictet questionis solutio, inueni ipsam habere originem ex multis accidentibus, que accidunt quadratis numeris, et inter quadratos numeros quare hinc sumens materiam libellum incepi componere ad uestre maiestatis celsitudinis gloriam, quem libellum quadratorum intitulauicio quo continebuntur rationes et probationes, geometrice solutiones questionis predictet, et multarum aliarum questionum solutiones, quem hahere poterit uestra immonsitas, si celsitudini uestre placuerit. ALtera uero questi si predicto magistro Iohanne proposita fuit ut inueniretur quidam cubus numerus, qui cum suis duobus quadratis et decem radicibus in unum collo-ctis essent uiginti super hoc meditando putaui huius questionis solutionem egredi ex his que continentur in . . lib.'Euclidis, et ob ho super ipso. Euclidis accuratius studui, adeo quod sinteorqmata ipsius memori commendaui, et ipsarum intellectum comprehendi. Et quia dissicilior est antecedentium et quorumdam sequentium librorum Euclidis, ideo ipsum in librum glosare incepi, reducens intellectum ipsius ad numerum, qui in eo per lineas et superficies demonstratur; qui liber. . tractat de diuersitatibus XV. L. Xvlinearum rectarum, quarum. V. linearum due uocanturrite seu ratiocinate.

Relique Iu dicuntur alogo siue inratiocinate. Ex his duobus ritis, una dicitur riti seu ratiocinata longitudine et potentia. Alia uero potentia solum. Per primam ex his duabus intelligitur numerus qui potest numerari, ut unus duo tres et ceteri uel partes unita-

38쪽

tis, ut medietas tertia et quarta et octore senetiones, qui μοι. irret omnes sun radices inuadratorum numerorum. Per secumdam intelliguntur radices numerorum ratiocinatorum non quadratorum, unde potentia earum radicum numeratur, et

ipse radices numerari non possunt: Et ideo uocantur' XIlI i. meri surdi Et ex xiv. - predictis lineis prima est simplo, que uocatur media, per quam intelligitur radix radicis n. meri non quadrati. Et ex reliquis, sex sunt radices num rorum binomiorum, hoc est duorum nominum. Relique sun radices recisorum. Ex duobus quidem nominibus sunt numeri compositi ex numero et radice, uel ex duabus dicibus, que compositio fit sex modis. Recisus quidem n merus dicitur residuum, quod est inter numerum et radicem, uel inter duas radices, quod etiam sit sex alijs modis,

ut Euclides dicit.

Et cum studiose super hos quindecim numeros, et 1 per eorum diuersitates cogitarem, inueni nullum ipsorum congruere posse uni ex x radicibus supradictis, quo cum duobus quadratis et cubo sint xx. ut in sequentibus M motries demonstratur.

Aniaceat quidem lino a pro una ex dictis decem radicibus, cui applicetur superficies recti angula b d latitudinem faciens rectam di, quo sit x. Et recte quidem bis aplicetur superficies rectiangula sis equalis cubo, qui fit

numero a b.

Rursus recte e a plicetur palilogramum sis Orthogο-nium D equule duobus quadratis, qui fiunt a numero ais: erit ergo tota ara superficies rectiangula et equalis XX , Sunt enim anguli a bis oti bis moti . Quare indirecto ι linea b e

39쪽

li eis a Similiter domo trahitur indirecto esse linea e lineo ei. Quare iota ari linea recta est et conιinua. Similitero linea da est recta, paralilogramum ergo est superficies αι, et est orthogonium, cum omnes anguli ipsius sint recti. Et

est X una queque linearum a d bi, a i . Verum qu niam linea ara est una ex suprascriptis. . radicibus, erit

superficies a st equalis x radicibus predictis, cum linea bisit. X. Siquidem et superficies Mamst equalis cubo, qui fit firadico a b et superficies itaque eri est equalis duobus quadratis, quorum unusquisque sit ab eadem radice a b. Ergo

tota superficies ara continetur ex uno cubo et ex duobus quadratis et x radicibus, qui omnes coniuncti esse XX pr ponuntur. Quare superficies aes est xx. Et quoniam unumquodque laterum a dis ira est x erit unuquodque sicin laterum a i et Q duo. Cum superficies Q sit xx. Dico

primum itaque radicem a b esse non posse e numeris M. ..r tiocinatis neque in radicibus ratiocinatorum, uel ex radicibus radicum ratiocinatorum, seu ex sex numeri coniunctis, aut ex sex numeris residuis suprascriptis, neque ex

radicibus coniunctorum uel recisorum. Et si possibile est, esto primum radix ara ex numeris, qui sunt ratiocinati longitudine et potentia. Et quoniam tota mi est duo, et a b minor est quam ii ergo radix ara minus est binario. Et quia positum est ipsam a b esse ex numeris ratiocinatis aut enim est integer numerus a b aut fractus est prius integer si est possibile. Et quoniam nullus numerus integer est minor binario nisi unitas, erit ergo radix a b unum Quam suporficies bis erit x et cubus, qui fit ab unitate ad scilicet superficies sta erit unum. Item et duo quadrati, qui sunt ab unitate ara, scilicet superficios iis erit duo,

40쪽

quare tota superficies a Derit. Iu tantum sed superfici est xx. Non ergo radix a b est numerus integer. Similiter ostendetur quod numerus a b non est is ctus. Si fractus enim est numerus a b cum cubicatus μιηegrediuntur ex illa cubicatione fractiones, et fractiones is otionis, et fractiones ractionis fractionis, et cum multiplicatur in se numerus a b si est Dactus, egreditur X duplo multiplicationis eius ractio fractionis, uel fraction fractionis. Et cum multiplicatur idem numerus ruptus, scilicet a b in bis scilicet in x. egredietur quando INBfractio uel hactiones tantum, et quandoque egredietur numerus integer ex ipsa multiplicatione. Cum itaque multiplicatur a b in bis prouenit numerus bis. Et cum cubic tu numerus a b prouenit numerus bis. Et cum duplicatur multiplicatio numeri a b inso prouenit numerus e . Ergo si fractus est numerus a b occurrit quandoque in numero b d fractio aliqua, uel fractiones tantum, et in numero quidem bis occurrunt fractiones et fractiones fractionis, et fractiones fractionis fractionis, et in numero quoque ι Occurrunt fractiones et fractiones fractionis tantum. Vndo si coniungantur fractiones que sunt in numeris bra et

bis et ari, nunquam ex ipsorum coniunctione poterit numerus integer procreari. Quare si fractus est numerus ara, fractus erit numerus dri, qui est xx. quod est inconveniens Et si numerus md est sine seactione, reliquus bu erit similiter sine fructione, cum totus numerus a i sit. XX. quod non proueniet cum in numer sint fractiones, et fractiones ractionis, et in numeri a sint fractiones, et fractiones fracti nis, et fractiones fractionis Dactionis. Non om fractus at numerus a b neque integer.