Opuscoli di Leonardo Pisano

51쪽

linea ara, ut demonstratum est, non est aliqua ex quindecim ἀο uer o

lineis, de quibus fit mentio in . .'euclidis ut predixi. Et quia hec questio solui non potuit in aliquo suprascriptorum, studui solutionem eius ad propinquitatem reducere. Et inueni unum

ex x radicibus nominatis, scilicet numerum ara, secundum

propinquitatem esse unum et minutR. XXII. et SecundB. VII. O tertia. LIi et quarta. XXIII. et quintB. IaI. et SextR. XL.

De tribus hominibus pecuniam comunem habentibus. TREs homines habebant pecuniam comunem, de qu medietas erat primi, tertia secundi. Sexta quoque pars tertii hominis, et cum eam in tutiori loco habere uoluissent, ex ea unusquisque cepit fortuitu, et cum totam ad tutiorem locum deportassent, primus ex hoc quod cepit posuit in comune medietatem , secundus tertiam , tertius sextam, ut cum ex hoc quod in comune positum sui inter se equaliter diuisissent, suam unusquisque habuit portionem queritur quanta fuit illa pecunia, et quot unusquisque ex ea cepit. Hec itaque questio, domine serenissime imperator, in palatio uestro pisis coram uestra Biestates magistro Johanne pa- normitano mihi sui proposita. Super cuius questionis solutionem cogitans, tres modos in soluendo ipsam inueni, quos in libro uestro, quem de numero composui, pcttenter inserui. Sed cum nuper solutionem eiusdem questionis intenderem. lium nimis pulchrum modum inueni, quem Serenitati uestre pandere , de uestra benignitate confisus. curaui. Sed antequam ad eius solutionem ueniam , quedam introductoria uestre maiestati proponere dignum duxi. Vi-

dolicet cum de aliqua re medietas tollitur, illa medietas equalis est relique medietati que remanet. Similiter si de aliqua re tertia tollitur pars ipsa tertia reliquarum duarum

52쪽

tortis rum, que remanent, existit medietas. Rursus cum de

aliqua re tollitur sexta pars illa sexta pars reliquarum quinque sextarum quinta pars est. His itaque denotatis pro qualibet tertia parte quantitatis, ab ipsis tribus hominibus posite in comuni, posui rem Et quia proponitur unusquisque habita ipsa re, suam habuisse portionem ex necessario sequitur , post illud quod ipsi tres posuerunt

in comuni, primo remansisse totius comunis pecuni in dietatem minus ipsa re. Secundo tertiam minus eadem re Tertio homini sextam eiusdem pecunae partem , eadem rediminuta, et quia primus posuit in comune medietatem ex toto eo quod ceperat, et illa medietas fuit equalis r siduo quod ei remansit, si duplicabitur ipsius residuum, scilicet medietas dici pecuni minus re, habebitur ro' et r.eι tot eo, quod ipse primus homo cepit, totari pecunia semel minus duabus rebus. Item quia secundus homo posuit in comune tertiam partem ex hoc quod ceperit, et illa tertia pars sui medietas eius quod ei remansit, scilicet de tertia parte totius pecuni minus re , si super ipsam tertiam partem dicte pecuni minus re addatur medietas

corum , scilicet Sexta pars eiusdem pecuni minus medietato rei egredietur pro toto hoc , quod cepit secundus homo, medietas totius pecunie, re una et dimidia diminuta. Adhuc quia tertius homo ex hoc quod cepitio a sui in comune sextam partem, et illa sexta pars fuit quintum sui residui, scilicet sexte partis totius pecunio

minus re, si super ipsam sextam partem minus re add tu quinta pars eorum , scilicet xxx. pars pecuni minus quinta parte rei, habebitur pro hoc, quod cepit tertius homo , quinta pars dici pecuni', re una et quinta rei diminuta. Quare si addatur tota pecunia minus duabus re-

53쪽

bus, quam cepit primus, cum medietate eiusdem pecunis minus una re et dimidia, quam cepit secundus, et cum quinta parte eiusdem pecuni minus una re et quinta unius rei, quam cepit tertius, habebitur pro tota eorum pecunia semel eadem pecunia et septem decim eiusdem pecunieminus I. ' rebus et septem decimis unius rei. Quare patet, quod septem . . totius pecuni equantur quatuor e s. sca eq''bus et septem decimis rei. Et quia est sicut una quantitas ad aliam, ita quodlibet multiplex unius ad idem multi Decu. μ 16 plex alterius, erit ergo decuplum septem decimarum Sep. toli' eiusdem pecunie, scilicet septuplum eiusdem pecunie, equale decuplo quatuor rerum et septem decimarum, scilicet rebus x up unde Si ponatur rem AESSe VII. OtR Pecunia erit. LVII. , quia septuplum ipsius pecunie, scilicet de XLVII., equBbitur. LVII. rebus, scilicet multiplicationide LVII in VII. Nam Septie XLVII. Sunt Munntum XLVII. vicibus VII. et quia primus cepit totam pecuniam minus duabus rebus, si de tota Pecunia, que St. XLVII. , Buserantur 2 res, Scilicet. IIII. remanebunt xxx, pro eo 2 '' i

quod cepit primus homo. Item quia secundus cepit medietatem eiusdem pecuni minus una re et dimidia, si de medietate pecuni que est xxii l sic auferatur res una et dimidia, scilicet x , remanebunt. Ili pro eo quod cepit secundus homo. Rursus quia tertius homo cepit quintam partem dici pecuni minus re una et quinta Si de quinta parto totius pecuni que est auferatur res et quinta pars rei, scilicet ira, remanebit pro eo quod cepit tertius homo Additis ergo 33 que i cepit primus homo cum 3 obi. rvreaoque cepit secundus ei cum uno quod cepit tertius, erunt O , ut pro tota pecunia inuentum fuit Verbi gratia, de 33que caepit, primus posuit in comune medietatem , scili-

54쪽

cet j 6, et remanserunt ei alia , 6. Secundus uero h m de suis 3 que copi posuit in comune tertiam n tem scilicet o et remanserunt ei Tertius namque homo de uno quod cepit posuit in comune sextam nrtem, scilicet punius, et remanserunt ei unius Additis ergo 36, que posuit primus homo in comuni, et p. que posuit secundus unius quam posuit tertius, egredientur pro tota Summa 2 , quorum tertia pars, que est , si addantur

cum 36, que remanserunt primo, et cum S , que remanserunt secundo, et cum punius, que remanserunt tertio,

habebit primus homo medietatem totius pecuni scilicin, 23. Et secundus homo habebit tertiam partem eiusdem pecu-nte, scilicet φ 46, et tertius homo habebit sextam partem eiusdem pecunio, scilicet T. Et sic secundum hunc modum solutiones similium questionum de lacili haberi possunt. De quinque numeris reperiendis eae proportionibus datis. MLvis etiam per consimilem modum utramque questionem, qua per obertinum agglu sie domnicellum uestrum uestre maiestati transmisi, quarum prima sui de quinque numeris, ex quibus primus cum medietate secundi et terti et quarti facit quantum secundus cum tertia parte terti et quari et quinti numeri, et quantum tertius cum quarta parte quari et quinti et prim numeri, nec non et quantum quartus cum quinta parte quint et primi et secundi numeri, et adhuc quantum quintus numerus eum sexta parte prim et secundi et terti numeri. Ad hoc

itaque inueniendum, posui pro primo numero cauSam, tPro quinto rem, et pro numero, in qu subscriptis Onditionibus sibi inuicem quantur numeri predicti, fortuitu posui quia primus numerus, quem causam Mis

55쪽

posui, cum medietate secundi et terti et quarti numeri surgit in P, Opportet inter secundum et quartum numerum esse duplum de T minus causa, scilicet ominus duabus causis, quia medietas dera minus duabus causis est a minus causa, que si addantur cause scilicet prim numero, faciunt T deinde super 3 minus duabus causis, que sunt summa secundi exterii et quarti numeri, addidi rem, scilicet quintum numerum, et suerunt in summara et res minus duabus causis, de quibus extraxi dragmas I scilicet quantitatem secundi numeri, et tertie partis terti et quarti et quinti numeri, remanserunt pro duabus terius torti et quarti et quinti numeri dragme I, et res una minus duabus causis et quia cum do aliqua quantitate aufertur tertia pars illa tertia pars l est hi ' medietas residui, quare super I et rem minus duabus causis, addidi medietatem eorum, scilicet et medietatem rei minus una causa, et sui totum illud quod concretum est 25 et res una et dimidia minus tribus causis, et hec est summa tertino quarti et quinti numeri, quam extraxisti ex summa secundi et terti et quarti et quinti numeri, scilicet de dragmis 3 et re una minus duabus causis et sui illud quod remansit pro quantitate secundi numeri dragme AE et causa una minus medietate rei. Deinde cum summa torti et quarti et quinti numeri, scilicet cum dragmis si re una et dimidia minus tribus causis, addidi primum numerum, scilicet causam et habui dragma 25, et rem unam et dimidiam minus duabus causis pro quantitate terti et quarti et quinii et primi numeri, de qua quantitate extraxi dragmas T, scilicet tertium numerum et quartam partem quarti et quinti et primi numeri, et remanserunt pro tribus quartis quarti

56쪽

et quinti et primi numeri dragmo et res una et dimidia minus duabus causis. Et quia cum de aliqua quantitate tollitur quarta pars illud quod tollitur est tertia par ex eo quod remanet, quare super , 8 et re una et dimidia minus duabus causis addidi tertiam partem eorum, et sic habuit pro summa quarti et quinti et prim numeri dragmas 4 et duas res minus causisAra, quam Summninextraxi de summa terti et quarti et quinti et primi numeri, scilicet de 45 et o una et dimidia minus duabus causis et remanserunt pro quantitate terti numeri dragmo i 4 et due terti unius caus minus medietate unius rei. Deinde ex summa quarti et quinti et prim numeri, scilicet de dragmis et duabus rebus minus causis V2, et extraxi

quintum et primum numerum, scilicet unam rem et unum cauSam, et remanserunt pro quantitate quarti numeri

dragme et res una minus causis ra. Et quia quartus numerus cum quinta parte quinti et primi et secundinumeri facit dragma Aggregaui quintum et primum

et secundum numerum , scilicet rem et causam et dramas , 8 et causam unam minus medietate unius rei, et

sic pro summa quinti et primi et secundi numeri habuidragma et duas causas et medietatem rei, de quibus omnibus accepi quintam partem , scilice draginas i et unius caus et decimum partem unius rei, et ggregaui hoc Super quantitatem quarti numeri, scilicet super et re una minus causis et sui hoc totum dragme is 3 et res una et decima minus causis que quanturm sm-r o dragmis et quia cum equalibus equalia adduntur

omnia fiunt equalia, si utrique parti addantur cause Ara erunt dragme et unius si quales causis

57쪽

e fragmis et quia cum ab equalibus equalia auferuntur que remanent sunt equalia, si ab utraque partu auseruntur dragme i, 43, remanebunt unius rei quales causis ii 3 et dragmiso minus xxx unius dragmq. Quare ut reducerem hec in equalitatem unius rei tantum, multiplicaui causas i 3 dragma 4 minus xxx per 40, et diuisi utramque muni plicationem per et inueni quod re una quatur causis 3 minus xxx' tertia parte unius caus et dragmis 3 seruaui hec et addidi primum numerum cum Secundo et tertio , scilicet causam unam cum draginis m, et causa una minus medietate rei, et cum dragmis ira o duabus terius unius cause minu medi tate unius rei, et habui dragmasI 22 et causas j 2 ei minus una re, de quibus omnibus accepi Sextam partem, et addidi eam super quintum numerum, scilicet Super rem, ut sui totum illud quod inde aggregatum est i unius rei et Dunius causo et dragme4 3, que quantur draginis quare ab utraque parte extraxi dragma j 3, et remBnSerunt i unius rei et unius causΥ, que equuntur dra-gmi , 3, quo ut reducerem ad qualitatem unius rei multiplicaui per a unius cause o dragma peris, et quod ex utraque multiplicatione peruenit diuisi per 5, ut habui quod res una et o unius caus equantur drR-gmis i t. Superius enim inueni quod res una quatur tribus causis minus xxx tertia parte unius caus et dra-gmis quare cause 3 minus unius cause et dragme quantur dragmis ii 5. Nam ouus 3 inu is uniu cause et δε eiusdem cause sunt in summa

58쪽

hominis quatuor tertio unius rei minus sexta unius humeet medietate unius dragme, super que addam dragmam scilicet quantitatem primi hominis, et habebunt inter quartum et primum hominem quatuor tertias unius rei M. a re, et medietatem dragm s minus sexta parte unius urse, quod totum quadruplicabo, et prouenient quinque re et tertia et dragm 2 et minus unius urse, que e luantur coniuncto quantitatis terti hominis et bur . Nam tertius homo habet, ut superius inuenctum est, medietatem burs et unius dragmq, re una diminuta, quibus si addatur bursa, erit burs una et dimidia et medietas dragine minus una re, que quantur rebus et dragmis 2 minus φunius burse, quare si communiter addanturAunius burse ἰet res una, erunt umeri 2 et medietas ragm , queequantur rebus , 6 et dragmis . Quare si communiter auferatur medietas ragmq, remanebunt v unius urse, que quantur rebus et dragme Quare, ut redigantur hec ad quantitatem unius urse, multiplicabores et draginam per . et egredientur 38 res et dragmo diuidende per l, exibunt res 3 minus o et Aunius dragme, que quantur uni urse, seruabo hec et addam ursam cum quantitate quarti hominis, scilicet cum unius rei minusci unius urse et medietate unius dragmo, et habebora unius rei et unius urse minus medietate unius dragm', que quantur quincupi quantitatis primi et secundi hominis, qui habent dragmam et rem, e quorum quincuplo proueniunt quinque res et quinque dragme, ergo unius rei et i unius urse ianus medietate unius dragmo quantur quinque rebus et quinque dragmis. Quare si communiter addatur medietas

59쪽

dragino, erunt 3 unius rei et unius urse quales quinque rebus et dragmis 4. Quare si comuniter auferatur unius rei remanebunt res I et dragmerii, que equantur iunius hume, quare, ut redigam hec ad bursam unam, multiplicabo res ira et dragmas ra peri, et egredientur res 22 et dragm 33, quas diuidam per 5 et uenient res et

dragme is, que equantur burse Inuenctum est superius quod tres res minus , unius rei et i unius 4ragmqequari sie uni burse, ergo res ira et dragme AE equantur tribus rebus minus o unius rei et I unius dragme, quod est impossibile. Quia res sunt plures rebus ora, et dragmo ii sunt plures de A unius dragme. Vnde si concedatur primum hominem habere debitum, inuenietur secundum hanc investigationem quod res io minus dra-gmis AE equantur rebus P minus I unius dragine. Vnde si communiter auferantur Aonius dragmo, remanebunt res lira, que quantur rebus ira minus draginis Ira Quare . 5 si communiter addantur dragme ira, remanebunt res o que equantur rebus ἰ 2 et dragmis i , 5. Quare si ' i'r qtqcommuniter auferantur res Ara remanebunt res queequantur dragmis G 5. Et, ut hec habeantur in integris numeris, multiplicabo utrumque numerum per 65, et egredientur res 96, que quantur draginis 38ι. Ergo proportio rerum ad dragmas est sicut 6 ad 38ι, que proportio in minoribus numeris est sicut ad M, ergo res unaequatur quatuor dragmis, unde si ponam rem esse . scilicet quantitatem secundi hominis, erit debitum primi big. . Et quia inuenimus superius quod ursa quatur rebus raminus dragmis 6, si de rebus ira , quo sunt bi2 auserantur dragme iis, hoc est hiet. romanobunt

60쪽

pro bigantia burso, et quia tertius homo habet medietutem urse minus medietate ragme et re una, si de m dietate burse, scilicet derii, auseratur res una et medi ta drame, scilicet , , remanebit big. 4 pro quantitate terti hominis Rursus quia quartus homo habeo unius rei et medietatem unius dragme minus sexta parte unius burae, si de inius rei et de medietate unius drame, scilicet de i5, auseratur sexta unius urse, scilicet hiet remanebunt ι pro bigantsi quarti hominis.

De eadem re .

SUPER similes quidem quatuor hominum questiones, in quibus multiplicia que habent cum ursa ponuntur ex ordine super quantitatem, quam habent super duos homines sibi inuicem sequentes, inueni hanc generalem, uidelicet ut pro radice quantitatis secundi hominis habeantur , et pro radice burae habeatur 4 deinde numerus multiplicitatis primi et burs quam habent super secundum et tertium hominem , addatur super radicem secundi hominis , et habebitur quantitas eius, et quartus homo habebit totidem et tertius homo habebit semper et debitum primi erit semper. Deinde quot unitates sunt in multiplicitate predicta, tot numeros pares 4 quaternario incipiendo , addantur simul ex ordine, et quot inde prouenient addatur super radicem burae, scilicet super , et habebitur quantitas burae. verbi gratia habeat primus cum bursa quadruplum secundie tertii secundus uero habeat quincuplum tertii et quarti Tertius namque sexcuplum habeat quarti et primi. Quartus . . quoque habeat cum iurea septuplum primi et secundi.