Opuscoli di Leonardo Pisano

41쪽

Ostendam rursus impossibile esse quod numerus a b m ammio sit radix alicuius numeri ratiocinati ducatur quidsm a bin se, et proueniat numerus I, et ex bis in bis prouenit superficies rectiangula ara que superficies est equalis cubo, qui fit a numero a b. Quare superficies D equalis est superficiei bis Equalium uero et unum uni equalem habentium angulum parallilogramorum contrarie potiuntur latera, que circa equales angulos subtenduntur, ut in VI. ' Euclidis r peritur. Ergo est sicut stra ad bin, ita a b a b e. Et cum quatuor quidem quantitates proportionales sunt, ueritque sicut prima ad secundam, ita tertia ad quartam, et prima fuerit secunde commensurabilis, et tertia quarte comme surabilis erit, ut in x. Euclidis reperitur. Est enim recta a b radix numeri Quare quadratus qui fit ab ea scilicet numerus bis est ratiocinatus, et stra est decem, qui est ratiocinatus, ergo primus numerus commensurabilis est secundo M. Quare et a b numerus numero b commensurabilis est. Est enim a b radix numeri ratiocinali Quare et bis est radix numeri ratiocinati. Et quia a b commensurabilis est bis, erit ergo ara toti ais commensurabilis. Quare a e est radix numeri ratiocinati et est commensurabilis potentia solum toti ii numero, culicet inurio Quare si a binari ari auseratur radix a , qui sunt potentia solum ratiocinati, romanebit abscisio, Sive recisum, quod inratiocinatum esse ab Euclide in x. demonstratur. Sed quia ex ductu a b infe r uenit numerus ratiocinatus, scilicet dimidium superficieis , erit ergo tota superficies eri ratiocinata, cuiu unum

3 Vedi Fig. 2.

42쪽

latus rati hiatum, quod est decem. Quare lutusci est ratiocinatum, quod superius ostensum est esso in

ratiocinatum. Vndo impossibile est quod radix ara sit radix

numeri ratiocinati, ut predixi. Aliter, quia linea a e est radix numeri ratiocinati ut ostensum est, et linea e a est numerus ratiocinatus, erit superficies, e radix numeri, e superficies eo estis merus ratiocinatus. Quare tota superficies, i constat ex numero in ratiocinat et ratiocinato, quod est inconueniens

cum superficies do sit xx. Amplius dic quod radix a b non os radix radicis alicuius numeri; sed si possiabile est, esto ab radix radicis alicuius ratiocinati, e ex M. aurem ductu item proueniat bis, et ex ara in bis prouenit superficies Wa, que est equalis su rficiei bis hoc est cubo, qui fit a radice a b. Quare est sicutis ad bra, ita et a b ad bis. Et quoniam a b est radix

radicis numeri ratiocinati, erit ergo in radix radicis meri ratiocinati. Quare et bis numeri commensur biles sunt potentia solum, et a b et bis commensurabileamn similitor potentia tantum Media enim est linea a b. hoc est radix radicis numeri ratiocinati Media ergo Britet linea bis, et incommensurabilis lines bis longitudine Quare tot a e sit ex duabus medijs potentia solum commensurabilibus, ergo a e est una ex duabus bim dialibus lineis, scilicet radix unius ex compositis nu- moris supradictis. Item o ductu a b inse prouenit dimidium superficiei e , scilicet superficiescit, que Superficies plicata est line ratiocinatera , que est quinque

43쪽

Ε quia quod si media secundum ritim et ductum latitudinem facit ritim et incommensurabilem ei cui adiacet longitudine Rit ergo est mota eri, et incommensurabilis recte is longitudine, ergo radix numeri ratiocinati est linea si et est incommensurabilis lineo a i longitudine,

tentia enim solum sunt commensurabiles. Quare reliquum a s recisum est, hoc est abscisio. Nulla enim abscisi est binomia, ut in eodem P reperitur. Quare cum superius ostensa sit linea a e esse bimodialis, que modo inuencta est abscisio, et quia nullum recisum bimediato, constat lineam a b non posse esse radicem radicis numeri rati cinati, quod opportebat ostendere. Ostendam rursus unam ex predictis radicibus, scilicet lineam ara esse non posse aliquam ex lineis compositis, uel depositis, nec ex earum radicibus. Sed antequam ad huius rei probationem perueniam, uolo proprietates ipsarum line rum denotare. Per primam quidem ex sex lineis compositis m intelligitur compositum ex numero et radice, cuius numeri potentia superhabundat potentiam radicis secundum quantitatem alicuius numeri quadrati ut si componatur quatΘ narius cum radice septenarii, potentia quatemarii est Vi., et potentia radicis de vi est VII, et sic potentia quatern ri addit vitii, super potentia radicis de v, qui nouen rius quadratus est, et eius radix est ut Per Secundam uero intelligitur compositiora radicis et numeri, cuius risdicis . . ..ta quadratus potest super quadratum ipsius numeri secundum quantitatem alicuius numeri habentis proportionem ad quadratum ipsius radicis, eam quam habet quadratus nu-

4 Sopra lasarota Riti, ne codice Ambrosiano E. 75 Paris Superiore, trovas in carattere pili piccola s. recinata.

44쪽

merus ad quadratum numerum, ut si maius nomen sit radix de. XII, minus sit. VII., uno residuum quod est simu drato septenarii, scilicet si M. uu in c. H. idest LXIII., habet proportionem ad cxv. sicut quadratu numeruS. VIIII. 3, ad quadratum numerum. VI. Per tertiam quoque intellia gitur compositio duarum radicum diuersorum numerorum non habentium proportionem adinvicem sicut quadratua numerus ad quadratum numerum, et maius nomen potest

plus minore, quod a commensurabili sibi longitudino hoo est quod difforentia que est inter utrumque quadratum ipsarum radicum habeat proportionem ad quadratum mai

ris rudicis, sicuti quadratus numerus ad quadratum num rum ut si primum nomen fuerit radix de. VIII., secundum . ., differentia que est a XVIII usque in X., scilicet VIII.,

habet proportionem ad xviii. eam quam habet quadratus

numerus. n. ad quadratum numerum. VIIII.

... Per quartam siquidem intelligitur compositum ex numoro ει radice, qui numerus potest plus ipsa radico, eo quod ab incommonsurabili sibi longitudine, hoc est quod differentia, que est inter quadratum ipsius numeri et quadratum radicis,

non sit quadratus numerus, ut accidit do quatamario et radis . ce sonarii Per quintam autem intelligitur compositum ex radice alicuius numeri non quadrati, o ex aliquo numero, in quo quadratus radicis potest plus quadrato illius numeri secundum quantitatem numeri non habentis proportionem ad quadratum radicis sicuti quadratus numerus ad quadratum numerum, ut compositum ex radice sonarii et ex binario. vi Per sextam namque intelligitur compositum ex duabus radicibus diuersis, quarum maior potest plus minore secundum quantitatem numeri non habentis proportionem ad quadra-

45쪽

tum maioris radicis, sicuti quadratus numerus ad quadratum numerum, ut est compositum ex radice octonari et radice quinarij morum quippe sex binomiorum radices habe tu ex ordino sic Primi quidem binomi redi est aliqua p ex predictis sex lineis binomiis, quia cum multiplicatur numerus binomialis inm, nimirum ex ipsa multiplicatione primum binomium surgit Radix quippe secundi binomii

p. dicitur bimediatis prima, que componitur ex duabus B. dicibus radicis potentia solum commensurabilibus i num N. . .. rum continentibus, hoc est cum multiplicatur una earum in aliam prouenit inde numerus ratiocinatus, ut si prima suerit radix radicis de viii et alia radix radicis duorum, prouenit ex earum multiplicatione radix radicis de XVI. , scilicet n. Tertu autem binomi radix est lino que dicitur ii 3. 2. bimediatis secunda, que componitur ex duabus radicibus radicis potenti solum commensurabilibus medium. scilicet radicem numeri, continontibus, hoe est cum multiplicatur una earum in aliam, id quod prouenit est radix numeri non quadrati, ut si prima fuerit radix radicis. n. Secunda radix radicis trium, ex quarum multiplicatione surgit in radicem manaru scilicet in radicem radicis de xxxvi. Quarti quoquo binomi radix est linea que i. . 'dicitur maior, quo componitur ex duabus lineis potentia L uincommensurabilibus, quarum quadrati insimul coniuncti s ciunt numerum ratiocinatum, et ex multiplicatione unius in aliam prouenit numerus inratiocinatus, scilicet radix numeri. Vt si prima fuerit radix de ulI., et ex radice

de XIII. et alia fuerit radix de IIII., minus radiosis. Iul.

Quinti siquidem inomi radix est linea que dicitur ritonet medium potens, hoc est super ratiocinatum et inratiocinatum numerum, que componitur ex duabus lineis p

46쪽

ientia incommensurabilibus, quarum quadrati insimul iuncti faciunt radicem numeri, et ex multiplicatione unius in aliam prouenit numerus ratiocinatus. Vt si prima suerit radix radici de xx. et ex duobus, et alia suerit radix de xx minus. H. Sexti autem binomu radix est linea quo dicitur potens super duos inratiocinatos numeros , quo componitur ex duabus lineis potentia incommensurabilibus, quarum quadrati insimul iuncti faciunt numerum inr tiocinatum, et ex multiplicatione unius in aliam surgit similiter numerus inratiocinatus, ut si prima suerit radix radici de xx mi et de radice de vii. et alia fiat radix

radici de xxim minus radice de VII. hoc est cum multiplicatur prima ipsarum duarum linearum inse prouenit radix de xxIIII et radix de VII. et cum multiplicatur secunda inse prouenit radix de HIIII minus radice de VII. Similiter. I. numeri, qui dicuntur recisi se apothami imitantur seriem sex binomiorum suprascriptorum o dinate. Nam primum recisum constat ex numer minus radice. Secundum ex radice minus numero Tertium ex radice minus radice. Quartum constat ex nominibus pri-μι s ista mi l Quintum ex nominibus secundi. Sextum ex nominibus tertij. Sed in tribus prioribus recisis maiora nomina γ

sunt plus minoribus eo quod a commensurabili piscisse longitudine in reliquis, quod ab incommensurabilibus.

Nam radix primi recisi est aliquod suprascriptorum cisorum Radix uero secundi est recisum bimodialis prime. hoc est radix radicis minus radice radicis, ex quarum multiplication prouenit numerus ratiocinatus. Tertii autem radix est recisum bimediatis secundi, hoc est radix radicis minus radice radicis, ex quarum multiplicatione prouenit numerus inratiocinatus. Quarti quoque

47쪽

cis radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas, que sunt potentia incommensurabiles ex quibus componitur linea maior. Quinti limus recisi radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas potentia incommensurabiles, ex quibus componitur linea potens super ratiocinatum et inratiocinatum. Sexti namque recisi radix est que constat ex residuo quod est inter duas lineas potentia incommensurabiles, ex quibus componitur linea potens super inratiocinatum eis et inrati cinatum his omnibus terminatis dico nullum ex predictis numeris posse congrui uni ex x radicibus suprascriptis. Ad que demonstranda siterabo figuram. Et si possibile est numerus ab in qui est una ex x radicibus suprascriptis,

si unum ex IIII. binomiis qui componuntur ex numero ratiocinato et radice numeri non quadrati, et diuidaturnum rus a b in nomina, et sitis e numerus, et eis sit radixis mori. Et multiplicetur bis inse, et proueniat bra, et exara in D prouenit superficies a st que est equalis superficiet xx, scilicet cubo qui fit si linea a b Comuniter sid

datur superficies dis, erit tota superficies dis equalisis perficiei a st que superficies continetur ex numero et dico tantum, ut insequentibus demonstratur. Quoniam linea bis diuisa in duo in puncto , erunt duo quadrati linearum De et ei, cum duplo bis in eis equales quadrato totius bis Quadrati enim bis et eis sunt ratiocinati, cumbe sit numerus et eis sit radix numeri ratiocinati. Quare

ipsi duo quadrati sunt numerus qui sitis f. Ergo ex duplo De in o a prouenit 4 cum bra proueniat ex bis in se, et quia ex duplo in o a prouenit fra, et bis ost

48쪽

numerus Est proporti ta ad ei, sicut numerus ad numerum. Quare commensurabilis est linem a Diuidatur itaque superficies dis in quatuor superficies rectiangulasgis et ot dis et ora. Et qui et sunt numeri, M. cures numerus Si ergo tota f. Est enim et linea fis i numerus cum sit equalis line bis. Quare superficiosis oest ratiocinata, et quia fra est commensurabilis line eis, et linea os commensurabilis est lineo eis, cum sit equalis line sis. Quars superficies ora est ratiocinata. Numerus ergo sunt superficies gis et oci. Rursus quia numeri sunt nisistis et commensurabilis ei. Commensurabiles sunt superficies illa et ora. Quare superficies dis et ora constant ex radicibus sibi inuicem commensurabilibus, cum numeri sint nis et, set possunt congregari et reduci ad radicem unam, quia cum congregantur radices sibi inuicem commensurabiles, progreditur ex eorum congragatione si radix numeri tantum ergo tota superficies dis constat ex numero et radico, cui superficiei qualis est superficies dis, cum equalis sit superficies a b superficiei M. Ergo et superficies dis constat ex numero et radice, simialiter et superficies e t constat ex numero et radice cum sit duplum numeri xk. Quam tota superficies ci constat

ex numero et radicibus ergo non est numerus spatium di,

cum sit duarum sis uel plurium nominum. Non ergo lineat est ex ili' binomialibus compositis ex numero ex radice. Sed si possibile est, esto rursus linea ais binomialis tertia uel sexta, scilicet composita ex duabus radicibus diuersis, cuius nomina sint item bis et eis. Quare ex bis in soprouenit binomium primum, quod estis A quo ducto in Da prouenit spatium' l. quod est equale cubo bis. Quaro tota superficies xk, scilicet superficies dis, e st constat ex ducto

49쪽

in mi hoc est ex ducto numero et radice in duabus radicibus diuersis. am stes equalis est lineo bis a Sed cum

multiplicatur numerus et radix in radicibus diuersis, nimirum diuerso radices proueniunt. Quare tota superficies e constat ex radicibus divorsis. Sed superficios ea constat ex numero et radice, scilicet ex duplo bra. Quare tota superficies, i constat ex numero et radicibus, quod est in- conueniens, cum superficies xi sit xx. Non ergo linsa a est binomia. Similiter demonstrabitur non osse aliquod ex Sex recisis supradictis. Quia si recisum esset linea a b. eisdem demonstrationibus que demonstrata sunt in bino-mus, ostendetur tota superficies sti constare Rut ex numero minus radicibus, aut ex radicibus minus numero, ex quibus nunquam poterit xx procreari. Dico Irsus linea bis esse non posse ex radicibus binomiorum uel recisorum. Ostensum est Lenim linea a b esse non posse binomium uel μ εναιο

recisum. Quare ais non erit radix primi hinomu uel primi recisi, cum radix primi hinomu sit binomium, et radix primi recisi sit recisum. Sed si possibile est, linea Da est radix secundi binomii. Ergo erit bimediatis prima, cuius nomina sint iterum bis et e 3 et proueniat iterum ex ductu a b infe numerus bin, qui est binomium secundum, cuius minus nomen sit bis, quod est numerus. Quare tota stra constat ex numero et radice. Ergo cum multiplicatur instes, hoc est in bis, unde prouenit superficies se, que est equalis superficiei da, tunc multiplicatur numorus et radix in radice numeri et radicis ex qua multiplicatione prouenit radix numeri si radicis, et fit ipsa multiplicatio sic multiplicatur tetragonum numeri in numerum bra cuius multiplicationis radix

50쪽

est quesnum. Ergo superficies dis est radix numeri et radicis, et superficies e ι constat constat sic ex numero et dico, cum sit duplum numeri bra. Ergo tota superficies, iconstat ex numero et radice, et ex radice numeri et radices sie), ex quorum coniuntione nunquam poterit numerus ratiocinatus procreari.

Quare impossibile os linea a b linea esse radix secundi binomsi, nec etiam erit quarti uel quinti binomii, quod

eisdem demonstrationibus demonstratur, cum ipsa binomia constent similiter ex numero et radice.

Sed si possibile est, sto linea a b radix terti uel sexti binomii, et multiplicetur a b inse, et proueniatis ,

quod est compositum ex radicibus duorum diuersorum n merorum. Quare tota stra est trium nominum, quo multiplicata in stes, scilicet in radice numeri bra, proueniet radix radicis numeri et radicum pro superficio dis sed superficies su constat ex duabus radicibus. Quare tota superficies ties inratiocinata ΝΟ ergo linea ara est radix alicuius bino-msi Similiter eisdem demonstrationibus demonstrabitur, quod linea ad non est radix alicudiis recisi, quia si esset radix secundi uel quarti aut quinti recisi esset itaque superficies, e radix numeri minus radice Vel radix radicis minus numero, scilicet quod superficies esset radix secundi uel quarti aut quinti recisi, et superficies es esset numerus minus radice, uel radix minus numero, qui insimul nequaquam faciunt numerum ratiocinatum. Similiter si linea a besset radix terti uol sexti recisi esset itaque superficies dis radix radicis numeri minus radice radicum Vel esset radix radicis radicum minus radice numeri, ex qua cum superficie i nullatenus posset numerus ratiocinatus prouenire. Ergo