Opuscoli di Leonardo Pisano

61쪽

Quia numerus multiplicitatis, quam habet primus cum bursa super secundum et tertium hominem, est 4 addam 4 super radicem secundi hominis, scilicet super 2 et egredienturi pro quantitate quam habet unusquisque secundi et quarti hominis, deinde pro eodem quadruplo colligam. IIII. numero pares secundum quod sunt in ordine numerorum , incipiendo abra, uidelicet Met 6 et 8 et 40, et erunt 28, quos addam super radicem burse, scilicet superri, et egredientur 2 pro bigantus urso et sic procedendum est in Omnibus similibus quatuor hominum questionibus.

ITEM de modo predicto extraxi hanc regulam super in m ' r uentionem trium numerorum , quorum primus cum tertia parte reliquorum numerorum surgat in 14. Secundus uero cum quarta parto reliquorum surgit in T. ertius namque cum ἶ primi et secundi numeri surgit in s. Pateat

quidem serenitati uestre hanc questionem a me solutam

esse in tertio decimo capitulo libri mei dupliciter. Sed quia

huius solutionis inuentio placet mihi pro ceteris modis. uolui eam uestre pander maiestati. Posui primum in o dine , t j. et extraxi unum quodque ipsorum de uno integro , remanserunt j sub j et i sub sub , post

hoc do Cot 4 et de s extraxi Cremansiti super ει et 3 super 4 et 5 super 39, ut in questione cernitur. Deinde incepi ad , et multiplicaui 2 per x et quod prouenit diuisi per multiplicationem des in N, et prouenit . quod posui sub , et multiplicaui iterum eadem 2 per quo sunt sub virga deri, et summam diuisi per 3 que sunt sub virga, et per 3 que sunt super . et prouenerunt sub l. Rursus multiplicaui eadem 2 per 5 que sunt sub virga de , et diuisi summam per 3 que sunt sub virga

62쪽

de , et ero que sunt super uirga de , et prouene runt sub . de inde multiplicaui 3 quo sunt sub virga des per ν, quod est super 44, et diuisi perra et prouonitis super ipsum . Item multiplicauio que sunt sub virga deri per 3 que sunt super I et diuisi per 3 que Sunt supero, et prouenerunt o super ipsis tribus. Adhuc multiplicaui 5 que sunt sub virga de uerra que sunt super λ, et diuisi pero que sunt super', et prouenerunt que seruaui super 9, ut in figura cernitur ). Post hoc collegi 4 et peo in unum, et suerunt M. Similiter addidi et suerunt i 40, que omnia diuisipe 4 minus multitudinem numerorum positorum, scilicet per 2 , et prouenerunt εἰ et . 5. Addidici 5 cum ι suerunt ras, et extraxi unum integrum de , remanserunt pro quantitate primi numeri cuiusdam summq, quesuma sie est quantitas secundi et terti numeri. Cum quibus u addidi tertiam eiusdem summe scilicet L su runt Q. Quare multiplicaui per 36, et diuisi summam per x et prouenerunt i 2 pro quantitate secundi et terti numeri. De quibus accepi tertiam partem que et extraxi ipsam de ι, remanserunt pro quantitato primi numeri, deinde accepi lira que μι xij diis Sunt δ et extraxi inde primum numerum, scilicet remanserunt s, de quibus abiecto pro ipsis que Sunt Super T, remanserunt i 45 pro quantitate terti numeri, que extraxi de A 27, remanserunt

pro secundo numero. Ad demonstrandum siquidem qu liter talis inuentio , siue regula, proueniat ex modo Supra-

Vedi Fig. 5.

63쪽

Scripto trium hominum. Ponam secundum et tertium numerum esse tam de qua abiecta tertia parte sui, cum qua primus numerus surgit in remanebunt j eiusdem rei;

ut qui , ut dictum est, cum de quacumque re tollitur . illud quod tollitur est medietas eius quod remanet, Unde si supers rei addatur meditetas eius , redibit res predicta

quod etiam habetur si multiplicentur ἰ dici rei per x et quod prouenerit diuidatur per 2 , et est illud idem quando multiplicaui superius 3 per 2 et diuisi per 2 uicibus 3 et

habui tunc rem positam pro secundo et tertio numero, pro qua posui 3 sub , de qua re accepi tertiam partem, et abieci do . , remanserunt minus tertia rei pro quantitate primi numeri, quibus additis cum secundo numero et tertio, scilicet cum re una erit tota suma sic ipsorum

trium numerorum nihil amplius de et deri unius rei ει propter hoc posuim super ηι, et , sub , et quia Secundus numerus cum terti et primi numeri surgit in T. Otextraxira de sum bio ipsorum trium numerorum, scilicet do . et deri unius rei, et remanserunt i primi et secundinumeri et unius rei minus 3 et ideo posui 3 super Ietri subri et quia cum de aliqua quantitate extrahitur quarta pars illud quod tollitur est tertia pars residui. Addidi super j unius rei minus tertiam Brtem eorum, quod fit cum multiplicantur 2 quo sunt super 2 et per ι que sunt sub virga dori, et diuiditur per 3 que sunt sub virga deri, et per 3 que sunt super uirga de . et cum multiplicantur 1 quo sunt sub virga do ' per posita super T, o suma sic diuiditur per 3 quo sunt super . , quia cum super aliqua quantitate additur tortia pars otii inde alia quantitas, erit proportio primγquantitatis ad

64쪽

secundam sicut 3 est ad L, quare multiplicando sunt Iunius rei minus 3 per M. et sum diuidenda est per 3 Nam ex multiplicatione de unius rei minus 3 ueniunt lanius rei minus 2 quibus diuisis per 3 ueniunt; unius rei minus . et ideo posui suba, et o super 3 positis super I. Rursus quia tertius numerus cum quinta parte primi et secundi numeri surgit in 9, si deri unius rei, et de Causerantur 49, remanebunt prora primi ι secundi numerici unius rei minus 5 et ideo super sposuit , et suba posui a quia cum de aliqua quantitate extrahitur quinta pars illud quod extrahitur est quarta sui. it ver o pars residui. Ideo super D unius rei minus 5 addenda est quarta pars eorum super ipsas, quod fit cum unius rei minus 5 multiplicantur peri, et summa diuiditur per ι, et sic habuimus rei minus pro quantitate primi et secundi numeri queam posite sunt superius superras, et sub , et sic ex hac inuentione habui pro secundo et terti numero rem , et pro tertio et primo habuia unius rei minus , et pro primo ot secundo numer minus 6, quibus omnibus in unum congregaui superius, et habui K unius rei minus i 40, quod sui equale duplo sumes sic ipsorum trium numerorum cum in ipsa Ongregatione unusquisque ipsorum trium numerorum bis conputatus sit, et ideo mediau prescripta n unius rei minus i 0, et habui li unius rei minus ' pro quantitate ipsorum trium numerorum, de quibus abieci integrum unum pro re una, remanserunt unius rei, que est quantitas

secundi et terti numeri minus pro quantitate primi numeri. Super quod addidi tertiam partem rei, et habui iunius rei minus quo equantur 44 addidi ergo

65쪽

super 3 et prouenerunt; unius rei, que equantur L 9.

Quare multiplicaui 36 porri 9 et sumam sis diuisi per 25,

et habui; 27 pro quantitate unius rei, scilicet pro suma fici secundi et tertii numeri, de qua suma sit accepi tertiam partem, et extracxi eam derio, et quod remansit, scilicet x ι, sui quantitas primi numeri. Et quia quantitas primi et torti numeri uitri unius rei minus , de ἰ rei minus ι, scilicet deci 20, extracxi primum numerum, scilicet x , remanserunt pro quantitate terti numeri, quem numerum extracxi de suma sic secundi et torthis mori, scilicet de A 27 , remanserunt pro quantitate

secundi numeri. De quaruor inminibus bisansio habenιibus. Posui hanc aliam questionem similem suprascripte que Stionis, sancte et uenerande pater domine Raneri dignissime Card. ut que in prescripta questione dicta sunt melius clementia uestra intendere ualeat. Sunt enim quatuor homines bigantios habentes , ex quibus primus cum medietate bigantiorum reliquorum trium hominum habeat 33. Secundus cum tertia parte bigantiorum reliquorum trium habeat 35. Tertius quoque cum bigantiorum reliquorum habeat 36. Quartus uero cum bigantiorum primi et secundi et torti hominis habeat 3T queritur quot unusquisque habuit. Posui quidem hos numeros studiose, ut solutio huius questionis cadat in integris numeris, et ostendam hanc insolubilem esse sub posita conditione. Ad quod

demonstrandum ponam secundum et tertium et quartum hominem habere rem, cuius rei medietas si addatur super

66쪽

bigantios primi, nimirum surgent in M, ut propositum est. Quare patet manifeste primum hominem habere 33 minus - in medietate rei, que addita cum bigantiis secundi i et tertii et quarti hominis, scilicet cum re, uenient 33 et medietas rei pro tota suma sic bigantiorum quatuor hominum, de qua summa secundus cum phigantiorum reliquorum trium

hominum proponitur habuisse 35. Quare si auferantur 35 de bigantiis 33 et de medietate mi remanebit prori biga tiorum ipsorum, scilicet tertii et quarti et primi hominis, medietas rei minus hietantiis. 2. Et quia cum de aliqua quam titate tollitur tertia pars, id quod tollitur est medietas eius quod remanet. Si super medietate rei minus 2 addatur medietas eius, uenient i rei minus bigantiis 3 pro quant, tale bigantiorum terti et quarti et primi hominis. Ad que etiam ueniemus si multiplicauerimus medietatem rei minus 2 per 3 et diuiserimus per . Rursus quia proponitur tertium hominem cum ἶ bigantiorum quarti et so-cundi et primi hominis habere 36, si de tota suma sicin κιlicet ex 33 et medietate rei, tollamus 36 , remanebit proubigantiorum quarti et prim et secundi hominis medietas rei minus bigantiis 3 Et quia cum do aliqua quantitate tollitur i, illud quod tollitur est peius quod remanet, si super , rei minus 3 addatur tertia eius, hoc est quod multipliceturque minus 3 per ι, et suma sic diuidatur per 3, uenient φ rei minus o pro quantitate bigantiorum eorum-dom quarti et primi et secundi hominis. Item quia quam tu homo cum bigantiorum primi et secundi et tertij hominis habet 3I, si de tota suma sic eorum iiii ' hominum tollantur 3T , remanebit pros bigantiorum primi et secundi et tertii hominis medietas rei minus bigantsis 4 quam si

67쪽

multiplicauerimus per 5. que sunt sub virga de , et quo prouenerint diuiserimus per . . que sunt super uirga, habebimus pro minus biganthsi pro quantitate bietantiorum primi

et secundi et terti hominis Addamus ergo rem, quam habent inter secundum et tertium et quartum hominem cum Prei minus 3 que habent inter tortium et quartum et primum hominem et cum ς rei minus , que habent inter quartum et primum et secundum hominem. Et cum rei minus , que habent inter primum et secundum et tertium hominem, uenient res ira minus biganthi 2 pro triplo bigantiorum uit.' hominum, cum in rescriptis Rrtibus unusquisque ter computatus sit. Quare si diuiserimus

rescii 3 minus bigantiis 2 per 3 habebimus rem minus bigantus o pro quantitate bigantiorum IIII.' hominum, do qua sum bie si auferatur res, quam habent inter Secundum et tertium et quartum hominem, remanebit o rei minus o pro quantitate bigantiorum primi hominis, super quam si addiderimus medietatem rei, scilicet ligantiorum secundi et terti et quarti hominis , erunt , minus bigantiis . que equantur biganths 33 Comuniter si addiderimus hietantios ι, erunt si rei equales deligansiis 37. Vnde ut ueniamus ad notitiam unius rei, multiplicanda sunt 2 per bigantios 3T , et suma sic diuidenda est per 3T que sunt super uirga, uel dividantur biganths 3 per 37 et quod prouenit M iamre oox diuision ducatur in 72. et uenient bigantsi 2 pro quantitate rei, et tot habent inter secundum et tertium et quartum hominem. Et quia proponitur primum hominem cum

medietate bigantiorum secundi et terti et quarti hominis habere 33, et predictorum I bigantiorum medietas est plus de 33 Colligitur inde hanc questionem insolubilem esse, cuni

68쪽

non possit dici, quatuor homines habent bigantios', cum primus non habeat aliquid, immo habet debitum. Quare si, luerimus concedere ipsum habere debitum, erit questiora lubilis. Et erit debitum ipsius 3 scilicet differentia que est a 33 usque in 36 predictis, quod debitum si extrahatur ex huganiij secundi et tertii et quarti hominis, remanebunt fis pro sum iste bigantiorum ΗΙΙ. hominum, ex quibus si extrahantum rei minus bigantus 3 scilicet biganti 54, manebunt bigantu secundi hominis 4 8. Item extractis ς rei minus bigantus . , que habent inter quartum et primum Et

secundum hominem, hoc bigantu fio ιι deis, remanent 25 pro hietantiis torth hominis, quibus additis cum bigantus

secundi hominis, scilicet cum 8, erunt 43, quibus extractis ex biganth secundi et tertij et quarti hominis, scili idolixanths 72, remanebunt pro biganth quarti hominis M. Vol aliter, deis predictis extrahantura rei minus biga ths , quo habent inter primum et secundum et tertium hominem, remanebunt similiter quarto homini 29. Et si dicemus primum hominem habere cum sua petitione 48 . Secundum 8, Tertium 38ι, uarium 85. Inveniemus, suprascriptis dispositis, primum hominem habere 4 Secundum 1 Tertium 25 Quartum 4 . De tu uor hominibus qui inuenerum bigantios Qv tuo homines inuenerunt bigantios aliquot, de quibus unusquisque sumpsit aliquam quantitatem fortuitu. Et cum uellent ipsos bigantios inter se qualiter diuidere, primus duplicauit secundo bigantios quos ceperat. Post hoc cundus triplicauit tertio homini totum id quod sumps

69쪽

rat. Quo facto tertius homo quadruplicauit quarto homini bigantios suos, et quartus post hoc quincuplicauit primo homini bigantios quos ei remanserunt post duplicationem quam secerat secundo homini, et sic unusquisque deci uentis hietantsi suam habuit portionem, scilicet quartam partem Queritur que suit sumi sic inuentorum hietantiorum. et quot ex ipsis unusquisque cepit. Ponam secundum hominem habuisse rem, quam cum ei duplicasset primus homo habuit duas res, et primo homini remansit quinta

pars quartae partis totius summae, cum ex quincuplo eius quod ei remanserat habuit quartam partem summae. Vnde si de quarta parte sume sic auferatur; eiusdem , reman

bunt; hoc est , pro eo quod quartus homo dedit primo

homini, que quinta si addatur Super t. Summa que remansit quarto homini post dationem quam secit primo, erunt δε

totius summae, et tantum habuit quartus homo, cum quadruplicatione sibi facta a tertio homine. Quare quarta pars de is, scilicet A, totius sumae sic suit illud quod cepit quam tu homo, i et triplum eius, quod est ἰῆ, est illud quod M. 13 rinio accepit a terti homine, quibus , additis cum quarta parte, scilicet cum totius summe faciunt i eiusdem summe et tantum habuit tertius homo , cum triplicatione sibi facta a mundo homine. Quare tertia pars, scilicet totius summe,suit illud quod cepit tertius homo, et duplum de , hoc est δὲ acceperato secundo hominΘ, quibus o additis cum quarta parte sume sie), que remanSerat secundo homini, reddunt m pro eo quod habuit secundus homo cum duplicatione sibi facta a primo homine, que quantur duabus rebus. Quare medietas eorum, scilico G totius summe est id quod cepit secundus homo,

70쪽

et alias G habuerat a primo, quihuc additis cum is Summe que remanserat primo homini post duplicationem, quam secerat secundo, erunt pro eo quod cepit primus homo. Vnde si summam ponimus esse 240, erit illud

quod sumpsit primus 89 et illud quod cepit secundus IT, et illud quod cepit tertius 47, et illud quod cepit qua tus 27, scilicet A de bigantus 240. Et si dictum fuerit, quod primus homo de hoc quod cepit duplicauit omnes

quantitates aliorum trium. Et secundus post ipsam duplicationem triplicauit omnia que habebant reliqui tres, et post ipsam triplicationem tertius quadruplicauit ea que habebant roliqui tres homines. Et ad extremum quartus homo quincuplicauit omnes quantitates quas habebant ro- liqui tres, et sic habuit unusquisque quartam partem

totius Summae. Onam rem esse reSiduum quod remansit primo homini post duplicationem quam secit reliquis, et triplicabo illam rem pro triplicatione quas sibi fecit mcundus homo, et erunt res tres, quas quadruplicabo pro quadruplicatione quam secit ei tertius homo uenient res 42 quibus et multiplicatis per 5, pro quincuplatione quam secit

quartus homo, erunt res 60 que sunt quarta totius summae, cum proponatur unum quemque habuisse, post Pr

dictas mulit plicitates, quartam partem. Quare multiplicabo 60 res pero, et habebo res 240 pro summa igantiorumule hominum. Deinde ponam ad libitum rem esse bigantios 2, et erit tota summa 480, de quibus extraham hietantios 2 pr scriptos, remanebunt biganti qui sunt duplum bigantiorum secundi et tertu et quarti hominis, et medietatem eorum habuerunt ex duplicatione quam secerat ei primus homo. Quare si medietatem de 478 que est 230, addamus