Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

91쪽

quod cuni p3 sit dupla γ L erit m maior, quam dupla γ f;

nullo maior, quὰm dupla xt. Ait m h dupla ipsius h t: cop lata b h producatur. Iamgrauitatis centrum totius portior iis erit psin lim x : eius, quae in humido ekt,h: at reliqua partis, quae e

tra humidum in linea h producta; quod i ω. eodem modo demonLirabitur, lineam I io, o quae per b ω pu Iarni kh aequidistantes ducuntur, ad humidisuper ciem perpendiculares esse . non igitur Mau ob istortio, sed cumnsque eo inclinata fuerit, ut iurmo pun Io contingat super ciί h militi, tunc

con et . an gulus enim adnangulo ad cp ιε-

ipsi p γ est aqua

lis. Itaque ductah h producatur. erit totius portionis grauitatis centrum X; eius, quae in humido esth; O relli a partis centrum in linea productu ; sit autem D. per ean clem igitur rectam lineri; quae est ad Rumidi supcrficiem perpenricularis, id quod in humido es sursum; O quod extra hi idum deorsumseretur. atque ob hac causam portio non amplius mouebitur; scd consset, manebus ita, ut eius basis sversiciem hmradi in uno pur Is conting aris, cxmi a angulumfaciat aequalem anguloe. atquc illud est, quod demonstrare oportebat.

DEMON

92쪽

DE I Is QVAE V EA. IN AQVA. y DEMONSTRATIO QUARTAE PARTIS.

ΗΑΒΕΑΤ rursum portio ad trimai di in in grauitate proportionem quidem maiorem, quam quadratum i p ad quadratum bd; mutorem uero, quam quadratum X D ad bd quadratum: dcquam proportionem habet portio ad humidum in grauitate,' eandem habeat quadratum, quod fit a linea ψ ad quadratum b d. erit 4 maior,quam iis,&minor, quam xo. aptetur ergo quaedam recta linea tu inter ortiones auq l, axd interiecta,quae sit aequalis ψ,&ipsid aequi distans: occurratq; reliquae sectioni in y. rvrsiis

uy dupla ipsius y i demonstrabitur, sicuti demonstrata esto g ipuus g x dupla. ducatur autem ab v qinea u ω, quae sectionem au qt in v contingat: diiuncta aiadq producatur . eodem modo ostendemus lineam a i ipsi i q aequalem esse : aq ipsiu ui aequidistantem. Demon- 4 s cstradum est portionem in humidum demill 1m, aclinataq; adCO, ut basis ipsius

non contingat

humidu,ita consistere, ut basis tu humidu magis demergatur quam ut in uno puncto eius sit, perficiem coringat. Demittatur enim in humidum,ut dictum est;& laeest primo sic inclinat ut basis nullo modo contingat superficiem humidi. secta autem ipsa plano per gxem ad humidii I. 3

93쪽

sus erficiem recto, sit portionis sectio anzg; stuperficiei

n t 'aequ1distans ipsi bd; ia su ro ad bd perpe ndicularis. Itaq quoniam portio ad laumidum in grauitate eam proportionem habet,quam quadratum, quod fit a linea d. ad quadratum b d: erit 4 ipsi n t aequalis quod similiter demonstrabitur,ut superius. quare & n t est aequalis ipsi u i. portiones igitur auq, ena inter se sunt aequales. Et cum inaequali bus,&simit bus portionibus au qI, anet g ductae sint aqe Z, quae aequales postiones auferunt; illa quidem ab extremitate basis; haec autem non ab extremitate: minorem faciet a tum angulum cum portionis diametro,quae ab ex tremitate basis ducitur. At triangulorum n I S, u ω c angulus ad I angulo ad G maior est. ergo bs minor erit, quam h C: &sr maior, quam C idCoq; n maior, quam uli; &

ct minor, quam hi. Qtioniam igitur u y dupla est ipsius y i; constat n λ maiorem esse, quam dupla λ t. Sit n in dupla

ipsius m t. persipicuu est exdis, quae di Aa silat, non manere portion rised inclinari, donec eius basis contingat saperficium humidi. contilagat autem in puncto uno, ut patet in fi-

- gura

94쪽

gura:&alia eadem disponantur demonstrabimus rui suiunt aequalem esse ipsi u i : & portiones au q, an et inter se se aequaleS . Itaque quoniai portionibus aequalibus, desimilibus a u q l, a n κ g ductae

Sutaq,aχ,poztiones aequales au fierentes; cum diametris portionum ae quales angulos cotinebiit. ergo triangulorum n l S, u ω c

n ipsi ii hi & xt ipsi h i. quod cum ti y dupla sit ipsisus y i,

erit ia χ maior, qtriam dupla t. Sit igitur ia in ipsius m t dupla. Rursus ex his mani festum est, non manere ipsam portionem; sed inclinari ex parte a: ponebatur autem p Ortio humidi superficieminimo puncto contingere . CTgo necesse est, ut eius basis in humidum magis demergatur.

HABEAT denique portio ad humidum in matritate minorem proportionem, quam quadratum in a quadratum b d: & quam proportionem habet portio ad humida in grauitate, eandem quadratum, quod fit a linea 4 habeat

ad quadratum b d. erit ψ minor ipsa p f. Rursius aptetur

95쪽

ergo ai aequalis

aequidist ius. Demonstrandu est portione in litimidii demistim,inclinatam madeo,ut basis 1psius non cotingat humia du, consistere incit nata ita , ut axis cum superficie humidi angulum faciat minii re iri angulo φ: & basis humidissipe ficiem nutioinio, incisum t. Demittatur enim in humidum ; &consista; ira,vibansipsius in uno puncto contingat stiperficiem humidi . secta autem portione per aXem , plano ad humidisiaperficiem recto,siit portionis sectio a nΣl rectanguli coni sectio. superficiei humidi a Z: axis auteportionis, 3dsectionis diameter bd: seceturq; bd inpiinctis X ut superius dicium est: & ducatur 11 f quidem ipsia Z aequi distans ,& contingens coni sectionem in pucto nin t uero . equidis lans ipsi bd:& ns ad eandem perpendi cularis. Quoniamigitur poxtio ad humidum in grauitate,

eam habet p portioinem, quam quaci tum, quod sit g

96쪽

ad quadratum bit: &qi iam habet portio adluimidum ingrataitate, ea1adem quadratum ni habet ad bd quadratu ex iis, quae dii ta sutat: coiistat iit lineae 4 aequalent esse. quare & portio nes a n Z, a g qsunt aequales. Et quoniam inportionibus aequalibus,&similibu ag qt, angi, ab

extremitatibus

basiu ductae simi

quales portioes abscindinit: pers cuum est an

t yi .cuq; gh dupla sit ipsi has; hi, crit Ia v minor, quam duplla ipsius dict. Sit igitur ia in ipsius m t dupla: &iun Sham X protrahatur ad e. Itaque centrum grauitatis totius critpunti um K: partis eius, quae est in humido,punctu narcius autem, quae extra humidum in linea protracta, quod sit o. ergo ex proxime demonstratis patet, no manere portionem, sed inclinari adeo, ut basis nullo modo superficie humidi contingat. At uero portionem consistere ita, ut xis cum stiperficie humidi faciat angulum angulo si, mino rem , sic dLmonstrabitur. consistat etaim, si fieri potest, ut non faciat angulum minorem angulo ι, :& alia cadem dio,

Ponantur, ut in si ibiecta figura. codem modo demonstra

97쪽

ARCHIMED Is

bimus 11t aequalem esse . , & propterea ipsi gi. & quoniam triata gulornm psc, 1afs angulus f non est minor angu lo o, non erit b f maior, quam b C. ergo neque S r mi Dor, quam cr: neque noc minoriquam py.Sed cum Pi siemaior, quam n t: sitq; p f sesquialtera py : erit niminor, quam seliquiastera n h: & idcis CD n maior, qua dupla di t. sit auten in dupla m it &iuncta mΚproda Catur. Constat igitur ex iam dictis

non manere por

tionem ; sed reuolui ita, ut axis cum

superficie humidi

faciat angulum angulo φ minorem.