장음표시 사용
71쪽
ARCHIMED Is quibus perspicui est lineas omnes sic dusias ab ipsisseelmnibus in eandem proportionem secari. est enim diuidondo, consiertendos cm ad m, , ω cf ad j b, ut
Sed V illud confvare potea; lineas, quae in portion ιus eiusmodi milibus ita ducuntur,ut cu basibus aequa-Ies angulos contineant, ab ipsis miles quoque portiones abscindere.hoc est, ut in proe a gura, portiones h b G fc, quas lineae ch, cm abscindunt, etiam inter se
DI v ID AN T v R enim ch, em bifariam in punctis pq rs per ipsa ducantur lineae r ps,tqu diametris aequi lictantes. erit portionis bst diameter p s,est portionis muc dimeter qu. Itaque stat Di quadratum er ad quadratum e puta linea bn ad aliam lineam, qua sit s X: istut quadratum c t ad quadratum c q, itabat f o adH F. iam exi squae demestra
72쪽
DE IIS QUAE UEH. IN AQUA . asitimq; quadrirtκm cq aequese re t gula q 1ιγ, hoc est seDionumh s c,muctaeas sx, Η ,eas esse, iuxtaq/Mspo sui quosne ad diametram ducuntur . sed cutria, qua cpr,c qi finitia sint, habebit cr ad cp eandem proportionem, quam c t ad c q: id- Σ1. sextrcirco quadratum c r ad quadratum c p eandem habebit, quam quadratum ci ad quadratum c q. ergo liuea b n, ad lineam x ita erit, ut linea fo ad ipsam u3. erat autem bc ad c m, tit ac
ad ce . quare oe earum dimidiae op ad cq , ut a d ad eg : Opermutando op ad ad , ut cq ad eg. Sed ostensumen ad ad buita esse, ut eg ad Io: bn ad s x , tu fo ad u7 . ergo exaequali cp ad fae erit, ut cq ad u3. Quod cum quadrato opsequalesiit rectangulo ps x quadratum cq re tangulo quF, erunt tres lineae sp, pc, j x proportionales; itemq; proportionales ip- α q, qc, uF. quar ct fp ad pe, ut uq ad qc: ut pc ad ch, ita qc ad c m. ex aequali igitur ut portionis h c diameter sis ad eius basim eb, ita portionis mus diameter uq ad basim cm. anguli,q sos diametri cum basibus continent,sunt aequales, quod lineae sis,uq sibi ipsis aequidissent. ergo O portiones hfc , mucinter se similes erunt. id quod demonotranaeum proponebatur.
Sint duae lineae ab , cd, quaesecentur in punἱctis es, ita ut quam proportionem habet ae ad eb, babeat efad fd . rur1us secentu r in aliis duobus punestis I b , shabeat ob ad b d eandem proportionem, quam ag ad
MONIAM enim ut ae ad eb, ita cfad ID, erit componendo ut ab ad eb, ita cil ad D. RFrsus cum it ut agadgb, ita ch ad hil; componendo, conuertendoq; ut Ib ad ab , ita erit bd ad c d . crgo ex aequali,conuertendos ut eb ad gb, ita fit ad h d:
73쪽
eis autem ut a cad eb, ita cfad I d. ex aequali igitur ut a l
. LITER. Aptentur linea ab , cd intersest,ita ut adpartesa e angulumfacian Osint a c in uno atque eodem p m tor deinde
iungantur il b, hg, se .ct i mrsit ut ae ad eb, ita cf, hoc eis x. sexti. afail fit; aequidistabit se ini db: O similiter bs eidem dbao. primi AEquidsabit: quoniam ab ad Bd est,ut ag ad 1 b. ergo fc, hginter sese aequidiglant O idcirco ut a e ad enita as; hoc est e fails b. quod demonstrare oportebat. LEMMA V.
Sint rursus duae portiones mitis, contentae rectis lineis, Ure angulorum conorum sectionibus, ut in superiorijura abc, cuius diameter b d: Car efc, cuius diameter II: ducatur puncto e linea eb , diam iris bd, fg aequidylans, quaesectionem ab c in k s cet: o a puncto c ducatur eb contingens sectionem ab c in c conueniens , cum linea eb in b, quae sectionem quoque efc in eodem c puncto continget, ut timons rabitur. Dico lineam ductam ab i se ch usque ad se Aionem Uc , ita ut lineae e b aequavisset, in eandem froporitonem diuidi Uectione abcs in quam linea ca a sectio
74쪽
DE IIS QVAE UEH. IN AQUA. 3 sedliora elo diuiditur: pars uero lineae ca, quae est inter duassectiones proportione respondebit parti lineae ductae, quae itidem interea idemsessiones interlicitur; bo: est ut in propositasgura,si producatur il b usque ad c bin I, uisectioni ese in puncto m occurrat; lineam ιb ad bin eadem proportionem habere, quamc e at ea.
O permutando I fad 1 n,is db ad bl es autem d b aqualis ipsi bl ex trigesimaquinta primi libri conicorum. ergo
lis erit: , ex trigesimatertia eiusdem linea c b se Iionem e se in eode p -
75쪽
cto continget.Itrique Ita cm producatur adfectionem ab cinp:
p ad ac ducatur p q, quae ipsi b d aqisidistet . quoniam igitur linea e b contingit sectionem e fc tu e punJcto; habebit i m
ad cp, sic c eadca: quod proxime demo-ὴrauimus. quare utc e ad ea, sis c d ad c q: boc est ut totum ad totum, sic pars ad partem, reliquum igitur ii e ad reliquum qa est ut c e adca', uidelicet ut c d ad c q: O permutaudo cd ord de, ut e q ad
ιiis , quam diximus; est ut ed ad da. constat igitur ex antec denti lemmate cd ad dqita esse, ut Ibadbm. ut autem c d addq, ita cnaad mp. ergo ib ad bm, ut em ad mp. V d cum demonyratumsuerit,cm ad mAut ce ad e a: habebit ibad bm eandepropor
76쪽
proportionem, quam ce ad e a . si iliter demonstrabitur eandem habere uo ad o reliquas eiusmodi. at uero b K ad K e eam habere proportionem, qu habet ce ad e a,eae eadem quanta .-- chimedis perspicue apparet . atqtie il&d est, quod demonstr.iniitim proposuimus.
L E M M A V I. Itaque maneant eadem, quaesupra: α itidem de friabatur alia portio milis contenta refla linea M' re lamguli coni sed ione drc; cuius diameter rs, utjecet Iineam fg in t: producaturque s r ad lineam ch in u; cuisellio ab c occurrat in x, 2 ese in I. Tico b mad md proportionem habere compositam ex pro omtione, quam babet ea ad ac; s ex ea, quam c d babet ad de .
a et O ut Im ad m d ta c d ad is e. proportio autem b m ad m dcomposita est ex proportione, quam habet b m ad l ex proportione, quam lm babet ad mil. ergo proportio bm ad miletiam composita erit ex proportione,q sam habet e a, ad a c; ex ea, quamcd habet ad ii e . Eadem ratione demonserabitur o fad st; it Emq;X 7 ad Fr proportionem babere ex eisdemproportionibus comp0ytam: ω ita in ali s. quod demonstrare oportebat.
Ex quibus apparet lineas sic du las, i intersitiones abc, dr cinterliciuntur a se tione es c in eandem proportionem druidi.
77쪽
N Etenim e b ad b d est ut sex ad quindecim.J Tofuimus enim b Κ duplam esse ipsius K d. quare componendo b d adlid erit, at tria admium; boc est ut quindecim ad quinque. sed bd ad Ecerat ut quidecim ad quatuor. ergo
b d ad d c, ut quindecim ad nouem: per conuersio hem rationis,convcrtendos ebad
da.J Vamc miriangula o b e, dba pictimilia, erit ut ob ad be, ita d b, ad ba permutando, ut eb ad bd; ita e b adba. RFrfur ut be ad ce,ita b d ad da permutandos ut ebad b ita ce Aoc est dat ei aequalis ad d a. P Harum autem d g d a duplae sunt ipsi l i, l a.J Lineam quidem la duplam esse ipsius d a,ci bd sit portionis diameter, manifeste constat. At uero i i ipsius d dupla hoc pacto demon-Brabitur. Gloniam erum a d ad da est,ut duo ad quinque; erit cώuertendo, diuidendόq; a x, hoc est lar ad ut tria ad duo: in rursus diuidendo id ad d ut unuM ad duo. erat autem n d add a, hoc est ud dc ut duo ad quinque. ergo ex aequali conuertendoq; ld ad di,utqvinpae ad uirum: -- per conuersonem rationis di adl i, ut quinque ad quat r. sed d et ad di erat, ut duo ad quinque. ergo rursus ex aequali dat ad I cui duo ad quamor. dupla es igitur ι i ipsius quod demonstrand- Dei t.
Et a d ad d i cam proportionem habet, qua quinque ad
78쪽
ad tinum.J Hoc nos proxime demonstratuimus. Demonstratum est enim superitis portionem cuius axis Rest maior, quam sesquialter eius, quae usque ad axem, si ad humidum in grauitate non minorem proportionem habeat &c.J Iulia uero demons uit in quarta propositione burus
si portio ad humidum in grauitate minorem A
quidem proportionem habeat, quam quadratum sb ad quadratum bd , maiorem uero , quam quadratum Xo ad quadratum b d ; demissa in humidum, adeo inclinata, ut basi Sipsius non contingat humidum, inclinata consisteta, ita ut basis superficiem humidi nullo modo contingat , de axis cum humidi superficie angulum faciat maiorem angulo R.
Si portio ad humidum in grauitate, Cam habeat proportionem, quam quadratum xo ad quadratum b d , demissa in humidum inclinata adeo, ut basis ipsius non contingat humidum ;consistet, δc manebit ita , ut basiis in uno pun-- isto humidi superficiem contingat: δc aXis cum superficie humidi angulu faciat angulo aequale. QSod si portio ad humidum in grauitate cam Proportionem habeat, quam quadratum ps ad
79쪽
ta Inclinata adeo, ut basis ipsius non contingat humidunt i, consistet inclinata, ita ut basis in unci puncto humidi superficiem contingat ' de axis cu
portio ad humidum in grauitate maiorem quidem proportionem habeat, quam quadratum fp ad quadratum bii; minorem uero , quam quadratum Xo ad b d quadratum; in humidum demissa, do inclinata adeo, ut basis ipsius non contingat humidum consistet, & manebit ita, ut basis in humidum magis demergatur.
Si portio ad humidum in grauitate proportionem habeat minorem, quam quadratum fp ad quadratum bd: demisia in humidum, dc posita inclinata adeo ut basis ipsius non contingat humidum: consistet inclinata, ita ut axis ipsus cum humidi superficie angulum faciat minorem angulo φ : 3c basis nullo modo superficiem humi adi contingat . Haec autem omnia deinceps d .mon strabuntur. DEMON
80쪽
DE IIS QVAE VEH. IN AQVA. 3IDEMONSTRATIO SECUNDAE PARTIS.ITAM UE primum habeat portio ad humidiim in
grauitate proportiosa em quidem niatorem, quam qua dratum xo ad quadratum bd ; minorem uero, quam quadratum, quod fit ab excessit, quo axis est maior, quam siesquial ter eiuS, quae usqtie ad axem, ad quadratum bii: &quam proportionem habet portio ad humidum in grati itate, cahabeat quadratuin, qtiod fit a linea 4, ad quadratusti bd: erit4 maior quidem, quim xo, minor uero, qtiam exces .sus, quo axis est maior,quam sesquialter eius, quae tasque ad axem. aptetur quaedam recta linea ni ii conicis sectionibus a ni q l , axd interiecta, δ
lis; secetq; reli qua coni sectionem in punctoli; rectam lineam rg in v. demostrabiturm h dupla ip sius h n , sicliti demonstratum
duplam esse . Rpuncto aute mducatur m y contingens sectionem a in q I in mi & m c ad b d perpendicularis. postca ducta a n, & producta ad q liticae an, n qi iter se aequales erunt. quoiata cnimili sinit libus portionibus ainql, axe ductae sitiat a basibus ad portioneS linea: aq, an, quae aequaleS angulos continent