Archimedis De iis quae vehuntur in aqua libri duo

발행: 1565년

분량: 97페이지

출처: archive.org

분류: 수학

61쪽

ARCHIM AD Is

sius 2 m: & iuncta Yt producatur ad g . erit totius quidem portionis gra

uitatis centrui: eiuS, quae est extra humidua: reliquae uero

lsartis, quae ilii umido, cen trum erit in linea 2t prod

cha; quod sit g.

demostrabitur similiter , ut prius, th per- pedicularis ad stiperficiem hutrudi i & quae per z, g dum tur aequi distantes ipsi th, ad

eandem perpedicular . ergo portio, quae est extra humidudeorsum sere tur secundum eam quae per atratast; quae ue

ro intra secun dum

62쪽

DE IIS QUAE VEH. IN AQUA . axelum eam, quae per g sursum elevabitur. non igitur manebit portio sic inclinata, nec conuertetur ita, ut axis ad supersi ciein humidi sit perpendicularis: quoniam quae ex parte i P deorsum; quae uero ex parte a sirsium ferentur, ut ex iani demonstratis apparere potest. Quod si axis cum sit perficie humidi secerit angulum minorem angulo b , similiter de- Gmons rabitur,n5 manere portionem, sed inclinari, donec utique axis cum superficie humidi faciat angulum angulo.b aequalem.

ARE quadratum bd magis excedit quadratum Ain, quain b c quadratum: R idcirco linea fh minor est ,

quam b c : itesnq; f minor quam b r. J Ouoniam excispus, quo quadratum bd excedit qradrat- bc ad quadratum bis minorem proportionem habet, quam excessus, quo quadratum b d excedit quadratumsq, ad idem quadratum: erit ex ob Letua quinti excessus, quo quadratam b d excedit quadratum bc , minor quam excessus, qiso excedit quadratum sq. ergo quadratum D minus e t quadrato b c: propterea lιura =mnor liuea b c. Sed fq ad feandem proportionu

igitur sq sit minor b c, O f ipsa b r 1 nor cyit. Et propterea L P ad s y tuaiorem habet, quam dimidium dipsius κ r ad 4 b. J Est etiim κ r ads , ut quadratum p s ad quadrruum 3 dimidium linea K r ad lineam ut quadratum e ψ

Habebit ergo tota portio ad eam, quae est cxtra humi- Edum proportionem eandem, quam quadratum b d ad cita adratum is q. J Cum pars demersi aci totam portionem ita sit, ut

excesses, quo quadrati b d excedit 1uadratumI qad bd quadrata:

63쪽

ARCHIMEDI serit conuertendo tota portio ad partem ipsis donnensam,ut quadra tum b d .id excessum, quo quadratum se excedit . quare per conuer sonem rationis tota portio ad eam, quae extra humidum enutquadratum bii ad quadratum sq: nam quadratum b d tanto maius est excessu, quo excedit quadratum; q, quantum est is sum fm qua

dratum.

F Quoniam quae ex parte ideor ura, quae Uero ex parte astarsiam serentur. J Haec nos ita correximus, min translatione

mendose, ut opinor,legebatur,quoniam quae ex parte I ad superiora ferentur,perpendicularis enim 's transit per ρ ad partes quae perg ad partes s cadit.quare centrum η μὰ cum partibus iis, quae sunt ad l deorsumferetur, centrum uero g una cum partibus quae adu fursum. G Similiter demonstrabitur non manere portionem, sed inclinari, donec utique axis cum superficie humidi faciat angulum angulo b aequalem.J Illud uero tu- ex iis, quae in antecedenti dicta sunt,tum ex figuris, quas apposuimus, facile demonstrari potest.

ΡROPOSITIO X. RECTA portio conoidis rectanguli, quando leuior humido axem habuerit maiorem, quam Ut ad eam, quae usque ad axem proportionem ha bear, quam quindecim ad quatuor: in humidumi de milia, ita ut basis ipsius non contingat humi- A dum: non nunquam quidem recta consistet; non η nunquam inclinata: & interdum adeo inclinata, ut basis ipsius in uno puncto contingat superi

ciem humidi: idq; in duabus dispositionibus e

64쪽

DE IIS QUAE VER IN AQVA. interdu quidem ita, inhiasis inlitimidum magis C demergatur ' interdum uero ita, u superficiem DMimidi nulla, modo contingat; secundum pro- Eportionem, quam habet ad humidum in grauitate. Eorum quae dicta si int, singula in serius de

monstrabuntur. SIT portio qualis dicta est: & secta ipsa plano per axe,

resti o ad superficiem hui Mid1, sed io sit ap ol rectanguli coni seditio: axis portionis,§ionis diameter bd: sec turq; b d in puncto quidem Lita, ut b h dupla sitipsius d: in c uero ita, ut bd ad x C proportione habeat eandem, quam quindecim ad quatuor. constat igitur k C m Florem esse,quam quae usque ad axem. Sit ei quae usque ad G axem aequalis xr:&ipsius Laesesquialtera df. Est autem H& s b sesqui autera ipsius b r. Itaque iugatur

pedicularis adb d, quae linea a b in punctoo secet: & pere ducatur e Zaequissistas b d. Rursus ipsa a b bifaria in t di uisa, ducatur th eidem b d ae qui distans : &intelligatitur rectanguli coni sectiones descriptae .aei quia

65쪽

ARCHIMEDIs

K dem circa e g diam trum; a id uero circa diametrum th; L cluae similcs stiat portion1 abl. transibit igitur a c i conisectio poc X: citiae abr ducta est perpendicularis ad bd, ipiam a e i secabit. iecet in punctis y g: & pex y g ducantui ipsi b d aequidis antes py mogn, quae secent a t d in f x. ducantur postremo, tu φ contingentes sectione M a p o i in pianetis p o. cii ergo tres portiones sint a p o l, a ei, a t d, contentae rectis lineis, & rectangulorum conorum sectionibus; rectaeq, similes,& inaequales, quae contingunt se se super unamquanque bassiin: ὰ puncto autem ii 1 ursim diicta sit nYgo; & a q ipsa qfyp: habebit o g adg x proportionem compositam ex proportione, quam hahet i l ad l a; & ex proportione, quam ad habet ad d i. Sed i l ad i a

habet eandem, quam duo ad

csst , ut siex ad quidecim, hoc est ut duo ad O quinque: & ut eb ad b d, ita e b ad b a : &d 2 ad d a. ha P rum aute d Z, d a duplae suntipis i i , t a:&ad addi ea proportionem habet,quam quinque ad unum. sed proportio composita ex proportione, quam habet duo ad quinque;& ex proportione, quam quinque ad unum; esst Cadem , quam habent duo ad unum: duo autem ad unum duplam Proportionem habent. dupla est igitur gb ipsius g x: &eadem

66쪽

DE IIS QVAE V EA. IN AQUA .

eadem ratione ostedetur py ipsius ys dupla. Itaque quoniam ds se quialtera es ipsius orit bs excessuS, quo axis est maior, quam sesquialter eiu S, quae usque ad axem. Si igitur portio ad humiduin grauitalcea habet propor tionem, quam quadratum, quod fit a linea b fad quadra tum, quod a b d , aut maiorem ; in linmidiim demissi, ita ut basis ipsius non contingat hunudum, recta consistet. denion stratum est enim siti perius, portionem, cuius axis est: Rmaior, quam sesquialter eius, quae usque ad axem, si1 ad humidum in grauitate non minorem proportionem habOat, quam quadratum, quod fit ab excessu, quo axis maior est, quam sesqtualter eius, quae usque ad axem, ad quadratum ,

quod ab axe , demisiam in humidum, ita ut dictum est, rectain consistere.

Qv Ag hac decima propositione continentar,.Archimedes in quinque partes dissecuit,c singulas seorsum demonstrauit. Nonnunquam quidem rei ta consistat. J H. ec es prisna Apars, cuius demonarationem stat subiungit. Et interdum adeo inclinata, ut basis ipsius in uno pun- Beto contingat siti perlici cm humidi ; idq; in duabus dispositionibus.J Demonstratum est illud tu icrtia parte. Interdum ita, ut basiis in humiduini magis clemergatii P.J CTertinet id ad quartam partem. Interdum uero ita, tui superficiem humidi nullo modo DContingat.J Hoc duobus item modis sit, quorum unus in secunda, alter in quarta parte explicatur. Secum lum proportionem, quam habet adinam id tim in Egrauitate.J In translatioire ita legebatur, quam autem proportionem habet ad humidium in grauitate. Constat igirur K C maiorem esse, quam quae' usque ad Faxem.JG ni bd ad I cc eandem habuiat proportlim , qttam ii a

67쪽

ARCHIMED Is

iudecim ad quatuor; O ad eam qitis Uiue ad axem maiorem proportionem habeat: erit quae usque ad axem minor ipsa si c. G Sit ei, quae usque ad axem aequalis k r.JHac nos addidimus,

quae in translatione Hyn erant ..H Est autem & s b se uialtera ipsius b r.J Tonitur enim db sesquialterais ins bl si rems sesquialtera kr. quare ut tota. quinti tu tib ad totam 9 X, ita pars iis ad partem X r. ergo ,- reliqua, b ad reliquam b r, ut d b ad b h. .. K Quae sintiles sint portioni abl.J Similes portiones coni se Biouum . ollonius ita diffiniuit in sexto libro conicorum, ut scri

αποτεμνω νω QVος Tας ά oTεμνομενας ς hoc est . in quibus si du- canini' linei acquiri lantes bas numero aequales aequitii liantcs atq; bases ad partes diametrorum, quae ab ipsis aduerticem absolvitutur, eandem proportionem babent: ithinq; partes abscissae ad abscissas. ducuntur autem lineae basi squidistantes: ut opinor, descripta iusti nidis plane resti linea gura, quae lateribus numero aequali s corvineatur. Itaq; portiones 1imiles 2similibus conisectionibus absentitatur: O earum diametri me ad bases rect a, siue cum basibus aequales angulos facientes, ad ipsas basta. eandem habent proportionem. Traiis 1 bit igitur a. e i conisectio per R. J Si eu fieri potest non transeat per k, sed pre aliud pun tum linea. d b, ut per V. Quoniam igitur in re Liguli coni se tione a e i , cuius Ziameter ed Ela est a e, O produoia toe db diametro aequi it tans utrasque a Ga i pecata e quidem in ba i uero in d: habebit db ad buproportionem eandem,quam a ad add, quarta propositione libri , chimedis de quadratura parabolae. S d a esquialtera essinius d: est enim ut tria ad duo, quod mox demonstrabimus. ergo

db sesquialtera est ipsius bu . est aute db Oipsius b sesquialtera. quare lineo e b u, b hinter se aequales sunt; quod heri non pote s. r Linguli igitur com sedito a ei per pantium L transioit.

68쪽

Cum ergo treS portiones silat apol,. aei, alii, con- M tentae rectis lineis, derectaguloriani conorum sectionibus; rectaeq; , similes, & inaequales, quae contingunt se se saperunam quamque basi m. J Post ea uerba, super unamquainque basim in translatione aliqua desiderari uidentur. .Ad horum autem demonstrationem non nulla praemittere oportet, quae etiam ad alia, quaesequuntur, necessaria erunt

LEMMA Iia Sit refcta lineat a b , quam secent duae lineae interfies aequidi antes ac, d e, ita ut quam proportionem habet ab ad bd, eandem habeat ac ad de . Dico lineam , quecb pundia coniungit, etiam per isssium σtransire

surdum se

uetur, si mea e bsupra e psi

e b etiam

collario traisibit. quod oportebat d onstrare.

69쪽

Sint duae portion similes , contentae restis limis , cirectangulorum conorumsectionibus; abc quidem maior, cujus diameter bd 3 efc uero minor, curus diameter fg: aptenturq; inter sese, ita ut maior minorem includato sint earum boos ac , e c in eadem recta linea, ut ide

pundium c sit utriusque terminus: humatur deinde in sectione ab e quodlibet punectum b: ετ iungatur bc. Nico lineam bc ad partem Fui ipsius, quae inter c, βο-

Elionem efc interlicitur, eam proportione babere,qκam habet ac ad ce.

Du C et vae b G qitie transibit per s. quoniam enim portiones smiles sum diametri cu basibi s aequales continent angulos. quare

aequidsunt inter sese b is, fer estq; b d ad a Gut f g ad e cro permutando b d ad fg,ut a c ad c e : hoc est ut earum di midia d c ad c g. ergo ex antecedeti lemate sequi tur linea b c per punditum stransirc . Ducatur praeterea a puncto h ad di metrum b d linea b c , aequidistans basi a c:.junkta kί, quae diametrum fg jecet tu i s per I ducatur

70쪽

quadratum autem a d aequale est rectangiιlo dbn ex undecima primi conicorum. ergo tres tineae bd, a Lbn inter se sunt proportio , 7. sexti. nales. eadem quoque ratione cum quadratum e g aessale sit rc tan

bn, ita flud fo. RU r usquonia quadratu bK .eqssale est rc tau 1 t. psimi nilo kbn: quadratum mi recta Vrelo Iso aequale: erunt tres coni collillaeae bk , kh,bn proportio uales: ithmq; proportionales inter ses Lim,s o. quare ut linea b X ad lineam b 1i , ita quadrat Gn b Κ cor. 2o. se ad quadratuin hk: ut linea si adi et in fo, ita quadratu flad quadratum ἰm. Itaque quoui .m , ut b L ad b)ι, ita es si ad f o ; erit ut quadratum b X ad quadrat in Rh , ita quadrat sua flad i m quadratum. ergo ut linea b h, ad lis arn Κ h, ita liuea si ies.sexti

f l erat ut hc ad c ergo h h ad l=λι, ut K c ad c l. Pars CX eadem lemmate patet linea1n b c, per m pinctum transire. ut 0ι--tur Κc ad c it hoc est ut a c ad c e, ita b c ad cm; hoc est ad eam ipsius partem, quae inter c, este Ic festionem interi titur. 1niliter demonstrabinius idem coiit ingere in alijs lineis, qui e ὰ pun to c ad a b c festionem perducuntur. .is uero b c ad c scaridem proportiori in habere, liquido aseparet; nam b c ad c 1 , est ut d c ad c g; lelicet Dicarum duplaeba C ad c c.

SEARCH

MENU NAVIGATION