장음표시 사용
551쪽
quatur quoq; rectangulo, DTΑ, ergo ut rectangulum, GQR, rectangulum, POT, ita rectangulum, DRA, erit ad rectangulum=DTA, hoc est ita quadratum, R F, ad quadratum, TX . ergo per
mutando rectangulum, G QR, ad quadratum, RF , erit ut rectan-3. butur, gulum, PO Γ, ad quadratum , TX, quod & in reliquis huiuimodi ostendetur spatijs ergo rectangulum lolidum sub trapezijs, LI G 'huiu,' Q, LMRQ, & quadratum solidum, Ms FR, erunt, vel aequaliter Τ' ' in circulo, vel proportionaliter analoga in ellipsi, ergo erunt inter se virectangulum, G QR, & quadratum, R F, iunt quoq; inter se, sed ut rectangulum, G QR, ad quadratum, RP, sic etiam elle 'ste demus rectangulum solidum sis. HuNM, ad quadratum solidu, NR, ergo rectangulum solidum sub, Hin QM, ad quadratum sinlidum, Λ R, erit ut rectang. solidum sub, LIMQ, LMRQ ad qua dratum lolidum, M sXFR, & permutando rectangulum tolidum sub, HO, QU, ad rectangulum solidum sub, LHGQ, LMRQ, erit ut quadratum solidum, NR , ad quadratum solidum, MSXER , est autem reis angulum solidum lub , ΗQ, QM, ad rectangulum loli . . dum lub, HGQ LQRM, ut rectangulum sub , G R, ad rectan δ' h* δ' gulum-Gu; S sub composita ex I. QY, & e , ΥR . Vna cum rectangulo sub, QΥ, & sub composita ex l. QY, S I. YR, hoc est
virectangulum, L RA, ad rectangulum sub, DR,&sub composi ta ex I. RM, de ex, MA, una cum rectangulo sub, RM, & subco posita ex .RM,& I. MA, ergo sic etiam erit quadratum solidum N R, ad quadratum solidum iemiportionis, MSXFR, & ita etiam quadratum solidum, G, a s quadratum lolidum ipsius, IC FS,conulpecta figura dicta: prop. s. quod ostendere opus erat.
Posterior pars dictae Prop. 3. ostendetur ut ibi, solita nominum
mutatione facta, sicut etiam Prop 4. Prop. I. restauratione non indiget; Cor. autem deducetur eodem modo, ut ibi mutatis tantum dictis nominibus , fiunt enim quadrata solida figurarum hului. ijMς in parallelisun eiusdem schemate interceptarum, figurae solido δ' ' ' aequaliter analogae, unde etiam iunt aequales, ex quo concluditur deinde corollarium eodem modo, quo ibi factum est . Prop. 6. cum Cor. Prop. 7. 8. p. cum Cori pariter ut ibi Ostendentur, muta ri nominabus, ut ruina Psop. io. sic patebit probabuntur ea si f-gurAE, AFH, AGH, esse proportionaliter analogaera ideo esse inter
sς, Vt, FH, H G, eodem modo, quo ibi factum eli, ex quo similiterrsoncludetur, AFUT,ad, AGUS, elle vi, PT,ad, GS; 6ι non dii sita.
552쪽
fimiliter In Cor. eolligemus quadratum soIidum, AFVT, ad quadsolidum, AGUS, esse ut quadratum, FT,ad quadratum, GS,subau di tamen in illius schemate secundas diametros,FLGs,esse in eaderecta linea. Prop. I I. cum Cor. demonstrantur, ut ibi, Prop. veroria similiter, solita tantum nominum mutatione facta. Prop. l 3. ostendetur quoque mutatis nominibus,&c.in qua aduerte pag. 7.lin. 22. superflue dici in, EF, quadratum, EI, detract um a recta gulo sub, IE, EF, relinquere rectangulium sub, EI, I F, ut concluda tur detractis omnibus quadratis semiportionis, OCD, a rectangulis lub parallelogrammo, OU, & semiportione, OCD, relinqui re
ctanguia sub, OCD, DCU, hoc enim constat ex C. 23. l. a. vici laturi a margine, illud tamen ad maiorem declarationem appositum erat. Corollarium eiusdem pariter declarabitur mutatis, &c. Prop. I similiter probabitur, cum Cor. mutatis nominibus,&c. Sic etiam Prop. I s. I 6.i .i8. I9.1O. ai. cum Cor. in qua patebit
rectangula sub, ASB, AHTEB, aequari ecctangulis sub triangulis. ABD, AUD , cum sir. t lolida aequaliter analoga, & hoc in sigura circuli,in figura autem ellipsis dicta loIida ostendentur esse propor
tionaliter analoga, ac inter se ut coniugatarum d ametrorum qua drata.' Sic etIam Prop. Q. aD 2 . 23. 26. In qua schema ante cedentis reponendum est. Propos. 17. 23. 29. Io. 3I. cum Cor. Prop. 3 a. cum Cori ac tandem Prop. 3 3. pariter cum Cor.
THEOREMA XXII. PROPOS. XXII. Expositis duabus quibuscumq; figuris planis, de in ea
rum unaquaq; sumpta utcumque regula, ut quadrata solida earundem figurarii iuxta dictas regulas, ita erunt solida quaecumq; ad inuicem similaria ex eisdem genita figuris, iuxta easdem regulas. sint duae quaecumq; figurae planae, ABC, DEF, in qnibus duae
utcumq; sint sumptae, BC, EF, rectae lineae . Dico igitur ut qua dcatum solidum ligurae, ABC, ad quadratum solidum figurae, DEF, regulis iam dictis ita esse quodcunq: lolidum similare genitum ex , ABC, ad libi similare genitum ex. Oh P, iuxta ealdem regulas. Ducatur in altera figurarum, ut in, DEF, utcuinq; regulae, EF, pa--:' Irallela, H M. Igitur quadratum, EF, ad quadratum, HV, habet duplicatam rationem eius, quam habet, EF , ad , HM, sed etiam
alia quaelibet sigura plana delcripta ab , EF, ad sibi similem descriptam
553쪽
ptam ab, Hri, praedictae homologa, habet duplicatam rationem eius, quam, SP, babet ad, HV, ergo ut quadratum, EF, ad quadratum, HV, ita est figura, EF, ad sibi similem figuram descripta ab, Hri, tu permutando ut quadratum, EF, ad figuram quaincuq; aliam descriptam ab , EF, ita erit quadratum,HM,ad nguram pr*dictae similem descriptamab, HV, praedictae homologa,ergo quadratu solidum figurae, DEE,& solidum similare quo
dcuinq; geultum ex ngura, DEF, luxca comunem regulam,EF,sunt lotida proportionaliter 3Auῖus. analoga secundum communem regula,SP,ergo erunt inter se ut Ggurae planae ab eodem latere,ut ab, EF,deleripit. Eode modo ostε- imus quadratum solidu. ABC,& solidu aliud quodcumq: similare genitum ex figura, ABC,iuxta comune regulam, BC,esse inter se,ut figurae BC,dei criptae,sunt autem duo quadrata, BC, EF, & duae aIiae quaecumq; similes figurae plan deicriptae ab homologis, BC, EF,proportionales,ergo & dicta i Olida proportionalia erunt , nepem quadratu,BC, ad n guram, BC, sic erat quadratum solidu, ABC, ad iolidum similare genitu ex, ABC,sed ut quadratu,BC, ad figura, BCota est Quadratum, EF,ad figuram, EF,praedictae simiIem, &ita etiam quadratum solidum, DEF, ad solidum praedicto similare genitum ex, DEP, ergo quadratum solidum, ABC, ad solidum sim, Iare, ABC, est ut quadratum tolidum, DEF, ad solidum praedicto fimilare genitu ex, D EF,ω permutando quad solidu. ABC, ad qua dratu tolidu, DEF,erit ut solidu quodcuq; similare genitu ex, ad sibi similare gen tu ex, DEF,iuxta dictas regulas, quod ostendere
HVius demonstratio similis est demonstrationi prop. 33.L2.eui
per hanc suppletur, Corollaria autem iuxta methodum ibi adhibitam facile quoq; deducentur, illam vero huc releruaui, Vt promptiore n pro colligendis sequontibus Corollariis lib. q. ex hac peadentibus eam taberemus . Adhibuit quidem nomen lolidi similaris, quod per itidenniculii nutu erum parallelorum planorum fuit paruer i xplicatum lib. a. ad B. Defin. 8. attamen si vice Ominnium planorum, leu descriptarum figurarum, lubstituamus quot eumq; plana, leu descriptas figuras, ita ut pertinetri Micriptarum figurarum iaceret melisgantur in superficieipsum tot dum ambiete, intelligenus tithilominus, licet nonnihil diuerio modo, esse idesesidum, quod dicitur similare, ac a propria genitrice Micriptum a iuxta
554쪽
iuxta datam regulam, siue secundam illam definitionem absolute, siue per eandem si e modificatam, ut haec similaria solida ab infini. tatis conceptu. seu ab indivisibilium methodo, eximerentur; Non est autem dissicile insuper in ligere quadrata solida quarumcuq; planarum figurarum, in ambitu eorundem existentium, esse etiam solida similaria, genita ex eisdem figuris, quarum dicuntur quadrata solida, iuxta easdem regulas, iuxta quas quadrata solida dicebantur r & E conuerio solida similaria, genita ex quibuscumq; figuris iuxta quasvis regulas, quarum figurae, a genitricium lineis homologis descriptae tamquam a lateribus, sint quadrata, esse pariter quadrata solida earundem figurarum iuxta easdem regulas. Igitur ad rem nostram manifestum est, quod quaecumq; solida ad inuicem similaria, genita ex figuris lib. 3. hic denuo consideratis, iuxta assumptas regulas quarum patefacta est ratio quadratorum solidorum in habebunt rationem notam, per quod suppletur Propo sit. 34. lib. colligentur autem ut ibi factum est sequentia Corol. laria usq; ad finem eiusdem lib. 3. mutatis tantum laepe dictis no .minibus , ubi necesse fuerit, quod enim ibi per omnia quadrata hic
per quadrata solida consideratarum figurarum colligetur. D ctrina autem scholij subsequentis etiam pro hac noua methodo subsistit, si tamen vice omnium figurarum, seu omnium planorum, substitutas intelligamus quotcumque fguras, seu quotcumque plana, caetera enim a methodo indivisibilium exempta iunt,& haec sussiciant circa examen lib. 3. nunc autem Prop. lib. q. similiter perlustrabimus.
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
ASsumpta ex schemate Prop. r. Lib. 4. semiparabola, CHG, cum parallelogrammo,EG, visa tamen etiam illa figura, ostendemus parallelogrammum , EF, sexquialorerum esse parabolae,ΗCF.
Produ sta enim diametro, CG, utcumq; in, V, describatur quadrans circuli, vel ellipsis, HGV, iuxta duas semidiametros conlu-gatas, HG, GV, & per, H, ducta, EP, parallela, CU, di indefinith
extensa, agantur similiter a punctis, CV, parallele, HG, ipsae, E PU, erunt ergo parallelogramma, EG , GP, EG, quidem circum
script in semiparabolae, HCG, & , PG , quadrati, HGV, si insinper quaecumq; MO, ordinatim ad, HG, applicata, regula, CG,quε
555쪽
percurremus. Igitur circa Corollarium p. I. nihil dicendum est. Prop. 2.autem restauratione non indiget. Prop. I. similiter.Ρtop. 4. ostendetur eo modo, quo nos primam demonstrauimus, Corollariu verb deducetur ut ibi,mutatis tame sepe dictis nominibus Sc.ex hac autem ostensa facile deducetur prop. 3. cum Cor. inutatis Sc. ut etiam pro p. 6.cum Cor.p.7. 8. cum dictis in Scholio . Similiter Prop.9.io.cum Cor. mutatis & Prop. t cum Cor.p. I 2 13. l 6. 7. cum Cor. I 8. 9.c a Cor. 2O. cum Cor. restaurationem minime postulant, cum a methodo indivisibilium non dependeant.
Exposito denuo Schemate prop. a I .eiusdem lib.4.regula eademAF,retenta, ostendemus quadratum solidu, AF,duplum esse quadrati solidi parabolae, VEF,& hoc esse sexqui alterum quadrati solidi trianguli, VEF.
Esto quod, ND,secet, FF, in , I, igitur rectangulum, DNI , est aequale quadrato , NO, quod & circa quascumq; applicatas con tingere concludemus, ergo recto' Agulum solidum lub parallelogram- mo, CM,& triangulo, EME, erit aequaliter analogum quadrato solido semiparabolae , EME . quadratum solidum autem, CΜ, ad rectangulusolidum sub eodem parat Ielogram-mo, CM, & sub triangulo, EM F. est Vut, C MM4 EMF,ideli duplum,ergo quadratum solidum, CΜ, du.plum erit quadrati solidi, EME ,& consequcnter quadratum soli. dum, AF, duplum etiam erit quadrati solidi parabolae, UEF, unde ει quadratum tot dum, V EF, sexquialterum erit quadrati solidi , EVF, quod&c.
Pta suprapositam prop.suppletur prop. ai. prop. a 2. vero dedaecetur eodem modo mutatis nominibus &c.
THEOREM A XXV. PROPOS. XXV. . Assumpta ex Schemate prop. a 3.semiparabola, NOH, cum frusto, MROH, & parallelogrammo,VO, ac re
556쪽
s o GEOMETRIAEcta, , secante euruam, MΗ,in, I, regula, OH,ostendemus quadratum solidum,PΗ,visa dicta figura ad quadratum solidum, ABHM,eine vi, O ad compositam ex, NR,& .RO.
Extendantur .n. HO.UR, versus,OR,& fiant, UC,RA, sngulae aequales ipsi,ONAE, DO BR, capiantur singulae aequales ipsi, RN. & iungantur, AC, BDAB, quas extensa indefinith, TX, secet in, F P,E. Eiunt ergo, AO,BO, AD, parallelogramma. Cum vero, CO aequetur, ON,& DO, ipsi, RN, erit, CD,aequalis,OR .i. ipsi, DB, Vnde etiam, ΕΡ,ipsi, PB, hoc est ipsi, RX,& tota, EX, toti, NX ,&reliqua, FE, reliquae, , aequalis erit. Quoniam vero quadratum, GH, ad quadratum , XI, est ut,ONod, NX, hoc est, FX, ad, XE, hoc est quadratum, FX. vel quadratum , Co , ad
re tangulum, FXE, ideo permutando quadratum, HO, ad quadratum , OC, erit Ut quadratum, IX,ad rectat gulam, FXE, ex quo conclude.
mus , ut in superioribus rectangulum soli dum sub, AO,& trapezio, BCOR, esse proportional ter analogum quadrato solido, R ME O. Similiter ostendemus quadrata solida, AO,OU, esse proportionali ter analoga,& consequenter praedictis duobus solidis ella propor tionalia colligemus, unde permutando quadratum solidum. VO, ad quadratum solidum, MORΗ, leu conlpecta figura prop. ἐ.lib. 6-ὶ quadratum lolidum, PH,ad quadratum lolidum frusti,ΑΒΗM,
P er hane similiter suppletur prop. 23. posterior .nω pars, cum
Cor. deducetur ut ibi nutatis nominibus &carop. 2 q. rei au ratione non indiget, sicut etiam p s.cum Cor. Prop. 26. flende
tur etiam ut ibi, mutatis, &c. sicut & p. 27. cum Cor. similiter p. 28. cum cor. p. 29. cum Corol larin , p. 3o, cum Corollarijs, p.
557쪽
π N figura prop46.ostendemus, regula eadem retenta, reia
Sumatur .n. de illius parallelogrammum,HGsto parabolae, BZGD, SE, DP, fiat autem inlusequalis, PD, & ducta, AIela, DΡ upgatur, AD 3 T, in, N. Cum ergo in dicta propol ndependenter ab indivisibilium methodo, eocladatur rectangulu 'RTF,ad,STI,esse viJD,ad, DT,idpsum & hic tanqtia demonstra tu recipiemus,sed,PD,ad, D I ,hoc est, CT, ad, TN, est ut quadrastum, CT, ad rectangulum,CTN,ergo rectangulum, RTF,ad,STI, erit ut quadratum, C. T, ad rectangulum, CI autem, RE, ut cumq;. ducta parallela. ZG, ergo modo consueto ostendemus solidum rectangulum sub , ΗΡ, 'Eω esse proportionaliter analogum quadrato lolido, MP, sicut rectangulum solidum iub , BZPD, DP G. esse proportionalites analogum reci angulo soIido I ub, M p, PAD, & tandem concludemus haec solida esse proportionalia, idest rectangulum solidum lub, ΗΡ,PE, ad rectang. solidum sub,BZPD, DPG,elle ut quadratum lolidum MP, ad rectangulum solidum sub, MP, PDA, idest ut, MP, ad, PDA, idest concludemus rectangulum solidum sub,HP, E, duplum esse rectanguli solidi sub, BZPD, PD CO is. G, quod ostendendum erat- hui S
TI Rop. 6.igitur restaurata, stylo nostro sequentium propositio-
L num demonstrationes prolequemur ab hac usque a d i . inclusuε, quae quidem veritatem habere comperitur ex prop.M.huius ..Scholium autem sequens retineatur ut ibi, subsiluendo tamen nomini omnium similium figurarum hoc aliud j nempe quotcunques miles figuras &co ut in examine lib. 3. animaduersum est. His vero praedemonstratis sublequentia Corollaria usq;ad finem lib.4. l lita nominum: mutatione facta , cuncta facillime deducentur periam ollenIa circa quadrata, seu rectangula lolida sub talibus,& talibus schemate, cum fru- HBM
558쪽
libus figurIs, in antecedentibus prop. consideratis. Appendix aibtem Cor. 6 rehauratione minime indigere manifestum est. Et haec Circa pro p.lib. q. adnotasse iussiciat, reliquum est,ut ad lib. 3.examb
THEOREMA XXVII. PROPOS. XXVII.
IN Schemate prop. idib. s. reguIa eadem retenta, osten' demus quadratum solidum parallelogrammi, AF, ad quadratum solidum hyperbolae, DBE, esse ut,OE, ad com posita me x,N B, & '. BE.
lelogrammum, CE , cum semihyperbola, BEF ,& recta, GF, nec non, MG, 'uaecum ; ex ordinatim applicatis ad
autem , CB, FE, & fiant BD. E singulis aequales ipsi , Esto, necn.n, RE, AB, singulae aequales ipsi, EB, & iungantur, DR AR,AE,quas, G M. indefinite quoq; producta secet in punctis, P, S, Τ. Erunt ergo, D 4s DE, AE, parallelogramma. Quoniam vero quad. EF, ad quad.
ζ l. i. MI ,est ut rectang. OEB, ad, OMB, hoc est ut rectangulum,QER, ad rectangulum, PTS, permutando quadratum, FE , ad rectanguis lum, Q ER, erit ut quadratum, ΗΜ, ad rectangulum, PTS , quod S in caeteris ostendemus, ergo quadratum solidum, BEF, & re. changulum solidum sub trapezio, DQEA,& triangulo, AER ,erunt proportionaliter analoga, ac in proportione quadrati, FE, S rectanguli, QER. onsimili modo probabimus quadratum solidum, CE esse aequaliter analogum rectangulo solido sub, OB, BR, S ad ipsum pariter esse in proportione quadrati, EP, ad rectangulum, QER ,ergo dicta lolida proportionalia erunt, S permutado quadratus olidumCE,ad quad. solidu,BEF, erit virectangulum lolidum sub , . . B, BR,adrectangulum solidum sub,DQEA, ARE,hoc est ut,QE. 7.'μ' - ' ad copositam ex '. ,& y .RE,hoc est ut,OE;ad compositaex, NB, quae est dimidia, BO, &ιBE, ig tur, viso schemate dictet prop. I.quadratum solidum,AF, ad quadratum solidum, DBF, erit ut , ΟΕ,ad composita me N B, & .BE, quod demonstrare oportebat.
559쪽
PSx hqnc suppletur prior parti prop.r .posterior Vero Ostendetur
utibiam utatis consuetis nominibus &c. sicut etiam prop. a.
Consimili autem methodo adhibita in praesenti prop. Ostendemus quad.solidum, GE,ad quadratum solidum, EMEF, in luperiori fg. hoc est in figura p.3. lib. s.quadratum solidum, SF, ad quadratum solidum, H DFG, esse vi rectangulum solidum lub, QM, MR , ad rectangulum solidum sub trapeaijs,PQET,SRET, hoc est ut recta ngulum, Q ER, ad rectangulum sub , QE, ST, una cum rectan gulo sub composita ex . PS,& sub , TM, idest viso schemate p. 3.Vt rectangulum, OEN, ad rectangulum sub, OE, S NM, 1'. hi amVna cum rectangulo lub composita ex ).NO,& y. ME ,& iub, ME; posterior pars autem eiu idem prop.; .deducetur ut ibidem, mu tatis nominibus &c.Sicut& omnes prop. a usque ad ao. inclumue,cum earum Corollarijs. In pro p.r I .vero patebit quadratum sis lidum , O P, visa illius fgura aequari rectangulo 1olido lub, ΟLS,UVCS, figuris, regula, DC, etenim ex ibi demonstratis liquido apparet haec esse solida aequaliter analoga iuxta dictam regulam , ex quo de inde reliqua concludentur mutatis nominibus Sc. sicutici Cor. In propra a. figura sic est corrigenda, debet enim, EC, hinc inde produci,ut incidat asymptot s,ΟΥ, Ρ, versus eam productis, ins S,I,quae litteret desunt, caeterum prop. ostendetur ut ibidem mutatis&c.simul cum Corollarijs, necnon prop. a 3.1q.et .a6. 7. 28. Cum Cor.oc a s.cum Cor. Prop. 3 .autem patet ex dictis .His deniq; restauratis,ac sequenti scholio modificato, iuxta quod dictum fuit , Lin examine lib. 3.& .sequentia Corollaria usq; ad sinem eiusdem i. At not. 11 s. Per quadratorum lolidorum praedemonstrata,s militer,ut in prae- &a6.hu
fatis libris, colligentur, haec auteni pro restauratione lib.3. dicta i snt satis. Quoad Iib. s. vero patet in eo traditas demonstrationes, quae ex methodo indivisibilium dependebant, ibide suisse restauratas. illa:
autem propositiones in quibus adhibentur aliquando nomina ominnium quadratorum talium,vel talium figurarum,adhuc subsistent,s illis nomina quadratorum solidorum earundem figurarum lubrinituamus, bac .n. sola mutatione facta, caetera Om II a manent in
suo robore, ut in eo libro innuitur in scholio prop. 1 o. ac luperius saepe laepius repetitum fuit.