장음표시 사용
531쪽
DEFINITI o. A. Si Huiusmodi ergo solida appellabimus nomine comin
muni solida rectangula. Cum vero unumquodque in eisdem solidis exsecantibus planis productorum parablelogrammorum rectangulorum fuerit quadratum, etiam solida quadrata vocabuntur. Et ipsorum regulae, quibus latera plana rectangula continentia, aequidistant.
1Nsuper solidum quodcunque rectangulum sub duabus A quibuscunque superficiebus dicetur contineri cregulis ijsdem supradictio in quibus unumquodq; squidistantium planorum, ipsum solidum rectangulum ita secantium, ut dictum fuit, aequalia latera per sectionem isdem designa, uerit, sub quibus para Iogrammum rectangulum, ab eo. dem plano secante in solido productum, continetur. Et cum fuerit solidum quadratum porerit etiam appellari, sinlidum quadratum alterutrius dictarum superficieru ipsum
continentium. Ipsas vero superficies, a qualia rectanguiniorum planorum latera capientes, homologas pariternu cupa bimus, regula quocunq; dictorum easdem secantium planorum.
Iuxta ergo suprapositas definitiones manifestum est, quasnam conditiones habere debeant ea solida, quae vocantur solida rectangular Erit igitur, ASOC, rectangulum solidum: quod si, AD, ΕΗ, IM , RO, & caetera huiusmBdi plana fuerint quadrata , poterit etiam dici, AS , quadratum solidum et Ipsius autem reo gulae erunt ex. g. No, in , quibus latera rectangula continentia aequidistant. Esto nunc, quod parallela plana, quae in solido, A rectangula, AD, FH, IM, Ris, genuerunt, indefinite producta occurrerint ex g.tribus superficiebus,'TΣRY, D TZ, ΟΔε,
in quibus per lectionem designauerint, TY, aequalem ipsi, 3D, &
532쪽
.8, aequalem, CD. similiter, ΔΔ,VΩ, Xyti deinceps aequales ipsis, FH, kM, SO, sicut etiam, ΣΑ, ΠΛ, NO, deinceps aequales ipsis . GH, LM, NO, & in luperficie, Dd ΓΟ, ipsas, DZ, Iis, Na, C Γ,
deinceps aequales clidem, BD, FH, ΚM, SO ,& caetera plana pa. rallela similiter te habuerint ipset autem superficies, BO, Dinter te, uti ecia in , CO, φ uiter se, erunt bomologae, regula quocunq; dicto ruin ea idem lecantium planorum inter se aequid uiantium . Dicimus ergo tolidum rectangulum, AO, nedum contin
ri ex. g. lub Iuperficiebus, BDOS, CDON, in quibus iacent latera praefata rectangula continentia, sed etiam sub luperficiebus, Tyt,
O, vel, TR, φυ, vel lub superficiebus, TZDO, OD CN, vel sub, TZDO,pNOΛ8, in his enim plana parallela produxerunt latera ijs aequalia, sub quibus parallelogramina rectangula, AD, E H , IM, RO, & caetera huiusmodi continentur, ut dictum fuit, in quo non nihil a modo loquendi in planis di lcedere videmur, dicitur ra. ex. g. rectangulum planum, AD, contineri lub, BD, DC, quae rectum angulum connituunt,&non sub , TY, φῖ , quae ipsius reclupeL Def.
angulum non constituunt, hoc tamen loquendi modo usus sum ,Sec. Hlam, potius soliditatis determinatione relpiciens, quam continentiam quae sita superficiebus in ambitu contentorum loticiorum existen tibus, cum enim cernerem non omnes luperficies tolidum rectangulum ut sic continentes posse in ipsius contenti solidi ambitu reis fieriri vi ex. g. cum contineretur duabus Iuperficiebus planis in ilius ambitu existentibus, aliae autem illis homologae ellent curvae di tamen latera in his concepta viderem adaequari lateribus recta-gula plana continentibus , S consequenter eorundem areae quantitatem praescribere, unde S istae praedictis homologae superficies viderentur ipsius contenti soliditate determinare quεcum'; enim solida Iub ip sius contineantur inter se erunt aequalia, ut intra oste- demusdideo volui praefata tolida rectangula dici sub omnibus his superficiebus homologis secundum eandem regulam contineri. Quemadmodum si quis aliter ab Euclide diceret parallelogram murectangulum nedum iub lateribus ipsius angulum rectum constituentibus, sed etiam iub quibuscunq; alijs lateribus praedictis qualibus contineri , iubintelligendo non hoc parallelogram muin ipsius ambitu necellario ipsa latera continentia habere, sed per
ea mie sint in ambitu, siue non, ipsius areae quantitatem determinari, palallelogrammum enim rectangulum contentum sub du hus lateribus, iuxta modum loquendi Euclidianum , aequatur cubcumq; parallelogrammo rectangulo sub alijs duobus praedictisae. qualibuν contento. Quod si quis attendat demonstrationes ieci Tit 1 Elem.
533쪽
Elem. a prima illius def. dependentes, animaduertet suam sortiuveritatem siue secundum hanc, siue secundum adductam delini. tionem intelligantur ; consimilem autem demonstrationum terie ex luperioribus definitionibus emanantem, inferius & iptae subiun
THEOREM A XII PROPOS. XII. PRoposito quocunq; solido rectangulo iuxta datas rein
gulas , ac sub duabus quibusdam superficiebus contento a indefinita numero solida rectangula pariter dari possunt, iuxta easdem regulas , quorum unumquodq, pro
posito solido aequale erit, ac sub eisdem superficiebus
continebitur. Sit propositum quodcunq; solidum rectangulum, Pols, iubduabus superficiebus , QSIB, OBI H, contentum, cuius regul sint, HI, IS. Dico indefinita numero solida reis angula reguli et idem pariter dari posse, quoruin unum quod l; ipsi, PO. S, aequa la erit, ac iub eisdem superficiebus, QSIN, Oal H , continebtur. Igitur rectangulum lolidum, pol S, superficiebus culindraceis eo prehendetur , illa: ecgo superncies indefinite hinc itide produci in telligantur, in quibub latera signata per plana parallela , in solid parallelogramma rectangula gignentia, uni regulae, ut ipsi, HI,M'. qui distant, tales autem lunt iuperficies, PS, SH , ΗΒ, ΒΡ, sicur δ t μ ' citam, Pis HS, SB, ΗΡ, quarum est pariter regula, SI,Cum enim/IU, PB, fuerint parallelogramina i ectangula, tam iuxta regulam, Hl, quam iuxta, si, pollunt in ipsis rem lineae uni cuidam parallelae designari: Producatur autem ipsae, PS, SΗ, ΗΒ, BP, hinc inde indesinite, intelligaturq; similiter in quacunq: productarum superficierum, ut tu, Di, producta, existere figura quaecunque,ΔKMλ, homologa, iuxta regulam, RI, ipli, OHIB, in eadem superficie exilienti, deinde pzr illus ambitum , ΔΚMA, feratur quaedam rei ta linea indeficite hinc inde producta, temper ipsi ; SI, aequissistanter, donec Omnem illius percurrerit ambitum, gignens iuper scies cylindraceas. CΔKN, NM, GMAD, D Δ, abicindeniq; a sinperfic: QR,indefinite producta luperficiein cylindraceam, DC NG. Eito igitur, quod unum parallelorum planorum in lolido,PI, rectangula plana gignentium, ut, quod genuit, XV ndefinis c prinduruim,ita ut secet lolidum, CM, in eo produxerit figuram, EF,
quoniam ergo, SP, est parallela ipsi, & ν, nam est portio, ΕΥ, queeit parallela ipsi,&V, sium liter, E&,est parallela ipsi,FFe, erit, EN,
534쪽
parallelogrammum, &, F St, est angulus rectus, est enim exterior parallelarum, FI t, XT,& ideo ipsi interiori, XT&, aequalis, esit, EN, etiam rectangulum, &quia, &R, aequatur ipsi , TU , lunt . n. ΔM, OI, figurae homologae, sicut etiam, FR, aequatur i P si, YU , ideo rectangulum , ER, erit aequale rectangulo, X V. Eadem ratione ollendemuS , quaecunq; alia duo rectangula ab eodem dictorum et quid illantium plano in ipsis lolidis producta φqualia elle, ergo cum solida, 'M, PIisnt in eadem altitudine sumpta regulis easdem aequalibus re- ctangulis, coeluduntur enim Uinter extrema plana parallela, quorum contactus est in planis , NM, RI; CA, PB, ideo dicta solida erunt aequaliter analoga iuxta di Etas regulas, ergo inter se aequalia erunt; &cum superscies, o M,
si homologa ipsi, OI. &, DM, ipsi, QI, regula plano, RI, Pro8te' rea & erit, CM, iolidum rectangulum aequale ipsi, H, & sub elide superficiebus, QI, Io, continebitur,& eius regulae erunt pariter ipsae, HI, IS . Cum vero in superficie, OI, indefinith producta, in definitae numero figurae ipsi . OI, homologae, regula plano , Ba , supponi possint, ut facillime apparet, ideo lupradicta methodo tot solida rectangula ijsdem superexstrui poterunt, regulis eisde, quoterunt figurae ipst, H P, homologae, iuxta dictas regulas, idest nu
mero indefinita, quorum unumquodq; ipsi, PI, adaequari, ac subet idem luperficiebus, Q , IO, contineri, ut supra ostendemus. Quemadmodu sietia indefinite superficies, pH, IIS,SB. BP,supra, vel insta producerentur, alia indefinita numero solida rectaugula inueniri eodem modo pollant, quorum unumquodque ipsi , PI, adaequari, ac sub elidem lupersic ebus, QI, Io, contineri, regulis eisdem, Hl, I S, pari ratione probaremus. Haec autem vileiaca da propOuebantur.
EX supra demonstratis manifestum st, quomodo solidum νectam
gulum sub duabas datis superficiebus contentum , iuxta datas regulas, in datasuperficιe Ulindracea, qua continentium altera sit
535쪽
bomologa, describi possit, superfietes enim CG, describetin σ i a laterae, HG, moto per liaeam, RECHemper ipsi. HI, aequidissenter.
I super innotescit solidum rectangulum quodcunq; esse semper
portionem solidam duobus cylindrisis sese inuicem peν suas su- peoteles e lindraceas decussant bus communem, quorum laterum res regulae si simul ad γnum punctum eo mantur, sibi inuicem perpen diculares eruirit, ut regula. HI, eui aqui distant latera stiperficiei lindraeea. TSΗBv, e t ad augulum rectum cum regulaus, cui quidi stant latera superficiei cylindracea, PHSBT, quod quidem solidum, PI, paret gigni ex concursu dictarumsuperficiem sicut , CN, ex eon cursu earundem PSHBP, rndi res productarum, necnon ipsarum,c GKC, hoc est νη-quodq; psorum, CN, PI, esse portionem solidam commvn em duobus Ulindricis, quorum laterum regulae sunt 1 HI, II, ad anuicem perpendiculares.
VLterius patet , quodsilida rectangula-b superficiebus bomol gis tu xta easdem regulas contenta, inter se sunt aqualia et Et enim si proposits ex. g. essentsupersicres, Io, homologa Nos, DN, ΜΔ, regula plano, RI, σ completa fuissent Iotida rectangula,m N, eodem modo ostensum fuisset ipsa ιnter se aequalia esse.
Ex hac Prop. ct cor. ant. deniq; apparet, quam congruenter diinctum fuerri solidum rectangulum nedum sub duabus superfici bas in ei dem ambitu exolentibus continera, sed etiam sub duabus ali s quιbuscumq; p aditiis homologis, iuxta easdem regulas, licet enim diaersis superficiebus ι a solιda comprehendatur, tamen eadem semper folidatis quantitas conseruatur, retentis erraem regul/s, cuius determinatio cum ex lateribus habeatur , vel retiangula plana dictoin ruin folscorum continentibus, vel aequalia ijs, qua eadem contιnent, iaceant vero bae ια dictis superficiebus, propterea non incuriassuto,
dictum fuit prafata solida sub talibus quιbuscumque homologis super sicinus , regulis eisdem, contineri. THEO
536쪽
LIBER VII. sis THEOREMA XIII. PROPOS. XIII.
SI, expositis duabus quibuscumque solidorum rectangu
lorum descript ibilium regulis, ad unum punctum coinpositis, iuxta easdem solidum Iectangulum contineatur
sub parallelogrammo , & alia quae umq; figura plana in ambitu contenti solidi existente, ipsum solidum rectangu- , tum erit cylindricus, & figura plana superius dicta erit illius basis. Quod si etiam praedicta figura fuerit parallel grammum, di ambo in illius ambitu, contentum ijsdem solidum rectangulum erit parallelepipedum.
Exponantur duae inuicem Perpend. culares regulae, BC, CD, s lidoru descriptib li sub parallelogrammo ,ΑCadi figura plana quacumque, H DC,sit autem descriptum solidum rectangulum sub eisdem contentum, AG CH, iuxta regulas, B C, CD, ita tamen ut figura plana, HUC, sit in ambitu ipsius contenti solidi. Di.co, AG CH, esse cylindricum . Quod .n. EAC, CG, GH, sint superficies cylindra
BC, manifestum est, quod vero latera persecantia para tela plana in ipsis designata sint aequalia ipsi , BC, Ia teri parallelogrammi, AC,ex dictis etiam cossare potest,sed mai ris dilucidationis gratia sit ab aliquo dictorum lecantium planoru, in solido, AGHC. productum rectangulum, IMON, est ergo, IN aequalis, Mo, hoc est ipsi, BC, quo pacto idem de caeteris ostendemus, in parallelogramino autem, GC, eadem verificantur, di in illi opposito, si contactus plani ipsi, GC, oppositi essent in plano , ut manifestum est, ergo perinde est ac si latus aequale , BC, ambitu figurae, H DC, extremo lui puncto temper ipsi , BC, aequi distanter percurisset iplam superficiem, ADBH , dei cribendo, erit ergo, Λ GCH, cylindricus, cuius basis est, H DC, figura. Praefatum quia dem lolidum babet in ambitu figuras ipsum continentes, sed s v simu
537쪽
limus etiam casum intelligere cum tantum figura plana est in illius ambitu , hoc in schemate ant. prop. facit E percipiemus, in qua sint regulae, SI, ΙΗ, continentes vero figurae, I, ΔM , quarum . OI supponatur esse parallelogrammum , sed non in ambitu comtegit eisdem solidi, quod sit, C M, ΔM, vero sit figura plana, quae debet in ambitu solidi reperiri, igitur consimili methodo ostende. mus etiam, CH, esse cylindricum. in basi, ΔΜ, constitutum.Quod si continentes figurae, QS, IO, fuerint ambo parallelogramma, ac in ambitu conterui solidi, quod sit, PI, manifestum est nedum, PI, esse cylindricum, sed etiam esse parallelepipedum, sunt enim pla. na.RI, PR, parallela, necnon, PH, est is perficies plana ipsi , QI, parallela, ac, ps, est plana, necnon ipsi, HB, similiter parallela, quod ollendere oportebat.
Ex hoe eolligitur, si, dubia, EH, per, H, parallela , DC, in parallelis, EM, DC, ind sin te productis, reperiatur alia quacunq; plana figura, ut, EHc . sol id ιm rectangulum sub parallelogrammo proposito, AC, seu illi analoga superficιefecundum r gulam ρ lanum, GC, sub figura, FHC, in ambitu contenti solidi exi sente , quod sit,A H, ad eontentum sub eodem parallelogrammo , Ac, seu illi unaloga superficie 'cundum dictam regulam, oe sub Dura, HDC,dummodo ea sit in ambitu pariter contenti solidi, esse ut figura, EM, adhu . huius. ram, IDC,sunt enim hac solida, ABFHC, ABGHc , cylindrici in e dem altitudinesumpta respectu basium,EHc, DHC,σideo sunt ι ter se ut ipsae bases, unde e m ipse fuerint aequales etiam dicta solidi rectangula aequalia erunx .
HAbetur insuper si tu eodem schem ite d ιcatur in parallelogrammo, AC, quacumq; parallela, He, ut, RS , constituens paralle-Dtrammum, 'G, rectangulum solidu nsub, AC, ct figura plana ex.g.HDC, eonti nium , dummod9 haec sit in ipsius ambιtu, ad recta gulam folidum sub, AC, ct eadem figura, IIDC, in huius etram a ubitu ex, flente, seu sub quacumq; alia plana figura tu essidem parallelis cum H DC, existent, dummoda sit in ipsius ambitu, regutis Udem, BC, CD, esse ut parallelogrammum , AC, ad parallelogrammum, CR, seu vi,BC,ad, cs i Et si sint etiam parallelogramma . HV, HD, habetur etiam recti-
538쪽
v rectangulum, B D, ad rectangulum, SCV, sunt enm haec plana re Mavul.t bases dictoriam rectangulorum solidorum , qua ex is/s Dulpa uilelepipeda ,seu Olindrici eiusdem altitudinis sumpta respectu dictarum basium, ct ideo sunt diti ae bases, Mu est ut dicta rectangu- , supposito tamen quod continentiatarallelogrammasint in ambitu
Poteram quidem exhiberi parallelogramma, AC, RQ in eodeplano cum figuris. EHO, CH D, & in eisdem cum ipsis parasin - telis, ut, HL pro ipso, AC,&, His, pro ipso, RC, dc inrelligi me tali terrii pia talida rectang. am dicta lub istis in eodem plano iacentibus fg. prout dictum est, quo pacto eadem intelligi potuissent, sed cum nonnihil dissicile captu initio huius nouae doctrinae hoc mihi fore videretur, eadem ut supra exhibere malui, verunta men valde expediet pro sequentibos assuefieri dictorum solidorum mentali descriptioni, exhibitis continentibus eadem sig. quae,pu. , semper planae erunt in cudem parallelis constitutis, quemadmmodum duabus quibuscunq; rectis linias exhibitis, illico rectangu-him subi με mentaliter describere solemus, sicuti di quadratum datae rectae lineae cuiuscumq: absque eo, quod semper in schema tibus ipsa descripta exhibeantur,ue ergo S solida rectang.& solida quadrata ,sub duabus planis figuris in eis in parallelis existentibus iuxta datas regulas contenta, ad figurarum confusionem euitan dam & nos quoq; mentaliter ut plurimum describemus.
SI duo triangula fuerint in eisdem parallelis constituta. Solidum rectangolum sub eisdem contentum , regula altera dictarum parallelarum, ac alia quadam illi in sublimi perpendiculari, erit pyramis , habens in basi parallel
grammum rectangulum, sub dictorum triangulorum basiinhus contentum, dummodo alterum dictorum triangulora sit in ambitu contenti solidi. Sint duo triangula in eisdem parallelis constituta, LX, ND, nepe, ABC, AC D, in basibus, BC, CD, in parallela, di D, diis Ositis,
539쪽
B. Dico solidum rectangulum sub duobus triangulis, ABC, ACD.
contentum, regulis, BC, CF , esse pyramidem, cuius basis erit pa. rallelogrammum rectangulum sub praedictis basibus, BC, CD, N. riter contentum, dummodo alterum dictorum triangulorum sit in ambitu ipsius contenti solidi. Sit enim descriptu in ipium solidum rectangulum sub triangulis, ABC , ACD, contentum, nempe, AEBCF, sit tamen alterum ipsorum, ut, ABC, in ambitu ipsius contenti, solidi,&. AFC, superficies homologa ipsi, ACD, iuxta regulam planu, BCF, erit ergo, ACF , triangulum, esto enim, quod unuparallelorum ipsi, BF, plano rum, solidum, AEC, secantium, in eo effecerit parallelogrammum rectangulu, GMIΗ, & intriangulo, ACD. rectam, ILiam scimus, quod. Hi, est in codem plano cum, m. cui est pares. lata , & ambo iunt in eodem plano cum, AC, quod etiam de reli. luis insuperficie, ACF, ipsi,FC, parallelis existentibus eodem mo. o ostendetur, ergo iacent omnes in plano ipsarum, AC,CF,ergo, ΑCP, est superficies plana cum vero ut, CD, ad, IY, ita sit, CΑ,ad, ΑΙ, & ita etiam, CP, ad, I H, erit, CF, ad, I H, ut, CA, ad , AI, e go tria puncta, FH A, erunt in recta linea, in eadem autem esse ostendemus etiam reliquarum ipsi, CF, parallelarum extrema puncta ex hac parte, ergo, ACE, erit triangulum: Consimili autem modo pariter demonstrabimus, ABE, AEF, esse triangula ,& est , BF, parallelogrammum rectangulum, ergo solidum, ABF, est pyramis , & eius basis parallelogrammum, BF, quod ostendere Opus
EX bκ pariteν intelligi potest, quod folidum rectari. contentum subtraheriis Q. M BCI, ICDr, in eisdem paralleiis, ST , ex ilentibus, regulis iisdem, BC, F, est frustum pyramidis absciisa pre
540쪽
parallelepipedum , triplum erit contentI sub triangatis praedistis ides pyramidιs, AEC. contentini vero sub parallelogrammis , TC , O, C X, ad contentum subdi In rapexi s boc est ad frustum nramidis, GECI, erit ut quadratum, BC, rectangulum sub , XI, ΙΜ, νηο cum ' .qua a*.liu.ii erat. x Μ, retentis semper iisdem reg. BC, CF . Hac autem vera sunt siue latus, AC, sit commune praefatis triangulis , seu parallelogram .mIs siue non,ac sine latus,IC, sit eo mune predictιs trapet ijsseu parat Iesegrammis diue novi furte ramentι innotescet.
PAtet ultimosolιda rectangula sub dictis trι angulis, regulis iam dictis, eontenta ,se habere inter se, ut ipse pyram des, nempe aeque alta esse in pro porcaone basium, O in eadem , vel aqualiqus ba . si ous existentia esse in proportione altitudinem respectu basium assisut piarum, quod euisimile illi, quod animaduersum est in cor. I. oe I, Prop. ant. circa paralle raminafolι da rectangula continentia.
ADuerte autem cum inireturn rectangulum fuerit quadratum, tunc unam sussicere exponi figuram, vi ex. g. triangulum, ABC, quod tunc aequi pollet duobus expositis, ABC, Λ CD, ct contentum solidum 1 ub, ΑΒ ', ACU, tunc etiam dicimus quadratum solidum ipsius, ABC, regulis, BC, CF, haec autem planarum 13gurarum quadrata solida mentaliter quoque ut plurimum descripta esse intelligemus, ut etiam luperius animaduersum fuit. His au . tem praepositis. nunc illa subiungemus, quae assimilantur Prop. Sec. Elem. ac iuxta methodum indivisibilium lib. a. prop. 23. Osteissa fuere a
SI duae exposita suerint superficies solidum rectangulu
iuxta datas regulas continentes, altera autem Carum
fuerit in quotcunq; partes diuisa per lineas secantes quas.cunq; suae regulae intra dictam superficiem parallelas, alte-