장음표시 사용
541쪽
ra autem fuerit indiuisar Solidum rectangulum sub induvisa, & sub diuisa contentum, aequab Itur solidis rectanguis lis sub eadem indivisa, & sub partibus diuisae, regulis ijsdem, contentis. Sint duae expositae superficies, M. CH, solidum rectangulum, FC, iuxta regulas, kC, CB, continent est, earum autem altera, Vis AC, sit diuita in quotcumq; partes, ut pet laneam, DEC , secan
rem quascum P intra superficiem, AC, ipsi regulae, BC, parallela in duas partes. DEC, AD ECB , i plavero. HC, sit indivisa. Dico solidum Fc tentum sub indiuita, HC, & sub diuisa, AC, idest , FC, aequari solidis contentis sub, DEC, CH, & sub , DECBA, & sub eadem , CH. Intelliga
tur ergQ quaadam rectam lineam fer
ri per ipsam. CED, indefinite produ
ctam , donec totam percurrerit, ac
semper moueri ipsi regulae, ,aequi- distanter, describet ergo superficiem cylindraceam, quae sit, ΚΕΗ, & ab . scindet a superficiebus, PK, AC ,su- n C
perficies cylin fraceas, I IX, DEC, &, H C, est cylindraceara hoς siue sit in ambitu contenti lotidi, siue non , alioquin non possen*Iatera, quae per soliduin, PC, secantia plana, ips, GC, aequidista tia signantur in ipsa luperficie, HC, omnia uni regulae, kC ,aequi distare, ergo solidum, HINC ED, superficiebus cylindraeeis com prehenditur, quarum regulae sunt, kC, CB, inuicem perpendicula. res ergo si soliduin, IIILCED, secetur planis ipsi,kB, paralIelis fiet in solido paralles ogramma ipsi,IB, aequi angula, hoc est rectangu Ia ,&ideo dictum tolidum erit solidum rectangulum contentum sub, FIC, CED, superficiebus: Eodem modo ostendemus, Hlin EDAG, esse solidum rectangulum contentum sub superfici DIC, hoe est. Dk, it i homo toga iuxta planum, ΒΚ, ac sub, DECBAast autem solidum, FC, aequale duobus solidis, HIC, CIUM, simuIsumptis, ergo solidum rectangulum eontentum sub indiuisa super. fele, FIC, & sub diuisa, AC, aequale est solidis rectangulis contenistis sub eadem indiuila, IM, & subpartibus diuisae , DEC, DECs Α, regulis semper ijulem, BC, CK, retentis, quod ostendere Opuo
542쪽
assumptu pro regulis , DF, FH, muicem perpendicataribus statamen νt,m, sit extra planum parallelarum, AE E ' C.
dratum solidum sub indivisa, BGEO , o sub B
eadem, BGEo, quatenus diuisa, aquari rectangulis folιdis nub eadem indivisa, BGEO.qIub partibus, BGE , ME .
solli turre 3 quadratum solidum ipsius , BGEO, aquoi recta.
g ιssolidisseis, BGEO, ac, 'νιriusq; partibus, BEG, BEO , per rim. in subinde aquari quadratιs partιum , BEG, BEO. -alum νectauia obis sub eisdem partibus , BEG, BEO, per cor, a n
543쪽
ipsi, DA, Drai Has is figura , BGEN, O eeinde illis adiungi, B EO,figuram in eisdem parallelis eu BGE , constitatam; recta Miuum solid.mob. BGEο,σsub, SP Eo , boc es unam sub , BGE I. seu, BIER, DL BREO, indivisa, aliudsub , BIEo , Osub , BR EO, cum quadrato solιdo, BIE V, quod iunctum rectangulo solido fab, BIsqq, BREG, facit rectangulum solidum sub, BIEN, BIEO , per cor. a. in aquarι quadrato solido , MEO, per Cor. . boc est rectangulum solidam sub figura composita ex proposita, BGET ,σ adiecta, R EO, sub adieci.r, SNEO, cum quadrato DIido , MEV, dimidia ipsius proposita, ae 'uari quadrato solido, BIEO, composita ex dimidia, BIEN, σ
Colligitar sexto, in eadem M. BGEO, posito, quod per lineam rus tum, BP E,fecentur icta parallela ipsi, DF, quad. solidum fi gurae, BGEO, cum qui aio solido Har. ηδ O MEO,aequari rectangulo solidabis sub Asgo,ct, nT ' -
β εο, figuris contento, eum quadrato solido qua figura, BGER. Ham quadratum Iolιdum, BGEO, Xquatur quadratis folidis,BGEN, B EO, cum duobus refrangatis solidis D E sub eisdem Duris , addito ergo quadrato solid9 commani, B EO, fient quadrata fotida figurarum, BGEO, BIXE , aequalia duobus rectangulis solidis sub figuris, BGEN B EO. cum duobus quadrarrs solidu, BN EO, boc est duobus rectangulis solidissub, BGEO, BI EO , cum qu drato solido, BGER.
Colligitur septimis, si proposita figurae, B GE 2c, diuidatur per Ibneam, BIE, dictas quoq; parallelas Ipsi, D F, fisantem,recta gulsu solid/m quatre sub , BGE I E V, cum quadrato solido, BGEI, aquetri quadrata olido figura composita ex , BGE 2 L, Ofigura, BI E V , seu illi bomologa , qua sit, B PLE O . Dao ι vi rectangula fotid L sub, RGE V, BIE ' , cum quadrato solido,B GH, aquantur duobus la ιdeatis folidis, B G EN, B I E 2X , ex Cor. σοι.
544쪽
per Cor. Terarum, ιds cum duobaes rectangulas solidis su BIEO, gomo ora ipsi , BGEI. σ, Blm, quibassi addatis residuum quadratum solidum, R NEO. fiunt duo rectangula solida sub , MEO, ME qu uir osotiua, BN EO, aquaira quadrato solido, BIEO .seu, Η, cum quadrato solido, SIE . rgitur quadrata solida, BGEN, B M Os duiu sunt Fadratorum solidorum: RGEI, MEV. '
OIligitur nono, suppositis in figura sectionibus ipsius con φ.qu
BGEI, BIEO. Etenim quadratum folrdum, BGEO, aquatur per Cor 1. cum duobus rectangulas Iotidis sub, BGEI,Ieu, MEN UIι homologa. σ, BIEO, qua duo rectangulasotida fa-
545쪽
D mertatur autem me in omnibus supra positis Corollariis iupponere secantes lineas, parallelas ipsi, DF, in dictis figuris, non nisi semel occurrere eidem rectae lineali vi, BIE, semel, ac, BNE, icorsim semel tantum ; ipsas vero parallelas ad ambitum mgurae terminari, ς singulas tu tegras esse, quod hi iam suppono in Prop. 2 3. lib. 2. integras autem esse subintelligo; cum in plures rectas lineas, aliquo interuallo separatas, per ambitum figurae, quae ab eadem regulae parallela efficiuntur,difiungi minime comperientur. in quo tensu sciat lector ne quis circa hoc haesitaret in me tem per in his libris hunc ter nu usurpare, sciat insuper easde regulas DP,PH,pro omnibus te inperretineri. Haec aute segnius,quam forte par erat, a me nunc explicata sunt , sed cum Propositiones Lib. dec. Elem. haec imitarentur, & insuper consimilis doctrina , adli, bita tamen indiuisibilium methodo, tradita iam fuisset Lib. a. prop. M. ideo mi rerum smilitudo fastidium pareret, currenti, ut ita dicam, calamo adnotatalist. Ex iapra dictis autem facile est intelligere nomen quadrati l olidi alicuius figurae planae aequipollere nomini omnium et dr*nalga eri id m figurae, & nomen rectam guli solidi sub duabus figuris aequi pollere nomini rectangulo niub eisdem riguris, quibus quidem in methodo indivis bibam ut e
bamur, ex quo patet, ut sic nos indefinitum sanorum nuprarum euitare, cui ipsorum,quae rectangula lolida appellauimus, soliditatem satis concinne puto substituimus. His autem patariis, seqGen. tium propositionum deinonitrationes tum quae supersunt l. 2. tum lib. 3. q. ac sis paucis mutatis c0mpendiosissime per hane nouam methodum, absq; tolidarum figurarum circumscriptione,& inlcriuptione, ut at j coniueueruor, necnon facile, ostendemus, per haec vero Prop. a 3. Lib. . iam satisfactum esse manifesto apparet.
Conspecta denuo figura Prop. 3o. lib. a. & assumpta
regula, FD, S alia, quae a puncto , F, quomodocunq; intes ligatur elevara super planum, AF, perpendiculariter ipsi, FD. Rectangulum solidum sub , AE,EC, ad rectangulum solidum sub , ADEC, trapezio,& triangulo CEF regulis iam dictis, contentum,erit ut,DE,ad compositam ex l.
546쪽
Hoc ostendetur eodem modo , ac insupradicta prop. 3o. lib. 1. mutatis tantum supradustis nominibus, nempe si ubi dicimus te. ctangula sub duabus quibusdam figuris, hic dicamus rectangulum solidum sub eisdem figuris, sicuti etiam cumdicuntur omnia qua .drata cuiuidam figurae, nos illius vice nunc substituemus nomen quadrati linlidi ei uidem figurae,ut supra dicebatur. Igitur cum rectangulum solidum sub trapeato, AD BC, diuiso per lineam, B
quetur rectangulo solido sub , AE.&triangulo, C EF, vel triangulo, BEC,&rectangulo 1olido sub triangulo, BEC, S triangulo,C EF, primo patet rectangulum soliduin sub, AE, EC, ad rechang. solidum sub , AE , & tria. gulo, BEC, csse ut, Bb, ad, BEC, idest ut, DE, ad I. DE, est enim, Bb, duplum trianguli, BEC. Similiter rectangulum solidum sub ,ΑE. EC, ad quadratum solidum, BF, est ut rectangulum, DEF, ad quadratum, EF, idest ut, DE, ad, EF, quadratum vero solidum , B
erit etiam triplum duorum rectangulorum solidorum sub, BEC,CEF, quadratum Iolidum enim, BF, ostensum est aequari quadratis solidis, BEC, C EF, eum duobus rectang. solidis sub , BEC , C EF, ει ideo erit sexcuplum rectanguli solidi, sub, BEC, CEP, idest erit ad illud vi, EF, ad sui s ergo ex aequali rectangulum solidum sub, AE,EC, ad rectangulum solidum sub, BEC, CEP, erit vi, DE, ad D EF,&ad rectangulum solidum sis, A E, & triangulo, BEC,seu, CEP, ostensum est esse ut, DE, ad . DE, ergo colligendo recta gulum solidum sub , AE, EC, ad rectangulum solidum sub, AEAEF, & sub, CBE, C EF, idest sub trapezio, CAL ῆ, & triangulo, CEF, erit vi, DE, ad compostam ex I. DE, & l. EF . quod ostende
Praesentem propositionem denuo secundum hanc nouam methodum ostendere volui, ut adhu us imitationem , reliquae suppleri possint, in quibus, non a Ita, quam supradictorum nominum mutatione facta, demonstratio simillima fit, cum ea pariter fuerint stabilita priscipia, ut in antecedentibus potuit studiosus animaduertere, quae principjb methodi indivisibilium similia ap-Parebant, i ciet ergo tales propositiones, tantum innuere, cum X xx illa:
547쪽
illae non alia nutationem, quam praedictam in suis demonidia tionibus, popolcere eidebuntur. Quoad regulas autem, iuxta ruas dicimus lolida rectangula contineri, poterimus etiam viceuarum unam tantum retinere, prout in methodo indivisibilium effectum est, vi ex. g. in fig. huius prose poterat sume ere ipla, DP, altera enim regula non alio fungitur ossitio , quam determinandi cum priori regula unum planum, cui plana lolida rectangula secutia, ac in illis rectangula plana producentia, aequidistant, & hoc manteeedentibus effectum est, ut clarior solidorum rectangulorum delcriptio haberetur, in posterum tamen unam tantum regulam innuemus, alteram tacitε subintelligentes, dum praefata uui cuidaeise parallela lam per lupponere debeamus , erunt autem eaedem regulae, quae in Propositionibus infra citandis adhib:tae fuerunt, nulalias regulas innuendi quandoq; necessitatem habuerimus.
IN eodem Prop. 3o. Lib. r. schemate, regula eadem ibi assumpta, rectangulum solidum sub, AF, FB, ad rectam gulum solidum sub trapezio, ADEC , de triangulo, BEC, erit vi, DF, ad compositam ex, l. DE,& M.
Haec ostendetur ut ibi, praedicta tantum nominum mutatione facta, ut meditanti innotescet.
IN schemate Prop. 3 r.eiusdem Lib. a. regula eadem, rectangulum solidum sub , ΑΟ, ΟΒ,ad rectangulum s lidum sub trape χ ijs, HACN. M BCN , est ut rectringulum,HOM, ad rectangulum sub , ΗΟ, MN, cum rectangulo sub composito ex ..HM,& . No,&sub, NO.
Haec similiter ut antecedens expedietur.
IN stbemate Prop. 32. Lib. a. similiter regula eadem retenta, rectangulum solidum sub , AE, ER, ad recta a
548쪽
Haec etiam ut antecedentes absoluetur.
Hucusq; Propositionibus Lib. a. quae restauratione indigere videbantur latisfactum esse manifesto apparet. Reliquum est, ut& tequentium Librarum Propositiones denuo perpenden tes, per hanc nouam methodum a nobis quoq; & ipsae restaurentur, quod maiori, qua fieri poterit, breuitate, ac facilitate, nunc praestare conabimur.
Assumpto ex Schemate Prop. I. Lib. 3. semicircolo, vel semicli ipsi, EPR, circa diametrum, ER , simul cuapplicata, BP, quae etiam sit regula, & para uelogrammo, HB, iuxta quemlibet trium ibi allatorum casuum nunc osten demus, conspecta etiam illa figura, quadratum solidum portionis, DEP, ad quadratum solidum parallelogrammi, FP, esse ut composita ex . . EB, & .. BR, ad ipsam , BR.
Producantur enim indefinite verius, B, E, ipis, PB, HE,oc fant, BF, EG, singulae aequales ipsi, RE,& iungantur, Gyt , capiaturq;BA, aequalis ipsi, BE, & per, X, agatur, XL, parallela, ER, & iun-rtur, AS, ac sit quaecumque. CN, applicata in lemiportione, EPν quῆς producatui indes nitε G L E Nhinc inde ut lecet, H p, Vtin, M, EX, ut in , i , LX,vt m, Z,SGF, ut in, Q i sunt ergo, GB , LB, GX, parallelogramma,&, RX, ei aequalis, R B, XB , autem ipsi, BE, Vnde rectangulum , I tX B, es aequale rectangulo, RBE, hoc est, in circulo quadrato, BP e dem ratione ostendemus tum rectangulum, QZC, aequari quadrato, CM, tum rectangulniih QDC, aequari quadrato, CN, & hoc Xxx a idem
549쪽
idem probabimus circa alias quascumque applicatas. In ellipsi vero Ostendemus rectangula, RXB, QDC, esse ut quadrata, BP, CN, sicut rectangula, FXB, QEC, ut quadrata, BP, CM. Ergo si intelligamus solidum rectangulum fieri sub parallelogrammis,GLXE, & quadratum solidum, EP. communi regula, B P, erunt haec solida latet se aequaliter, vel pro
portionaliter, analoga, cum sint o l- Vl l in eisdem planis parallelis, nem. l lZ in νpe transeuntibus per lineas, ye P. . GH, & quaecunq; plana his parallela praefata solida secantia, producant in ipsis aequales figuras planas, vel ialtem proportionales, sicut patuit de rectangulo, a Z C, aequali quadrato, Cm vel ad idem mutente, ut rectangulumsFX B, ad quadratum, BP . Eadem ratione, quia Nobauimu, re'ctangulum, Q DC, aequari quadrato, CN, vel ad idem esse ut re' erangulum, RXB, ad quadratum. BP, concludemus solidum recta gulu lub trapetio, EG RX,& triangulo, EX B,esseqqualiter,uel prinportionaliter,analogum quadr. solido, EBP, iuxta communem re' gulam,BP,igitur rectangulum solidum, lub GX,XF,aequabitur qua' drato solido, EP, S rectangulum solidum sub, EG X, EXB, equa' bitur quadrato solido, EB P, vel saltem erunt proportionalia in et 'lipsi, ergo quadratum lolidum, EP, ad quadr. solidum, EB P, esit ut rectangulum solidum sub ,GX, XE, ad rectangulum solidum sub, FGIRX,&, EX B, hoc est. vi, FRX, ad compositam ex l .RX, c J. X B, idest, ut, RB, ad compositam ex .RB. . BE ,ergus ιβ. nui. . iterum conspecta figura prop. r. lib. 3. quadratum solidum portio nis, DEP, ad quadratum solidum, ΕΡ, erit ut composita ex BE, BR , ad ipsam , BR, cum enim semiportiones , DE B, B EP, sint homologε secundum regulam planum transiens per regulam , BP, cui aequidistant plana solida secantia, sicut etiam, FB, ΒΗ ,&Cona. 1 s.cum quadratum tolidum figurae, FP, diuisae peri neam, EB, aeque- huius. tur quadratis solidis, FB, B H,& duobus rectangulis solidis sub, EB, ΒΗ, idest quatuor quadratis solidis, ΒΗ, iceo quadratum solidum, FP, quadruplum erit quadrati solidi, ΒΗ, sicut etiam patebit qua dratum solidum portionis, DEP, quadruplum esse quadrati solidi semiportionis, EB P. ergo, ut quaciratum solidum, EdΡ , ad qua dratum solidum, BH, ita est quadratum solidum portionis,DEP,ad quadratum lolidum, D H, idest ut composita ex e. BE,& I. BR, dipsam, BR, quod ostendendum erat.
550쪽
Ex proxime dictis manifestum esse potest quadratum solidum ccii sicum', figura circa diametrMm, regula basi, quadruplum eo quadratis idie uiusuis eiusdem portionum, quae ab apsa dιametro Ic
Posterior pars prop. l. lib. s. ostendetur ut ibi dicta nominum
tantum mutatione facta cum Cor. sicut etiam prop. 3.
THEOREMA XXI. PROPOS. XXI. Assumpto ea schemate prop. 3. semicirculo,uel semielin
t ipsi, ASFD, eirca diametrum, AD, simul cum applicatis, R F. MS, quarum altera sit regula, & parallelogrammo, NR. ostendemus in illius figura , quadratum solidum FB, ad quadratum solidum portionis, ICFS , esse ut rectam sulum, DRA, ad rectangulom sub , DR, & sub composita ex R. RM,& ex, MA, una cum rectangulo sub , RM , di sub composita ex Q. RM, & '. MA.
Producantur enim indefinite ipsae applicatae, SM, FR , versus νMR, a quibus abicindantur. CR, HM, siligillatim ipsi, DA,Tqu Iesa ut etiam, G Q, ΗΚ, singillatim pariter aequales ipsi,
cimq; inter, RF, MS,diam aro, AD, similliter applicata, quae indefinite hi inde ex . tendatur iecans, Nx, in,V,AD, in , T, LY, in, i, LQ, Π Ο, ΚΩ,ir, Z,S , HG , in , P. Erunt ergo, HQ, ΚΥ, LR, palallelogramma, S rectangulum, GUR, a quabitur rectangulo, DRA, cum autem, Gia, sit aequalis, DR,&, R, ipsi, MA, erit, QΥ, aequalis, RM, hoc eii ipsi, IL, est autem, QY,ad, Y ut, Ol, ad, L, ergo, OI, aequatur, i L, idest, TM, S, EI, ipsi, RM, ergo, EU, aequatur, R I , ergo rectangulum, POT, in