장음표시 사용
521쪽
Manifesta est similiter haec Prop. cum enim secto quolibet ex 'lindrico plano aequi distanter basi, producatur in eo Bgura aequalis ipsi basi, propterea ut balis ad bas m, sic erit figura ad figuram ab eodem plano basibus aequi distante etcumq; productam , ergo hi cylindrici erunt figuri proportionali ter analogae, iuxta ipsas halas. ergo cylindrici aeque alti erunt inter se ut bales.
Hoc ilemonstrato haud dissicile erit stylo veteri ostendere cylindricos exi stentes in eadem basi esse inter se ut altitudines, vel ut latera aequaliter basibus inclinata. similiter eosdem habere inter se rationem compositam ex rutione basium, & altitudinum, vel laterum aequaliter basibus inclunatorum . Et eos qui habent bases altitudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclinatis, reciprocas aequales esset Uel aequales, bases haberet altitudinibus, leu lateribus aequaliter basibus inclis natis, reciprocas atq; similes cylindricos esse in tripla ratione laterum homologorum. Suficiet namq; nos methodum imitari,qua demonstrata Prop. p. lib. a. postmodum reliquae usq; ad Prop. l . ostentae fuerunt, probando circa cylindricos, quod ibi circa omnia quadrata datorum parallelogram. Ostendebatur. Haec autem pro cylindricis postea collecta sunt in eodem lib. 1. Prop. 36. Cor. q. generali a lec. B. usq; ad lac. G. quae quidem animaduertere Opus
In Prop. t s. eiusdem lib. a. haec supplenda videntur. In Sec. A. probatur foram, Κ QM, ipsi , ABD, ω, ΠΤ Ω, ipsi, Ra,aequalem esse ex Prop. 3. eiusdem, nempe ex methodo Indiuilibilium , hoc autem patebit etiam ex prop. prima huius, sunt enim d:chae figurae aequaliter analogae. In sec. B. figuram, M Z P, adaequari ipsi, A QM, &, ipsi, ΠΙ Ω, eodem modo deducetur ex prima huius. In sec. C. probabitur vi, MP, ad, PO, ita esse figuram, MZΡ,ad,OZP, ex prop. r. huius. In sec. D. similitei ostendemus figuram, OZΡ, ad figuram, esse ut, ΖΡ, ad ,-, similiter ex prop. 2. huius. Cqtera vero absq; methodo indiuisibilium subsistunt; vi &Corollaria ,& prop. 16. In Prop. I7. eiusdem lib. a. haec pariter supplenda sunt. In sec. A. elicitur ex pariter lib. a. solidum, ΗΖΓ, aequari solido, ABPC, S,Σret, solido, V Π&n, cum vero haec solida sint figurae aequa liter analogae ut eorum conditiones expendenti patebit, ideo quod ibi ex s. lib. a. hic ex prima huius deducemus. Ia sec. B. solidum,
522쪽
L F, aequari ipsi, I ZOO, S, 368 , solido, Σr ,pariter ex prima huius Cossigemus. In sec. D. quod figura, LE D, ad, OE D , sit uti LE, as, Eo, seu quod figura, QAMY, adά TI MY, sit ut, QΥ, ad, ET, idest ut, LE, ad , Eo, vel quod figura, LEE, ad , OFE,sit ut,LE,
ada EO, patet, ex prop., huius Quod vero solidum, LDFE , ad solidum, ODFE, sit ut figura. LEF, ad figuram, UEF,iden ut,LE, ad , EO, inanilistum est pariter ex s. huius. Iniec. F. solidum , ODFE, adtolidum, 367 ,essc ut figura, EDE, adfiguram, q6T, saleb: t ex 3. huius, sum enim dicta solida fgurae proportionaliter analogae ut consideranti manifestum erit. Caetera huius pror.
Cum Cor. & prop. I 8. ablq; methodo Indiuisibilium subsistunt, ut examinanta iacile apparebiti
OVaecunq; de parallelogrammis ostenduntur in Prop.
. 6. 7.&8. Lib. a. eadem etiam de trianguliS,condicitiones ibi suppositas ctuca suas hases & altitudines, seu latera aequaliter basibus inclinata, habentibus, veri ficantur. Haee Propositio manifesta es, cum eri in exposito quocunqi triangulo,& assumptis duobus suibus uis lateribus anguium queo libet continentibus parallelograminum compleri possit in illo angulo, cuius triangulum erit dunidium, ideo quaecunq: triangula 34. Primi erunt, ut eorum completa p arat elograta .ma , habentibus autem Liς triangesis circa balas, S alii cudines, leu latera aequaliter basibus inclinata, praefatas conditiones, eam pariter habent completa Parallelogramma. & de illis verisi cantur ea, quae in diniis propo- Α, huius a sitionibus suerunt proposita, ergo eadem de eorum medietatibus, oh hoe est de dictis triangulis veri ficabuntur. Triangula ergo, quae sunt in eadem altitudine inter ieiunt, ut bases; Et quae sunt in ' eadem, vel aequalibus basibus, ut altitudines, vel ut latera, quae aequaliter basi, leu basibus,inclinantur. Habent inter se rationem compositam ex ratione basium,& altitudinum, vel laterum squaliter basibus inclinatorum . Habentia bales altitudinibus, vςl lateribus basibus aequaliter iret natis, reciprocas, sunt aequalia; Et quae iunt aequalia bases hahent altitudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclinatis, reciprocas. Et tandem simit a triangula sunt in dupla ratione latet um homologorum; Quae omnia etiam Lib. 2. Prop. Is . c orolo. I. ex methodo Indiu: sibilium colligebam
523쪽
M. Coroll. a. autem spectat ad dictam methodum pertractan. dam, Propterea non opus est , quod aliter Ostendatur: vero antecedens Propos. αα stylo veteri demonstratur, lacut O ipsa propos. 2o. & a r. quorum Corollaria haud nobis opus est an ter demonstrare , cum eorum ulus non sit, nisi pro methodo Indi uisibilium.
Omci in eadem, vel aequalibus altitudinibus exita. tes inter se sunt ut balas.
Sint quicunq; conici in eadem, vel aequalibus altitudinibus, ΑΕ, BF, exi stentes, AKLM, BS TR Dico hos esse inter te, ut linsorum bales, KLM, SQTR. Abscissu enim ab altitudinibus, A BF, utcunq; partibus aequalibus verius. Α, Β, ipsis. Asis uias por . C, ducatur planum basi.KLM, aequidistans, & persD, similiter planum basi . SQTR, aequidistans, qui M
is. lib. l. bus in conicis producan - γ
xia lib. s. tur figurae , GIO , XNV P, Z erit ergo, Glo,simili si pii, αλ LM, quarum latera hO. Lmesoga, Io, LU, simili. ter, X NUP, erit similis basi, SQTR, ducto autem plano transrimo te per altitudinem, BP, secetur basis in recta, QR , utcunque,&figura, XNV P, in recta, N P, superficies vero conicularis in rei in BQ, BR, erunt ergo hae similiter secta in punctis, N, P, ac, BF,in, D, sicut etiam, Ah, AL, AM, erunt similiter secta in punctis.G, I, Ο, ac, AE, in, C, &, QR, N P, latera homologa similium figurarum, S TR, XNVe, sunt autem etiam, AE,BF,altitudines aequaules similiter sectae in punctis. C, D . Cum ergo figura, Κ LM,fimi lis sit ipsi, Glo, habebit, Κ LM , ad, GIO, duplam proportionem eius, ouam, LM,ad, Io, vel, MA, ad, ΑΟ, vel, ΕΑ, ad , AC, seu, FB, ad, BD, vel, R B, ad, BP, vel tandem eius, quam habet, QR, ad, NP, sed etiam figura, SQTR. ad, XNUP,habet dupIam rati nem eius, quam habet , QR, ad, NP, ergo figura, ΚLM,adni est ut, S TR, ad, XNUR, & permutando figura, kLM, ad, SuTR, erit ut ligura, GIO, at figuram, XNUP, & puncta, C, D, sumo pia sunt utcunque, ac conici, AKω, BSOTR , sunt in aequaliabus altitudinibus, AE, Bri respectu basium, Κ LM, SQIR , aisumptis,
524쪽
titis, , ergo sunt figurae pro ortionaliter analogae, ergo dicti cy. indrici erunt inter is, ut baios. E. , SQTR, quod erat demon, strandum a
QVilibet Cylindricus triplus est Conici in eadem Mis
si, & altitudine, cum eo existentis. Sit quicunq; cylindricus, GO, & conicus in eadem basiaMN ει eadem aliaudine cum ipio. Dico cylindricum. GO, triplum esse conici. HlMNO. Exponatur enim pri. sma, AFD triangulares habens bases, ΑBC, FDE; altitudinis aequalis altitudini cylindoci. GO, in basi vero, FDS. sit Pyramis, CDPE ; erit esego prisma . AD EF, eripium pyramidis, CDEF. eum resoluatur in tres pyramides aequales, FDBC, FDE FB AC, ut ostendit Euclides Vnd. Element. Prop. 7. vi autem se habet prisma, ADEP, ad pyramidem, CDEF, ita se habet cylindricus, GO, ad conicum, Hl MN ergo, GO, triplus est copici,HMO, unde omnis cylindricus triplus est conici in eadem basi,& al. titudine cum eo constituti, illi enim conici, qui sunt in eadem ba- ω altitudine ex anta Omnes inter se sunt aequales, quod osen, dea dum erat .
525쪽
ΡΞrant. prop. satis fit prop. xx. lib. a. ex ea enim pariter habeo tur omnes cylindricos eandem rationem habere ad conicos in eadem basi,&altitudine cum ipsis existentes, cum eorum esse triplos fuerit demonstratum, & eadem, quae ex ipsa deducebam tur, hic pariter colliguntur, proprietates inquam illa , quas cylin dricis eampetere dictum est in Annot. prop. s. huius. Sic ergo ratum, ac firmum est, Conicos in eadem , vel aequalibus basibus existentes, esse inter te ut altitudines. Habereq; rationem compinsitam ex ratione basium, & altitudinum . Eos vero, quorum ses altitudinibus reciprocantur, aequales esse, & aequalium baseὸ altitudinibus reciproeari. Ac tandem similes conicos esse in trupla ratione tinearum, vel laterum homologorum eorundem basium , seu similium triangulorum per verticem traieuntium, quae in ipsius prop. 12. Cor. Sectionibus, in gratiam Conicorum pari ter colligebantur. Per hanc etiam satis fir prop. eiusdem lib.
2.eum per eam ibi demonstrati intendatur cylindricum quemcuq; triplum esse conici in eadem basi, & altitudine cum eo existentis, Ut in Sec. l. Coc. gen. pro p. 3 .pollea declasatur. Aduerte au tem, quod pag. 79. lin. e s. haec verba, ct cum omnibus quadratis duorum trianguloru n gri , Eam, ponenda lunt post haec verba, dupla erunt omnia n qu rdrιtoram, AF .
THEOREMA IX. PROPOS. IX. Coaicorum frusta aeque alta, & in basibus aequε alto.
rum conicorum, a quibus abscinduntur, constituta iratur se sunt ut bases. Videatur schema prop. r. huius, in quo sint conicorum aeque altorum, AhLM, B SQ I'R, Dulta , GIOLΚM , XVI S, in ei idem
cum illis basibus, kLM, SQ TR, & in aequalibus altitudinibus, CE, DF, exi stentia, igitur abscissis versus puncta, C, D, altitudinum partibus aequalibus . & per earum terminos ductis planis basibus parallelis, ostendemus ab ij idem productas in frustis figuras esse inter te ut ipsae bases eodem modo, quo ibi factum est, unde pat bit dicta frusta esse figuras proportionaliter analogas, quapropteripla ella inter se ut tales pariter concludemus, quod erat demon: strandum.
526쪽
LIBER VIA , IN COROLLARI v M. i
aqualibus eumessidem altituarnibus constituti ,sint inter se in bases , reunt etiam inter se ut dicta fructa, ct permutando habebunt 1.huiu,. eandem νatronem ad dicta frusta, unde proposito quocunq; fruso con, co , σ olinoleo in eadem basi, oe altitudine, cum eo existente, ut rationem esindricι adfrustum conicum inveniamus, μιμια alicuius linorei praefata altitudinis ration m ad frustum conrcum in eadem basi,σ ali. tudine eum eo Mastens inuenire x ea enim propositi cylindrici, rustι conici ratio ιllico apparebat. Per banc autem Propos fatis sit etiam Prop. 27aib. 1.σ Sedi. .coria gen. 3q.eiusdemLib. 2. ubi contenditur probare, collisorum stusta in eadem basi, o altitui . ne exissentia, ese inuicem aqualia, hoe enmm per hanc Pνορ man e
CYlindri cus ad frustum conicum quodcunq; in eadem basi, & altitudine cum eo constitutum csumptis dua-hus homologis in oppositis basibus frusti conici eam ha
bet rationem,quam quadratum maioris homologatum ad rectangulum sub ambabus homologis, una cum rertia Parte quadrati differentiae earundem. Idem vero frustum ad conicum in eadem hasi,& altitudine, cum eo existentem , erit virectangulum sub maiori, & tripla minoris,una eum quadrato diserentiae earundem homologarum, ad maioris quadratum. 'Sint in quacunque basi , I RQs, & eadem aItitudine cylindri,cus, F , stultum conici, BPRQS, nempE , LNM,bR , in has mi
noti quoque, LNMI. & conicus,OPRQS,secto autcm quoin DdO.cunq; conico plano per verticem acto, preducatur triangulum, B ἰ φ ' PQ, secaus oppositas bases stulti eonici in rectis , LM, I in quae Verunt homologae similium figurarum , LN MI, PRin , smiliter, eodem extento plano, ac completo cylindrico 'n eadem altitudine cum conico, BRS, secemur eius oppositae bales, necnon Lgura, FVHG, ab eodem plano in rectis, AC, IH, PQ. Dico crso
527쪽
cylindricum, Fa, ad fru*ψn conici.
NISR, eandem rationem habere. quam quadratum , PQ, ad rectangulem, sub , PQ, L M, una cum quadradifferentiae earundem. Idem vero frustum ad conicum, OPQ,esse ut rectangulum sub , PQ. Stripla, - LM , una cum quadrato differentiae earundem , ad idem quadratum, PQ. Etenim cylindricus,F ad fi num contes,'NISR, habet rationem compositam ex ratione cylindrici,
FQ. ad cylindricum, AQ, idest ex
annot. p. ratione, F P, ad, PA. vel, L P, ad, SP, D huius. vel excessus, PQ, super, LM, qui sit,FX, ad,PQ,&ex ratione cylindri ἀci. AQ, ad conicum , BSR , idest ex ε. huius. ea, quam habet, PQ . ad. . PQ
tandem ex ratione conici, BSR, adlSm, quaς est eadem ei, quam habet subus, PQ. vel , FH, ad parallelepipedum ter sub, HX, ει quadrato, XF, ter sub , FRYdig., quadrato, XΗ, cum cuba, EX, est enim conicus. BSR, simi- ' lis conico, BIN,& ideo, BIR, ad, BIN, est ut cubus, PQ, vel,FΗ, Aooot.p. ad euhum, L seu ad cubum, XΗ, unde cum cubus, FH, aequin . hui* tur eubis, FX, xH. cum parallesepipedis ter sis, FI, οι quadra , . & ter sis, HX & quadrato. XF, ideo pei conueεsionem ita tisinis corustus, BSR, ad frustumi ISRN, erit νt cubus , FH, ad 3 parallelepipedum tor sub , EX, de quadratu, XF, ter iub. X P, Q quatiato, HX, cum eubo, ΗΚ . Duae rationes autem nempe, quλhabet, FX, ad. PQ, &, PQ, ad sui I. componunt rationem,FX,ad PQ. vel triplae. EX, ad. PQ, seu,FH. vel, sumpto pro communi basi quadrato. FH, componunt rationem parallelepipedi lubtri pla, ET, & sub quadrato, FH, ad cubum, FH,quae proportio cum ea, quam d xiinus habere cubum, FH,ad parallelepipedum ter sub HX, & quadrato, XP, ter sub, X F, & quadrato, HX, cum , cubo, FX, componit rationem parallelepipedi sub tripla, FX, S quadrato, FH, ad parallelepipedum ter sub , HX , & quadrato, X F , tersub, X F, & quadrato. HX, cum cubo, X F, ergo cylindricus, FQs ad frustum, lSRN, erit ut parallelepipedum lub tripla,FX,& qua drato, FH, ad dicta sex parallelepipeda cum cubo, FX , vel ut eo
rum iub tripla, idest ut parallelepipedum sub, FX, ω quadrato; e
528쪽
Η, ad parallelepipedum sub, HX, & quadrato, XII, sub , HX, &quadrato. XF, cum l. cubi, XF, haec tria verti aequantur paralle.
lepipedo iub, FX, 6c rectangulo, FHX, cum l. quadrati, FXa nam parallelepipedum iub, HX, & quadrato, XF, idem est cum parat. klepipedo iub , FA, & rectangulo , EXH , quod si ipsum iunxeris pcrallelepipedo iub, EX, & quadrato, m, simul cum ' .cubi, FX, 1dest una curn parallelepipedo lub, Fx, oc n. quadrati, FX, cum fit communis altitudo I fiet parallelepipedum lub,FX, ει rectan. gulo, FXH, cum quadrato, AH, idest sub,FXδε rectangulo,FH di sub l. quadrati, FX, igitur cyliadricus, PQ. ad frustum, ISRN, erit ut parallelepipedum iis, XF, de quadrato, FH, ad earallelepi pedum sub, F, &rectangulo, FHX, cum I. quadrati, EX, idest ut quadratum, FH,vel quadratum, PQ, ad rectangulum iu FHMX, vel sub, PR, LM, una cum J. quadrati, FX, disserentiae ipsarum
homologarum, PQ, LM. Quoniam vero conicus, OSR. est l.W- gaiulatilindrici, FQ, idcirco ad idem frustum, ISRN, conicus, OSR, erit vi q. quadrati, PQ, ad rectangulum lub, PQ, LM, cum . quadra. ti, FX, vel ut quadratum, PQ, adrectamulum iubam i S tripla, LM, cum quadrato, FX, & conuertendo frustum, IbRN, ad coni. m. OSR, erit virectangulum iub, PQ, & tripla, LM, cum . quadrati, FX, disserentiae earundem humologarum . ad quadra eum, PQuiuae ostendere opus erat.
PEr superiorem autem demonstrationem suppi x prop. 28.
l. a. necnon ei, quod colligitur in sec. L.& M.Cor. .gen.24. eiusdem i. g. Cor. autem prop. 28. est in gratiam methodi indiui-fibilium. Quod prop. 2'. eiusdem i. r.si intelligamus in eius figura latera, CD, DB, deteribere similes tiguras planas, in quibus t
quam in hasibus cylindrici consistant, quorum latera sint, CD , pro figula, Ds, & DB, pro figura, CD. Q sendemus consimili ibi traditae demonstrationi cylindricum sub laterae, DBinafi figura,DC, ad cylindricum lub latere, DC, basi figura, BD,praedictae simili esse ut, DC ad, DB, & sic etiam ene con cum lub lateribus, CB, BD, basi figura, CD, ad conicum sub lateribus, BC, CD, basi figura ipsius, , habent enim cylindrici inter te, necnon S tonici, r.
tionem, compositam ex ratione hasum, di altitudinum , seu lat rum aequaliter basibus inclinatorum, ut luperius denuo animadu- Anacte. ersum est: Per haec autem satiant etiam Sec. N. Coro η. gen. 3ΦΦ'd 38' eividera
529쪽
eiusdem lib. I. Grea Fero prop. as. & r6. cum Coroll arijs nihil dictum fuit, cum sint lammaticae pro methodo indivisibilium, qua roptet res auratione minime indigere visae fuerunt; Prop. 33.au. tem recoletur in examine IB. 3. cum Cor. Prop. 3 . consistit inde. pendente a methodo indivisibilium, ut illius etiam Corollaria,un. de nec ipsa testauranda visa sunta Veruntamen circa Cor. .geneo tala ei ut deprop. 3 superius suis locis adnotata fuerunt, quae an, maduertenda erant. Reliquae tandem propositiones a 33. usq;ad finem lib. i. non pendent ab indivisibilium methodo, & propterea circa illas nihil nobis dicendum occurrit. Relicta deniq; fuit vltimo loeo prop. 23. cum Corollari j sectionibus. ac prop. 3o. 3 .& I1. 12 3.praecipue depenientibus cum paulo diligentiorem ani maduersionem popolcere Viderentur, praeiertim vero cum propositione a 3. retia urata, aliae qua dam propositiones lemmaticae, ad rem nostram pertineatos, forent superexstruendae, ut in tequentis
i NE EMA XI. PROPOS. XI. SI propositum quodcum; solidum parallelis quotcum;
planis irascari possit , ut conceptae ex secantibus planis in eo figurae sint semper parallelogramma rectangula, latera vero eadem describentia sint omnia uni cuidam Iateri, ut regulae aequidistantiget Illud superficiebus cylim draceis comprehensum erit . Sit propositum quodcunq; solidum, A SOC, quod quidem p
rallelis quotcunq; planis se utim esse lupponatur, incientibus in eo parallelogramma rectangula, ΕΗ, IM . latera vero haec delcris Defin. 3. bentia, GH, LM, vi & reliqua omnia praefata parallelogramma lib. Id pariter describentia ,sint uni cuidam regulae, P L aequid istantia . Dico lolidum. ASOC, luperficiebus cylindraceis comprehendi. Quod enim lupersicies, in qua iacent omnia praedicta latera , quae rectangula describunt quae sit, CNOD, sit cylindracea, mani se .stum eii ex eo, quod ovinia uni regulae, P sint parallela, & eaderatione superficies, in qua iacent latera. rectangulorum praedictis oppolita quaesit, ARSB, erit cylindracea. Similiter cum planu,
EH, aequidistet plano, IM,S, GH, ipsi, L M, etiam, EG, ipsi, LI,
aequidillabit, eodem modo autem etiam ostendemus reliqua late. ra. quae praelatis rectangula describentibus lateribus perpendicola
530쪽
titer insistunt, eidLI, aequidi stare,
quo haec omnia pariter in luperficie cylindracea coextendi ,
qua methodo parebit etiam luperficie, BSOD, esse cylin draceam , in qua quidem iacent latera rectanguloru prsi dictis opposita.Nuc si ducta intelligan. tur opposita plana solidum, AO, ta gentia, ac praefatis incantibus planis , qui distantia,contgere potest, ut ip eru planoru cotactus sit e utraq;parte, vel in puncto,vel in linea,vel in plano, vel ex una parte contactus in uno illorum,ex altera verbin alio promiscuε, ut consideranti facile innotescet, attamen quo. modocunq; res te habeat etiam ratione istorum contactuum fiet,
ut dictum talidum cylindraceis iuperficiebus comprehendatur, si enim contὸctus ex neutra parti; fiat in plano, dictum solidum non alijs superficiebus cylindraceis, quam ijs, quae dictae sunt comprehendetur , ut manifestum est, si vero contactus sit in plano, illud erit parallelogrammum rectangulum, ut, AD, RO , cum enim haec tangentia plana aequi distent planis secantibus, quq transeunt per latera cylindri ei, cuius, ACNR, BDOS,sunt superficics,etiam ipsa per eiuldem latera transibunt, ergo, AC. BD, sicut etiam, RN, SO, per quae trant eunt dicta tangentia plana, ipsis, EG,FH,ae- 'qui distabunt, quo pacto ostendemus etiam, Ad, CD, RS,NO,ipsi, EF, GH, pariter aequidi stare, ergo plana contactuum, AD, RO, erunt parallelogramma rectangula, ergo & ipsa erunt superficies
cylindraceae, ergo etiam ratione contingentium planorum secantibus planis aequidit antium μ'fatu solido superliciebus cylindrainceis comprehendi manifestum est, quod ostendere opus erat. Tit Dis