장음표시 사용
2쪽
QUI IN HOC QUARTO TOMO EXHIBENTUR.
De similitudine, proportione, de dimensione sectionum conicarum , atque solidorum , quae ex illarum
circum axim revolutione generanturia
Praxipua Mementaris Geometriae problemata resolvuntur, de demonstrantur.
3쪽
Nonnulla, imo vero etiam non pauca, in hoc quarto secun
dae Mathematicorum Elementorum editionis Tomo, Lector Benevole, desiderari animadvertes, quae in prima occurrunt: Id autem non meo factum arbitrio putes , Auctor ipse, cum inchoata jam, secunda hac editione a Praepositis suis, ut Secretarii Generalis munus sustineret , Romam evocaretur in Hispaniam mox transmissurus , neque adeo per tempus liceret emendare , ac reficere , quae vitio aliquo laborare in hoc quarinto Tomo deprehenderat , opus suum propria manu mutilavit, atque amico , cui curam commiserat , ut secundae huic editioni praeesset, imposuit, ut quale ab ipso relinquebatur, prodiret. Integrum itaque Librum XUI. sustulit, cuius hic erat titulus rde finititudine , proportione , er dimensione sectionum eon earum,
atque solidarum , qua ex ruarum e reum axim reυolutione gene
ranturia Utebatur enim in eo principio quodam sallaci, ex quo pleraque pendebant , cumque ex eodem nonnulla in sequentibus libris collegisset, ea etiam delevit, pauca quaedam praetem rea reformavit. Hinc autem factum eii , ut qui antea Liber XUII. & XVIII. numerabatur , nunc Liber XVI. & XUII. inscribatur , totumque adeo opus Libris antea duodeviginti complexum in nova hac editione Libris tantum septemdecim absolvatur . Ex his pronum est cuique intelligere necessarium etiam suisse postremas Figurarum Tabulas mutare. Nolim autem , Lector Benevole , cogites novam hanc editionem mancam propterea, atque imperfectam evasisse , namque ea dumtaxat sublata sunt, quae in Mathematicis aliorum elementis plerumque desunt, utraeque Auctoris nostri propria erant, atque etiam nova, sed malo quodam fato instabili fundamento subnixa et quocirca haec posterior editio perfectior habenda potius est, quod ab ea abunt, quae in priori censuram mereri potui sissent. Haec sunt , de quibus auctore ipso volente , ac iubente monere te , Lector Benevole, debui. Fruere igitur diligentia
4쪽
am dissicilis sit sectιοηum eonicarum doctrina , Ze quantum Tyroniis
bus negotii facessat , id ex eo vel maxime patere puto, quod Gest. - metria sublimior ipsa iam vulgo appellari soleat. Hanc propterea ex. planaturus, curavi, ut non solum brevius, verum etiam elarius , quo seria me poterat, id praestarem. Totum idcirco librum in quatuor ea pita partitus sum, in quorum primo nonnulla exhibeo, quae sectiones ipsas rener tim sumtas respiciunta in secundo ellipseos, in tertio parabola, de in quartoisperbola symptomata praecipua demonstro.
Pramittunt aν nonnuIIa spectantia ad sectiones eoniras in genere
DEFINITIO Lx. KEctiones eontea sunt figura plana, qua in plano ranam fetante vel a tur in va tantum reni superficie, vel ab ipsa earva superficie , atque sim ι F ρ. ra eireula baseos determinantur. Ut si eonus BAC secetur plano FG , figura TXllic ab eontea sectio nuncupatur.
5쪽
Fig. . eari primo plano DL per verticem A ad basim BC traducto , atque hujus. modi sectio est triangulum planum rectilineum BAC Lb. XIs 9 r. . Seis eundo plano FG circulo baseos BC parallelo,& sectio ab , quae hinc emer-r. , git, est circulus s. 98. . Tertis plano GH , quod neque parallelum sit' et reulo has s BC , neque ipsi basi oeeurrat, fitque sectio ab . Quarto plano GD, quod ita conum dipescit, ut uni laterum AC ipsius coni si paralle. g 3ρ lum, & per circulum basis transeat, & hine habetur sectio DEF . Postre.
mo plano ED, quod transeat per coni basim BC , simulque occurrat eum Fig. q. uno ipsius coni latere CA directe apicem versus producto, fitque sectio abe. I. X, ιι. Verum ex his quinque sectionibus tres dumtaxat postremae considerantur,& sub nomine secti um eonicarum ipsae tantummodo veniunt. Prima namque , Ac secunda, rriangulum scilicet planum rectilineum, atque circulus, independenter omnino a cono spectari possunt, de debent, optimoque iure ab omnibus, nulla habita ratione ad conum, spectantur. Quippe si secus, cum, ut ex alibi traditis aperte constat, notio trianguli , 8e circuli ad coni notionem necessario praerequiratur , in eam profecto labem impingeremus, quae vitiosus circulus vulgo dicitur.
sc HOLION IL3. Sectiones in cono recto spectavimus, easque deinceps quoque in eo
dem dumtaxat cono expendemus. Si autem in cono scaleno eas considerare quis velit, animadvertat necesse est, non eam tantum hujus coni sectionem
esse ei reulum, quae fit plano basi parallelo, verum etiam illam , quae plano subcontrarie posito perficitur . Illa porro sectio eoni sta leni BAC di I g. . citur subcontra νia, quae fit tali lege, ut in triangulo BAC per coni axima X lil traiecto recta DE, communis nimirum sectio trianguli BAC,& plani cmnum secantis , constituat triangulum DAE smile quidem triangulo BAC, sed subeontrarie positum, videlicet habens angulum ALD aequalem angulo ABC, & angulum ADT angulo ACB. Hane autem coni sectionem DE es.se circulum, ex eo ostenditur, quod sectio DE non sit diversa a sectione
FG basi BC parallela, sed illi congruat, si invertatur, nimirum si ponatur Iatus ΑΕ trianguli ΑDE super Iatus AF trianguli A FG, & latus Λ D superlatus ΑG. .
. curva eonteae dicuntur illa linea cumae, quibus conica sectiones terminantur. Tres idcirco sunt curvae conicae, quemadmodum tres sunt coni sectiones. LEM.
6쪽
L E M M A LRecta linea uni duarum rectarum parallelarum non in redem plano eum illa existentiam parallela, alteri quoque earundem est parallela. s. Sint duae rectae paralleIae AB, CD, quarum unt CD parallela sit recta EF in diverso planci existens . Dico , rectam EF alteri quoque ΑΒ esse parallelam.
oniam duae AB, CD sunt parallelae, si in illas inei dat recta ab , quaesit uni ΑΒ perpendicularis, alteri quoque CD erit perpendieularis si s. c. . Eadem ratione, si per punctum b ducatur recta be ad perpendicu- 'lum incumbens rectae CD. ipsa be rectae quoque EF ad perpendiculum insistet. Duae autem ab , eb sunt in eodem plano i Lib. VIII. s. I 8. . Ergo eidem plano perpendiculares erunt rectae AB, EF ι atque propterea duae AB, EF erunt inter se Parallelae s. 2o. . Itaque recta &c. quod erat ostendendum. L E M M A ILRecta linea ducta a venire coni per punctum sumtum in illius saper eis ad per beriam eiseuli baseos, tota in ipsa Deet superficie . C A vertiee A eoni BΑC per punctum a sumtum in illius superseie Fig. nducatur ad peripheriam circuli baseos BHC recta Ae. Dieo, rectam M Xlli. iacere totam in ipsa coni superficie.
Etenim rectae Ae congruit illa recta Iinea, ex qua, dum circa periph riam BHC revolvitur , immoto existente altero illius extremo in vertim Α, curva coni superficies Producitur. Quippe , fi secus, duae rectae lineae spatium clauderent, quod repugnat Lib. Iκs. I. . Ergo recta Ae iacet tinta in curva coni BAC superficie 3 adeoque recta Ece. quod erat Ostende
7쪽
ra omni eonica femine potest duei recta linea, qaa omuerrectas eidem recta in ipso sectionis plano parallelas bifariam dividat. T. Ill . Spectetur eontea sectio aEbM, in euius plano recta LM sit communis sectici trianguli BAC per eoni axim transeuntis, & ipsius plani alta M. Recta autem BC sit diameter circuli baseos , adeoque basis trianguli BAC, atque ad rectos angulos recta BC dividat chordam H F in G. Planum vero sectionis aEbM ita se habeat in cono, ut recta ab ducta in ipso plano strecta H F parallela. Dico, rectam ab dividi bisariam in Puncto e a recta LM.
Α vertice A eoni per extrema puncta a, b rectae ab dueantur ad perl-pheriam ei reuli baseos BHC rectar Ae, Ad, quae totae erunt In curva ipsus coni superficie cf. s. , & iungantur puncta e , d recta ed constituatur. que propterea triangulum planum rectilineum eΑd, cujus sectio ficta a plano trianguli BAC sit recta Am. Quoniam igitur recta ab posita est parallela rectae H F in plano circuli baseos existenti , spectari potest veluti si ctio plani υ exprimitur recta linea, vitandae confusionis gratia) paralisti ei reulo basis BHC determinata a plano e Ad. Ab hoc eodem autem pla. no secatur etiam planum BHC , ejusque sectio est recta ed. Ergo rectae ab. ed, utpote sectiones planorum parallelorum , erunt parallelaec Lιb. VIII. g. 16. . Recta autem ab polita est parallela rectae H F. Ergo eidem rectae H F para I tela erit etiam recta ed s. s. 3 ac proinde angulus Bmc erit rectus, utpote recto BGH aequalis c Lib. IV. s. I . , ipsaque recta ed bisariam divisa erita diametro BC Lib. VII s. 39 , erit nempe em tamd. Manifestum porro est,
rae Am. Αe Lib. IX s. 19. . Ergo erit quoque ae eb c Lib. I. s. I 27. . Eodem modo ostendam , omnes rectas in Planci eonicae sectionis aEbri parallelas eidem rectae ab bifariam dividi a recta LM ι cum omnes huius modi rectae sint eidem H F parallelae . itaque in omni deci quod erat ostendendum COROLLARI M I. Is omni sectione contea potest duei recta linea, qua omnes rectas eidem rectae pMallelas non solum bifariam,
verum etiam ad angulos rectos dividat.
8. Quandoquidem, iisdem positis, si recta ae fuerit perpendicularis plano trianguli BAC , recta ab non tantum bifariam, sed etiam ad angulos rectos
8쪽
ctos seeabitur a recta EM , & eadem ratione Omnes aliae in eodem plano eidem rectae .b parillelae bifariam ab ipsa Eri dividentur. Cum rig. menim recta ΕΜ si in plano trianguli BAC, angulus aeE erit rectus Lib. J Luiv II s. a. ν& ideo recti erunt etiam anguli ubi, bleb, besi c. Lib.IILs set. ι
bifariam, atque ad rectos angulos omnes rectas . I . I . eidem recta paralIelas.
Id enim ostensum est de recta LM, quae in cono recto BAC est communis sectio plani secantis a Ebra, & trianguli BAC per axim. DEFINITIO III. 1 r. Diameaeν emtea Dctionis est recta linea Omnes rectas eidem νe . quam bifariam steat, in ipso plano parallelas bifariam dιυιdens. Ut si recta Ad in Meconi ea sectione ABD bifariam diviserit rectas ab , ed , omnesque alias ebri, Itadem rectae x' , quam dividit bifariam , parallelas , erit diameter conicae sectionis ABD.
z. Axis conicae sectionis est illa recta linea, qua non bifariam tantum verum etiam ad angulos rectos diυidit omnes nectas eidem recta ab ipsa bifariam sectatu eodem plano parallelas. De recta AB erit axis conicae sectionis ACBD, Fist .r .s non solum bifariam , sed etiam ad rectos angulos diviserit rectas ed , CD, T.Xιιι- b, omnesque alias eidem rectae pκ, bifariam, atque ad angulos rectos ab ipla ΑΒ divisae, parλllelas COROLLARIUM I. z3. Axis estniea fictionis defamia ex eam recto est illa recta linea , qu est communis fictio plani fictionis, σ trianguli per axim. Haec enim dividi biseriam, atque ad rectos angulos omnes rectas eidem rectae parallatas s Io,
9쪽
I . Axis sectionis estniea etiam illius diameter . sed non invis diam ter est aris. Quandoquidem axis bifariam dividit omnes rectas eidem rectae parallelas, prout exigit diameter. At vero non quaevis diameter di vidit easdem rectas ad angulos rectos, prout postulat axis.s c H O L I O V. s. Axis sectionis eo nicae dieitur absolute illius diameter, vel diameter primaria. Illae vero diametri , quarum nulla.est axix, diametri secundaria
DEFINITIO RFi 11. 2 Vertex emica sectionis est panctum extremum axis . Ut si recta AB T. XIlI fuerit axis conteae sectionis ACBD, punctum illius extremum A erit verintex ipsius sectionis. Punctum veru extremum diametri vertex diametri v
I . Ordinatim diametro applicata dieitur qualibet illarum rectarum parati laurum, qua ab ipsa diametro bifariam dividuntur. Sic quaelibet rectarum' parallelarum ab , ed, XI, quae bifariam secantur a diametro ΛΒ , dicitur in ordinatim ipsi diametro applicata. Earum vero pars dimidia, ut mb, nd,κI νIemlardinata ad ipsam diametrum vocari solet. Plerique tamen nomine emd atιm diametro applicata partem ipsam dimidiam intelligunt.
DEFINITIO VII. 8. εbscissa, quae etiam sagitta appellari solent. die tur illa diametri
portiones, qua inter diametri verticem, oe rectas ordinatim ips diametro apis Plieatas eontinentur. Huiusmodi sunt portiones Αm, Ax, An diametri ΑΒ , videlicet portio Am dicitur abscissa eorrespondens ordinatae ab portio Aa' Η'abscissa correspondens ordinatae CD, & sic deinceps.
I9. Recta estnieam sectionem tangent voearer illa, qua babet estmmune pumctum cum ea eurva, qua sectio ipsa eontinetur, sed reliqua omnia illius pun-Fig- cta extra ipsam exrvam repeνiuntur; ae proinde tota extra eonteam sectιonem Xui Odit. Si e recta ΑΕ dicitur tangere conicam sectionem ABD in puncto A , quia punctum A dumtaxat est commune rectae ΑΕ, & curvae ABD , qua
10쪽
ipsa sectio terminatur adeo nimirum ut reliqua omnia puncta ipsius re ctae AE extra illam curvam reperiantur.
2 o. Foeus, sive umbilicus sectionis eontea dieitur illud axis punctum , in qκοomnes luminis radii , qui in earvam , qua sectis terminatur, ex data parte incidunt, post reflexionem semul uniuntur.
Recta linea ducta pre extremum diametri eouisa sectionis parallela ordinatim applieatis ad ipsam diametrum , eonicam ipsam sectιonem tangit. Et Gessim recta tangens sectionem eonteam ducta per punctum extremum diametri est parallela ordinatim ad ipsam diametrum applicatιs.
2I. Per extremum punctum A diametri AB eonteae sectionis ABD du.eatur recta AE parallela ordinatis ab , ed ad ipsam diametrum. Dico, rectam AE tangere conteam sectionem in puncto A.
Si namque seri potest, recta AE seere eonteam ipsam sectionem, quem. admodum recta AF. Cum igitur recta M, sive AF si parallela ordinatis Fig. s. ab , ed ad diametrum AB, atque intra conteam sectionem cadat, ipsa quo T Niu que erit una ex ordinatis ad diametrum AB i ae proinde ab ipsa diametro ΑΒ hi fariam dividetur s. t . . Ergo recta AE non attingit diametrum ΑΗ in puncto illius extremo A contra hypothesm. Itaque recta AE non secat, sed tangit conicam sectionem in puncto A.
12. Uieissim recta AE ducta per extremum diametri ΑΒ tangat conl- eam sectionem in puncto A. Dico, rectam AE esse parallelam ordinatis G, ed ad ipsam diametrum AB.
Quandoquidem, si recta ΑΕ non est parallela ordinatis ab , ed educatur ex puncto contactus Α recta AG ipsis ordinatis parallela. Igitur recta AGerit simul tangens, de non tangens eonteam sectionem ABD. Erit namque angens ex eo , quod sit ordinatis ab , ed parallela cf. II. . Non erit ver