장음표시 사용
31쪽
uadratum euiusvis semiordinata ad axim ellipseos adaequae rectangulum contentum sub abscissa, ct sub recta intercepta inter ipsum axim, oe rectam regulatricem ipse semiordinata correspondώnte. 86. Recta AC sit axis ellipseos ABCD, parameter recta AE , & regula. F g. i . trix recta EC . Dico , quadratum cujusvis semiordinatae b.r aequare rectania Lxli I. gulum Ab M contentum sub abscissa Ab S sub recta be , quae interlicitur inter axim AC, & rectam regulatricem LC , iplique semiordinatae ba correspondet.
Recta DF si alter semiaxis ipsius ellipsis, adeoque una ex semiordinatis ad axim AC S n. aeg. g. r. ι semiordinatae propterea ba parallela sq. I . . Igitur erit be . FI - bC. FC Lib. IX. g. 19. ). Et quoniam rectangulum Abe Mest ad rectangulum AE=N in ratione eomposta ex ratione basis Ab ad basim AF , di ex ratione altitudinis be ad altitudinem Ο s. ios . , posta analo gia be . FI - bC. FC, rectangulum Abeat erit ad rectangulum ADN in ratione quoque compoῖta ex ratione rectae Ab ad rectam AF , 8e ex ratione rectae bC ad rectam FC. Constat autem, rectangulum ex Ab in in esse ad rectangulum ex ΑF in FC in ratione composita ex ratione rectar Ab ad rectam AF,& ex ratione rectae bC ad rectam FC s. Ios . , spectando nempe priores terminos, veluti illorum bases, & posteriores, veluti eorundem altitudines . Ergo ratio rectanguli Abe M ad rectangulum ADN diversa ab ea non erit , quam habet rectangulum ex Ab in bC ad rectangulum ex AF in FC Lib. I. g. 76. . Manis itum porro est , quadratum semiordinatae ba esse ad quadratum semiordinatae FD, ut est rectangulum ex Ab in bC ad rectangulum ex AF in FC 9 38.). Ergo quadratum semiordinatae ba erit ad quadratum semiordinatae FD itidem , ut rectangulum Abe M ad rectangulum ADN β 77. , & altern .indo , quadratum semiordinatae ba erit ad rectangulum Abera, ut quadratum semiordinatae FD ad rectangulum ADN s. 23. . Quadratum autem semicirdinatae FD adaequat rectangulum AP N. Quippe eum sit 'E A C. BD. AE g. 8 i. , atque insuper A E . D- ΑC. FC Lib. IX. 19 )ι 1deoque AE a 2D , se uti est AC - 2FC, & BD - 2FD, erit quoque m. AF. FD. FI Lib. I. f. I 26. , R ideo Lib. IX 9. III.) rectangulum AD N extremarum AP, B erit aequale quadrato mediae FD . Igitur etiam quadratum semiordinatae ba aequabit rectangulum Abe M Lib. I g. Iaso. Lodcin modo demonstrabitur, quadratum semiordinatae PS aequare rectangu. tum ex AP in PR. Igitur quadratum dici quod erat ollendendum.
32쪽
In ellipsi quadratum euiuisis semiordinata ad axim deficit a rectangulo eontento sub parametra, ct abstiga ι atque hujusmodi defectus est rectangulum simile figura axis.s . Videlicet quadratum euiusvis semiordinatae ba ad axim AC in ellipsi ABCD minus est rectangulo AbdE contento sub parametro AE, & sub atastiga Ab. Constat enim , quadratum semiordinatae ba esse aequale rectangulo AbeM, quod deficit a rectangulo AbdE quantitate rectanguli MedL. Perspicuum quoque est , rectangulum Medsi esse simile rectangulo ΑCΚE Lib. IX. s. 8s. , quod est figura axis AC cs. 8. . COROLLARIUM II. 88. Hlne definiri etiam potest ellipsis, nulla quoque habita ratione eonir
Figura plana unica curva linea undιque terminata, in qua semiordinaturum adaxim quadrata deficiunt a rectangulis sibi correspondentibus eontentιs sub para-
metro , o sub absciis, re quidem ea eo lanis lege , ut hujusmodi defectus sint rectangula similia figura axis.sCHOLIO N. 8s. Ex eo, quod in ellipsi quadrata semiordinatarum ad axim continue desciant a rectangulis contentis sub parametro , & sub correlpondentibus
abscissis, contea hujusmodi sectio ellipsis, nempe deficiens, dicta est. COROLLARIuM III.
In ellipsi femiOrdinata ad axim est media proportionalis inter abscissam, σ rectam sibi eorrespondentem eontentam inter axim, o rectam regulatricem. so. Etenim iisdem postis , eum quadratum semiordinatae ba adaequet re- Πρ.i p. ctangulum ex Ab in be g. 38. , necessario erit Ab. ba. be Lib.res. I i 8. .T. XIII
In ellipsi ABCD quadratum eHumis femiOrdinata ba est duplum Dapeetita b et ri , quod semiparametro . abscissa Ab , recta bE inter axim, ct subdirectraeem intercepta , ct subdιrectrιce 2 E eontinetur. 9 I. Ex vertice Α ad punctum e , in quo regulatrix EC secat rectam b dueatur recta A e. Elem. Math. f. C Deis
33쪽
Quoniam rectae FN, CE sunt parallelae g. 8o. , scuti etiam rectae AE, ba s. 71. , quadrilaterum Nete E erit parallelogrammum Lib. VL g. 8.ὶ ι' re ideo recta NE aequabit rectam et e coiius. χο j. Est autem AN NE g. 9. . Ergo erit etiam AN Ze SIn. v. g. 262.3. Anguli autem xΑλxeae, sicuti etiam xNA, xte, utpote alterni parallelarum, sunt aequales inter se Lib. IV. s. Is . . Ergo triangulum AxN erit aequale triangulo Qxec Lib. V. s. 93. unde , si utrique adjiciatur traperium Ab , trapezium AbΣN erit aequale triangulo b So. Ast. β. 263. . Constat autem, rectan. gulum AbeM esse duplum trianguli Aeb c Lib. VI 9. 21. . Igitur rectangulum Aberi duplum quoque erit trapezii AbΣN Lib. I. s. Ioa . . Quadratum autem semiordinatae ba adaequat rectangulum AbeM s. 26. in . Ergo etiam quadratum semiordinatae ba erit duplum trapezii AbΣN g. ιοχ. . Itaque in ellipsi &e. quod erat ostendendum.
L E M M A III. In triauvio plano rectilineo recta ducta a vertice ad basm, in eadem proportione fetu basim , σνectum ipsi basi parallelam. 91. A vertice n trianguli FnG ad basim FG, eui sit parallela recta dbducatur quomodocunque recta nB. Dico, esse dI. I b - FB. BG.
Cum enim in triangulo FnB recta dr posita si parallela basi FB , erit Fig. 7. FB. dam: n B. ny Lib. IX. 9 19. . Est autem eadem ratione etiam BG. bT Xiu in nB. ns . Ergo erit FB. Ο BG . Ib Lib. I. s. 78. , & alternando,dI. 3b FB. s. in 1. . Itaque in triangulo &α quod erat ostendendum COROLLAR Iu M. 93. Si fuerit FB. BG. Bn, erit etiam dI. Ib. yn. Constat enim. esse dr. ab M FB. BG. Manifestum quoque est, esse Ib. In BG. M Lib. IX. s.co. . Ergo, si fuerit S FB. BG. Bn, erit etiam π dI. Ib. I u.
34쪽
si in ellipsi ABCD, e us axis sit recta AC, parameter cΗ, subdirectrix ΕΚ, ct femιονdinata 2 F, fiat , ut recta MN ad semiori tam V F , uassa semiordinata F ad rectιm 'l L e positam ex abstiga Vc , ct ex segmento CL axi adjecto , recta LF eoniungens puncta L, F erit tangens ellipsim in puncto F.s . Sumto In recta LF quovis puncto x , dueatur ex illo ad axim AC ς semiordinata xb, quae directe producta oecurrat rectae subdirectrici KE in T si v puncto a , & jungantur puncta M, L recta Μ L.
Quoniam ex hypothesi habetur etr MN. NF. N L, quadratum rectae N Ferit aequale rectangulo ex MN in NL L:b. IX. g. tra. ι adeoque scuti rectangulum ex MN in NL est duplum trianguli MLN Lib. kTA. M.), eiusdem quoque trianguli duplum erit quadratum rectae N F Lib. I. g Io2. . Quadratum autem rectae N F est duplum traperii NMKC g. si . . Igitur trapezium NMXC erit aequale triangulo ΝΠ N Li&Ly. ris.) . Qua Propter, sit blato communi trapeato M N , reliquum triangulum ΚMI erit aequale reliquo triangulo C L Dη. Alg. g. 266. j 3 ipsumque triangulum OL majus propterea erit trapeZio ae IX, sicuti eodem trapezio majus est triangulum ΚM . Unde, si utriqtie adliciatur trapeatum eyCb , triangulum eΙ b excedet trapezium abCK Ibid. g. 268. . Rursiis eum sit eb . b x. Lb s. 93. quadratum mediae bae aequabit rectangulum extrematum eb, Lb tL:b. IX. s. III. . Constat autem, rectangulum ex eb in Lb esse duplum trianguli eLb Lib m. s. o. . Igitur ejiisdem trianguli duplum quoque erit quadratum rectae ba Lib. I. g. Ioa. . Quadratum autem semiordinatae bd est duplum trapezii aΚC b g. 9 I. . Ergo quadratum rectae semiordinatae bd erit ad trapezium aXCb , ut est quadratum rectae bae ad triangulum e Lb. Demonstra vimus autem, trapezium a KCb deficere a triangulo e Lb. Ergo eriam quadratum rectae bd deficiet a quadrato rectae bx Lib I. g. ia8. 3 & ideo etiam recta bd erit minor recta bae. Itaque punctum x eadit extra curvam elliptiis eam ABCD , & eadem ratione extra eandem curvam cetera quoque puncta ejusdem rectae LF diversa a puncto F reperiuntur. Recta igitur LP tangit ei.
lipsim in puncto F s. I s. ι ac proinde si in ellipsi deci quod erat ostendem
Recta tangens ellipsim in unieo puncto ipsam tangit. 9 s. ostensum namque est , omnia puncta rectae tangentis LF diversa a puncto F, in quo fit contactus, extra ellipticam curvam ABCD reperiri. C 1 C
35쪽
COROLLARIuM II. 96. Si in axe AC sumatur segmentum in aequale rectae MN, & ducatur recta aeF, haec erit tangenti LF perpendicularis . Quippe, cum sit per hypothesm B MN. NF. N L, erit pariter rar etN. NF. NLι & ideo angulus χFL erit rectus, eam haec sit proprietas trianguli rectanguli Lib. IX. s. 74. in .
DEFINITIO V II L97. Recta ideirco χF dieitur normalis tangenti LF, 8e recta et N subnor malis. Recta vero NL, quae puncto concursus L, & semiordinatae NF in. terjicitur, subtangens nuncupatur
s8. In ellipsi semipara meter KC est a 3 subnormalem etN, ut est semi 1. axis EC ad distantiam EN semiordinatae NF a centro E . Quandoquidem , eum sit χN MN, erit LC. -EC. EN, quemadmodum est m. MN- EC. LN Lib. Dc. s. 9.
9. Producta semiordinata FN usque ad directriem AIq. subtangens μ' erit ad abscissam NC, ut est recta NT ad rectam NM. Enimvero, cum iam sit et: MN. N F. NL, rectangulum ex NΜ in NL erit aequale quadrato mediae NF g. xxx. . Constat autem ex natura ellipseos, rectangulum ex TNin NC esse aequale quadrato eiusdem rectae, nempe semiordinatae NF έ. 38. . Trgo rectangula --NL, TN NC erunt aequalia Du. Ast. 9. 219. 3 ac proinde erit N L. NC TN. NM Lib. IX. g. II 6. .
COROLLARIUM RIoo. Hine, si jungantur puncta Μ, C recta MC . & puncta T, L recta TL, duae hujusmodi rectae MC, TL erunt parallelae g. 63. . Rursus rectar. , linea LT transibit per punctum Κ, in quo parameter HC bifariam a siib. I. xiv directrice individitur. Quippe, cum rectae ΑΗ, ΓΚ g. go. , sicuti etiam rectae HC, s. 73. ., nec non rectae TL , MC sint intes se parallelae, duo quadrilatera THKM, WCri erunt parallelogramma. ν Ac ideo opposta ipsorum latera TM, HK, sicuti etiam TM, erunt aequalia Lib.m. , io. . Igitur duo quoque HK, KC , utpote aequalia videm. - , erunt inter se. aequalia In. Alg. g. 219 ι adeoque &C. COROLLAR ruu -x . Ex hoe sequitur semiaxim LC esse mediam proportionalem inteir
36쪽
rectas LL, EN. Quippe, eum in triangulo KEL rectae KL, MC snt parallelae, erit EL. EC ΚΕ. ΓΜ Lib. IX. k ss. . Est autem etiam LC. LN - ΕΚ. EMI eum in triangulo quoque ΚEC rectae MN, KC sint parallelae si et 1. . Igitur erit EL .EC EC. EN Lib. I. g. 76. ,sive Ἀ EL. EC . EN
ox. Erit quoque in ellipsi A L. LC AN. NC. Cum enim in triangulo ΤLA rectae AT. EΚ sint parallelae Lib. I. g. 6. , sicuti etiam in triangulo TLN rectae TN, ΚC g. s. ,& in triangulo TNA rectae TΛ, ΜΕ, perspi. um est, esse A L. AL TL. TΚ, TL. ααNUNC Lib. II g. 37. Ergo erit ΑL. AE-NL. NC Lib. I k 76. . Similiter cum si AE. AN TM. TN, S LC. LN-Μ.TN Lib. IX. s. 37. , erit AE. AN LC. LN DLI. s.76. . Fieri igitur possunt duae series magnitudinum perturbatam proportionem habentium, videlicet A L. AE. ANLC. LN. NC. Quippe eonstat ex modo demonstratis, primam AL esse ad seeundam AE in prima serie , ut est secunda LN ad tertiam M in secunda serie i in ista vero esse primam LC ad secundam LN, ut in illa est seeunda ΑΕ ad tertiam AN . Igitur erit AL. AN - LC. NC LM 38I.ὶ , & alternando,
Ios. Ductis postremo tangentibus verticalibus AP , CR Oeeurrentibus tangenti laterali PL in punctis P, R , erit quoque PL. LR PF. FR. Quandoquidem, cum rectae AP, C R. sint parallelae Lib. IV. I. Io. , utpote ad perpendiculum insistentes axi AC g. ΣΦὶ erit PL . RL - A L. LC Lib. IX. s. 17. . Ducta vero ex vertice Α per punctum contactus F recta Aia Meurrens tangenti Cia in puncto Q, eum anguli ΑFP,RFQ sint aequa. les Lib. III. s s I. , seuti etiam anguli PAF, Fu , nec non anguli ΑPF, PRQ Lib. IV. s. Is . , duo triangula AFP, R FQ, utpote aequiangula, erunt smit in Lib. IX. 66 . Igitur erit PF. FR - AF. F. fi 6 . . Est autemAF. FQ AN. NC g. 11. . Ergo erit PF . FR AN. NC Lib. I. g. 76. . Constat autem, esse ΑL. LC - ΑN. NC Lib. Iae si s . . Ergo, cum iam demonstraverimus, esse PL. I L me A L. LC , & PF. FR AN. NC, erit quoque PL. RL - PF. FR Lib. I. L 76. .
In ellipsi ABCD, eujus axis fit recta AC, ductis tangentibus vertiealibus P, R, qua tauenti ιateralι PL occurrant ιn punctιs P, R, rectangulum eontentum sub ipsis tangentibus vertiealibus AP,cR, erit quarta pars rectangulι figura ipsius ams Ac. O . Ex puncto contactus F ordinetur ad axim AC recta FT , quae di. Elem.MathT.υ . C I re-
37쪽
Fig. I. recte producta occurrat directe iei AH in puncto T, di iungantur puncta TXIV, I , L recta TL, neenon ex vertice A per punctum F ducatur recta A. currens rectae tangenti Cain puncto λ& ex vertiee C per idem punctum Frecta CG, quae concurrat in puncto G eum altera tangente AP in directum producta. Recta autem CH sit parameter axis AC.
cum in triangulo HA rectar HQ, TF sint parallelae f. s. . erit HC. Cam TN. NF s. ΟΣ. . Est autem eadem ratione etiam KC. CR TN. N F. Ergo erit HC. C rΚC. CR Lib. I. g. 6. , di ideo H C. ΚC - CQ. CR. u. ras . . manifestum est autem, esse HC-Σm β. q. . Igitur erit itidem C et,1CR, sive CR RQ, adeoque Ciami et QR. Praeterea quoniam ob parallelismum rectatum AG, Cia, ut s Io 3. demonstravimus, anguli GΑ ,ΑQC sunt aequales, sicuti etiam anguli ΑGC, GCa Lib. IV. g. Is . , neen anguli AFG, CFQ Lib. III. s. s t. , utpote ad verticem oppositi , triangula ΑFG, CFa erunt aequiangula, de ,deo sibi mutuo similia sLib. IX. 9 ες, quemadmodum eandem quoque ob c usam duo itidem triangula AFP, R FQ. Igitur erit GR. CQ-ΑF. FQ, Muti etiam PA. RQ AF. F . r. iatquep opterea GΑ. Cain PA. RQ Lib. I. I. 76. de hine GA. PΛ rem CR RO s. ras . Ostensum porro est, esse C mi RQ. Ergo erit etiam GA 1ΡΑ. Ergo rectangulum ex AP in RQ, sive in CR erit in ratione subquadrupla ,drectangulum ex AG in Cia Lib.IX.LIIo . Rectangu Ium autem ex AG in Cinadaequet rectangulum figurae axis AC, videlicet rectangulum ex parametro Cin ipsum axim AC. Quippe eum in triangulo ACG habeatur NF. NC-AG. AC s. 6o. I sitque insuper TN. NF NF. NC fyo. . erit AG. ΑC TN.NF Lib. I. g. 6.λ. Demonstravimus autem, esse HC. Cin TN. N F. Tincterit AG. ΑCα-C. C g. 6. , & ideo AG ACU HC c lib. IX. s. Io . . Quapropter sicuti rectangulum ex AP in CR est in ratione subcua. displa ad rectangulum AG Cm in eadem quoque ratione subquadrupla erit ad rectangulum AC H Ct Lib. I. s. io 2 , Itaque in ellipsi die. quod erat&e.
Sι per extrema panina axis elli res , ct recta per ιllius centrum transeunti/ducantur tangenter, qade eum illis in dιrectum productis concarrant, fient duo triangula inteν se aqualιa. ios. Recta AC sit axis ellipseos ABCD, per cujus centrum M transeat reis Fig. a. cta EM, & ducantur per extrema puncta A, E rectae tangentes AK, LG, T Xiν quae eum ipsis AC, EH directe productis concurrant in punctis G, K. Dieo, triangula NEG, ΚΛ M, quae hinc emergunt, esse aequalia.
Ducta ex puncto B semiordinata EF ad axim AC, parallela propterea
38쪽
tangenti ΚΑ t g. 22. , cum duo triangula KMA, Eris snt smilia Lib. II. triangulum ΚHA erit ad triangulum LMF in ratione dupluata lateris Ariad latus FM I. I 66. . Ratio autem rectae G M ad rectam Fri est duplieata illius, quam habet recta AM ad rectam FM Lib. I. g. I r. ι cum sit - G M.AM. FM s. Io I. . Ergo triangulum ΚΑΜ erit ad triangulum EFM, ut G Mad FM Lib. I. s. 78. . Perspicuum porro est, triangulum GEM esse ad trian. gulum FEM, ut est recta GAI ad rectam FM Lib. IX. g. 96. , nimirum ut basis ad basm. Ergo triangulum GEM erit ad triangulum FEM, ut ad idem triangulum FEM se habet triangulum ΚΑM Lib. I. s. 76. , adeoque duo triangula GEM , KAM sunt aequalia g. Io 3. . Itaque si per extrema &e. quod
COROLLARIUM Lios. Triangula EHΚ, ΗΑG sunt inter se aequalia. Quandoquidem eum triangulum MEG adaequet triangulum ΚΑΜ , ablato communi trapezio AHEM, reliquum triangulum ΕΗΚ reliquo triangulo HAGerit aequale s. 266. . COROLLARIUM ILIO7. Triangulum FGV adaequat trapezium xEF f. Cum eni in triangula MKA, MEG lint aequalia, ablato communi MEF, erit reliquum EGF reliquo ΚEFA aequale Ibid. . Idipsum pater,s utrique triangulo Em , FIGA, quae sunt aequalia cibid. g. 261. , trapezium HLFA adjiciatur.
ros. Ducta ab extremo A axis AC recta parallela tangenti EG , triangulam ch Aaquakt trapeaetum E G. Ostenditur eodem modo, quo praecedens. L E MM I WSi fuerint tres magnitudiηes tribus aliis proportionales , excessus prima Iura fecundam erit ad excessum eiusdem prima supra tertiam in una serie, ut excessus prima supra secuηdam in altera serie est ad excessum ejusdem pr-α supra tertiam. Ios. Tres magnitudines A, B, D sint proportionales tribus a, b, d, esto mirum A. Braza. b, B. D b. d. Dico, esse Λ - B. Α - D - b. a- d.
39쪽
Ergo erit Α - B. a - b- Α- D. a - d s. ς , atque adeo Α - Β. Α- D taraa b. a --Itaque si fuerint&α quod erat ostendendum. L Ε Μ Μ V. Latera timologa triangulorum aqualium, ct similium sunt aqualia .rao. Sint duo triangula aequalia, & smilia ABC, abe . Dieo, latera ipsorum homologa esse inter se aequalia, nimirum AB radiab, BC bc , de
Fie. Cum enim ipsa triangula sint aequalia, & smilia, sibi mutuo neeessario T. XIV.congruent. Igitur erit ΛΒ BC-be, & CA ea Lib. V. s. 36. .
Quavis reaa linea transiens per tentrum ellipsis ab illius axibus didresa , bifariam disidit omnes rectas parallelas tangenti ductae per illius extremum.
m. In ellipsi ABCL esto recta quaecunque BL tyansiens per illius cer trum L, diversa ab axibus ipsius ellipsis, atque per illius extremum Pun.ctum B ducatur recta BG , quae ellipsim tangat , & cum axe AC directe producto concurrat in puncto G. Dico, rectam BL bifariam dividere omnes rectas ductas in ipsa ellipsi parallelas tangenti BG.
Esto primo recta da paralleIa tangenti BG , quae directe producta coΠ.currat mim axe AC in puncto P ι tum per puncta a, B, a dueamur ad s. axim AC semiordinatae ax, BF, dR parallelae tangenti AR , quarum d RT.xiv.cadat se Pra Centrum E ipsius ellipsis, rectaque xa Produeatur in b. Quo. niam igitur rectae ΚΑ, BF, nR sant parallelae, triangula ΚEA, BEF, ηER. erunt similia i Lib. IX. s. 61. ι ae proinde triangulum ΚΕΛ erit ad trianguis in m BEF, ut quadratum lateris AE ad quadratum lateris FE erit vero idem BEF ad triangulum nER , ut quadratum lateris FE ad quadratum lateris RE l. 28 I. . Ergo etiam excessus trianguli ΚΕΑ supra triangulum BEF , nempe trape2ium KBFΑ , erit ad exaestum ejusdem trianguli ΚΕΑ supra triangulum nER, scilicet ad trapeZium KnRA , ut excessus quadrati lateris AE supra quadratum lateris FE ad excessum ejusdem quadrati laterisAE supra quadratum lateris RE g. O9. , videlicet ut rectangulum ex AF in FC ad rectangulum ex ΑR in RC g. 49. , adeoque ut quadratum semiordina tae BF ad quadratum semiordinatae dR cs. 38. . Esh autem etiam triangulum
40쪽
BGF ad triangulum dPR , ut quadratum semiordinatae BF ad quadratum semiis
ordinatae dR Lιb. IX. g. I 2I. ι cum hujusmodi triangula, utpote aequi angula, quemadmodum rem attente consideranti perspicuum siet, snt smilia g. 66. . Ergo triangulum quoque BGF erit ad triangulum N R, ut traperium ΚBFAad trape χium ΚηRΑ Lib. II. 78. . Constat autem , triangulum BGF aequare trapezium ΚBFΑ s io7. . Ergo etiam triangulum dPR aequabit trapeZium KnRΑ Lib. I. g. I 28. . Eodem ratiocinio ostendam, triangulum aPa aequar trapezium MxΑ. Hine, si triangulo dPR auferatur triangulum aPX,& trape. Σio ΚηRΑ dematur traperium ΚbxA, erit trapeZium daxR aequale trapezio Ra Syn. Ast. F. 266. ιι sique idcirco hisce trapeZiis auferatur commvn. is figura aenRx, reliquum triangulum bea aequabit reliquum triangulum den Φ 66. . Duo autem hujusmodi triangula sunt similia tLib. IX ὶ ι eum angulus bea ad arquet angulum den s Lib. m. s. 3 I. , angulus bae angulum edn , & angulus abeangulum en d Lib. IV. g. is . . Ergo homologa ipsorum latera ae, ed suns inter se aequalia i . Iio. . Recta igitur da dividitur bifariam a recta BL.
Evanescente triangulo nRE si g. s. quod accidit, eum recta, sive semio dinata cili transit per centrum ellipsis, duo triangula ΚΕΑ, dpΕ fig. 6. erunt aequ/lla. Triangulum autem aPx adaequat trapeχium KbxΑ , ut num. praecedenti demonstravimus. Ergo trapeatum duxE aequabit triangulum xbE Dr. Alrs. τ63. . Quamobrem, sublata communi figura ae Ex, reliquum triangulumbea erit aequale reliquo triangulo dein sq. 166. . Issa autem , utpote aequis angula, sunt similia Lib. IX. g. 66. . Ergo latera ipsorum homologa ae, ederunt aequalia s. Iro. λι adeoque recta da secta erit bifariam a recta BL
Quod si recta parallela tangenti transeat per extremum axis AC, quemaidi modum recta AB sfig. 1. parallela tangenti EG , & ducta ex altero illius extre. mo B semiordinata BM, oecurrat ista centro Mellipsis, perspicuum est, rectari AR dividi h sariam a recta EL transeunte per centrum. Quippe, cum triangulae KΝΤΑ , BAM sint aequalia, ablato eommuni triangula Α , reliquum KNAreliquo BNMerit ae a te clan. Alis. 163. ι eumque duo ista triangula , utpote aequi angula ,sint similia Lib. IX. . 66. , aequalia erunt homologa ipsorum intera BN, NA filio. , sive recta AB secta erit bifariam a recta EL.
spectetur recta fla figo. , quae ita se habear in ellipsi, ut separaret a tam genti BG, seὰ producta ad partem a , con eurrat cum axe AC in D,& reet dm semiordinata ad ipsum ax,m ea dat iustae centrum E ipsius ellipsis. Igitur Producta recta dm in D, eum si ιim in m D , si ducatur recta D M. quae cum ipsa Dm constitisat angulum m M aequalem angulo tam , triangulum m MDerit aequale triangulo dPM c Lib.V. s. 93. , ex eo nimirum quod etiam anguli .m A, M- luat aequales s Lib. III. s. si . , atque insuper recta DM erit P