장음표시 사용
11쪽
tangens s eum ex hypothesi tangens sit recta AE . Cum igitur fieri nequeat, ut tecta AG simul tangat, & non tangat conicam sectionem ABD, remanet, rectam ΑΓ, quae tangit conicam sectionem ABD in vertice diametri ΑΒ, esse parallelam ordinatis ab ,ed ad ipsim diametrum. Itaque recta&c. quod erat ostendendum.
Quaevis diameter conica sectionis bifariam dividit omnes rectas parallelas recta tangenti ducta per extremum punctum ipsius diametri. 1 3. Ut si recta AB suerit diameter conteae sectionis ΑBD , per cuius diametri extremum punctum A ducatur tangens AE , cui parallelae sntrectae ab , ed, n, diameter ΑΒ bifariam dividet ipsas rectas ab, et , xx Cum enim recta AE sit parallela ordinatim applicatis ad diametrum AB s. 22. , rectae ab , ed, π, quibus ipsa AE est parallela, erunt diametro ΑΒ ordinatim applicatae. Igitur diameter AB bifariam ipsas dividetis.1 . COROLLARIυM II.
Recta tangens conicam sectioηem , si ex vertice aris ducta fuerit, erit ipsi axι perpendicularis. 2 . Videlicet recta AE ducta ex vertice Α axis ΑΒ conteae sectionisT xu4 ACBD, ipsamque sectionem tangens, erit ipsi axi ΑΒ perpendicularis. Quippe cum sit patiallela ordinatae ab cs. χχ. , & angulus Amb sit rectus cs. I 1. . rectus quoque erit angulusi EAm Lιb. IH g. I 3. ι ae proinde recta Au rectae AB ad perpendiculum incumbit Lιb. III. s. 2q. .
que subcontrarie posito, neque illi occurrenter, ac proinde cujus axis dividit duo latera trιangulι peν epni axim transeuntis, o se extra conum a is . ipse producatur , concurrit eum 'basi ipsius trianguli extra eonum itidem producta, quin auferat triangulum simile triangulo per axim, quomodocunque --r- a matur. Talis itaque est sectio Labib eoni BAC. Eius quippe axis EMTxiii. steat duo latera AB, AC trianguli BAC per axim , & cum altero latere BC, si utrumque extra conum producatur , concurrit in puncto N, quin triangulum LMA sit simile triangulo BAC, propterea quod planum, quo sectio
12쪽
sectio ipsa persieitur, Farallelum non sit basi, neque subeontrarie positum, neque illi Oeeurrens. Haec porro ellipseos desinitio mere nominalis est , atque nullam plane ellipsis proprietatem designans. COROLLARIUM Lxa carea elliptisa in orbem redit, seu ellipsis Ma tantum ea a linea in se redeunte, quemadmodum circulus, cui asais est, undique terminatur. COROLLARIUM II., . Hine duo sunt vertices eIlipsis . Illius quippe axis in duobus punctis
eurrit curvae, qua ellipsis comprehenditur.
DEFINITIO ILag. centrum ellipsis est punctum , in quo axis bifariam divitiar. Ut si axis AB ellipsis ACBD dividatur bifariam in puncto X , punctum x erhitrum ipsius ellipss. Dicitur autem centram 3 quia omnes rectar per illud transeuntes, de utrinque ad curvam elliptinam terminatae , bifariam 1n ID Io, ut patebit, dividuntur.
DEFINITIO II Las. coniurata diametri ellipseos Leuntur dua qualibet diametri ita re ba. bentes, ut utraque bifariam Δυidat omnes rectas earum alteri parallelas . Ue r:. si diameter AB ellipsis ABD bifariam diviserit omnes rectas ab ,υ &C. paet X:i: rallelas diametro ed & diameter es se erit itidem bisariam rectas ru, is, omnesque alias para Ilelas diametro ΑΒ , duae hujusmodi diametri AB. ederunt diametri coriagata ellipsis ABD. COROLLARIUM.3o. Recta paraiaeta uni diametνο ellipseos sunt ονdirata ad diametrum illi conjugatam. Videtieet rectae νου, se parallelae diametro AB ellipsis ΑεD sunt ordιnatim applicata diametro de prior, ΑΒ conjugatae. Cum enim diametri ΛΒ, de fini conjugata per hypothesim, diameter de bifariam dividet rectas , fg. Ergo rectae ra, is erunt dinatim diametro de appliea s. II. .
t. taxes eoniugati ellipseos sane diametνi eoniugata se inviem steantes alogulos rectos. Ut si diametri conjtigatae AB, CD in ellipsi ACBD sese mutuo ad angesos rectos secueritu, erunt axes conjugati ipsius ellipsis.
13쪽
32. Axιs ellipseos dividit bifariam , atque ad angulos rectos omnes recras parallelas axi sbi eo jugato a Si nimirum rectae AB, CD fuerint axes eo u-gati ellipseos ACBD, axis AB bifariam, & ad rectos angulos dividet rectas ed, pet parallelas axi CD . Eas namque dividit bifariam . quia rectae ΑΗ, CD sunt diametri eo Mara . Dividit autem ad angulos rectos quia, stante parallelismo rectarum ed, pae eum axe CD, angulus Da n non potest esse rectus , quin rectus itidem sit tum angulus md , tum angulus x et Lib. I 3. , ac proinde quin ipsae rectae ed, pu ab axe AZ ad rectos angulos
dividantur Lιb. III. s. 3 2. COROLLARIuM II. 3 3. Recta parallelae axi ellipseos sunt ordinatim applicata axi, qui est illi
conjugatas . Axes siquidem coniugati a coniugatis diametris sese mutuo ad rectos angulos secantibus non differunt a propterea seuti rectae parallelae unidiametro ellipsis sunt ordinata ad diametrum conjugatam cs. o. , Id ipsa de parallelis uni axi dicendum est, si ad conjugatum axem reserantur. L E M M A LIa circulo quadrata se ordinatarum ad diametrum sunt aequalia rectangulis sub correspoηdentibus portionibus ipsius cametri comprehensis.
ii 3 In circulo AmBu rectae bd, mn sint ordinatae ad diametrum AB, vi a .xiii .delicet bifariam ab ipsa diametro divisae . Dico, quadratum semiordinatae ad aequare rectangulum ex Aa in aB, sicuti etiam quadratum semiordinatae. en aequare rectangulum ex Αe in eB .
Quoniam rectae bd, mn bifariam dividuntur a diametro ΑΒ, divisae erunt ad angulos rectos Lib. VILI qi. ἔ ae proinde tam semiordinata ad , quam semiordinata en erit diametro AR perpendicularis Lib. III. s. 2 . . Igitur quadratum rectae ad aequabit rectangulum ex Aa In aB, & quadratum rectae en aequabit rectangulum ex Ae in e B Lιb. IX s lx s. . Itaque in cirru.lo &c. quod erat ostendendum S c H O L I O N. 3 . Quoniam in ei reulo non potest diameter bisariam dividere rectamianis eam dividat ad angulos recto Lib. VII. g. qa. , diameter circuli spectari potest, veluti ipsius axis
14쪽
36. In circula quadrata semiordinaturam ad diametrum, sive ad axim, sunt directe inter se, ut rectangula eontenta sub eorrespondentibus portionibus ipsus aris. Nimirum quadratum semiordinatae ad in circulo AmBn est ad quadratum semiordinatae en, ut rectangulum ex Ra in aB ad rectangulum ex Ae in eB . Quippe , eum quadratum rectae ad adaequet rectangulum ex Αιs in aB,& quadratum semiordinatae ea sit aequale rectangulo ex Ae in eB, quadratum rectae ad erit ad rectangulum ex Aa. in aB, ut quadratum rectae en ad rectangulum ex Ae in eB . Ergo, alternando, quadratum rectae aderit ad quadratum rectae en, ut rectangulum ex Aa in a B ad refctangulum ex Ae in eB LΔ Ls. I 21.). COROLLARIuM II. 37. Hinc circulus definiri potest i Figura plana unica euνυa linea undique terminata , in qua rectarum semiordinatarum ad axim quadrata sunt directe inter se , ut rectaviata contenta sab eorrespondentibus portήonibus ipsius axis, atque illis insuper sunt aqkalia.
In ellipse quadrata semiordinatarum ad axim sunt directe inter se , ut rectangula sub evrespondentibus portionibus ipsias axis, sumtis ab utroque vertice, comprehensa ι ιllis tamen non sunt aqualia . In eono recto BAC , qui sectus sit triangulo BAC per axim, spectetur sectio elliptica DdE, cujus axis sit recta DE , communis nimirum sectio Fig. . plani ellipti ei, & trianguli per axim . Rectae autem ae , bd parallelae uni LX ui rectae GF ductae in eirculo baseos BGC, eiusque diametro BC ad perpendiculum insistenti , sint semiordinatae ad ipsum axim DE.
38. Dico primo, quadratum semiordinatae ae esse ad quadratum semiordinatae bd, ut est re ctangulum ex Da in in ad rectangulum ex Db in bE.
Per puncta a, b inctae es, mn parallelae positae sunt parallelae planum ecf, in quo eodem plano. trianguli BAC per axim ducantur re- diametro BC baseos eoni. Et quoniam rectae ae, bd eidem rectae FG in planci circuli baseos existet ii, sint duae es, ae, scuti etiam planum m , in quosnt
15쪽
sint duae mn, bd erunt circulo baseos BGC parallela ι ae proinde sectiones ecf,mdn erunt cireuli Lib. XI. g. 9t. , quorum diametri erunt rectae es. mn, ipsisque ad perpendi eulum insistens rectae ea, db, quemadmodum rectam illis parallela perpendi lariter ineumbit diametro BC positae in eodem eum illis plano BAC: eonstat enim, eandem esse inclinationem tum planit anseuntis per rectas ea, GF, tum plani traiecti per rectas db, GF, ad planum BAC Lib. I II. .a'. . Cum igitur quadratum rectae ae si aequale recta nagulo ex portionibus ea, as diametri es ei reuli ere, de quadratum rectae bd adae. quet retiangulum , quoὸ sub segmentis rab , ba diametri mn circuli mdncomprehenditur Lib. IX s. I 3. , quadratum rectae ac erit ad quadratum rectae bd, ut est rectangulum ex ea in Q ad rectangulum ex mb in bn.
Rectangulum autem ex ea in af est ad rectangulum ex mb in bn in ratione Composita ex ratione rectae ea ad rectam mb, de ex ratione rectae H ad rectam bn , videlicet basium , & altitudinum s. ros. . Ergo etiam quadra. tum rectae ae erit ad quadratum rectae bd in ratione composita ex ratione rectae ea ad rectam inb, &ex ratione rectae af ad rectam bn. Constat Porro, esse Da. Db ea .mb, se uti etiam G. Eb - af. bn s. 19 eum in triangulon. Db recta ea si parallela' rectae reb, Ze in triangulo a M recta bn si parallela rectae af Lib. VIlI. s. 16. . Ergo quadratum rectae ae erit quoque ad quadratum rectae bd in ratione composita ex ratione rectae Da ad rectam Db, de ex ratione rectae Ea ad rectam Lb. Manifestum est autem, rectangulum ex Dain asi esse ad rectangulum ex Db in bE in ratione composita ex ratione rectae Da ad rectam Db, de ex ratione rectae aE ad rectam Eb c Lib. IX. g. Ios. : spectando nempe rectas Da, Db, veluti eorum bases, & rectas aE, D, umini eorum altitudines. Ergo quadratum rectae ae erit ad quadratum rectae
bd, ut est rectangulum ex Da in aE ad rectangulum ex Db in bE.
39. Dico 2. quadratum semiordinatae ea non esse aequale rectangulo ex Da, in aE, sicuti nee quadratum semiordinatae db rectangulo ex Db in bE.
Quandoquidem, si quadrata semiordinatarum ad axim in ellips essent non tantum, ut rectangula contenta sub correspondentibus portionibus ipsius axis, verum etiam illis aequalia, ellipsis non distingueretur a eireulo Id autem aperte falsum est. Ergo in ellipsi quadrata semiordinatarum ad aximnon adaequant rectangula , quae sub correspondentibus ipsius axis portionibus continentur. Itaque in ellipsi Ecc. quod erat ostendendum.
quo illa educitur: Figura plana unica curis linea undique terminata, in qua
16쪽
νectaram ad axim semiordinatarum quadrata sunt directe inter se, ut rectaη. gula eontenta sub eorrespondentibus porιιonibus axis , illis tamen non sunt a. Palia. Hac enim ratione explicatur natura ellipseos ν tum prout convenit cum circulo , cui quam maxime assinis e si , tum prout a circulo distingui. tur. Convenit quippe ellipsis cum cuculo, quatenus in utraque figura quadrata semiordinatarum ad axim sunt, ut rectangula, quae sub correspondeatibus portionibus axis continentur. Differt vero ellipsis a circulo, quatenus in ellipsi quadrata semiordinatarum ad axim, ut in circulo accidit , illis rectangulis non iunt aequalia.
In ellipsi recta traηstens per centrum , eiusque axim ad anguliι rectas diυidens , est ipsi axι ιnaqualis. I. Recta nimirum CD transiens per centrum x ellipseos ACBD, eiusque axim ΑΒ ad angulos rectos dividens, non est aequalis ipsi axi AB. Fig. o. Cum enim recta CD , utpote ad axim ΑΒ ordinata s. x . , bifariam T.Xii l. ab illo dividatur, esset xD-xA ι cumque sit etiam xΛα-xB s. 18. . quadratum semiordinatae xD aequaret quadratum rectae XA , sive rectangulum ex Αx in xB Lab. I. g. 187. . Id autem repugnat ellipsi g. o. . Ergo dic.
Etiam quadrata Ordinatarum ad axim in ellipsi sunt directe inter se, ut rectangula contenta sub correspondentιb ιs portionabus axis. 61. Ut si rectae ab , CD sint ordinatae ad axim ΑΒ ellipsis ACBD, quadratum ordinatae ab erit ad quadratum ordinatae CD, ut est rectangulum ex Αm in m B ad rectangulum ex Ax in xB. Etenim eum sit 1 rub, T Xui de C αχxD, erit ab . D mb. xD l Lιb. I. g. III. ι ac proinde quadrata rectarum ab , CD erunt inter se, ut quadrata rectarum inb , x ibid. . 188 . Quadrata autem rectarum mb , xD sunt inter se , ut rectangula Am m B. Ax xB g. 38. . Ergo, ut ipsa eadem rectangula , erunt quadrata recta rum ab , CD.
COROLLAR Iuu IV. In elli ονdinata ad axim aequaliter distotes a verticibus
63. Ut si distantia A m ordinatae ab a vertiee A in ellipsi ACBD sierit fg
17쪽
duo segmenta mB, AI erunt aequalia 3 atque adeo rectangulum ex Am in mB aequabit rectangulum ex Bν in ΙΑ. Quadratum autem ordinat. e ab est ad quadratum ordinatae pae, ut rectangulum ex Α m in mu ad rectangulum ex is in rA s. 2. . Ergo etiam quadrata rectarum ab , pet erunt aequalia 3 εκ ideo ipsae quoque ab , pet erunt aequales Lib. I. g. I 27. . COROLLARIUM U. In ellipsi ordinata ad axim aequaliter ὐstantes ab illius eentro sunt aquales. η . Cum enim eentrum ellipseos sit punctum in medio axis . 28. , ardinatae ad axim aequaliter distantes a centro , aequaliter quoque distant averticibus ι adeoque sunt aequales cs. s. .
COROLLARIO M VI. di eli se semis inata ad axim aqualiter diantes a verticibus,
s. Etenim semiordinatae sunt directe inter se , ut ordinatae c Lib. I.
Recta in ellipsi transiens per illiar eentrum, arque ad angulos rectos dividens Mim , divissit bifariam, oe ad angulos rectos omnes rectas ipsi axi parallelas. 6. In ellipsi ACBD . euius axis sit recta AB , δέ centrum at , due . tur per x recta CD, quae ad rectos angulos ipsum axim dividat. Dico, rectam CD dividere bifariam , atque ad rectos angulos omnes rectas Exi ΑΒ parallelas.
T Xili. In aequali distantia a eentro x dueantur ad axim AB semiordinatae am ἰn, quae propter hypothesm parallelae erunt tum inter se, tum semiordina. tae C r β. II. J, de jungantur extrema a,p recta ast. Quoniam igitur rectaeam, n sunt aequales s. s. , & parallelae, etiam duae ast , mr erunt parallelae Lib. mg. 88. ι ac proinde quadrilaterum ma py erit parallelogram-mum Lib. VI. g. 8. , te quidem rectangulum ciuid. g. 9. cum anguli am , PIm sint recti g. I a. . Parallelogramma itidem rectangula erunt duo quadrilatera axxm, xun Ob parallelismum rectae ux cum utraque am, PI,&.b rectitudinem angulorum mxu, - . Igitur duo latera au, mx aequalia
18쪽
2 ν' em latera m v, v posita sunt aequalia, & anguli xma, πνρ sunt recti: inter se, sicuti etiam duo up, XI ibid. s. 2 . . Anguli quoque xua, aerue erunt aequales, quemadmodum etiam auguli Xup, pyx s. I9. . Duo Treto aequalia itidem erunt latera a u , u ρ , & recti anguli aux, xu Dn g. 219. . Itaque recta ap axi ΑΒ parallela dividitur bifariam , at que ad rectos angulos a recta CD . Id ipsum de quavis alia recta axi ΑΒ parallela eodem modo demonstrabitur. Igitur recta &e. quod erat osten. dendum. COROLLARIUM. Recta in ellipsi transietis per illius tentrum, eiusque axim ad aetatis rectos divιdens, est alter axis ipsius ellipsi, oe quidem priori coniugulus. Α . Recta nimirum CD est alter axis ellipseos ACBD,& quidem adii ΑΒ conjugatus. Dividit enim bisariam, atque ad angulos rectos Omnes rectas a Ti p;α. αδ B parallelas, prout exigit axis I. I x. eumque vicissim axis ΑΒ dividat T. xui. bifariam , S: ad rectos angulos omnes rectas parallelas rectae CD, erunt ΑΒ,
CD axes ipsus ellipsis ACBD conjugati g. 3r. .s c H O L I O N. 8. Duo itaque sunt axes in ellipsi, & quoniam inaequales sunt inter se
I. I. , alter major, minor alter vo ri solet. In ellipsi desumta a cono recto, major axis determinatur a triangulo per axim trajecto, atque elliptiis cum planum secante. Hi ne axis mater dicitur etiam axis ellipseos primarius,& primaria diameter. At vero minor arus ellipsem σπιε fecunarrisia r & secun daria diameter nuneupatur.
Si recta linea secetur aequaliter, σ inaequaliter, rect gulam sibinaequalibus segmentis comprehensum una eum quadrato stamenti intermedii erit aquale quadrato partis dimidia.
q. Recta linea AB secta si bisariam in C, 3c utcunque in D. Dieo, nrectangulum FD eontentum sub segmentis inaequalibus AD, DB, una cum quadrato CG segmenti intermedii CD, aequare quadratum AE partis di. midiae ΛC.
19쪽
ab -a byra1 aa-bb, & quadratum CG in bb . Quamobrem rectangm tum FD una cum quadrato CG erit inraa b -bb. Constat autem esse aabb--bb imaa. Ergo rectangulum FD una eum quadrato CG aequabit quadratum ea, sive AE partis dimidiae AC .
Descripto enim ei rea totam AR semicirculo AEB, erectaque ex puncto D recta perpendiculari DA, dueatur ex centro C ad punctum H recta CH. Quoniam igitur rectangulum ex AD in DB, sellicet FD, est aequale quadrato rectae DF Lib. IX. s. ii 3. , rectangulum FD una cum quadrato CGrectae CD erit aequale quadratis rectarum DH, CD simul sumtis Drus. 161. . Duo autem ista quadrata simul sumta sunt aequalia quadrato rectar CH Lib. VI. g. 37. , adeoque etiam quadrato AE rectae ΑC Lib. ias. I 87. . Erg rectangulum quoque FD una eum quadrato CG rectae Cuerit aequale quadrato ΑΕ partis dimidiae M Dn. Alg. g. 181. . Itaque Srecta &e. quod erat ostendendum.
u ellipsi etiam quadrata semiordinatarum ad mirirem axim sunt directe inter se, ut rectangula sub correspondentibus portionιbus ipsius axis sumtis ab utroinque vretice eomprehensa . vero illis. non sunt aquaba. r. Recta AB sit axis maior , de recta CD axis minor ellipseos ACBD. μT.xlii' mutuo bifariam dividentes in eentro X. Ducatur autem ad axim mino 'rem semiordinata ,ν , & ex puncto b semiordinata bm ad axim majo. rem , quae eum parallelogrammum mxνb constiuiant , ob parallelismum scilicet rectarum m b, a D, necnon rectarum br, Ax , erit bm zXr,.& bν rix Lib. H. s. 2 O. .
so. Dieo primo, quadratum x G semiordinatae Α x esse ad quadratumis F semiordinatae br , ut est rectangulum x E eontentum sub segmentist Cy, x D ipsus axis CD ad rectangulum C a sub segmentis Cr, rD ejusdem axis comprehensum.
20쪽
Esto bx quadratum semiordinatae bis ad majorem axim , & mn sit rectanguluin contentum sub correspondentibus portionibus ipsus axis ι &quoniam habetur Cx - x D, & Ax αα xB , quadratum xE semiordina. tae TD ad majorem axim non erit diversum a rectan ulo contento sub Portionibus Cx, xD, quae correspondent semiordinatae Ax ad axim mi. norem, & qir dratum aG semiordinatae Ax ad eundem axim non erit di versem a r tangulo , quod sub portionibus Ax , xti axis maioris eorre Dpondentibus semiordinatae xD comprehenditur . Cum ergo si xL. bex G . mn . 38. , erit quoque XL - bx. xE a G - mn. xG Lιb. I. s. I I. , adeoque xE, XE - bet met xG. xG-mn g. III. . Est autem xE - bae in ι cum rectangulum , seu quadratum xE sit aequale rectangulo O, una cum quadrato bae s. 9. ι atque eadem ratione sit xG- mn rara b F, quod nempe quadratum xG adaequet rectangulum mn, una cum qnadrato bF. Ergo erit XE. C axG.bF, sive a G. bF mxE. Q. I L3 I. Dieo r. , quadratum xG semiordinatae Αx non esse aequale rectangulo xE, nee quadratum bF semiordinatae br aequare rectangulum Q.
Eadem est eum demostratione tradita s. 39. Itaque in ellipsi S e. quod
Etiam quadrata ordinataram ad minorem axim ellipseos sani directe inter se, ut rectangula eontenta sabcorrespondentibus pονιιonibus ipsius Οιs.12. Demonstratur eodem modo, quo s. i. idipsum ostensum est de quadratis ordinatarum ad majorem axim.
Tam ordinata, quam semiordinata ad minorem aximellipseos aequaliter distantes a suo vertice resteisa,ve, aut a centra , sunt aquales. 33. Ostenditur eodem modo, quo g. 43, 4 , que , idipsum demonstravi. mus de ordinatis, S semiordinatis ad mutorem IIm. Elem.Math.T.IV. B 3 Co.