장음표시 사용
21쪽
Tua per heνia cireuli descripti eirea in orem axim ellipseos eadit extra curvam ellipticam ι intra illam vero tota per heria circuli descripti circa axim minorem 1 . Tota nimirum peripheria circuli ALCF deseripti ei rea maiorem axim AC ellipseos ABCD reperitur extra curvam ellipticam ABCD intra I e. 6. illam vero tota peripheria circuli AECF descripti circa axim minorema, X ill AC, ita nimirum ut duo tantum extrema puncta axis sint illis eurvis com munia. Etenim, si punctum b esset commune utrique curvae, ellipticae sci licet ABCD, di circulari ALCF, recta A esset semiordinata ad axim tam cireuli, quam ellipsis; eumque quadratum semiordinatae ab in circulo adaequet rectangulum ex Aa in aC Lib. IX. g. ii 3. , idipsum verum esset in ellipsi, secus ad ipsa natura ellipseos postulet.
In ellipsi quadrata semiordinatarum ad ma orem axim sunt minora rectangulis contentis sub correspondentibus portionabas ipsius axis . Quadrata vero semiori natarum ad axim minorem sunt ma ora correspondentibus rectangulis. F g. I.
s. Etenim, descripto circa maiorem axim AC ellipseos ABCD ei reu. Io ALCF, ductisque semiordinatis ae , ΜD, iisque ad Peripheriam usque circuli productis , cum semiordinata ae in ellipsi deficiat a semiordinata
ab in circulo s. q. , quadratum semiordinatae ae minus erit quadrato semiordinatae ab . Quadratum autem semiordinatae ab ad aequat rectangulum ex Aa in a C. Lib IA g. I i 3. . Ergo quadratum semiordinatae ae ab eo Fir is. dem rectangulo deficiet. Eodem moὸo ostendam, quadratum semiordinatae T. XII l. MD deficere a rectangulo ex AM in ΜC. Contra vero, descripto circulo AECF circa axim minorem AC ellipseos ABCD, eodem ratiocinio osten. detur, quadratum semiordinatae ab in ellipsi excedere rectangulum ex Aa in aC , quod nempe huic rectangulo sit aequale quadratum semiordinatae aein circulo, mque semiordinatae ae quadratum minus quadrato semiordin tae ab , quemadmodum recta ae deficit a recta ab.
22쪽
COROLLARIUM RQuadrata semiordinatarum ad axim ellipseos tam maJorem , quam mιnorem habent omnia eandem rationem ad sua respectiυe rectangula sub eorrespondeatibus axis portionibus comprehensa. Videtieet quadratum simi ordinatae ae ad axim AC ellipseos ABCD Fit saeam habet rationem ad rectangulum ex Aa in aC , quam ad rectangulum xxiv. ex ΑM in MC habet quadratum semiordinatae MD. Cum enim quadratum semiordinatae ae sit ad quadratum semiordinatae MD , ut est reAangulum ex Aa in aC ad rectangulum ex AM in MC cst. 38. so. , alternando erit similiter quadratum semiordinatae ae ad rectangulum ex Aa in aC, ut est quadratum semiordinatae MD ad rectangulum ex Ari in MC c Lib. I D
di ellipsi semiordinata ad utramque axim eandem omnes habent rationem ad sibi respondentes semiardinatas ad diametrum circuli cirea ipsum axim descripti. R . Circa maiorem axim AC ellipsis ABCD describatur cireulus A ECF, sintque rectae MD , ae semiordinatae ad ipsum axim in ellipsi , & rectae MF, ab semiordinatae ad diametrum circuli illis correspondentex. Dico, esse M. MF m: ae. ab.
Quadratum semiordinataeMD est ad quadratum semiordinatae ae, ut re ctangulum ex ΑM in MC ad rectangulum ex Aa in aC s. 38. . Est autem etiam quadratum semiordinatae MF ad quadratum semiordinatae ab , ut haec Fig. Dipsa rectangula fg. 36. . Ergo quadratum semiordinatae MD erit ad quadratum semiordinatae ae, ut quadratum semiordinatae MF ad quadratum smmiordinatae ab c Lib. I. g. 7s. ν & alternando, quadratum semiordinatae Moerat ad quadratum semiordinatae MF , ut quadratum semiordinatae ae asquadratum semiordinatae ab c g. ias. . Igitur erit quoque MD. MF - Fitat Lae. ab fi r 88. . Descripto porro ei rea minorem axim AC ellipseos ABCDAXII Leitculo AECF, demonstrabitur eodem modo a esse mD. in F zza ab . MisItaque ita ellipsi &C. quod erat ostendendum.
COROLLARIUM Lsg. Hi ne sequitur, esia MD. DF ae. eb. Cum enim sit ΜD. M F
23쪽
Etiam ordinate ad Wrumque axim ellipseos babeηt omnes eandem rationem ad ordinatas sibi eorrespondentes in circulo eirca axim descripto. 9. Erit nempe BD. EF - ne. db. Enimvero, eum sit BD - 2 MD, Fig LI. 3e LF αα 1MF, erit BD. EF - MD. M F cf. I 27.). Est autem eandem ob causam ne . db se ae . ab , jamque constat, esse MD. MF ae . ab cst. IigI6. 17. b. Γrgo erit BD. EF ne . si1 s 77. 3. Eodem ratiocinio palam fiet
T. Xi Lin ellipsi ABCD, ei rea cujus minorem axim AC descriptus sit eireulus A ECFaesse BD EF - db . ne. COROLLARIuM III. Ordinate ad utrumque axim ellipseos sunt directe inter se, ut ordinata sibι eorrespondentes ιn circulo circa axim descripto. fio. Videlicet iisdem postis , erit BD . ne EF. db. Quippe, cum iam F:g. s. ostensum fuerit, esse BD. EF me ne . si , manifeste sequitur , esse itidem sisei 6. BD. ne se LF. db . ras ). Similiter cum sit BD. BF db. ne , erit T. Aiι l. quoque m. db - EF. ne. COROLLARIUM IR Axis ellipseos est maxima omnium ordιnatarum ad
61. Sie in ellipsi ABCD axis minor BD est major, quam recta ne ordinata ad majorem axim AC, & in ellipsi itidem ABCD axis major BD est Fig. l. major, quam ordinata db ad axim minorem AC. Quandoquidem , cireulis circa ipsos axes descii piis, eum si BD. EF ne . db sq. , quemad-T Ni i modum recta EF est maior recta db s Lib. VII. s. 6 3 , ita recta BD excedetrectam ne Db. I. M. I 18. . Eandem ob causam BD erit major , quam ct hcum nempe si BD. LF-db. ne, & EF major, quam ne .
24쪽
COROLLARIUM U. ' Ordinata ad utrumque axim ellipseos eo minores sane quo magis ab illius centro recedunt. 62. Nimirum in ellipsi ABCD ordinata ne ad axim AC magis remota a centro M, quam ordinata xi, minor erit, quam ipsa xe. Etenim, cum sit se 'art. GH ne. db s. 19. , scuti recta GH excedit rectam db Lι b. VII. s ε . , ita ordinata xet ordinatam ne quantitate superabit Lib. I. g. 8. .
Recte tangentes ellipsim t ulla per extrema punctae; dem diametri, fant inter se parallela. 63. Per extrema puncta A, B diametri ΑΒ ducantur rectae AE, BF, qua, Fig. to. rum utraque tangat ellipsim ACBD. Dico, rectas AE, BF esse inter se pa-T. Xr: l. allelas.
Ducatur ordinata CD ad ipsam diametrum. Itaque recta AE , utpote tam gens ellipsim, erit parallela ordinatae CD g. 22. I. Eadem amem ratione etiam recta BF est eidem CD parallela. Ergo due AE, BF inter se quoque funt parallelae Lib. IV. s. I . . Igitur rectae tangentes dici quod erat osten dendum
Recta linea ducta a centro ellipseos ad extrema duarum ordinatarum ad axim aqualiter a eentro distantium , sunt omnes inteν se aquales 3 atque binas rectas per eentrum ellipsiutranseantes illa constituunt. In ellipsi ACBD sint duae ordinatae ae , db ad axim ΑΒ, aequaliter distan- ph, intes a centro n, ad quarum extrema ducantur ex ipso centro rectae na, ne , nd, cta Xl IL
ε6. Dico Primo, rectas na, ne, nil, Q esse inter se aequalas. Dedi
25쪽
Cum enim latera irae, ete triangulorum nea, nete sint aequalia , latus in si utrique commune, & anguli neta, nete , qui aequalibus lateribus continentur, sint aequales, utpote recti s. I x. , bases quoque na, ne inter se aequales erunt Lib. V. s. s. . Eadem ratione etiam duae nc , n, erunt aequales. Rursus quoniam duae ordinatae ae , db sunt aequales cs. Α . , aequalia itidem erunt earum dimidia te , Ib Lib. I. s. II 6. 3 cumque per hypo thesim etiam rectae tu , D sint aequales scuti etiam anguli ute, ub , utpote recti s. 12. , bases similiter rae,rab erunt aequales Lιb.'73. . Igitur aequales erunt etiam duae ua,nd Srnop. u. 219. ι ac proinde quatuor rectae na,nd, ne ,nb sunt inter se aequales. I LDico 2. rectas da, ne, seuti etiam rectas an, nb , esse in directum positas, sive quatuor tectas na, ne, ud, nb constituere binas rectas per ceru
Duo latera xd , ne triangulorum Dd, nete sunt aequalia cy. 64. , seu tietiam υ , ni per hyopthesim , necnon duo O , te , utpote dimidia ordi. natarum aequalium db, ea. Igitur anguli quoque dn I , et ne sunt aequales Lib V. g. 82. ae propterea duae rectae O , ne sunt in directum positae Lib. III. g. 3 1. . Eadem ratione in directum positae sunt etiam duae an ,nbItaque rectae na, ne, ad , nb binas rectas constituunt 3 adeoque rectae &e quod erat ostendendum.
COR. OLLARIUM L66. Hine in ellipse duci pigunt ex illius eentro ad curvam, qua termina tur, qvαβον recta inter se aequales.
In ellipsi recta eo ungens extrema famia ex adverso duarum ordinatarum ad axim aqualiter a centro diantium, transit per centrum ipsius ellipsis.c . Ostensum nam quo est , rectas ne, ne, quibus cum centro a iunguntur extrema e , d ordinatarum ae , db aequaliter distantium ab ipso centro, unam rectam constituere Ergo recta ducta ab extremo d per centrum n
26쪽
transibit per extremum e. Quippe, si secus, duae rectar haberent segmentum commune, quod repugnat s Lib. III. s. 68. . COROLLARIυM III. In ellipsi omnes recta per eentrum tam , ct utrinque ad curvam ellipticam terminate, bjariam in ipso centro dividuntnr. 68. Demonstravimus enim, rectas nil , ne esse aequales inter se, & unam rectam constituere, quae per centrum transit, Hinc COROLLARIUM IROmnis diameter ellipsis transit per illias centrum.
parallelas , prout ad diametrum requiritur. Quippe illam rectam non seearet bifariam, quae per centrum transit ι cum hujusinodi recta nonnisi in ipso centro bifariam dividatur is. 63. . COROLLARIUM RIn ellipsi recta linea ducta a eentro ad eurvam elliptieam aqualι ter hine inde ab axe distantes , sunt inter se aquales. o Ostensum est eram, rectas na, ne, quae ob aequalitatem rectarum eta, te aequaliter distant ab axe AB, esse inter se aequales. COROLLARIuM VI. uavis diameter ellipseos est na ex ordinatis ad diametrum sibi conjugatam. r. Sie diameter ed ellipseos Ae D est una ex ordinatis ad diametrum sibi conjugatam ΑΒ . Bisariam namque dividitur a diametro ΑΒ in centro ni s. 68. , estque iis omnibus parallela , quae sunt ad ipsam diametrum ΑΒ 'ordinatim applicatae s. IO. .
27쪽
Si ex punctis extremis an ius diametri ellipseos dueantur rectae ellipsim tangentes , qua eum alia diametro in directum producta eoncurrant, illa aequales erunt inter se, duoque aqualia triangula constituent. Per extrema puncta A, B diametri ΑΒ ellipss ACBD ducantur rectae AE, F g. 37. BF ellipsim tangentes, quae concurrant in punctis E , F eum altera di me- T. Alli, tro directum utrinque producta.
73. Dico primo, rectas AE, BF esse inter se aequales
Quoniam rectae AE, BF sunt parallelae g. 63. , alterni anguli EAn, FBuerunt inter se aequales Lib. IV. L i s. . AEquales sunt autem etiam anguli adverticem Oprosti Ania, BηF Lib. III. g. si . , nec non latera An, n B g. 68. , quae in triangulis AnE, Bn F aequalibus angulis adjacent. Ergo latera quoque ΑΓ, BF erunt inter se aequalia Lib. V. s. 9s . .. I I. q. Dieo 2. triangula Anz, Bn F esse aequalia.
Duo namque triangula An E, Bn P sunt huiusmodi, ut d Lo latera Aa,n Bhabeant aequalia , quae aequalibus angulis adiacent, ut modo demonstravimus. Ergo sunt aequalia s. y . . Itaque s ex punctis &e. quod erat ostendendum.
DEFINITIO RI s. Parameter axis ellipseos dieituν recta linea ducta per extremum punctum ipsius axis, ejus ordinatis paralleIa, euius ratio ad ipsum axem dιυersa ab ea non est , quam habet quadratum cui os semiordinatae ad- rectangulum sub corisI .is. respondentibus axis portionibus comprebensum . Ut si per extremum punctum T. XIII A axis AC ellipseos ABCD ducatur recta AE parallela ordinatae BD , sitque recta AE ad axim AC, ut quadratum euiusvis semiordinatae ba ad rectangu .lum ex Ab in bC, recta A E et it parameteν axis AC. Hujusmcdi autem rectae nomen parametra inditum est , quia eo utimur , tit patebit , ed di me Henda quadrata semiordinatatum id i psum axim. Ceterum tecta, quam nunc parametram dicimus, latas rectum olim vocabatur, ad differentiam a is, ex cujus
28쪽
euius vertice partimeter edueitur, qui latus transversam nune etiam voeari solet
s. Parameter axis ad perpendiculum axi ineumbit. Cum enim parameter AE axis AC sit recta parallela semiordinatae ba ad ipsum axim , duo anguli interni EAb, Aba aequales erunt duobus rectis Lib. IV. g. r3. . Angulus autem Aba est rectus cs. II. . Ergo rectus erit etiam angulus EAb ; ae proeinde tectx EA rectae AC ad perpendiculum insistet i Lib. III. s. x . . COROLLARIUM II.
7. Parameter tangit ellipsim in vertice axis, ex quo educitur . sic para. meter EA est recta tangens ellipsm in vertice Α axis AC, ex quo educitur. Patet evidenter ex eo, quod parameter sit recta parallela ordinatim axi
applicatis, ducta ex illius vertice g. 1. . DEFINITIO VI. 8. Figura axis ellipseos est rectangulum conteutum sub ipso axe , fuAμε p; .ir. parametro . Sic rectangulum ACKE, quod sub axe AC . & sub ejus para-T.MIL. metro ΛE comprehenditur, est figura axis ΛC ellipseos ΛBCD.
vs. ReguIatrix, sive directrix ellipseos dicitur recta linea ducta ab extremo parametri ad alterχm extremum punctum axis ipsius ellipsis. Sabregulu-trix vero, seu subdirectrix vocatur illa recta linea,. qua ducta a eentro elin eos ad parametrum, inum parametrum bifariam dividit. Sie recta EC du.cta ex puncto extremo E parametri AE ad extremum punctum C axis AC, regulatrix , sive directrix ellipseos ABCD nuncupatur . Ejusdem vero subregulatrix , sive subdirectrix recta FN ducta a centro F ellipsis ad parameistrum AE, ipsumque bifariam dividens in puncto N. COROLLARIU M.
3 5. Subdirectrix ellipseos est parallela recta directrici , Dusque pars dimidia. Enimvero, cum sit AF αα FC , & per hypotesim AN NE, erit AF. FC - AN. NE. Ergo recta FN erit parallela rectae CE Lib. IX.ψε . . Rursus , cum propter parallelismum ipsarum FN , CE , sit FN. CE ΑF. AC g. 19. , quemadmodum habetur AC - 1 AF, ita erit CE IF Hiae recta FNIe directrix etiam, vel semiregulatrix ellipseos vocari solet. THE
29쪽
Unus axis ellipseos est media proportionalis inter alterum axim sibi con)ugatum , eiusque parametrum. 8 I. Rectae AC, BD sint axes ellipsis ABCD. Recta vero AE si parame. Fig. ιδ ter unius ex illis ΛC. Dico, alterum axim BD esse mediam proportion TXIIL lem inter axim AC, Quique parametTum AE.
oniam axis AC eam habet rationem ad suum parametrum AE, quam habet rectangulum ex AF in FC, sive quadratum H F semiaxis FC ad quadratum GF semiordinatae, seu semiaxis BF Lib. IX. s. s. , sicuti quadratum H F est ad quadratum GF in ratione duplicata lateris FC ad latus BF Lib. IX. I x. , ita axis AC est ad suum parametrum AE in ratione duis plicata semiaxis FC ad semiaxim BFι ae proinde etiam totius axis AC ad totum axim BD c Lib. I. s. I 26. , eum nempe si AC. BDT FC. BF g. I 27. . Facta autem hypothesi, ut si AC. BD. AE , ratio primae AC ad tertiam ΑΕ est duplicata illius , quam habet eadem prima AC ad seeundam BD s. I 7. . Ergo reipsa habetur ΛC. BD. AEI atque propterea unus axis &c, quod erat ostendendum. COROLLARIuM I. Quadratum anius axis ellipseos adaequat figuram alterius axis Ibi conjugati. 82. Quadratum nempe unius axis BD ellipseos ABCD adaequat figuram ACKE alterius axis sibi conjugati AC . Enimvero, cum axis BD sit meis dia proportionalis inter alterum axim AC,& ejus parametrum AE s. 8 I. , quadratum ipsius axis AD erit aequale rectangulo ACKE Lib. IX. s. III. .
Hujusmodi autem rectangulum est figura axis AC cs. 78. . Ergo &C. COROLLARIUM II. Quadratum unius semiaxis ellipseos est aquale quadranti figura alterius axis. 8 Videt ieet quadratum GF semiaxis BF ellipseos ABCD est aequale quartae parti figurae ACKE alterius axis AC. Quandoquidem bisariam divisis lateribus ΑΕ, AC rectanguli ACKE , constitutoque rectangulo ADN, duo rectangula ACKE. ADN erunt similia is gue. ι adeoque rectangulum ADN erit ad rectangulum ACKE in ratione duplicata lateris AF ad latus AC
30쪽
pars rectanguli ACQ Ibid. . Est autem eadem ratione etiam quadra tum GF semiaxas GF quarta pars quadrati totius axis BD . Ergo quadra. tum GF est ad quadratum totius axis BD, ut rectangulum ADN ad re ctangulum ACKE . Quadratum porro totius axis BD aὸ aequat rectangulum ACKE g. 82. in . Ergo etiam quadratum GF aequabit rectangulum ADNc Lib. I. s. I 28. .
Si eirca maiorem axim ellipseos describatur eirculus, eullus peripheria occurrat tangens ducta ex puncto extremo axis minoris, tum ex illo puncto occursus agatur semiordinata ad maiorem axim , rectan. gulum contentum sub correspondentibus portionibus ipsius axιs erit aquale quadrantι figura ejusdem axis.
8 . Ut si deseribatur etreulus AECF ei rea maiorem axim AC ellipseos ABCD, atque eκ puncto extremo D axis minoris BD ducatur tangens Dia r ioeeurrens peripheriae ipsius circuli in puncto Q, ex quo ducatur ad axi mr xiis. maiorem AC semiordinata Pia, rectangulum contentum sub segmentis AP, PC axis AC semiordinatae QP correspondentibus, erit aequale quadranti figurae ipsius axis AC. Cum enim recta CP ad perpendiculum insistat diame tro AC g. Ita , rectangulum ex AP in PC erit aequale quadrato rectae PQ Lib. IX. s. II 3. . Quadratum autem rectae PQ est aequale quadrato semiaxis ΜDι eum rectae PQ, MD sint aequales s Lib. m. s. 2 o. . Ergo etiam rectan. gulum ex AP in PC erit aequale quadrato semiaxis MD. Druing. g. 16r. . Quadratum porro semiaxis MD est aequale quadranti figurae axis AC g.83. . Ergo eidem quadranti rectangulum quoque ex AP in PC erit aequale s. 26 a. .
'Axes ellipseos sunt dua media eontinuo proportionales inteν suos parametros. 3. Uideliere axIs major BD ellipseos ABCD, de axis minor AC sunt Auae mediae eontinuo proportionales inter suos parametros GC, DH . Estr