장음표시 사용
41쪽
rallela rectae dP Lib. IV. g. 32. , adeoque etiam recta tangenti BG g. ig. , neenon tangenti LN Ibid. ι eum tangentes BG, LN sint parallelae g. 63. .
Ducta propterea tangente CF, quae concurrat cum recta BL in F , triangu. tum mΜD aequabit trapeZIum m CFn, ut nη m. I. demonstravimus. Quamob rem, si utrique adiiciatur triangulum m En, triangulum mΜD una cum tri angulo mEn aequabit triangulum C EF c Da. Alg. g. 26s. . Triangulum au.
tem ΚΕΑ adaequat triangulum LCF g. q. , dc triangulum m MD positum
est aequale triangulo dPm. Ergo triangulum quoque dPm una cum triangu. Io m En aequabit triangulum ΚER. Ostensum est autem uam. I. triangulum aPat aequare trapeetium ΚbxΑ. Ergo, his sublatis, trape χium xadm una eum triangulam En erit aequale triangulo b SIN. Ast. g. 266. , demtoque com . muni xae Ε, triangulum bea aequabit triangulum den Ibid. . Duo autem
hujusmodi triangula sunt similia Db. m. p. 66. νι cum sint aequiangula. Ergo aequalia inter se erunt homo toga ipsorum latera de , ea s. IIo. 3 ac priniade recta da secta erit bifariam in puncto e a recta BL.
Sit modo recta AD ssg. s. , quae occurrat extremo puncto A axis AC; semiordinata vero D a ad ipsum axim ducta ex altero extremo D rectae AD, Insta centrum E ipsius ellipsis itidem eadat . Eodem ratiocinio, quo num. prae edenti ostentum est, triangulum d cfig. 7. una cum triangulo in Euaequare triangulum ΚEA , demonstrabitur, triangulum DΑm fig. s. una eum triangulo mEt aequare triangulum ΚΕΑ. Igitur, sublato communi triangulo AsB, resduum triangulum Dst aequabit triangulum ΚsΑ Srn. et g. 266 , quod itidem relinquitur. Cumque ista triangula Dst, M , utpote aequian. gula sint similia, habebunt latera homo toga As,s D inter se aequalia g. I Io ), adeoque etiam in hoc casu recta DA secta erit bifariam a recta BL-v LNunc recta, quae secatur a recta per centrum transeunte, ita se habeat in ellipsi, ut ipsius axim dispescat, esto nimirum recta PD fig. 8. divisa a recta b L transeunte per eentrum si ellipsis FCM, sique ipsa FD parallela tangenti li Α, atque ex illius extremo F ducatur ad axim a C semiordinata Fu, quae supra centrum E ipsius ellipsis eadat. Ducta igitur ab extremo D recta Db paralleIa semiordinatae Fn, sicuti etiam tangenti Ha, & per punctum aerecta id parallela tangenti bΑ , ut supra , eodem plane ratiocinio demonstrahitur, triangulum Fun aequare trapeχium Hmna, quo nam. I. ostensum est,
eriangulum dPR fg. s. aequare trapezium ΚnRA. Igitur, sublato communitra Praio vmn, triangulum Frm aequabit ira pratum brae Srn. v. q. 166. . Tri angulum autem ea D est aequale trapexio mea; cum triangulum ea D adaequet triangulum aede Lib. V.F. 9 . , ob aequalitatem scilicet basium te , e D s . IT. , nec non angulorum xed, Deu Lib. III. q. s I. , & dete, eDa Lib. IV. F. I s. , ipsumque triangulum etde trapeZio Hbea, ut num. I. demonstravimus, sit aequa
42쪽
le. Ergo triangulum it 'erit aequale trapeZio HIva; adeoque etiam triangulo Frm fDαὼ II. I 263. , quod trape Elum ipsum Nyna adaequat. Duo autem triangula bin , Pyrn, utpote aequi angula, sunt sinitia. Ergo aequalia erunt inter se homologa ipsorum latera Fr, 3D, rectaque ideireo FD a recta bLbifariam dividitur. VII'
Ab eadem recta bL t fg. 8. secta si recta NM, ex euius extremo M ducta
semiordinata ML ad axim a C, transeat ipla per centrum E ipsius ellipsis. Ex altero illius rectae extremo N dueatur ordinata Nh ad axim aC, & posita PK- PR, ductaque recta Κb, eonstituatur triangulum PKb. Igitur, quemadmo. dum triangulum F an adaequat trapeatum H m n a, ita , si evaneseat triangulum m En, transeunte nimirum recta Fn pee eentrum L, seu ti per ipsiam transit recta LM, triangulum RME aequabit triangulum ECS. Quamobrem, demto comis muni triangulo RGE, residuum triangulum LGM erit aequale residuo trapeato Gl CS F. 266. . Triangulum autem RNP ad aequat traperium res x, utpote aequale triangulo GP scuti num. praeedenti Ostensum est de triangulis aede, euDὶ cui traperium ipsum PCSx est aequale g. Io . . Ergo, sublato traperio PCSx a trapezio GRCS, additoque triangulo RNP ipsi residuo RΡm, trianguis tum G Nx aequabit trapezium RCSGι ac proinde etiam triangulam EGM uti. Sunt autem duo ista triangula sibi mutuo similias eum sint aequi. angula. Igitur aequalia erunt latera ipsorum homologam,CΜι adeoque &e.
VIII. postremo esto recta dD fg 9. secta a recta BL ,eaque ita se habeat in etis ipsi, ut semiordinata dm ad axim AC cadat infra centrum L. Ductis itaque rectis, ut supra, prout figura ostendit , triangulum mM erit aequi angulum triangulo d Rm , adeoque illi aequale ob aequalitatem semiordinatarum , livebasium dm,m Q. Quoniam igitur triangulum mMQ adaequat trape χ tum m CFn, quemadmodum csg. 7. triangulum mMD ad aequat trapeZium mCFn ex n.IM, triangulum quoque in m eidem trapezici mCFn erit aequale tDn. Aus. 26 I. .
Quamobrem, si utrique adjiciatur triangulum m En, figura dREnd aequabit triangulum ECF s. 261. . Triangulum autem KEA est aequale triangulo ECF g. . Ergo figura dR d etiam triangulo ΚΕΑ erit aequalis ta moviis. 26I.xHine, demto utrique triangulo eRE , triangulum den aequabit trapeatum KeRAc s. 166. . Triangulum porro x D ad aequat ira pratum Kbx Α, scuti ex num.
praeedenti triangulum N RP fig. 8. est aequale trapezio P CSx. Ergo, addito utrique trapeZio bxRe, triangulum bDe aequale erit trapeχlo ΚeRA s 1 cs. ι adeoque etiam triangulo den cf. 26 I. . Cumque duo hujusmodi triangula bDe,den, utpote aequiangula, sint smilia, aequalia erunt Iatera ipsorum homologa de , eDιae proinde recta dD secta est bifariam in puncto e a recta BL Igitur recta quaecunque transiens per centrum ellipsis diversa ab illius axibus &α quod erat ostendendum.
43쪽
C ROLLARIUM I. ila ellipsi recta quacunque diversa ab axibus transiens per illius centram est diameter secundaria. xxx. Bisariam siquidem dividit omnes rectas parallelas tangenti ductae per illius extremum, prout requiritur, ut ellipseos diameter dici queat s. II. . COROLLARIUM II. Axis major ellipseos est omnium diametrorum maxima,
I 1 i. Videt ieet axis major AC ellipsis ABCD est maxima omnium dia.
metrorum. Quippe est maxima omnium rectarum , quae per ellipseos centrum transeunt. Descripto enim circulo ALCF circa ipsum axim , ducta, que per centrum Μ recta quacunque bm, cum tota peripheria circuli extra curvam ellipticam reperiatur sq. sq. , recta quoque bm extra eandem cura am excurret. Quamobrem recta bm major erit diametro ny. Est autem
AC in bra Lib. VII s. II. Ergo axis quoque AC erit major diametro nI, eadem ratione omnes alias diametros axis ipse AC excedet. Eodem ratiocinio palam fiet, minorem axim AC ellipsis ABCD esse minimam o m. Fig. 6. nium diametrorum ejusdem. Quandoquidem ducta diametro ab , descript T. XIlI.que cirea minorem axim AC circulo ΑECF, cum tota ipsius circuli perrupheria cadat intra curvam ellipticam s. Fq. , sitque propterea aex Ib, prit etiam 2LC 1 b, ex eo nimirum quod sit AC et xa Lib. VIL s. II. l.
Tam diametri, quam semidiametri ellipseos eo minores sunt , quo magis a ma=ori ipsius axe recedunι. II . Etenim quo magis recedunt ε majori axe , recedunt magis a ma. xima diametro, & accedunt ad minimam,
II1. Hinc patet disierimen maximum ellipseos a circulo . omnes namisque 4 iametri in circulo sunt aequales inter se, minime vero in ellipsi i idque profecto ex eo, quod quadrata semiordinatarum ad axim in ellipsi non cnt, quemadmodum in circulo , aequalia rectangulis , quae sub correspon dentibus portionibus ipsius axis cont1nentur. THE
44쪽
Quadrata semivdinatarum. ad quamlibet fecundariam diametrami ellipseos sunt directe inter se, ut rectaclula contenta sub
correspondentibas portionibus ι ius diametri.
116. Recta BL sit pna ex diametris secundariis ellipseos ABCL, ejusquς n. .
axis AC. Ducantur autem ad ipsam diametrum B L semiordinatae ea, MA ern D. Dico quadratum semiordinatae ea esse ad quadratum semiordinatae M A, ut recta noulum ex Be in e L ad rectangulum ex B M in ML. Quadratum quoque semiordinatae M A esse ad quadratum semiordinatae nD, ut est I ctangulum ex BM in ML ad rectangulum ex Bn in a L.
Per extrema puncta B, A diametrorum B L, AC dueantur tangentes BG, AK , quae cum ipsis eoncurrant in punctis Κ, G , & per punctum a ducatur recta b x parallela tangenti Κ 6 Quoniam igitur, ut β. III. num. Ldemonstravimus , triangulum a P x adaequat trapeatum K Α , si utrique dematur commune trapeatum ae ax Α, residuum tria gulum R. AP erit aequale residuo traperto Κbat Du. Ast. s. 166.), quibus si addatur trape Zium HaePG, triangulum HAG em aequiae duobus trapeatis Mat, H G SIn. Ast. s. 263. . Triangulum autem ΒΗΚ adaequat triangulum H AG l. Iois., . Ergo triangulum quoque ΒΗΚ aequabit duo trapeata Kbaae, Het PG Du. Ast. β. 26 I. , a C proinde, si trapeZium Κb IH auferatur ira,PeZio Κbat, necnon triangulo BHΚι tra polum vero , quod ex illa se ductione relinquitur , nempe Hrat , adneiatur trape Zio Me PG , trian gulum Bb3 erit aequale toti trapeato Gra P ι his autem addito trapezi BIae , trι angulum bae aequabit trapeZium G BeΡ cs. 266. . Constat
porro , triangulum AMΚ aequare trapezium B M AG I. io S. ὶ . Erigo triangulum bae erit ad triangulum ΑΝ- , ut est trapeetium G Be P ad trape Zium BVRGDuo autem it Ia triangula ., utpote aequiangula , sunt si mi ita Lib. IX s. 66. , adeoque sunt inter se, ut quadrata suorum laterum homologorum ea, MA g. igi. . Ergo quadratum semiordinatae ea erit ad quadratum spmi ordinatae MA , ut est trapeatum G BeP ad trapezium CBΜΛ Lib. I. s. 78. , nempe ut ex eessus trianguli BbG supra triangulum ΜΑΕ. Hujusmodi aute:n excessus sunt directe inter se, ut excessiis quadrati lateris BE supra quadratum lateris e E ad excelsum quadrati ejusdem lateris BE supra quadratum lateris 'IE cs. Ioq. in i cum ob parallelismum rectarum BG,eP,MA triangula BGE,ePE, MAE sint similia Lib. IX. 1. 6s. , adeo. que Proportionalia quadratis laterum ΒΓ, e E, ME s. igi. . Ergo etiam quadratum lateris, seu semiordinatae ea erit ad quadratum semiordinatae MA , ut est excessus quadrati lateris BE supra quadratum lateris e L ad excellum quadrati eiusdem lateris BE supra quadratum lateris ME Lib. I. g. 78.ὶ, videlicet ut rectangulum ex Be in eL ad rectangulum ex ΒΜ in ML β. 69. .
45쪽
Rursus ducta per extremum D semiordinatae nD recta Da ordinata xdaxim AC, parallela tangenti ΑΚ, eaqtie producta in b, nec non per pun ctum a ducta recta e D parallela tangenti BG , cum rectae ax, xD lint aequales , sicuti etiam anguli axP, Dxm Lib. III. s. 1 I. γ, nee non anguli Xa P , xDm Lib. IV. s. Is . , duo triangula aPx,xmD erunt aequalia Lib. V. s. 9 . . Quamobrem, si utrique adjiciatur idem spatium xaenm X, trapeZium Pen naequabit trapeZium Daen Srn. g. 26s. ι his vero addito triangulo ae btrapeZium Penm una eum triangulo aeb erit aequale triangulo Dbn. Ostensum est autem , triangulum bae esse aequale trapeato Be PG , ut proinde trapezium Bnm G adaequet trapeΣium Peum una eum triangulo aeb Ibid. . Ergo triangulum quoque Dbn aequabit trapeZium Gram Ibid. g. 262.) . Demonstravimus autem, triangulum ΚΝ1 A esse aequale tra-
prato BMAG . Igitur triangulum R erit ad triangulum bu D sibi simile Lib. IX. 66. , utpote sibi aequi ansulum, ut est traperium GBMA
ad trapeχium G Bn m. nempe ut exeessus trianguli GBE supra triangulum A ME ad excessum ejusdem trianguli BEG supra triangulum mn E; ae proinde ut excessus quadrari lateris BE supra quadratum lateris ME ad exeessum eiusdem quadrati lateris BE supra quadratum lateris nE s. I 9. , videt ieet ut rectangulum ex Bri in ML ad rectangulum ex Bn in nL LA'. . Irgo quadrata semiordinatarum &α quod erat Ostendendum. COROLLARIUM LQuadrata ordinatarum ad quamlibet seeundariaut clametrum ellipseos sane directe inter se , ut rectangula eontenta sub correspoadentibus portionibus ipsius diametri . II . Quadrata namque ordinatarum sunt inter se, ut quadrata semiordiam rarum Lib. I . I 88. 3 cura ordinatae ad diametrum fine directe inter se,
ut semiordinatae ad eandem Ibid. si1 7. . COROLLARIUM II.
Tam ordinata , quam semiordinata ad quamlibet Peundariam diametrum ellipsis aequaliter dissantes a suo votice respective, aut a centrω, sunt aequales-
Hi Demonstratur eodem mod , quo si. ΑΙ- q. s. id,Ps m ostensium est de ordinatis , & semiordinatis ad majorem amm ..
46쪽
si diametri eo*ugata ellipseos fuerint aequales , quadrata semisian natarum erunt aqualia rectangulis, qua sub correspondentibus portionibus ipsius diametri continentur.3 9. Ut si diametri coniugatae ΑΒ , ed ellipseos AeD fuerint aequales. quadratum cujusvis semiordinatae rub aequabit rectangulum ex Am in mB. Fig. sEtenim, cum quadratum semiordinatae mb sit ad quadratum semiordinat aer XIlI.nd, ut rectangulum ex Am in m B ad rectangulum ex An in uB g. II 6. seu ti propter hypothesim quadratum semiordinatae nd adaequat rectangulum ex An in nB , ita quadratum semiordinatae mb aequabit rectangulum ex Αm in in B Lab. I. g. 28. .
Iro. Quamvis ergo quadrata semiordinatarum ad axim tam maiorem, quam minorem ellipseos non sint aequalia rectangulis , quae sub correspo dentibus portionibus ipsorum axium continentur, id tamen verum univeris saliter non est de quadratis semiordinatarum ad quamlibet diametrum.
Quadrata semiordinatarum ad quamlibet fetundariam diametrum ellιpseos habent omnia eandem rationem ad rectangula, qua sub correspondentibus portionibus ipsius diametri continentur. I 2I. Demonstratur eodem modo, quo s. idipsum ostensum est de quadratis semiordinatarum ad axim.s c H O L I Ox22. Parameter propterea cujusvis seeundariae diametri ellipseos est recta ducta per verticem ipsius diametri , ejus ordinatis parallela, oe ideo ellipsim tangens, cujus ratio ad ipsam diametrum eadem est eam illa, quam babet quadratum cujuslibet semiordinata ad rectangulum contentam sub eorrespondentibus portionibus ipsius diametri. Quae euinque idcirco superiora loco ostensa sunt de parametro axis, intelligi etiam debent de parametro alterius cujusvis diametri secundariae, si ad sibi eoniugatam diameter ipsa reseratur, videlicet
ir 3. Quavis secundaria diameter ellipseos est media proportionalis inter FI .io. diametrum sibi conjugatam , ejusque parametrum . Ut si recta ΑΒ in ellipsT. X iv.
47쪽
ADBC sterit diameter conjugata diametro CD, eurus parameter ut recta CF, erit u CD. ΛΒ. CF. cf. 8 I. .
ii . Quadratum eu1usvis diametri secundaria adaquat rectangulum contentum sab diametro illi eo Mata, oe sub illius parametro g. 21. .
I I LI1 1. Quadratum vero semidiametri secundaria est quarta pars rectanguli contenti sub diametro sibi eoMugara, ct sub illius parametro s. 83. .
126. coniugata diametri elli eos funι duae media eontinue proportionales inter suos parametros. Si nimirum rectae AB, CD fiterint diametri coniugatae ellipleos ADBC, & earum parametri rectae ΛΕ. CF erit - AECD , AB . CF s. 81. . .. ou.
is . Hine, si diametri eo uata fueνInt aquales, esiam earum parametrierunt aquales tum inter se, tum cum ipsis diametris. Inaequales vero, si dimmetra fuerint maequales. -
118. Similiter ex diametris conJvatis illa , qua ma1or est , habet parame- trtim tum seipsa, tum altera drametro minorem. Illa vero, qua est minor habet parametrum etiam altera diametro majorem. Hine 'VILidis. Cum axes ellipseos sint diametri coniugatae t I. 3I. , & axis maior
sit omnium diametrorum maximas minima vero axis minor g. Det . , Da-rameter axis majoris erit minιmus omnium parametrorum aliarum cametrorum ellipsis, omnium vero maximus, parameter axis min ris.
r o. Quoniam autem diametri secandariae in ellipsi eo sunt minores quo magis a majori axe recedunt IIq. parameter diametri secandariae maior erit , quo diameter ipsa remotior a m ori ara, ct minori proximiore citur . .
48쪽
Omnis diameteν ellipsim bifaνiam dividit ι quadrifariam vera diametri eo uata 3 ct sectores elliptici ad verticem oppositi inter se sunt aquales.
33r. Recta CD st diameter quae nque ellipsis CADB. Dieo, ellipsim CADB ab ipsa diametro CD bifariam dividi.
Per singula puncta ipsius diametri dueantur ordinatae M , MN , AB, mn, xx, quae divisae erunt bifariam in punctis a, b, G, d, e c . II. . Via Fig. o. tur elementa componentia segmentum ellipticum DCA sunt numero, Se ma T XIV gnitudine aequalia elementis constituentibus segmentum elliptieum CDB. Ergo elliptica hujusmodi segmenta sunt aequalia cLib. 1χ9. II. ι ade que &c. I I. I 32. Rectae AB, CD sint diametri coniugatae ellipseos CADB. Dieo. ellipsim CADB dividi quadrifariam ab ipsis diametris.
Etenim, iisdem postis, eum diameter ΑΒ st una ex ordinatis ad di metrum CD cs.7 I. , sntque omnes ordinatae ad diametrum CD bifariam divisae t s. I . sector ΑGC aequabit sectorem CGB , 3c sector AGD s ctorem BGD Lib. IX. s. 13. , ex eo nimirum, quod eorum elementa sint numero, & magnitudine aequalia . AEquales sunt autem eandem quoque ob causam ei iam sectores ΑGC, AGD, nee non sectores CGB, BGD, cumst bM dm , aX ex, bN- , de aZ reae s s. II 8. , ob aequalem harum semiordinatarum distantiam a centro , totque Puncta sint in recta GC, quot sunt in recta GD s. 68. . Ergo quatuor sectores ΑGC, ΛGD, CGB, BGD sunt inter se aequales; ac proin)e &c.
I I LI33. Rectae AB, CD snt duae quaeeunque diametri ellipseos ADBC. Di.
eo, sectores ad vertieem oppositos ΛGC, DG B, scuti etiam ΛGD, CGs, esse inter se aequales. Elem.ΜatbT.IV. D
49쪽
Segmentum ellipticum DC A adaequat segmentum ABD , cum utrumque sit medietas ipsus ellipsis sy. I 3I. . Ergo, ablato communi AGD , reliquum A GC erit reliquo DGB aequale is n. Ast. s. 266. . Eodem modo ostendam, sectorem ΑGD aequare sectorem CGB. Igitur omnis diameter &e. quod erat ostendendum.
Si ex punctis extremis eurumis diametri ellipseos ducantur intra ellipsim dme recta parallela, illa aquales erunt tuter se, recta illas con;ungens erit diameter ipsus ellipsis. p. ij. Recta ab st diameter ellipsis ACBD , atque ex illius extremis punctis T xlli. a, b ducantur intra ellipsim rectae parallelae ae, bd, quarum extrema d, e iungantur recta de .
is . Dico primo, rectas ae, bd esse inter se aequales.
Quoniam rectae ae, bd sent parallelae , erunt ordinatae ad aliquam dIa- metrum ipsius ellipsis. Sit ergo hujusmodi diameter recta AB. Itaque cum rectae ae, bd sint parallelae, anguli ea b, ab d erunt aequales Lib. IV. s. I . . AEquales sunt autem etiam anguli an et, Inb Lib. III. s. si . . Igitur duo triangula naea,nbr habent duos angulos duobus angulis aequales, alterum alteri. Habent porro et,am latera an, n b aequalia , quae aequalibus angulis adiacent cy. 68. . Ergo latera quoque at , Ib erunt aequalia c Lib. V. g. 93.). Constat porro, esse ae , db aQ, b I Lib. I. . I 27. 3 cum sit ae 22aae, de-- 2Ib cs. II. . Ergo etiam rectae ae , db erunt inter se aequales Lib.I. s. o 8. .
I31. Dico a. rectam de esse diametrum ellipseos ACBD.
Quandoquidem recta coniungens extrema puncta d, e rectarum d b, a e transit per centrum n ellipsis ACBD. Etenim, si fieri potest, eadat hujusmodi recta extra centrum n, ut linea dxe. A centro autem n ad extrema puncta d, e ducantur rectae nd, ne . Cum igitur ob parallelismum rect rum
50쪽
rum ae , db anguli alterni e ab , ab d sint aequales Lib. IV. I. I s. , seu tiet iam rectae an ,nb g. 68. , nec non rectae ae , db s. II 8.), bases quoque ne, nd triangulorum nae, n bd erunt aequales Lib. V. s. 73. . Duo ergo triangula nae, ab d sunt inter se mutuo aequi latera ι ac propterea habent angulos a ne, dnb aequalibus lateribus ae , db oppositos , inter se aequales cs. 8s . . Igitur duae rectae nd, ne sunt in directum positae , seu unam rectam d ne constituunt Lib. III s. ss. . Posita est autem recta etiam linea dxe. Ergo duae rectae dxe,d ne spatium claudunt, quod repugnat Lib. IV. 1. 7. . Igitur recta conjungens extrema puncta d , e transit per centrum ellipsis ACBD 3 ae proinde est illius diameter l . G2. . Si ergo expunctis extremis dec. quod erat ostendendum.
Si in maiori axe AC ellipseos AAsric duo fumantur pancta a, b, quorum ea sit istantia a suo respect.ve vert:ce A, c, ut tam rectangulum e T a in a C, quam νectangulum ex Cb in bA sit aquare quadranti figurae ipsius axis AC, rectae a a, bet duita ex ιuis punctis a, b
ad quodvis punctum E curva elliptica , aquales angulosa ZE, baF e stituunt eum recta tangente EF per illud punctam E traducta. I 36. Dueantur tangentes verti eates AE. CF occurrentes tangenti laterati Fix. εν.
TF in punctis E, F . Ipsa vero EF, sicuti etiam axis ΑC directe produT. XIV. cantur, donec simul in puncto D concurrant. Tum ex datis punctis a, bducantur ad puncta E, F rectae a L, aF, bE, bF.
Quoniam igitur ex sacta hypothesi rectangulum ex Ra in AE est aequa. te quadranti figurae axis AC, eidem vero quadranti aequale itidem lit rectangulum ex ΛΕ in CF I. ro . , rectangula CF ΑΠ , a C Aa erunt inter se aequalia cDn. Q s. 119. ι & hinc habebitur CF. aC Aa . AE Lib. IX. s. II . . Duo autem anguli aCF, a AE sunt aequales inter se Lib. III. s. 37. , utpote recti cs. 2 . . Ergo duo triangula a CF, a AE erunt sis milia Lib. IX. g. 69. , 8e anguli GF, AEa , qui proportionalibus lateribus Continentur, erunt aequales I. . Duo autem anguli ΑaE , a LA valent unum rectum Lib. V. F. O . . Igitur duo quoque anguli Ca F. Aa E simul sumti unum rectum aequabunt g.qo. . Tres porro anguli Aa E, EaF, Ca FConficiunt summam duorum rectorum Lib. III. s. q2.). Igitur, sublatis angulis A aE, CaF unum rectum aequantibus, reliquus EaF erit uni recto aequalis, seu erit rectus. Haud dissimili ratiocinio palam fiet, etiam angulum EbFesse rectum. Igitur, cum angulus rectus in semicirculo consistat Lib. VII s. 78. , bifariam diviso latere EF in punctor, semicirculus deseriptus centro I, intervallo γE transibit per puncta a, b , ut semieirculus LabF 3 ac D a pro